Grundkurs Mathematikdidaktik

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1 Friedrich Zech Grundkurs Mathematikdidaktik Theoretische und praktische Anleitungen für das Lehren und Lernen von Mathematik 9. Auflage Beltz Verlag Weinheim und Basel

2 Inhaltsverzeichnis Verzeichnis der Schemata 13 Vorwort zur Neuausgabe 15 Aus dem Vorwort zur ersten Auflage 19 Hinweise zur Lektüre Kapitel: Zielsetzung, Voraussetzungen und Verlaufsplanung des Kurses Vororientierung Allgemeine Zielvorstellungen Grundgedanken zur Realisation Das dem Kurs zugrundliegende lehr- und lerntheoretische Modell des Mathematikunterrichts Inhaltliche Intentionen Tragende Teile (Medien und Methoden) des Kurses und ihre Funktion Wünschenswerte Voraussetzungen oder Vertiefungen (Literaturhinweise) Planung des Kursverlaufs Arbeits- und Zeitanforderungen des Kurses Diskussionsanregung Ergänzungen: Grundmerkmale des Unterrichts Das hier zugrunde gelegte Verständnis von Unterricht Anforderungen an das Unterrichtsmodell und Auswahl der Unterrichtsdimensionen Kapitel: Rahmenbedingungen des Mathematikunterrichts Vororientierung Anthropogene und soziokulturelle Bedingungen Charakteristika des»guten«lehrers Geschlechtsunterschiede im Mathematikunterricht Einige Bemerkungen zur Differenzierung Aufgaben und Diskussionsanregungen Literaturhinweise 49

3 Inhaltsverzeichnis 3. Kapitel: Ziele des Mathematikunterrichts; ihre Taxonomie und Operationalisierung Vororientierung Allgemeine Zielvorstellungen des Mathematikunterrichts Allgemeine Ziele des Schulunterrichts Fachübergreifende und allgemeine Ziele des Mathematikunterrichts Anmerkungen zu Inhalten und Verfahren des Mathematikunterrichts Gewinnung und Auswahl von Lernzielen und -inhalten Taxonomie mathematischer Lernziele Gesichtspunkt: Präzisierung der Lernziele Die Taxonomie der Lernziele nach Bloom u.a Eine Taxonomie kognitiver Ziele der Schulmathematik Sozial-affektive Ziele des Mathematikunterrichts Psychomotorische Lernziele des Mathematikunterrichts Anmerkungen zum Gebrauch von Taxonomien Operationalisierung mathematischer Lernziele Die Operationalisierung der Lernziele nach Mager Kontrolle mathematischer Lernziele Zusammenfassende Übersicht Aufgaben und Diskussionsanregungen Literaturhinweise Kapitel: Entwicklung mathematischen Denkens und operative Prinzipien Vororientierung Theorien der Denkentwicklung Die Stadientheorie Piagets Aeblis operative Methode Weitere Verdeutlichungen der operativen Methode Die Theorie der Darstellungsebenen nach Bruner Die Theorie der etappenweisen Ausbildung geistiger Handlungen nach Galperin und Lompscher Praktische Folgerungen für den Mathematikunterricht Grundsätzliches zu didaktischen Prinzipien Operative Prinzipien Zusammenfassende Übersicht Aufgaben und Diskussionsanregungen Literaturhinweise 126

4 Inhaltsverzeichnis 7 5. Kapitel: Sinnvolles Lernen im Mathematikunterricht Vororientierung Was heißt eigentlich»lernen«? Umschreibungen für Lernen Grobeinteilung von Lernarten: sinnvolles und mechanisches Lernen Beschreibung sinnvollen Lernens nach Ausubel u.a Begriff und Aufbau der kognitiven Struktur Grundbedingung sinnvollen Lernens: Anknüpfen an die kognitive Struktur des Lernenden Erste Folgerungen für den Mathematikunterricht Explizite Formulierung eines Verständniskerns und Verständnisaufgaben Vorstrukturierungen Progressive Differenzierung Integrative Verbindung Sinnvolles Lernen und Gedächtnis Zusammenfassende Übersicht Ergänzung:»Kognitive Theorien« Kognitive versus behavioristische Theorien Ein Informationsverarbeitungsmodell Aufgaben und Diskussionsanregungen Literaturhinweise Kapitel: Lerntypen des Mathematiklernens und ihre Bedingungen Vororientierung Die Gagnesche Einteilung von Lerntypen Verschiedene Einteilungen von Lernarten Lerntypen nach Gagne Überlegungen zur Gagneschen Lerntypeneinteilung Zur hierarchischen Struktur der Gagneschen Lerntypen Zur Unvollständigkeit der Gagneschen Lernstruktur Rezeptives Lernen versus entdeckendes Lernen Zur Verschränkung der Lerntypen Eine Einteilung von Lerntypen des Mathematiklernens Assoziatives Lernen Diskriminationslernen Lernen mathematischer Begriffe Lernen mathematischer Regeln Lernen heuristischer Regeln Lösen mathematischer Probleme Beobachtungslernen nach Bandura u.a 168

5 Inhaltsverzeichnis 6.4 Bedingungen des Mathematiklernens Bedingungen für Beobachtungslernen Bedingungen für assoziatives Lernen Bedingungen für Diskriminationslernen Bedingungen für das Lernen mathematischer Begriffe Bedingungen für das Lernen mathematischer Regeln Bedingungen für das Lernen heuristischer Regeln Bedingungen für das Lösen mathematischer Probleme Zusammenfassende Übersicht Aufgaben und Diskussionsanregungen Literaturhinweise Kapitel: Lernphasen, insbesondere Motivation, Übung, Anwendung und Transfer des Mathematiklernens Vororientierung Lernphasen Die Phase der Motivation Die Phase der Schwierigkeiten Die Überwindung der Schwierigkeiten (Lösungsphase) Die Sicherung des Gelernten Die Phase der Anwendung und Übung Der Transfer des Gelernten Das Lernphasenschema und seine Bedeutung Andere Vorschläge für die Artikulation des Unterrichts Motivation des Mathematiklernens Motive und Motivation (Begriffsklärung und Vorbemerkungen) Motivation durch kognitiven Antrieb (Neugier) Motivationen im Umfeld des Lebenszweckmotivs (Anwendungen, Verlebendigungen, historische Bezüge) Leistungsmotivation im Mathematikunterricht Soziale Motivation im Mathematikunterricht Schlußbemerkungen zum Thema»Motivation« Zusammenfassende Übersicht Anwendung und Übung des Mathematiklernens Formen des Übens Zur Motivierung und äußeren Gestaltung von Übungsaufgaben Transfer des Mathematiklernens Begriffsklärung: Transferarten Günstige Bedingungen für positiven Transfer Negativer Transfer und Möglichkeiten seiner Verhinderung Zusammenfassende Übersicht Aufgaben und Diskussionsanregungen Literaturhinweise 222

6 Inhaltsverzeichnis 8. Kapitel: Leitlinien zur Vorbereitung, Durchführung, Beobachtung und Besprechung von Mathematikunterricht Vororientierung Vorbereitung von Mathematikunterricht Das Problem der Unterrichtsvorbereitung allgemein Gegenstand der Unterrichtsplanung Die Vorbereitung einer größeren Unterrichtseinheit Die Vorbereitung einer Unterrichtsstunde (innerhalb einer größeren Unterrichtseinheit) Technische Hinweise zur Unterrichtsplanung Durchführung von Mathematikunterricht Das Problem des Unterrichtens Microteaching-Konzepte Das Unterrichtskonzept dieses Grundkurses Einige praktische Hinweise zum Unterrichten Beobachtung von Mathematikunterricht Das Problem der Unterrichtsbeobachtung allgemein Prinzipien für Unterrichtsbeobachtungen Ziele der Unterrichtsbeobachtung Beobachtungsschemata Weitere Hinweise zur Unterrichtsbeobachtung Besprechung einer Mathematikstunde Einige grundsätzliche Gesichtspunkte der Stundenbesprechung Zeitlicher Verlauf der Besprechung Aufgaben und Diskussionsanregungen Literaturhinweise Kapitel: Das Lernen mathematischer Begriffe Vororientierung Von welchen Begriffen hier besonders die Rede ist Sinn von Begriffsbildungen; logische und psychologische Seite der Begriffsbildung Psychologische Vorgänge bei der Begriffsbildung Begriffslernen in Abhängigkeit von der Denkentwicklung Einige Ergebnisse und Anregungen spezieller Begriffsforschung Grundsätzliches zur Vermittlung von Begriffen über Beispiele, Gegenbeispiele und verbale Hinweise Zur Auswahl von Beispielen und Gegenbeispielen Abfolge und Anordnung von Beispielen und Gegenbeispielen Bedeutung und Beschränkung der Begriffsforschung Zur Rolle der Sprache beim Begriffslernen Zur Zielsetzung und Kontrolle des Begriffslernens 266

7 10 Inhaltsverzeichnis 9.8 Lernphasen des Begriffslernens und unterrichtspraktische Hinweise Unterrichtsbeispiel zum Begriffslernen Begriffslernen mit Hilfe einer»orientierungsgrundlage« Operative Zugänge am Beispiel»Quadrat« Begriffslernen nach Galperin u.a Übersicht über günstige Bedingungen des Begriffslernens Aufgaben und Diskussionsanregungen Vorschläge für die Beobachtung und Besprechung von Unterrichtsversuchen zur Einführung und vertiefenden Übung eines Begriffs Literaturhinweise Kapitel: Das Lernen mathematischer Regeln Vororientierrung Erinnerung an frühere Ausführungen zum Regellernen Verbale Interaktionsformen des Regellernens Hauptformen: fragend-entwickelnder Unterricht und Unterrichtsgespräch Strategien der didaktischen Gesprächsführung: Frage - Denkanstoß - Impuls Der didaktische Sinn von Frage, Denkanstoß, Impuls Eng-und weitgefaßte Fragen Einige praktische Hinweise zur Fragetechnik des Lehrers Zur Verbesserung der Fragequalität Die besondere Bedeutung der Sprache beim Regellernen Zur Zielsetzung und Kontrolle des Regellernens Lernphasen des Regellernens und unterrichtspraktische Hinweise Unterrichtsbeispiel zum Regellernen: Flächeninhaltsberechnung des Kegelmantels Übersicht über günstige Bedingungen des Regellernens Aufgaben und Diskussionsanregungen Vorschläge für die Beobachtung und Besprechung von Unterrichtsversuchen zur Einführung und Vertiefung einer mathematischen Regel Literaturhinweise Kapitel: Problemlösen im Mathematikunterricht Vororientierung Begriff und Bedeutung des Problemlösens Grundbedingungen des Problemlösungsunterrichts Strategische Lernhilfen beim Problemlösen Grundprinzipien der Heuristik Ein Katalog heuristischer Regeln nach Polya Eine kleine Übung zur heuristischen Fragetechnik 313

8 i, Inhaltsverzeichnis Eine Taxonomie möglicher Lernhilfen beim Problemlösen Die Kategorien Erläuterung der einzelnen Kategorien Direkte und indirekte Hilfen Zur praktischen Verwendung der Taxonomie Eine Tabelle möglicher Hilfen für ein spezielles Problem Zur Zielsetzung und Kontrolle des Problemlösens in Kleingruppen Warum Problemlösen in Kleingruppen? Kognitive Zielsetzungen Anregungen für Lernkontrollen Lernphasen des Problemlösens und unterrichtspraktische Hinweise Zum psychologischen Vorgang des Problemlösens Zur Vorbereitung des Lehrers Motivation und Problemgewinnung Schwierigkeiten und ihre Überwindung (Problemlösung) Sicherung des Erarbeiteten Übung, Anwendung und Transfer des Gelernten Zur problemlösenden Behandlung von Sachaufgaben Das Anforderungsniveau von Aufgaben Zum Lösen von Sachaufgaben in der Grundschule Zum Lösen von Sachaufgaben in der Sekundarstufe I Zur problemlösenden Behandlung von mathematischen Sätzen und ihren Beweisen in der Sekundarstufe I Zur problemlösenden Behandlung von Konstruktionsaufgaben Förderung des Problemlösens Altersbedingte Tendenzen beim Problemlösen Entwicklung von Problemlösefähigkeit Förderung kreativen Verhaltens Ausblick: Problemlösen, kreativer Unterricht und die Realität Zum Kleingruppenunterricht (Anhang) Begründung des Kleingruppenunterrichts Praktische Hinweise zum Kleingruppenunterricht Übersicht über günstige Bedingungen für Problemlösen Aufgaben und Diskussionsanregungen Vorschläge für die Beobachtung und Besprechung von Stunden zur Erarbeitung heuristischer Regeln und zur Lösung mathematischer Probleme in Kleingruppen Literaturhinweise 367