LS VWL (Mikroökonomie) Sommersemester Übungsaufgaben. Mikroökonomie

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1 LS VWL (Mikroökonomie) Sommersemester 2011 Übungsaufgaben Mikroökonomie

2 Aufgabenblatt 1 Marktgleichgewicht Aufgabe 1.1: Ein Markt sei durch lineare Angebots- und Nachfragefunktionen bestimmt: f D (p) = p und f S (p) = 15p. (a) Was gibt die Angebotsfunktion, was die Nachfragefunktion an? (b) Erläutern Sie anhand des Reservationspreiskonzeptes, weshalb die Angebotsfunktion gewöhnlich einen steigenden, die Nachfragefunktion einen fallenden Verlauf aufweist! (c) Wodurch ist ein Marktgleichgewicht charakterisiert? Ermitteln Sie dieses! Aufgabe 1.2: Die Angebotsfunktion für Reis sei f S (p) = 1000 p 300, die Nachfragefunktion sei gegeben durch f D (p) = p. (a) Welche Aussage lässt sich aus dieser Nachfragefunktion treen? Wie verändert sich insbesondere die Nachfrage(-funktion), wenn der Preis steigt? (b) Ermitteln Sie das Marktgleichgewicht! (c) Welches Marktgleichgewicht würde sich ergeben (i) bei einem Mindestpreis von p = 1? (ii) bei einem Mindestpreis von p = 2? (iii) bei einem Höchstpreis von p = 1? (iv) Welche Marktteilnehmer werden jeweils rationiert? Aufgabe 1.3: An einem Börsentag mögen die unten aufgeführten Kauf- und Verkaufsabsichten für eine bestimmte Aktie, die einem Makler in Form von Orders mit Limits (= Reservationspreisen) zugegangen sind, bestehen: Verkauforders Kauforders Stück Mindestpreis Stück Höchstpreis

3 (a) Ermitteln Sie (graphisch oder tabellarisch) das geplante Käufer- und Verkäuferverhalten aggregiert in Form von Angebots- und Nachfragefunktionen! (b) Welcher Preis (Kurs) gleicht Angebot und Nachfrage aus? Wieviele Aktien werden gehandelt? (c) Welches (geplante) Verhalten führt im Gleichgewicht (i) ein Nachfrager mit Höchstpreis 100 (ii) ein Anbieter mit Mindestpreis 110 aus? Aufgabe 1.4: Bei der Fussballbörse zur Euro 2000 hat Veranstalter Ribaldo Ihnen den Job des Auktionators für den Markt 'Frankreich' übertragen. Ihre Aufgabe ist es, die nach und nach eintrudelnden Verkaufs- und Kaufgebote für Frankreich-Aktien auf ihre Realisierbarkeit zu prüfen und ggf. durchzuführen. Gebote, die nicht sofort gehandelt werden können, werden zunächst zurückgestellt und erneut überprüft, wenn neue Verkaufs- oder Kaufgebote bei Ihnen eingehen. Stehen einem neuen Verkaufsgebot mehrere Kaufgebote gegenüber, so werden höhere Kaufgebote zu den jeweils höchstmöglichen Preisen zuerst realisiert. Beispiel: Bei einem Verkaufsgebot '60 Aktien zu 50 Geldeinheiten (GE)', das auf zwei Kaufgebote '20 Aktien zu 60 GE' und '70 Aktien zu 50 GE' trit, werden zuerst 20 Aktien zu 60 GE gehandelt (es bleiben das Verkaufsgebot '40 Aktien zu 50 GE' und das Kaufgebot '70 Aktien zu 50 GE' übrig). Danach wechseln 40 Aktien zu 50 GE die Seiten. Entsprechend gilt: Trit ein neues Kaufgebot auf mehrere Verkaufsgebote, so werden die günstigsten Verkaufsgebote zu den jeweils niedrigsten Preisen bevorzugt behandelt. Die folgende Tabelle gibt die bei Ihnen eingehenden Verkaufs- und Kaufgebote in zeitlicher Reihenfolge an:

4 Runde t Verkaufsgebot*) Kaufgebot*) zu zu 50, 80 zu zu zu zu zu zu zu zu 40 *) Alle Gebote sind in 'x Stück zu p GE' notiert. (a) Behandeln Sie alle Gebote in zeitlicher Reihenfolge. (Tipp: Ordnen Sie für jede Runde die noch aktuellen Gebote beginnend mit dem höchsten Preis, so dass Verkaufsgebote links und Kaufgebote rechts stehen.) Wie lauten die Gleichgewichte in den Runden 2, 4 und 7? Welche Gebote bleiben nach Runde 7 übrig? (b) Angenommen Ihr Rechner sei abgestürzt, so dass lediglich alle Gebote, nicht aber deren zeitliche Reihenfolge rekonstruiert werden können. Aggregieren Sie zunächst Verkaufs-, dann alle Kaufgebote (graphisch oder rechnerisch) und bestimmmen Sie das Gleichgewicht! (c) Machen Sie sich klar, warum es Gebote geben kann, die in Teil (a) realisiert werden, in Teil (b) hingegen nicht (und umgekehrt)! Erklären Sie dazu den Begri eines Marktgleichgewichtes und wie er in (a) und (b) Anwendung ndet! Aufgabe 1.5: Auf einem Markt gebe es drei Gruppen A, B und C von Nachfragern. Deren jeweilige (Gruppen-)Nachfrage sei wie folgt gegeben: f D A (p) = p, f D B (p) = p bzw. f D C (p) = 30 p. (a) Bestimmen Sie graphisch und rechnerisch die aggregierte Nachfrage aller Gruppen! (b) Die (aggregierte) Angebotsfunktion sei durch f S (p) = p2 50 gegeben. Bestimmen Sie das Marktgleichgewicht! Aufgabe 1.6: In einem Markt sind 2 Gruppen von Nachfragern aktiv. Gruppe 1 lehnt aus Überzeugungsgründen den Kauf des Gutes bei allen Preisen oberhalb von 10 GE ab. Wenn der Preis bei 10 GE oder darunter liegt, so lautet die

5 Nachfragefunktion dieser Gruppe x 1 = 20 p. Gruppe 2 kennt derartige Bedenken nicht. Ihre Nachfrage ist x 2 = 40 p für alle Preise zwischen 0 GE und 40 GE. a) Stellen Sie die beiden Nachfragefunktionen graphisch dar! Wie groÿ ist die Gesamtnachfrage bei p = 15, wie groÿ ist die Gesamtnachfrage bei p = 5? b) Ermitteln Sie graphisch und rechnerisch die Gesamtnachfrage in diesem Markt! c) Wie lautet das Marktgleichgewicht, wenn die Angebotsfunktion x = a p lautet und (i) a = 1 gilt? (ii) a = 4 beträgt? Aufgabe 1.7: In einem Markt für Gut x seien sowohl Angebot als auch Nachfrage linear vom Preis p abhängig. Versetzen Sie sich in die Rolle des Walrasianischen Auktionators: Bei einem Preis von p = 3 beobachten Sie eine Überschussnachfrage von 60 Einheiten (bei einem Angebot von 30 Einheiten) und beim Preis p = 6 ein Überschussangebot von 30 Einheiten (bei einer Nachfrage von 30 Einheiten). (a) Welchen Preis müssen Sie setzen, um Angebot und Nachfrage auszugleichen? Welche Mengen werden gehandelt? (b) Wie ändert sich das Gleichgewicht, wenn durch einen exogenen Kostenschub die Angebotsfunktion nach oben verschoben wird? (c) Erklären Sie, inwiefern der Walrasianische Auktionator als Modell für Marktverhalten aufgefasst werden kann! Aufgabe 1.8: Versetzen Sie sich in die Rolle eines Walrasianischen Auktionators! Sie haben vollkommene Kenntnis der Nachfragefunktion f D (p) = p, die Angebotsfunktion hingegen ist Ihnen nur in der Form f S (p) = S+s p mit S, s [0, 100] bekannt. Beim Preis p = 2 stellen Sie eine Überschussnachfrage in Höhe von 70 Einheiten fest, beim Preis p = 15 ein Überschussangebot von 60 Einheiten. Angenommen Sie haben nur noch einen Versuch, um zum Gleichgewicht zu gelangen. Welchen Preis würden Sie als nächsten wählen und warum? Aufgabe 1.9: Betrachten Sie den Ticketmarkt für das Fuÿballländerspiel Deutschland gegen Brasilien am 9. Juli in Berlin. Die Nachfragefunktion habe die

6 Form x D (p) = a b p, das Angebot sei durch die Sitzplatzkapazität exogen durch x S (p) = c vorgegeben. (a) Berechnen Sie das Marktgleichgewicht bei vollkommenem Wettbewerb in Abhängigkeit der Parameter a, b und c! (b) Bestimmen Sie die Preiselastizität für das Marktgleichgewicht! (c) Nehmen Sie die Werte a = , b = 75 und c = an. Wie hoch ist im Gleichgewicht der Preis eines Tickets? Die FIFA setzt aus sozialen Gründen den Ticketpreis auf 600 Euro. Wieviele Marktteilnehmer würden rationiert werden? (d) Welchen Ticketpreis sollte der Veranstalter aufgrund der Zahlen aus (b) wählen, wenn er auf dem Ticketmarkt als Monopolist aufträte und ausschlieÿlich Fixkosten zu tragen habe? Würde sich an diesem Ergebnis etwas ändern, wenn die Kapazität des Stadions c = betragen würde? Wieviele Zuschauer würden jeweils im Stadion sein? Aufgabe 1.10: Der Markt für Produkt x sei durch folgende Angebots- und Nachfragefunktion gegeben: f S (p) = p 2 und f D (p) = 42 p. (a) Wieviele Einheiten des Gutes werden zu einem Preis von 35 Euro gehandelt? Wieviele bei einem Preis von 14 Euro? Welche Marktteilnehmer werden zu diesen Preisen jeweils rationiert? (b) Bestimmen Sie das Marktgleichgewicht und die gesamten Erlöse aus dem Verkauf des Produktes! (c) Angenommen auf das Produkt werde eine Mengensteuer in Höhe von 9 Euro pro verkaufter Einheit erhoben. Wie lauten die folgenden Gröÿen im Marktgleichgewicht, wenn die Produzenten die Steuer an den Staat abführen: (i) die verkaufte Menge? (ii) der von den Käufern gezahlte Preis? (iii) das insgesamt von den Käufern für das Produkt ausgegebene Einkommen? (iv) das von der Behörde erzielte Steuereinkommen?

7 Aufgabenblatt 2 Elastizitäten Aufgabe 2.1: f D (p) bezeichne die Nachfrage in Abhängigkeit vom Preis. (a) Denieren Sie die Preiselastizität der Nachfrage η (sprich: Eta)! (b) Interpretieren Sie folgenden Satz: Die Preiselastizität der Nachfrage nach dem Gut x hat beim Preis p 1 den Wert 1.3. Aufgabe 2.2: Sei x = B b p eine lineare Nachfragekurve. (a) Für welchen Preis ist die Nachfrage vollkommen unelastisch? (b) Für welchen Preis ist die Nachfrage vollkommen elastisch? (c) Für welchen Preis beträgt die Nachfrageelastizität η = 1? Aufgabe 2.3: Die folgende Tabelle zeigt die individuellen Nachfragen für vier Konsumenten A, B, C und D in einem Preisbereich von 10 bis 15 Euro: Preis Nachgefragte Menge (Tonnen) (Euro/Tonne) A B C D (a) Ordnen Sie die Preiselastizität jeder dieser individuellen Nachfragen einer der angegebenen vier Kategorien zu! Welche Nachfrage ist auf dem betrachteten Preisintervall völlig unelastisch? welche besitzt eine Elastizität (im Absolutwert) zwischen Eins und Null? welche weist eine Elastizität (im Absolutwert) gröÿer als Eins auf? bei welcher Nachfragefunktion ist der Verlauf anormal? Begründen Sie Ihre Antwort!

8 (b) Ermitteln Sie die aggregierte Nachfrage für einen Markt, der aus den vier oben genannten Nachfragern besteht! (c) Bestimmen Sie das Marktgleichgewicht, wenn das aggregierte Angebot wie folgt gegeben ist: Preis (Euro/Tonne) Angebotene Menge (Tonnen) Aufgabe 2.4: Sei x(p) = 4 1 p die Nachfragemenge beim Preis p. 3 (a) Stellen Sie den Funktionsverlauf graphisch dar! (b) η bezeichne die Preiselastizität der Nachfrage. Bestimmen Sie Preis und Menge, bei denen η = 3 gilt! (c) E = p x(p) sei die zugehörige Ausgabenfunktion. Zeigen Sie, dass die Preiselastizität der Ausgaben 1 + η entspricht! (d) Bestimmen Sie den Abschnitt der Nachfragekurve, wo eine einprozentige Preissenkung die Ausgaben um mehr als 4% ansteigen lässt! Aufgabe 2.5: (a) Denieren und interpretieren Sie die Preiselastizität der Nachfrage! (b) Eine Nachfragefunktion sei implizit gegeben durch p + 5x D = 100. Bestimmen Sie die Preiselastizität bei einem Preis von i) p = 40, ii) p = 50 und iii) p = 60! (c) Zeichnen Sie die Nachfragefunktion sowie die in (b) betrachteten Fälle in eine Graphik ein! (d) Vergleichen Sie die Elastizitäten in den drei betrachteten Fällen. Was lässt sich über sie sagen? (e) In welcher Beziehung steht die Preiselastizität der Ausgaben für ein Gut zur Preiselastiztät der Nachfrage des Gutes?

9 Aufgabe 2.6: Sei E = p x(p) eine Ausgabenfunktion zu einer normalen Nachfrage. Zeigen Sie, dass gilt: de dp > = < 0 η < => 1. Aufgabe 2.7: Es sei x 1 = f D (p 1, p 2 ) die Nachfragemenge nach dem Gut 1 in Abhängigkeit von dem Preis dieses Gutes p 1 und dem Preis p 2 des Gutes 2. (a) Geben Sie die Denition der Kreuzpreiselastizität der Nachfrage nach Gut 1 in bezug auf Gut 2 an (verbal und mathematisch)! (b) Was lässt sich über die Beziehung zwischen beiden Gütern sagen, wenn die Kreuzpreiselastizität positiv, negativ oder gleich Null ist? Aufgabe 2.8: Sei T (Y ) der Steuerbetrag beim Einkommen Y und R(Y ) = Y T (Y ) sei das Einkommen nach Steuer (Residualeinkommen). (a) Interpretieren Sie: µ(y ) = Y R(Y ) dr(y ) dy. (b) Denieren Sie die Einkommenselastizität des Steuerbetrages (Steuerlastprogression) τ(y )! Aufgabe 2.9: Betrachten Sie einen Markt auf dem sowohl die Nachfrage- als auch die Angebotsfunktion linear vom Preis abhängig seien. Bei einem Preis von p=5 stellt man einen Nachfrageüberschuss von 40 Einheiten fest, während der Preis p=13 zu einem Angebotsüberschuss von 24 Einheiten führt. Die gehandelte Menge beträgt in beiden Situationen 35 Einheiten. (a) Wie sehen die Nachfrage- und die Angebotsfunktion dann im obigen Fall aus? (b) Ermitteln Sie das Marktgleichgewicht sowohl rechnerisch als auch zeichnerisch! (c) Denieren Sie die Preiselastizität der Nachfrage! Bestimmen Sie diese für die vorliegende Nachfragefunktion. Welchen Wert nimmt sie im Marktgleichgewicht an? (d) In welchem Preisbereich ist die Nachfrage elastisch, in welchem unnelastisch? Was gilt in dem Gleichgewicht aus (b)?

10 Aufgabenblatt 3 Budgetrestriktionen und Präferenzen Aufgabe 3.1: Ein Konsument gebe sein gesamtes Einkommen M = für die beiden Güter A und B aus. (a) Zeichnen Sie die Budgetgerade des Konsumenten, wenn die Preise p A = 4 und p B = 6 betragen! (b) Ergänzen Sie das Diagramm aus (a) um die Budgetgerade, die sich ergibt, wenn sich der Preis p B für Gut B auf p B = 8 erhöht! (c) Beschreiben Sie die charakteristischen Gröÿen der Budgetgeraden und ihren Zusammenhang zu Preisen und Einkommen! Aufgabe 3.2: Ursprünglich sieht sich der Konsument der Budgetgeraden p 1 x 1 + p 2 x 2 = M gegenüber. Nun verdoppelt sich der Preis des Gutes 1, der Preis des Gutes 2 wird achtmal, das Einkommen viermal so groÿ. Stellen Sie die neue Budgetgerade auf und stellen Sie beide in einem Diagramm dar! Aufgabe 3.3: Angenommen der Preis eines Gutes x verdreifacht sich und der Preis von Gut y verdoppelt sich, während das Einkommen konstant bleibt. Wenn Sie den Graphen der Budgetlinie zeichnen, so dass das Gut x auf der horizontalen Achse und y auf der vertikalen Achse abgebildet ist, dann ist die neue Budgetgerade: a) acher als die alte und liegt unterhalb? b) acher als die alte und liegt oberhalb? c) so, dass sich die beiden schneiden? d) steiler als die alte und liegt unterhalb? e) steiler als die alte und liegt oberhalb? Aufgabe 3.4: Während ihrer Reise gibt Sonja all ihr Geld für 5 Portionen Spaghetti und 6 Austern aus. Spaghetti kosten 8 GE pro Portion und sie hat insgesamt 82 GE in ihrer Geldbörse. Wenn Sie mit s die Anzahl der Spaghettiportionen bezeichnen und mit a die Zahl der nachgefragten Austern, welche der folgenden Gleichungen beschreibt das Güterbündel, das sie gerade eben noch erwerben kann? a) 8s + 6a = 82 b) 6s + 8a = 82 c) 8s + 7a = 82 d) 5s + 6a = 82 e) Die Angaben in der Aufgabe reichen für eine Antwort nicht aus.

11 Aufgabe 3.5: Erklären Sie folgende Begrie: (a) vollständige Präferenzen (b) transitive Präferenzen (c) monotone Präferenzen (d) streng konvexe Präferenzen Aufgabe 3.6: In der Theorie der Nachfrage werden die Präferenzen von Konsumenten in der Regel durch Nutzenfunktionen dargestellt. (a) Erläutern Sie das Konzept einer Indierenzkurve! Was kann über den Punkt des Güterraumes auf, unterhalb oder oberhalb einer solchen Kurve gesagt werden? (b) Welcher Zusammenhang besteht allgemein zwischen Nutzenfunktion und Indierenzkurven eines Konsumenten? (c) Leiten Sie aus dem Indierenzkurvenkonzept den Begri der 'Substitutionsrate' ab! Aufgabe 3.7: Anna konsumiert die Güter x und y. Ihre Indierenzkurven lassen sich beschreiben durch y = k. Ein höherer Wert von k gehört zu einer x+6 'besseren' Indierenzkurve. Welche Aussage ist korrekt? a) Anna mag Gut y und verabscheut Gut x. b) Anna zieht das Bündel (13,8) gegenüber dem Bündel (8,13) vor. c) Anna zieht das Bündel (7,10) gegenüber dem Bündel (10,7) vor. d) Anna mag Gut x und verabscheut Gut y. e) Mehr als eine der obigen Antworten ist korrekt. Aufgabe 3.8: Bestimmen Sie zu folgenden Nutzenfunktionen die zugehörigen Indierenzkurven und stellen Sie diese graphisch dar: (a) u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 (b) u(x 1, x 2 ) = 2x 1 x 2 (c) u(x 1, x 2 ) = x x 1 x 2 + x 2 2 (d) u(x 1, x 2 ) = x x 2 2 Sind die zugehörigen Präferenzen monoton, konvex, vollständig oder transitiv? Aufgabe 3.9: (a) Wann betrachtet ein Konsument zwei Güter als perfekte Substitute bzw. perfekte Komplemente?

12 (b) Was versteht man unter einem neutralen Gut? (c) Wie sehen jeweils die zugehörigen Indierenzkurven aus? Aufgabe 3.10: Betrachten Sie die beiden folgenden Nutzenfunktionen: u a (x 1, x 2 ) = 2 ln x ln x 2 u b (x 1, x 2 ) = x x (a) Was versteht man unter der Grenzrate der Substitution? (b) Bestimmen Sie die Grenzrate der Substitution für die beiden angegebenen Nutzenfunktionen! (c) Vergleichen Sie die beiden in Teilaufgabe (b) berechneten Grenzraten. Was schlieÿen Sie hieraus bezüglich der beiden Präferenzordnungen? Aufgabe 3.11: a) Was versteht man unter einer Budgetgeraden? Geben Sie eine verbale Denition und formulieren Sie eine Budgetgerade für eine 2- Güter-Welt! b) Beweisen Sie folgende Aussage: "Ein nutzenmaximierender Haushalt wählt stets einen Punkt aus seiner Budgetmenge, der auf der Budgetgeraden liegt." c) Wie passt zu der Aussage in Teilaufgabe b) die Beobachtung, dass viele Individuen in der Realität nicht ihr gesamtes verfügbares Einkommen zum Kauf von Konsumgütern verwenden, sondern einen Teil ihres Einkommens sparen. Stehen Ersparnisse der Haushalte im Widerspruch zur Theorie nutzenmaximierender Haushalte oder ist das Phänomen mit der Theorie erklärbar? Begründen Sie Ihre Antwort, wobei Sie auf die relevante Budgetgerade und eine geeignete Nutzenfunktion bezug nehmen! Aufgabe 3.12: Hugo verfüge über 120 Euro, die er ausschlieÿlich für Bücher (B) und Computer-Spiele (C) ausgebe. Der Preis für ein Buch betrage p B = 3, der für ein Computer-Spiel sei p C = 5. (a) Geben Sie Hugo's Budgetgerade an und zeichnen Sie diese! (b) Wie verändert sich Hugo's Budgetgerade, i. wenn sein Einkommen um 25%steigt? ii. wenn sich der Preis für Bücher verdoppelt? iii. wenn der Preis für Computer-Spiele auf p C = 4 sinkt? Lösen Sie diese drei Fälle getrennt voneinander rechnerisch und zeichnerisch!

13 (c) Welche Mengen wird Hugo in der Situation von (a) kaufen, wenn seine Nutzenfunktion durch u (x B, x C ) = x B x C gegeben ist? (d) Sind Hugo's Präferenzen i. vollständig? ii. transitiv? iii. monoton? iv. konvex? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung!

14 Aufgabenblatt 4 Von Präferenzen zur Nachfrage Aufgabe 4.1: (a) Leiten Sie für eine Nutzenfunktion der Gestalt u(x, y) mit x und y als Mengen zweier Konsumgüter die Bedingungen für ein Nutzenmaximum her! (b) Angenommen der Haushalt habe die Nutzenfunktion u(x, y) = 2x y 0.5 und frage x = 10 und y = 40 nach. Welches Preisverhältnis muss dann gelten? (c) Bestimmen Sie die Preise der beiden Güter, bei denen der in Teilaufgabe (b) beschriebene Haushalt sein Gesamteinkommen von 180 GE gerade in der Form x = 10 und y = 40 aufteilt! Aufgabe 4.2: Es sei u(x 1, x 2, x 3 ) = 2 x 1 x 2 x 3 die Nutzenfunktion eines Individuums. p 1, p 2, p 3 seien die Preise der Güter 1, 2, 3 und M sei das Einkommen. (a) Bestimmen Sie die notwendigen Bedingungen für ein Nutzenmaximum! (b) Bestimmen Sie mit Hilfe der unter (a) ermittelten Bedingungen und der Budgetrestriktion die Nachfragefunktionen x i (p 1, p 2, p 3, M), i = 1, 2, 3! (c) Bestimmen Sie die Einkommenselastizität der Nachfrage x i (p 1, p 2, p 3, M)! Aufgabe 4.3: Die Nutzenfunktion eines Konsumenten sei u(x, y) = x x + 1 y. (a) Bestimmen Sie den Grenznutzen u x bzw. u y und zeigen Sie, dass die Nutzenfunktion monotone Präferenzen repräsentiert! (b) Es sei p x = 8, p y = 6 und M = 120. Bestimmen Sie die optimal nachgefragten Mengen x und y der beiden Güter! (c) Der Preis für Gut x steige auf p x = 15. Folgern Sie aus der Reaktion des Konsumenten, ob es sich bei Gut y um ein Substitut oder um ein Komplement zu Gut x handelt!

15 Aufgabe 4.4: Die Nutzenfunktion eines Konsumenten sei gegeben als u(x, y) = x y. Aufgabe 4.5: Es sei (a) Denieren und interpretieren Sie die Grenzrate der Substitution! Bestimmen Sie diese für obige Nutzenfunktion! (b) Der Konsument verfüge über die Güterbündel (x 1, y 1 ) = (1, 2) resp. (x 2, y 2 ) = (2, 3). Sie bieten ihm nun eine weitere Einheit des Gutes x an. Wieviel Einheiten des Gutes y können Sie von ihm gemäÿ seiner Substitutionsrate jeweils dafür (im Tausch) erhalten? (c) Die Preise für die beiden Güter seien p x = 1 und p y = 5. Welche Nachfrage wird der Konsument äuÿern, wenn sein Einkommen M = 20 beträgt? Würde er seine Nachfrage ändern, wenn ihm das Unternehmen, das x herstellt, anbietet '12 Einheiten von x zum Preis von 11' beziehen zu können? u(x, y, z) = 1 2 ln x ln y ln z die Nutzenfunktion eines Konsumenten. (a) Bestimmen Sie den Grenznutzen für die Güter x, y, und z (Anm.: )! Sind die zugehörigen Präferenzen monoton? (lnx) x = 1 x (b) Ermitteln Sie die Grenzraten der Substitution (GRS) der Güter x und y bzw. x und z! Welchen Wert nehmen die GRS im Nutzenmaximum an, wenn die Preise der Güter p x, p y und p z betragen? (c) Wie lauten die Nachfragefunktionen des Konsumenten für die Güter x, y und z, wenn er sein gesamtes Einkommen M für den Kauf der 3 Güter aufwendet? Aufgabe 4.6: Die Präferenzen eines Konsumenten bezüglich zweier Güter x und y seien durch folgende Nutzenfunktion beschrieben: u(x, y) := x 2 + y 2. (a) Bestimmen Sie die Grenzrate der Substitution zwischen Gut x und Gut y! Welchen Wert nimmt sie für die Güterbündel (3,4) und (6,8) an? (b) Wie lautet die Nachfragefunktion des Konsumenten in Abhängigkeit von den Preisen p x und p y sowie dem Einkommen M? (c) Erläutern Sie anhand des Nutzenmaximierungskalküls eines rationalen Konsumenten welche Auswirkungen auf die Nachfrage eine Währungsumstellung von DM auf Euro hat! Unterstellen Sie zur

16 Vereinfachung einen Kurs von 2 DM zu 1 Euro! Gehen Sie dabei zum einen auf die Budgetbeschränkung, zum anderen auf die Grenzrate der Substitution ein! Aufgabe 4.7: Ein Konsument mit der Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x 2 1 x 2 verfüge über das Einkommen M = 90. (a) Bestimmen Sie die Nachfragefunktionen für die beiden Güter in Abhängigkeit von den Preisen p 1 und p 2! (b) Zeigen Sie, indem Sie die Preiselastizität der Nachfrage nach einem der beiden Güter berechnen, dass die Güter isoelastisch nachgefragt werden! (c) In welchem Verhältnis teilt der Konsument sein Einkommen für Käufe der beiden Güter auf (siehe Teil (a))? Leiten Sie daraus die Engel-Kurven für die beiden Güter ab und bestimmen Sie deren Status als `inferior' oder `superior'! (d) Welchen Einuss auf das Nachfrageverhalten des Konsumenten hätte eine Verdopplung des Preises p 1? Wie würden die Engel-Kurven nun lauten? Aufgabe 4.8: Ein Haushalt kann zu einem Lohnsatz w = 4 arbeiten, um sich ein Konsumgut x zu kaufen. Er schätzt als weiteres Gut 'Freizeit' y gemäÿ der Nutzenfunktion u(x, y) = x y + 2y. (a) Wie lautet die Budgetgleichnung des Haushaltes, wenn er maximal L = 15 Stunden arbeiten kann und der Preis des Konsumgutes p x = 2 beträgt? (b) Wie lange wird ein nutzenmaximierender Haushalt arbeiten? Welchen Konsum an x, wieviel Freizeit fragt er nach? (c) Was beschreibt die Substitutionsrate zwischen x und y? Welchen Wert hat sie für diesen Haushalt im Nutzenmaximum? Warum wählt der Haushalt gerade diesen Wert? Aufgabe 4.9: Ein Haushalt habe die Nutzenfunktion u(x, y) = (x + 1) 1 2 (y + 1) 1 2

17 und er gebe sein Einkommen M vollständig für den Kauf der beiden Güter aus. (a) Bestimmen Sie die Nachfragefunktionen des Haushaltes für die beiden Güter in Abhängigkeit von Preisen und Einkommen! (b) Bestimmen Sie die nachgefragte Menge, falls p x = 10, p y = 17, M = 143 ist! (c) Durch eine Steuererhöhung steigt der Preis für Gut y auf p y = 20. Gleichzeitig erhöht sich das Einkommen auf M = 150. Wie wirkt sich das auf den Konsumenten aus? Wird er dadurch besser/schlechter gestellt oder ist er indierent?

18 Aufgabenblatt 5 Zusammenfassung Haushaltstheorie Aufgabe 5.1: Eine Studentin habe folgende Nutzenfunktion: u(x, y) = (5x x2 4 ) + y, wobei x für das Gut 'öentliche Transportleistung' und y für ein (zusammengesetztes) Konsumgut (p y = 1) steht. Ihr Einkommen betrage M = 600. (a) Charakterisieren Sie monotone Präferenzen! Sind die durch obige Nutzenfunktion dargestellten Präferenzen monoton? (Begründung!) Berechnen Sie die Nachfragefunktion für Gut x : x D (p x, 1)! (b) Wieviel von Gut x würde die Kommilitonin nachfragen, wenn sie das Gut in beliebiger Höhe kostenlos konsumieren kann (p x = 0)? Wieviel würde die Studentin für das Gut x ausgeben, wenn der Preis p x = 2 beträgt? (c) Sei nun p x = 2. Eine Monatskarte, mit welcher sie beliebig viele Fahrten durchführen kann, wird für 15 Euro angeboten. Wird die Studentin diese Monatskarte kaufen? Aufgabe 5.2: Alle Konsumenten einer Ökonomie haben identische Präferenzen u(x, y) = x y für Benzin (x) und öentliche Verkehrsmittel (y). (a) Die Preise seien p x, p y, das Einkommen M. Wie lauten die Nachfragefunktionen nach den Gütern x und y? (b) Ausgangspunkt sei p x = p y. Wie ändert sich die Nachfrage nach x bzw. y, wenn der Staat eine 50%ige Mineralölsteuer einführt (p x = ( ) p 100 x), die sich nur auf den Benzinpreis auswirkt? Wie hoch sind die daraus resultierenden Steuereinnahmen? (c) Nun sollen die Einnahmen zur Gänze über eine Subvention öffentlicher Verkehrsmittel in der Höhe von 25% rückverteilt werden (p y = (1 25 ) p 100 y). Stellt sich der Konsument dadurch besser/schlechter, oder ist er indierent gegenüber der Situation ohne Staatseingri?

19 Aufgabe 5.3: Ein Konsument habe die Nutzenfunktion u(x, y) = x y und das Einkommen M, so dass seine Nachfragefunktionen nach den beiden Gütern x D (p x, p y, M) = M und y D (p x, p y, M) = M lauten. 2 p x 2 p y (a) Welche Nachfrage äussert der Konsument bei Preisen p x = 3, p y = 1.5 und Einkommen M = 600? Welchen Nutzen realisiert er dabei? (b) Der Preis von y steige nun auf p y = 6! Welche Mengen fragt er nun nach, welchen Nutzen realisiert er? (c) Zerlegen Sie die Nachfrageänderung nach Gut y in einen Substitutionsund einen Einkommenseekt! Berechnen Sie dazu das Einkommen M, das nötig wäre, um den Konsumenten trotz der Preiserhöhung auf demselben Nutzenniveau wie zuvor zu belassen! Wie hoch wäre seine Nachfrage nach y bei diesem Einkommen? (d) Geben Sie eine graphische Darstellung dieser Nachfrageänderung an, indem Sie die Budgetmengen und Nachfragepunkte der `Daten' zueinander in Beziehung setzen! (p x, p y, M) = (3, 1.5, 600) (p x, p y, M) = (3, 6, 600) und (p x, p y, M ) = (3, 6, M ) Aufgabe 5.4: Der kleine Ronnie ist Stammgast bei dem Fast-Food-Restaurant Mc- Mickey's, wo er immer sein Lieblingsgericht Pommes mit Ketchup bestellt. Für jede Portion Pommes braucht er zwei Tütchen Ketchup. Pommes ohne Ketchup bringen ihm keinen Nutzen und Ketchup ohne Pommes natürlich auch nicht. (a) Zeichnen Sie Ronnie's Indierenzkurven für Pommes (P) und Ketchup (K)! Wie könnte die zugrunde liegende Nutzenfunktion aussehen? In welcher Beziehung stehen die beiden Güter zueinander? (b) Nehmen Sie an, eine Portion Pommes kostet 2 Euro, während ein Tütchen Ketchup 0,50 Euro kostet. Ronnie hat 12 Euro Taschengeld, dass er für Essen bei McMickey's ausgeben will. Welche Mengen an Pommes und Ketchup wird Ronnie nachfragen?

20 (c) Der Preis für Ketchup sei nun auf 1 Euro pro Tütchen gestiegen. Wie sieht Ronnie's neue Nachfrage nach Pommes und Ketchup aus? Zerlegen Sie die Nachfrageänderung nach Ketchup in einen Substitutions- und einen Einkommenseekt! (d) Sind Ronnie's Präferenzen monoton und konvex? Begründen Sie jeweils Ihre Antwort! Aufgabe 5.5: Sie benden sich im Jahre X. Ihre Nachfragefunktion (in Liter) nach Benzin (in Abhängigkeit von Ihrem Einkommen M) beträgt x = 10 + M 10p, der Benzinpreis liegt bei p = 2 (Euro je Liter). (a) Der Finanzminister (Herr Steinbrück) ist in Finanznöten und erwirkt eine Mineralölsteuererhöhung, die p auf 3 (Euro je Liter) für die Konsumenten erhöht. Sei M = 120. Um wieviel Liter ändert sich ihre Nachfrage aufgrund der Preiserhöhung? (b) Zerlegen Sie Ihre Nachfrageänderung in einen Substitutions- und Einkommenseekt, indem Sie zunächst berechnen, um wieviel Ihr Einkommen steigen müsste, um Ihnen den Konsum vor Steuererhöhung weiter zu sichern, und anschlieÿend Ihre Nachfrage bei diesem Einkommen ermitteln! Aufgabe 5.6: Die kleine Nina mag Schokolade und Gummibärchen. Für Sie sind 2 Tüten Gummibärchen zusätzlich immer gleich gut wie eine Tafel Schokolade zusätzlich. (a) Erläutern Sie den Begri der Indierenzkurve! Stellen Sie Ninas Indierenzkurven für Schokolade und Gummibärchen dar! Handelt es sich bei diesen Gütern für Nina um Substitute oder Komplemente? (b) Der Preis für eine Tafel Schokolade sei 1 Euro, auch 4 Tüten Gummibärchen kosten 1 Euro. Sie hat insgesamt 10 Euro zur Verfügung und beschlieÿt, diese vollständig für den Süssigkeitenkonsum auszugeben. Ermitteln Sie graphisch die nutzenmaximale Nachfrage! (c) Der Preis für Gummibärchen vervierfacht sich. Wie ändert sich ihre Nachfrage? Wie wirken in dieser Situation Einkommens- und Substitutionseekt?

21 Aufgabe 5.7: Die Nachfragefunktionen eines Konsumenten nach den beiden Gütern 1 und 2 seien gegeben durch f1 D = x 1 (p 1, p 2, M) = M p 2 2p 1, f2 D = x 2 (p 1, p 2, M) = M p 2 2p (a) Wie ändert der Konsument sein nachgefragtes Güterbündel in Reaktion auf eine Preiserhöhung (ceteris paribus) (i) für Gut 1? (ii) für Gut 2? (b) Handelt es sich bei den Gütern um inferiore oder superiore Güter? (c) Was sind Engel-Kurven? Wie lauten sie für die beiden obigen Güter? (d) Zeigen Sie, dass es sich bei Gut 1 um ein 'Luxusgut' handeln muss! Aufgabe 5.8: Die Nachfragefunktionen eines Konsumenten nach den Gütern 1 und 2 lauten: f1 D M (p 1, p 2, M) = und f D 2M 2 (p 1, p 2, M) =. p 1 + 2p 2 p 1 + 2p 2 (a) Ermitteln Sie die Kreuzpreiselastizitäten! Handelt es sich dabei um Substitute oder Komplemente? (b) Nehmen Sie eine Preiserhöhung für p 1 an. Welche Aussagen können Sie aus der Nachfragefunktion hinsichtlich Substitutions- und Einkommenseekt treen? (c) Wie lauten die Engel-Kurven für Gut 1 und 2, wenn p 1 = 2 und p 2 = 3? Nehmen Sie an, dass sich das Einkommen des Konsumenten verdoppelt (auf 2 M). Wie verändern sich die Ausgaben des Konsumenten für Gut 1? Aufgabe 5.9: Der Student Karl konsumiere bevorzugt Vanilleeis (V ) mit Schlagsahne (S). Seine Nutzenfunktion habe die Form U = min(2x V, 3x S ). Daraus lässt sich ableiten, dass seine Nachfragefunktionen für diese beiden komplementären Güter lauten. x D V = 3M 3p V + 2p S und x D S = 2M 3p V + 2p S a) Angenommen der Preis für eine Einheit Vanilleeis p V liege bei 1 und der Preis für eine Einheit Schlagsahne p S liege bei 2. Karls Einkommen betrage M = 700. Welche Mengen von Vanilleeis und Schlagsahne wird Karl nachfragen? Welches Nutzenniveau erreicht er?

22 b) Wie ändern sich die nachgefragten Mengen nach beiden Gütern, wenn der Preis für Vanilleeis auf p V = 2 steigt? Wie lautet sein Nutzen? c) Welches Einkommen M müsste Karl erhalten, um nach der Preiserhöhung dasselbe Nutzenniveau zu erhalten wie vorher? Wie sieht die Zerlegung der Nachfrageänderung nach Vanilleeis in Substitutionsund Einkommenseekt aus? Erklären Sie insbesondere den Wert für den Substitutionseekt! d) Was sind Engel-Kurven? Wie lauten diese für die in a) angenommenen Güterpreise?

23 Aufgabe 6.1: Aufgabenblatt 6 Produktionstheorie (a) Was versteht man unter einer Technologie? Inwiefern kann man die Konvexitätsannahme begründen? (b) Stellen Sie den Begri der Produktionsfunktion als Ergebnis eines Optimierungsprozesses dar! (c) Erläutern Sie die Annahmen der linearen Aktivitätsanalyse: i. Proportionalität ii. Additivität iii. Konvexität (d) Ein Unternehmen habe unter Einsatz von Arbeit l und Kapital k die folgenden Aktivitäten F (l, k) = x zur Auswahl: F (1, 4) = 3, F (4, 5) = 6, F (4, 1) = 2. Die Annahmen der linearen Aktivitätsanalyse seien erfüllt. Ermitteln Sie die Menge der Input-Kombinationen, mit welchen gerade ein Outputniveau von 6 (12) realisiert werde kann und stellen Sie diese Isoquanten graphisch dar! Aufgabe 6.2: Die folgenden fünf Aktivitäten erzeugen alle eine Mengeneinheit desselben Produktes: Aktivität Faktoreinsatz Kapital Arbeit (Maschinenstunden) (Arbeitsstunden) P P P P P P (a) Zeichnen Sie alle obigen Aktivitäten in eine Abbildung! Bestimmen Sie anhand der Abbildung die inezienten Aktivitäten unter der Annahme, dass die Aktivitäten beliebig miteinander kombiniert werden können (d.h. die Konvexitätsannahme ist erfüllt)! Beschränken Sie sich sodann auf die ezienten Aktivitäten und identizieren Sie die Isoquante zur Produktionsmenge Eins!

24 (b) Geben Sie für eine Bewegung von jeweils einem ezienten Prozess zum nächsten die Substitutionsrate zwischen Arbeit und Kapital an! (Tipp: Nehmen Sie die Abbildung aus (a) zur Hilfe!) (c) Ermitteln Sie das Grenzprodukt der Arbeit, wenn bei einer exogenen, d.h. fest vorgegebenen Maschinenkapazität von 96 Maschinenstunden, der Arbeitseinsatz von 36 auf 80 Arbeitsstunden erhöht wird! (Auch hier ist die Abbildung aus (a) hilfreich). Aufgabe 6.3: Gegeben sei die Produktionsfunktion F (l, k) = min(l 2, k 2 ). a) Zeichnen Sie die Isoquanten zu den Produktionsmengen 1, 4 und 9 in ein Diagramm! Wie nennt man Technologien mit derart verlaufenden Isoquanten? Welche (technische) Substitutionsbezeichnung wird durch eine Produktionsfunktion des Typs y = min(l, K) ausgedrückt? Geben Sie ein Beispiel für eine derartige Technologie! b) Denieren Sie den Begri 'Skalenerträge' und interpretieren Sie diese! Weist die Produktionsfunktion F (l, k) = min(l 2, k 2 ) abnehmende, konstante oder steigende Skalenerträge auf? Begründen Sie Ihre Antwort! c) Der Kapitaleinsatz sei kurzfristig konstant, d.h. k = k 0 = 5. Bestimmen Sie die partielle Produktionsfunktion des Faktors Arbeit! Unterscheiden Sie hierzu die Fälle l 5 und l > 5! Stellen Sie die partielle Produktionsfunktion graphisch dar! Ermitteln Sie für beide Fälle die jeweilige Grenzproduktivität des Faktors Arbeit! Aufgabe 6.4: Die Produktionsfunktion eines Unternehmens sei F (l, k) = l 1 2 k 1 2, wobei l für die eingesetzte Menge an Arbeit und k für das eingesetzte Kapital steht. (a) Was versteht man unter einer partiellen Produktionsfunktion? (b) Stellen Sie die partielle Produktionsfunktion für den Faktor Arbeit graphisch dar (k = 1)! Tragen Sie in diese Abbildung zusätzlich folgende zwei Produktionspläne A und B ein: In A wird mit l = 4 ein Output von y = 1 hergestellt, wohingegen in B mit l = 1 y = 2 produziert wird. Welche Aussagen können Sie bezüglich dieser beiden Produktionspläne im Vergleich mit der durch obige Produktionsfunktion dargestellten Technologie treen? Aufgabe 6.5: Gegeben sei die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion F (l, k) = c l α k 1 α.

25 (a) Berechnen Sie das Grenzprodukt des Faktors Arbeit F l! Wie ändert sich das Grenzprodukt, wenn der Faktoreinsatz Arbeit (l) steigt? (b) Inwiefern lässt sich α als 'Elastizität' interpretieren? (c) Es sei α = 1. Ermitteln Sie die Grenzproduktivität des Faktors 4 Kapital! Wie ändert sich die Grenzproduktivität, wenn der Faktor Arbeit (bei unverändertem Kapitaleinsatz) / der Faktor Kapital (bei unverändertem Arbeitseinsatz) erhöht wird? Aufgabe 6.6: Angenommen die Produktionsfunktion eines Unternehmens sei gegeben durch F (x 1, x 2 ) = x x 2 3 2, wobei x 1 und x 2 die Mengen zweier Produktionsfaktoren sind. (a) Was versteht man unter Genzerträgen? Wie entwickeln sich diese im obigen Fall? (b) Erklären Sie den Begri Skalenerträge! Welche Ausprägung nehmen diese für die obige Produktionsfunktion an? Aufgabe 6.7: Der Automobilkonzern Nixon produziert das Modell ßpiegelmit Hilfe der Produktionsfaktoren Arbeit (l) und Kapital (k), wobei folgende Produktionsfunktion gilt: F (l, k) = 6 l k 5. (a) Weist die Produktionsfunktion steigende, fallende oder konstante Skalenerträge auf? (b) Zeigen Sie wie der Exponent 2 in der Produktionsfunktion ökonomisch interpretiert werden 5 kann! (c) Der Konzern sieht sich den Faktorpreisen w=64 (Lohnsatz) und r=3 (Kapitalzins) gegenüber. In welchem Verhältnis sollten Arbeit und Kapital eingesetzt werden? Wieviele Autos können mit einem Budget von GE produziert werden? (d) Bestimmen Sie die Grenzproduktivität der Arbeit und des Kapitals sowohl allgemein als auch für die in (c) gegebene Situation. Wie verändert sich (bei der allgemeinen Betrachtung) die Grenzproduktivität der Arbeit, wenn das Arbeitsniveau steigt? Aufgabe 6.8: Ein Unternehmen produziere mit der Produktionsfunktion F (l, k, m) = l 1 2 k 1 3 m 1 3 m 7 6, wobei l, k und m die Produktionsfaktoren Arbeit, Kapital und Organisationsgrad (in dieser Reihenfolge) bezeichnen.

26 (a) Bestimmen Sie, ob es sich bei obiger Produktionsfunktion um eine homogene Produktionsfunktion handelt und geben Sie ggf. den Homogenitätsgrad an! (b) Weist obige Funktion steigende, konstante oder fallende Skalenerträge auf? (c) Bestimmen Sie den Verlauf der Grenzproduktivitäten für die Produktionsfaktoren Arbeit und Kapital! (d) Begründen Sie: Eine Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen weist fallende Grenzerträge der Faktoren auf! Aufgabe 6.9: Die Untersuchung der partiellen Produktionsfunktion des Faktors Arbeit l auf einem Bauernhof hat folgende Messungen ergeben: Einsatzmenge Gesamtoutput Grenzprodukt Durchschnittsprodes Faktors l Getreide (in t) des Faktors l dukt des Faktors l 3 nicht bekannt (a) Vervollständigen Sie die obige Messtabelle! D.h. ersetzen Sie jeden Punkt durch den entsprechenden (eindeutig bestimmten) Wert! Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! (b) Erklären Sie, warum bei steigender Einsatzmenge eines Faktors das Grenzprodukt eher zu sinken beginnt als das Durchschnittsprodukt! (c) Erklären Sie, warum bei steigender Einsatzmenge eines Faktors das Durchschnittsprodukt eher zu sinken beginnt als der Gesamtoutput!

27 Aufgabe 6.10: Ein Unternehmen produziere mit der Produktionsfunktion F (l, k) = l 1 2 k 1 2 mit l = Arbeit, k = Kapital. (a) Denieren Sie den Begri '(technische) Grenzrate der Substitution' (GRS) und ermitteln Sie deren Wert im Gewinnmaximum, falls die Faktorpreise w = 24 und r = 6 betragen! (b) Welche Faktormengen fragt das Unternehmen nach, wenn die Outputmenge x = 100 produziert werden soll? (c) Welchen Preis muss das Unternehmen für seinen Output erzielen, um keine Verluste zu machen? (d) Aufgrund technischen Fortschritts verändere sich die Produktionsfunktion zu F (l, k) = 2 l k 2. Welchen Einuss hat dies auf die (Grenz-) Produktivität der beiden Faktoren? Aufgabe 6.11: Die Produktionsfunktion Ihres Unternehmens sei wie folgt gegeben: F (l, k) = { k l 10 falls 1 > 10 0 sonst a) Erklären Sie den Begri Skalenerträge! Bestimmen Sie die Art der Skalenerträge für obige Produktionsfunktion! b) Bestimmen Sie das Grenzprodukt des Faktors Arbeit (l) und das des Faktors Kapital (k) für einen Arbeitseinsatz l > 10! Wie ändern sich diese beiden Grenzprodukte jeweils bei zunehmendem Kapitaleinsatz? (Begründen Sie Ihre Antwort!) c) Denieren Sie den Begri der (technischen) Grenzrate der Substitutuion (GRS) formal! Welchen ökonomischen Zusammenhang beschreibt sie? d) Ermitteln Sie die GRS für die Faktoreinsatzmengen (l, k) = (26, 8)! Angenommen die Faktorpreise wären w = 40 und r = 60. Würde die zu (l, k) = (26, 8) gehörige Produktionsmenge kostenminimal produziert werden? In welche Richtung müssten die Faktoreinsatzmengen ggf. korrigiert werden, um die gleiche Produktionsmenge kostenminimal zu produzieren?.

28 Aufgabenblatt 7 Kostenfunktionen Aufgabe 7.1: (a) Was verstehen Sie unter einer Minimalkostenkombination bzw. durch welche Bedingung ist eine solche gekennzeichnet? (b) Zeigen Sie, dass die notwendige Bedingung für eine Minimalkostenkombination im Falle der Cobb-Douglas Produktionsfunktion lautet: r w = β l α k (Hinweis: Verwenden Sie den Lagrange-Ansatz!) Aufgabe 7.2: Ein Unternehmen habe folgende Produktionsfunktion: F (l, k) = (l k 1 2 ) 2. (a) Was versteht man unter Skalenerträgen (SE) und welchen Wert nehmen sie für obige Produktionsfunktion an? (b) Sie wollen einen Output von x = 144 produzieren. Mit welchen Kosten müssen Sie rechnen, wenn der Preis für den Input l (Arbeit) w = 5 und für den Input k (Kapital) r = 1 beträgt? (c) Schlieÿen Sie aus Ihren Antworten aus (a) und (b) auf die Kostenfunktion des Unternehmens! Aufgabe 7.3: Die Technologie eines Unternehmens sei beschrieben durch folgende Produktionsfunktion: F (l, k) = l 2 k 2. (a) Weist die Technologie steigende, konstante oder fallende Skalenerträge auf? (b) Die Kapitalausstattung des Unternehmens sei kurzfristig x bei k = k 0 = 10. Ermitteln Sie die kurzfristige Kostenfunktion in Abhängigkeit von den Inputpreisen w und r! (c) Angenommen das Unternehmen möchte eine gegebene Menge y langfristig zu möglichst geringen Kosten herstellen. Formulieren Sie dieses Problem mathematish und geben Sie die Lösung an! (d) Angenommen es handelt sich um eine Produktionsabteilung eines Groÿunternehmens. Dieser Abteilung wird regelmäÿig ein xes Budget für Faktoreinkäufe zur Verfügung gestellt. Modellieren Sie nun die Situation dieser Abteilung, wenn Sie unterstellen, dass diese mit

29 gegebenem Budget eine möglichst groÿe Outputmenge produzieren will. Wie unterscheidet sich die Lösung dieses Problems von der aus Teilaufgabe (c)? Aufgabe 7.4: Gegeben ist die folgende Produktionsfunktion in den beiden Faktormengen l und k: F (l, k) = l 0.25 k Die zugehörigen Faktorpreise seien w und r. (a) Weist die Technologie steigende, fallende oder konstante Skalenerträge auf? (b) Was schlieÿen Sie aus diesem Ergebnis der Teilaufgabe (a) im Hinblick auf den Verlauf der langfristigen Kostenfunktion? (c) Welche Mengen der beiden Produktionsfaktoren wird das Unternehmen nachfragen, wenn es y Einheiten des Endproduktes herstellen möchte? Aufgabe 7.5: Die Produktionsfunktion eines Unternehmens betrage F (l, k) = l 1 2 k , wobei der Output nur positive Werte annehmen kann. (a) Was versteht man unter Skalenerträgen (SE) und wie sehen diese bei obiger Produktionsfunktion aus? (b) Es sei w = 16 und r = 8. Wie lautet die Minimalkostenkombination, um einen Output von x zu produzieren? (c) Zeichnen Sie Grenz- und Durchschnittskostenkurve und interpretieren Sie Ihr Resultat aus (a) anhand deren Verlauf. Aufgabe 7.6: (a) Was versteht man unter Grenzkosten, was unter Durchschnittskosten? Skizzieren und begründen Sie deren Verlauf! (b) Angenommen ein Unternehmen gibt Ihnen die Information seine Kostenfunktion wäre K(y) = ay + b. Das Unternehmen sagt ferner, es arbeite mit konstanten Skalenerträgen. Was versteht man darunter? Was schlieÿen Sie daraus bezüglich der angegebenen Kostenfunktion? Geben Sie die langfristige und die kurzfristige Durchschnittskostenfunktion dieses Unternehmens an! (c) Was ist der Unterschied zwischen einer langfristigen Kostenfunktion LK(y) und einer kurzfristigen Kostenfunktion KK(y)? Wann gilt LK(y) KK(y)? Begründen Sie Ihre Aussage!

30 Aufgabe 7.7: Ein Unternehmer, dessen Produktionsfunktion konstante Skalenerträge aufweist, hat folgende kurzfristige Durchschnittskostenfunktion KDK(x) = x x. (x = Output) (a) Zeigen Sie den Verlauf dieser KDK-Funktion (oder der zugehörigen kurzfristigen Kostenfunktion KK(x)) auf und ermitteln Sie sodann die langfristige Kostenfunktion LK(x)! Welcher Zusammenhang zwischen der langfristigen Kostenfunktion LK(x) und der Produktionsfunktion eines Unternehmens besteht allgemein? (b) Obige KDK-Funktion ist entstanden durch sogenannte partielle Faktorvariation. Was versteht man darunter? Impliziert der betrachtete Fall konstante, fallende oder steigende Grenzproduktivität des variablen Faktors? (c) Könnte das Unternehmen (langfristig) in einem Markt bestehen, in dem es seinen Output zum Preis p = 5 verkaufen könnte? Aufgabe 7.8: Ihr Unternehmen biete auf einem Wettbewerbsmarkt Schuhe an. Sie wissen, dass Ihre Kostenfunktion die Form K(x) = ax 2 + bx + c hat. Auÿerdem haben Sie festgestellt, dass bei der Produktion von 18 Paar Schuhen Durchschnittskosten in Höhe von 40 GE, durchschnittliche variable Kosten in Höhe von 36 GE und Grenzkosten in Höhe von 72 GE entstehen. (a) Erläutern Sie die Begrie Durchschnittskosten, durchschnittliche variable Kosten und Grenzkosten! Wie sehen die Formeln für diese Begrie für eine Kostenfunktion der Form K(x) = ax 2 +bx+c aus? (b) Leiten Sie die exakte Kostenfunktion Ihrer Schuhfabrik aus den oben genannten Werten her! (c) Stellen Sie Funktionen der Durchschnittskosten, der durchschnittlichen variablen Kosten und der Grenzkosten graphisch dar! Interpretieren Sie insbesondere den Schnittpunkt der Durchschnittskostenund der Grenzkostenkurve! (d) Welcher Preis für ein Paar Schuhe müssten Sie am Markt mindestens erzielen können, um keinen Verlust zu machen? Aufgabe 7.9: Im allgemeinen wird im Rahmen der Mikrotheorie unterstellt, dass Produktionsfunktionen homogen vom Grade r = 1 sind, also konstante Skalenerträge aufweisen. Angenommen diese Voraussetzung würde verletzt und es würde unterstellt, der Homogenitätsgrad sei r < 1.

31 (a) Welche Konsequenzen hätte dies für den Verlauf von K(x), GK(x) und DK(x)? (b) Kann sich angesichts der unter (a) ermittelten Kostenverläufe ein Wettbewerbsmarkt einstellen? Aufgabe 7.10: Ein gewinnmaximierendes Unternehmen produziere Sandalen (Anzahl der Paare : x) mit der Kostenfunktion K(x) = 2 x (a) Bestimmen Sie die Grenz- und Durchschnittskostenfunktion und fertigen Sie eine Skizze ihrer ungefähren Verläufe an! Ermitteln Sie insbesondere den Schnittpunkt der beiden Kurven und erläutern Sie seine Bedeutung! (b) Formulieren Sie die Gewinnfunktion des Schuhherstellers, wenn der Marktpreis für Sandalen p beträgt! Ermitteln Sie sodann die Angebotsfunktion, indem Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge in Abhängigkeit von p bestimmen! (c) Welcher Zusammenhang ergibt sich zwischen Grenzkostenkurve (Teil (a)) und Angebotsfunktion (Teil (b))? Welches Angebot würde die Firma wählen, wenn der Sandalenpreis durch staatliche Preiskontrolle auf p = 24 festgesetzt würde? Aufgabe 7.11: Die Kostenfunktion eines Unternehmens lautet K(x) = x 2 + 5x (a) Ermitteln Sie die Angebotsfunktion dieses Unternehmens unter der Marktform `vollkommener Wettbewerb'! (b) Welche Menge x würde das Unternehmen bei einem Preis von p = 19 anbieten? Wie groÿ wäre sein maximaler Gewinn? Wie würde sich sein Gewinn ändern, wenn der Preis auf p = 27 steigt? (c) Die Marktnachfragefunktion sei durch f D (p) = 90 2 p gegeben. Wieviele identische Unternehmen mit obiger Kostenstruktur könnten auf diesem Markt höchstens bestehen? Aufgabe 7.12: Nehmen Sie an, die Kostenfunktion eines Unternehmens mit neoklassischer Produktionsfunktion lautet: K(x) = x (a) Wie lautet die zugehörige Grenzkostenfunktion, wie die Durchschnittskostenfunktion? Stellen Sie diese beiden Funktionen in einer Graphik dar!

32 (b) Unter vollkommenem Wettbewerb hat sich ein Marktpreis für das Outputgut von p = 6 Euro gebildet. Welche Menge würde das Unternehmen anbieten? Macht das Unternehmen dann Gewinn oder Verlust? Markieren Sie den Gewinn bzw. den Verlust in Ihrer Zeichnung! (c) Handelt es sich bei der oben gegebenen Funktion um eine langfristige oder um eine kurzfristige Kostenfunktion? Begründen Sie ihre Antwort! (d) Welche Entwicklung bezüglich der Durchschnittskosten und der Anzahl der im Markt aktiven Untenehmen prognostizieren Sie aufgrund der zuvor abgeleiteten Ergebnisse? Aufgabe 7.13: Die Kostenfunktion eines Unternehmens laute K(x) = x (a) Das Unternehmen erwägt, seine Produktion von 5 auf 6 Einheiten des Outputs auszudehnen. Welche zusätzlichen Kosten entstehen? Wie hoch wären diese, wenn die Produktion von 1 auf 2 Einheiten ausgedehnt wird? Erklären Sie den Zusammenhang beider Ergebnisse! (b) Was versteht man unter der Gewinnschwelle des Unternehmens? (c) Bestimmen Sie die Gewinnschwelle für obige Kostenfunktion und stellen Sie Grenz- und Durchschnittskostenfunktion graphisch dar! (d) Ermitteln Sie den gewinnmaximierenden Output zum Marktpreis p = 3! Wie groÿ ist der zu erzielende Gewinn? Aufgabe 7.14: John verkauft Hot Dogs im New Yorker Central Park. Jeder Hot Dog besteht aus einem Würstchen und einem Brötchen. Um in den Park zu kommen, muss John jeden Tag 80 Cent für ein U-Bahn-Ticket bezahlen. Ein Rückfahrticket kostet ebenfalls 80 Cent. Auÿerdem bezahlt er für ein Brötchen 20 Cent und für ein Würstchen 36 Cent. Nicht verkaufte Brötchen und Würstchen kann John abends zurückgeben und muss sie nicht bezahlen. Da John auÿerdem ein Mensch ist, der Stress scheut, muss er mit zusätzlichen Anstrengungskosten rechnen, die (in Cent gerechnet) quadratisch mit der Zahl der verkauften Hot Dogs steigen. a) Wie sieht John's Kostenfunktion aus? Wie sehen seine Grenz- und Durchschnittskostenfunktionen aus? b) Unter den Hot-Dog-Verkäufern im Central Park hat sich ein Marktpreis von einem Dollar (100 Cent) für einen Hot Dog eingestellt,

33 den auch John verlangt. Wie viele Hot Dogs muss John mindestens verkaufen, damit es sich für ihn lohnt, in den Park zu fahren? c) Wie sieht für einen gegebenen Hot-Dog-Preis p John's Gewinnfunktion aus? Wie lautet seine gewinnmaximale Ausbringungsmenge in Abhängigkeit vom Preis p?

34 Aufgabenblatt 8 Wettbewerb vs. Monopol Aufgabe 8.1: Erklären Sie den Unterschied zwischen dem Verhalten eines Monopolisten und einer Unternehmung im Wettbewerb! Welche Auswirkung hat dies auf die Optimalitätsbedingung (Grenzerlös (GE) = Grenzkosten (GK))? (a) Ein Monopolist habe die Kostenfunktion K(x) = 10 x + 1. Die Nachfrage sei linear gegeben durch x D = f D (p) = p. Wie lautet die gewinnmaximale Ausbringungsmenge? Welches ist der zugehörige Gleichgewichts-Preis? (b) Warum können viele kleine Unternehmen mit obiger Kostenfunktion im vollständigen Wettbewerb nicht bestehen? Aufgabe 8.2: Ein Monopolist sieht sich der Preisabsatzfunktion p(x) = x gegenüber und hat einheitliche Grenzkosten in Höhe von 40 GE und xe Kosten in Höhe von 400 GE. (a) Wie lautet die Kostenfunktion des Monopolisten? (b) Welche Ausbringungsmenge sollte der Monopolist wählen, wenn er seinen Gewinn maximieren möchte? (c) Aufgrund der europäischen Integrationsvereinbarungen könnte sich der Monopolist einen neuen Markt erschlieÿen, in dem die Preisabsatzfunktion p = 30 x gilt. Zu welcher Produktionsmenge (für diesen Markt) würden Sie dem Monopolisten raten? Aufgabe 8.3: Betrachten Sie einen Markt mit inverser Nachfrage p(x) = 70 3 x und einer Produktionsfunktion mit konstanten Grenz- und Durchschnittskosten: GK = DK = 10. (a) Berechnen Sie Preis, Menge und die resultierende Konsumentenrente bei vollkommenem Wettbewerb! (b) Berechnen Sie Preis, Menge, Konsumentenrente und unternehmerischen Gewinn bei monopolistischem Angebot!