Illustrierende Aufgaben zum LehrplanPLUS. Quadratische Ungleichungen graphisch lösen

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1 Quadratische Ungleichungen graphisch lösen Stand: Jahrgangsstufen FOS/BOS 10 Fach/Fächer Mathematik Übergreifende Bildungs- und Erziehungsziele Zeitrahmen Benötigtes Material Minuten Diese Aufgabe soll ohne Verwendung von Hilfsmitteln bearbeitet werden. Kompetenzerwartung Lehrplan Mathematik FOS/BOS 10 LB 3 Die Schülerinnen und Schüler ermitteln die Lösungsmengen linearer und quadratischer Ungleichungen mithilfe einer geeigneten Graphenskizze und geben diese sowohl in beschreibender Mengenschreibweise als auch in Intervallschreibweise an. Seite 1 von 20

2 Aufgabe Vorschlag für die Unterrichtsmethode: Gruppenpuzzle. Die Vorgehensweise für diese Methode wird unter Hinweise zum Unterricht beschrieben. Die Einteilung der Gruppen erfolgt durch die Bezeichnung A1 bis E5. Seite 2 von 20

3 Arbeitsauftrag A1 Lösen Sie die folgenden Ungleichungen grafisch und geben Sie die Lösungsmengen an. x 2 + x + 6 > 0 x 2 + x auch eine 1 steht, in einer Gruppe. Arbeitsauftrag B1 x 2 + x + 6 > 0 x 2 + x auch eine 1 steht, in einer Gruppe. Seite 3 von 20

4 Arbeitsauftrag C1 x 2 + x + 6 > 0 x 2 + x auch eine 1 steht, in einer Gruppe. Arbeitsauftrag D1 x 2 + x + 6 > 0 x 2 + x auch eine 1 steht, in einer Gruppe. Seite 4 von 20

5 Arbeitsauftrag E1 x 2 + x + 6 > 0 x 2 + x auch eine 1 steht, in einer Gruppe. Arbeitsauftrag A2 3x x 2 4 > 0 auch eine 2 steht, in einer Gruppe. Seite 5 von 20

6 Arbeitsauftrag B2 3x x 2 4 > 0 auch eine 2 steht, in einer Gruppe. Arbeitsauftrag C2 3x x 2 4 > 0 auch eine 2 steht, in einer Gruppe. Seite 6 von 20

7 Arbeitsauftrag D2 3x x 2 4 > 0 auch eine 2 steht, in einer Gruppe. Arbeitsauftrag E2 3x x 2 4 > 0 auch eine 2 steht, in einer Gruppe. Seite 7 von 20

8 Arbeitsauftrag A3 2x 2 8x +8 > 0 2x 2 8x auch eine 3 steht, in einer Gruppe. Arbeitsauftrag B3 2x 2 8x + 8 > 0 2x 2 8x auch eine 3 steht, in einer Gruppe. Seite 8 von 20

9 Arbeitsauftrag C3 2x 2 8x +8 > 0 2x 2 8x auch eine 3 steht, in einer Gruppe. Arbeitsauftrag D3 2x 2 8x + 8 > 0 2x 2 8x auch eine 3 steht, in einer Gruppe. Seite 9 von 20

10 Arbeitsauftrag E3 2x 2 8x +8 > 0 2x 2 8x auch eine 3 steht, in einer Gruppe. Arbeitsauftrag A4 x 2 2x + 2 > 0 x 2 2x auch eine 4 steht, in einer Gruppe. Seite 10 von 20

11 Arbeitsauftrag B4 x 2 2x +2 > 0 x 2 2x auch eine 4 steht, in einer Gruppe. Arbeitsauftrag C4 x 2 2x + 2 > 0 x 2 2x auch eine 4 steht, in einer Gruppe. Seite 11 von 20

12 Arbeitsauftrag D4 x 2 2x +2 > 0 x 2 2x auch eine 4 steht, in einer Gruppe. Arbeitsauftrag E4 x 2 2x + 2 > 0 x 2 2x auch eine 4 steht, in einer Gruppe. Seite 12 von 20

13 Arbeitsauftrag A5 Lösen Sie die folgende Ungleichung grafisch und geben Sie die Lösungsmenge an. x 2 3x 4 4x 2 auch eine 5 steht, in einer Gruppe. Arbeitsauftrag B5 Lösen Sie die folgende Ungleichung grafisch und geben Sie die Lösungsmenge an. x 2 3x 4 4x 2 auch eine 5 steht, in einer Gruppe. Seite 13 von 20

14 Arbeitsauftrag C5 Lösen Sie die folgende Ungleichung grafisch und geben Sie die Lösungsmenge an. x 2 3x 4 4x 2 auch eine 5 steht, in einer Gruppe. Arbeitsauftrag D5 Lösen Sie die folgende Ungleichung grafisch und geben Sie die Lösungsmenge an. x 2 3x 4 4x 2 auch eine 5 steht, in einer Gruppe. Seite 14 von 20

15 Arbeitsauftrag E5 Lösen Sie die folgende Ungleichung grafisch und geben Sie die Lösungsmenge an. x 2 3x 4 4x 2 auch eine 5 steht, in einer Gruppe. Seite 15 von 20

16 Hinweise zum Unterricht Die Lösungsvorschläge unter den Hinweisen zum Unterricht erfolgen stichpunktartig. Diese sind nicht als vollständige, alternativlose Lösungserwartung zu sehen. Auch von einer strengen mathematischen Fachnotation wird hier abgesehen. Vorgehensweise: Voraussetzung ist, dass die Schülerinnen und Schüler die Methode des Gruppenpuzzles bereits kennen. Ansonsten sollte sie zuvor besprochen werden. 1. Phase: Die Arbeitsaufträge werden ausgeteilt. Die Schülerinnen und Schüler versuchen die Aufgabe selbständig zu lösen. 2. Phase: Die Schülerinnen und Schüler, auf deren Arbeitsauftrag eine 1 steht (2, 3, 4 bzw. 5 analog), treffen sich in einer Gruppe, vergleichen ihre Ergebnisse und bilden sich zu Experten aus. 3. Phase: Nachdem die Aufgaben gemeinsam bearbeitet und besprochen wurden, treffen sich alle Schülerinnen und Schüler mit dem Buchstaben A in neuen Gruppen. (B, C, D bzw. E analog). Nun stellen alle Schülerinnen und jeder Schüler jeder Gruppe nacheinander die eigene Aufgabe vor. Seite 16 von 20

17 Lösungsvorschlag: Gruppenaufgabe A1 - E1 y x 2 + x + 6 > 0 für x ] 2; 3[ bzw. L = {x 2 < x < 3} x 2 + x für x ] ; 2] [3; [ bzw. L = {x x 2<oder x 3} Seite 17 von 20

18 Gruppenaufgabe A2 - E2 y y 3x für x ] ; 2] [2; [ 3x 2 4 > 0 nicht möglich bzw. L = { } bzw. L = {x x 2<oder x 2} Gruppenaufgabe A3 - E3 y 2x 2 8x + 8 > 0 für x ] ; 2[ ]2; [ bzw. L = IR\{2} 2x 2 8x für x = 2 bzw. L = {2} Seite 18 von 20

19 Gruppenaufgabe A4 - E4 y x 2 2x + 2 > 0 für x IR bzw. L =IR x 2 2x nicht möglich bzw. L = { } Gruppenaufgabe A5 - E5 y y x 2 3x 4 4x 2 oder x + x 2 0 für x ] ; 2] [1; [ bzw. L = {x x 2 oder x 1} Seite 19 von 20

20 Eine mögliche Beschreibung der Vorgehensweise ist: Zuerst bringe ich die Ungleichung auf die Form >0, 0, <0 oder 0 und fasse den quadratischen Term als Funktionsterm einer quadratischen Funktion auf. Dann zeichne ich die zugehörige Parabel mithilfe der vorhandenen Schnittpunkte der Parabel mit der x-achse und des Scheitelpunktes der Parabel in ein geeignetes Koordinatensystem. Es reicht zum Lösen der Aufgabe eigentlich auch nur eine Skizze der Parabel, wenn ich die Schnittstellen der Parabel mit der x-achse und die Öffnung der Parabel kenne. Anschließend kläre ich, welchen Bereich ich laut Ungleichung beachten muss. o Parabel verläuft oberhalb der x-achse o Parabel verläuft unterhalb der x-achse o Schnittstellen der Parabel mit der x-achse Welche dieser drei Teile ich beachten muss, hängt davon ab, ob die Ungleichung >,, < oder Null lautet. Dann gebe ich die entsprechende Lösungsmenge in Intervallschreibweise an. Ich kann die Lösungsmenge auch in der Mengenschreibweise angeben. Anregung zum weiteren Lernen Die Schülerinnen und Schüler können sich selbst Aufgaben ausdenken, die ihre Klassenkameraden lösen sollen. Das grafische Lösen von quadratischen Ungleichungen kann zur Berechnung der Anzahl der Nullstellen von quadratischen Funktionen verwendet werden. Es können auch Lösungsmengen vorgegeben werden, zu denen die Schülerinnen und Schüler die entsprechenden quadratischen Ungleichungen bestimmen sollen. Seite 20 von 20