Theoretische Elektrodynamik

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1 Vorlesungszusammenfassung bei Herrn Prof.Dr. Lein Theoretische Elektrodynamik erstellt von: Daniel Edler

2 II Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Vorbereitung Dirac sche Deltafunktion Eindimensional Mehrdimensional Felder und Differentialoperatoren Ableitungen von Feldern Nabla Kalkül Laplace Operator Flächenintegral/Fluss Integralsätze Integraldarstellung der Divergenz und Gauß scher Satz Gauß scher Satz Stoke scher Satz Elektrostatik Die elektrische Ladung Die elektrische Feldstärke Maxwellsche Gleichung/Gauß scher Satz Elektrostatisches Potential Maxwellsche Gleichung Potential als Linienintegral Homogen geladene Kugel Unendlich homogen geladene Ebene Potential für z > elektrische Leiter Verhalten des Feldes and der Oberfläche Eigenschaften des Potentials Randwertprobleme Einführendes Beispiel: Bildladung Problemstellung und Eindeutigkeit Arten von Randbedingungen Green scher Satz & Green sche Funktion Green sche Funktion in R Green sche Funktion und Bildladung Entwicklung nach orthogonalen Funktionen Trennung der Variablen/Methode der Separation Der elektrische Dipol Das elektrische Feld des Dipols Die elektrostatische Energie Wechselwirkung zwischen zwei Ladungsverteilungen Klassischer Elektronenradius Kugelflächenfunktion Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten Potential einer Punktladung in Kugelkoordinaten sphärische Multipolentwicklung

3 Inhaltsverzeichnis III 3 Magnetostatik Grundlagen/-begriffe Ladungserhaltung Das Amperèsche Gesetz Biot-Savartsches Gesetz Verallgemeinerung auf kontinuierliche Stromverteilungen Vektorpotential Eigenschaften Eichungen Ampersches Druchflutungsgesetz Magnetisches Moment Pseudovektoren Fouriertransformation Fourierdarstellung der Delta-Funktion Dreidimensionale Transformation Ableitung mittels Fouriertransformation Anschauliche Bedeutung Statische Felder in Materie Elektrostatik in Materie Spezialfälle Elektrostatische Energie Magnetostatik in Materie Magnetfelder an Grenzflächen Elektrodynamik Faradaysches Induktionsgesetz Maxwellscher Verschiebungsstrom Potentiale Wichtige Eichungen Differentialgleichungen für die Potentiale Coulomb-Eichung Lorenz-Eichung Feldenergie und Poynting-Vektor Feldimpuls Elektromagnetische Wellen Anmerkungen zum Rechnen mit komplexen Feldern Energiedichte für ebene Wellen im Vakuum Energiestromdichte Polarisation ebener Wellen Lösung mit Quellen, Retardierung Feld einer oszillierenden Quelle (Antenne) Spezialfall: elektrische Dipolstrahlung Elektromagnetisches Feld Punktladung auf vorgegebener Bahn

4 IV Inhaltsverzeichnis 7 Formelsammlung Additionstheoreme Interessante Stellen des Sinus Potenzreihen e Funktion Ableitungen Nabla Kreuzprodukt Tipps und Tricks 72 Dieses Dokument wurde mit L A TEX am 13. Februar 212 um 17:3 gesetzt und steht (Zitate ausgenommen) unter der Lizenz cc-by-sa-nc (Namensnennung, Weitergabe unter gleichen Bedingungen, Nicht kommerziell)

5 1 MATHEMATISCHE VORBEREITUNG 1 Thema ist (ausschließlich) die klassische Elektrodynamik, also die Beschreibung des Elektromagnetismus mit Hilfe von Feldern und Wellen (im Gegensatz zum klassischen steht die Quantenelektrodynamik, welche den Welle Teilchen Dualismus berücksichtigt) Themenüberblick: Mathemaitsche Grundlagen (z.b. Vektoranalysis, Fourieretransformation,... ) Elektrostatik 1 Magnetostatik Maxwellgleichung, elektromagnetische Wellen Potentiale 1 Mathematische Vorbereitung 1.1 Dirac sche Deltafunktion Eindimensionale Deltafunktion δ(x) Definition 1.1 δ(x) dx = 1 (1.1) δ(x) = x (1.2) Mathematisch betrachtet ist δ(x) keine Funktion, sondern eine Distribution (ist nur sinnvoll im Integral) Eigenschaften δ(x x )f(x) dx = f(x ) Bestimmung der Ableitung (δ (x) =?) δ (x)f(x) dx = δ(x)f(x) δ(x)f (x) dx 1 ist die Physik der ruhenden Ladungen. Bsp: ein stromdurchflossener Draht ist zwar ein zeitlich unabhängiges(, statisches) System jedoch nicht seine Ladung

6 2 1 MATHEMATISCHE VORBEREITUNG 1 Θ(x) x Abbildung 1: Verlauf der Stufenfunktion da gilt: δ(x)f(x) dx = f() = const δ(x)f(x) = δ (x)f(x) dx = δ(x)f (x) dx = f () δ (x) = δ(x) d dx δ(f(x)) = δ(x x j ) j f (x j mit x ) j = Nullstellen von f(x) falls f (x). Beweis durch Substitution; Erläuterung anhand eines Beispiel 1.2 mit f(x) = x 1 δ(f(x))g(x)) dx ( ) = δ(f(x))g(x) dx + = δ( x 1)g(x) dx + }{{} = =g( 1) + g(1) δ(x 1)g(x) dx δ(x 1)g( x) dx Das heißt: δ( x 1) = δ(x + 1) + δ(x 1) = δ(x+1) 1 + δ(x 1) 1 Zusammenhang mit der Heaviside schen Stufenfunktion Θ(x): Θ(x) = a δ(x ) dx = {, a < 1, a > { δ(x x 1, k = k ) ist die kontinuierliche Variante des Kroneckerdeltas δ k k =, k k für k Z (Nebenbemerkung: An x = ist es nicht definiert. Man kann es sich als 1 2 definieren) d.h. δ(x) = d dx Θ(x)

7 1 MATHEMATISCHE VORBEREITUNG Mehrdimensionale Deltafunktion Definition 1.3 x Sei der Ortsvektor r = y dann gilt: z δ(r) := δ(x)δ(y)δ(z) Also gilt auch: δ(r) d 3 r = δ(x) dx δ(y) dy δ(z) dz = 1 δ(r) = r Physikalische Bedeutung δ(r) Teilchen einer Punktladung am Ort r = bzw. δ(r r ) Teilchendichte einer Punktladung bei r 1.2 Felder und Differentialoperatoren Definition 1.4 (Feld) Größe, die an jedem Ort im Raum definiert ist (und gewisse Transformationseigenschaften unter Koordinatentransformationen besitzt) Definition 1.5 (Skalarfeld) Funktion s(r), d.h. Abbildung R 3 R (oder R 3 C) Definition 1.6 (Vektorfeld) Funktion v(r), d.h. Abbildung R 3 R 3 (oder R 3 C 3 ). Definition 1.7 (Nabla Operator ) 1 := Ableitungen von Feldern Gradient Bei Skalarfeldern s(r) gilt: grad s = s. Anschaulich ist s ein Vektor in Richtung des steilsten Anstieges von s mit Steigung = s entlang dieser Richtung: f = grad(f) = f ê f ê n x 1 x n

8 4 1 MATHEMATISCHE VORBEREITUNG Divergenz Bei Vektorfeldern v(r) gilt divv = v. Anschaulich gibt die Divergenz die Quellen von v an. Beispiel 1.8 f(r) = r r = 1 r r r 2 3 Dann ist die Divergenz: divf = f r 1 = 1 r r2 2 + r3 2 r 1 r 2 r 3 r r r2 2 + r3 2 = 3 r r2 1 + r2 2 + r3 2 ( r1 2 + r2 2 + r3) = r = 2 r r r r2 2 + r3 2 Rotation Bei Vektorfeldern gilt: rot v = v. Anschaulich gibt die Rotation die Wirbel von v an Beim Rechnen mit Ableitungsoperatoren wie ist zu beachten, auf welche Funktionen der Operator wirkt Nabla Kalkül Hierbei zeigt der Pfeil auf die Variable (o.ä.) auf das der Operator wirkt. (v w) = ( v w) + (v w) = ( w) v w( v) + v( w) ( v)w = (w )v w( v) + v( w) (v )w wirkt nur auf Funktioonen, die rechts von stehen Durch Pfeile wird ausgedrückt, dass nur auf die angegzeigten Funktionen wirkt Ohne Pfeile wirkt auf alle weiter rechts stehenden Funktionen innerhalb derselben Kalmmerhierachie Laplace Operator Der Laplace Operator := 2 = ist auf Skalar- oder Vektorfelder anwendbar

9 1 MATHEMATISCHE VORBEREITUNG Flächenintegral/Fluss Definition 1.9 (Fluss) Der Fluss (bzw. Flächenintegral) des Vektorfeldes v durch (über) eine Fläche ist: F = v da A mit Flächenelementvektor da zur Fläche, bei geschlossener Fläche (nach Konvention) nach außen gerichtet. Beispiel Integral über eine Fläche, die in der xy Ebene liegt mit v(r) = x da = e z da = e z d 2 x = e z dx dy Für den Fluss folgt dann: F = da v = A A da e z v = 1 dx 1 dy 1 = 1 2 x 1 Es bleibt zu beachten, dass das Flächenintegral nicht mit dem Integral der Fläche (gibt Fläche aus) zu verwechseln ist. Deswegen ist das Wort Fluss sinnvoller, da es häufig das Volumen pro Zeit und Fläche angibt. 1.4 Integralsätze Integraldarstellung der Divergenz und Gauß scher Satz Betrachte das Vektorfeld v = v x v y v z in der Umbgebung vom Punkt P = p = V sei ein kleiner Quader (Gauß Box) mit der Ecke bei P und der Kantenlänge von z.b. δ x. Das geschlossene Integral über die Fläche dieses Quaders lautet dann: v da lim V A( V ) (Nebenbemerkung: ist ein geschlossenes Integral meist über eine Linie oder Fläche) Dieser Grenzwert ist deutlich abzulesen gleich null, deswegen, wird der Term ein wenig umgeschrieben lim V 1 V A( V ) 1 v da = lim V V (I xy + I xz + I yz ) x y z.

10 6 1 MATHEMATISCHE VORBEREITUNG Diese Elemente I i lassen sich als Integrale schreiben. Dabei werden die Vektoren des Vektorfeldes an auf der Flächenoberfläche betrachtet. Dabei ist des Konvention, dass der Fluss Nach außen zeigt. Dies führt dazu, dass eine Komponente (z.b. z) des Vektorfeldes an einer Fläche des Testquaders mit derselben Art Komponente (hier in z) an der gegenüberliegenden Fläche subtrahiert wird 1 = lim V V [ dx dy v z (x, y, z + δ z ) v z (x, y, z ) + dx dz v y (x, y + δ z, z) v z (x, y, z) ] + dy dz v x (x + δ z, y, z) v z (x, y, z) Im folgenden wird die Taylorentwicklung (v z (x, y, z +δ z ) = v z (x, y, z )+ vz (x, y, z z )δ z +...) und der Mittelwertsatz der Integralrechnung ( b f(x) dx = f(x a 1)(b a) mit a x 1 b) angewendet: lim V 1 δ x δ y δ z [ ] v z δ x δ y z (x 1, y 1, z )δ z +... = v z z (x, y, z ) + v y y (x, y, ) + v x x (x, y, z ) = v p Daraus folgen Überlegungen, dass v, wenn die Feldlinien aus V austreten. Das bedeutet, dass v die Quelle von v angibt Gauß scher Satz Wir betrachten nunt die Integration über eine beliebige geschlossene Oberfläche A(V ): A(V ) v da = Aufteilen in N Teilvolumina V j N j=1 v da (Nebenbemerkung: An den Kontaktflächen zweier Teilvolumina liegt auf beiden Seiten dasselbe Vektorfeld an, weshalb es sich gegenseitig aufhebt. Es überlegen also nur noch die Oberflächenintegrale an der Oberfläche meines ungeteilten Objekts) = N j=1 V j v da V j N v dv V

11 1 MATHEMATISCHE VORBEREITUNG 7 Definition 1.11 (Gauß sche Satz) v da = A(V ) V v dv (1.3) Integraldarstellung der Rotation/Stoke scher Satz Linienintegral entlang einer geschlossenen Kurve C( A) um eine kleine Fläche A: 1 lim v dr = n ( v) A A C( A) Das heißt v gibt die Wirbel von v an Definition 1.12 (Stoke scher Satz) Für eine beliebige einfach zusammenhängende Fläche A gilt: v dr = ( v) da (1.4) C(A) A

12 8 2 ELEKTROSTATIK 2 Elektrostatik Sei im folgenden k := 1 4πε mit ε = 8, C Vm 2.1 Die elektrische Ladung Es ist eine empirische Tatsache, dass die Ladungsteilchen gequantelte Ladungen q haben von q = ±ne, n N, e = 1, C (manchmal steht e auch für Elektronenladung - also mit einem Vorzeichenwechsel) ρ(r) dv, wobei ρ(r) = Ladung Volumen = Ladungs- Gesamtladung im Volumen V : Q = V dichte Coulombgesetz (Kraft von 2 auf 1): r 1 r 2 F 12 = kq 1 q 2 r 1 r F 12 Abstand 2 Superpositionsprinzip für N Ladungen: Gesamtkraft auf q 1 ist: F 1 = kq 1 N j=2 q j r 1 r 2 r 1 r Die elektrische Feldstärke Es wird die Kraft auf eine kleine Testladung q betrachtet Definition 2.1 (elektrische Feldstärke) Es wird der Grenzwert betrachtet, da es sonst das Feld beeinflussen/stören könnte: F E = lim q q E(r) = k j q j r 1 r 2 r 1 r 2 3 bzw. für kontinuierliche Ladungsverteilung ρ(r): E(r) = k dv ρ(r ) r 1 r 2 r 1 r 2 3

13 2 ELEKTROSTATIK Maxwellsche Gleichung/Gauß scher Satz Betrachte nun die Divergenz der elektrischen Feldstärke E: Aus irgendwelchen Gründen ist es möglich Nabla zu verschieben und in das Integral zu ziehen. E = 1 ρ(r ) r r 4πε r r 3 d3 r da r r 3 = 4πρ(r) = 1 4πε ρ(r )4πδ(r r ) d 3 r Daraus folgt die erste Maxwellsche Gleichung der Elektrostatik (, die allgemeingültig und auch für die Relativitätstheorie anwendbar ist) (in differentieller Form). Die Quellen des E-Feldes ist die Ladungsvereteilung E = δ(r) ε (2.1) In Integralform (auch physikalischer Gauß scher Satz) dv E = dv δ(r) ε V A(V ) E da = 1 ε Q (2.2) In Worten: die Quelle des E Feldes ist die Ladungsdichte durch ε der Fluss durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich der eingeschlossenen Ladung durch ε 2.3 Elektrostatisches Potential Weil gilt 1 = r kann die elektrische Feldstärke umgeschrieben werden zu r r 3 E(r) = k dv ρ(r ) r ( 1 r 2 r 1 r 2 = k ρ(r ) 1 ) 3 r r d 3 r Dies führt zur nächsten

14 1 2 ELEKTROSTATIK Definition 2.2 (elektrostatisches Potential φ) E kann als Gradient eines Potentials geschrieben werden, wobei dann gilt: E = φ eine Integration ist z.b. dann: φ(r) = k ρ(r ) r r d3 r. Allerdings ergibt jedes φ mit φ = φ+ const dieselbe Feldstärke. Allerdings bedeuten verschiedene φ verschiedene Eichungen Maxwellsche Gleichung Betrachte nun die Rotation der elektrischen Feldstärke E, was uns zur zweiten Maxwellschen Gleichung der Elektrostatik (welche nur in der Elektrostatik gültig ist) führt E = φ = (2.3) Das heißt, dass E wirbelfrei ist. sonst könnten Elektronen? Potential als Linienintegral r r E(r ) dr = = r r r φ(r ) dr 1 1 r φ(r (s)) dr ds ds dφ = ds ds = φ() φ(1) = φ(r ) φ(r) }{{} :=U r rspannung zwischen r und r Spannung ist die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten. φ(r) = φ(r ) r r E(r ) dr Die Arbeit, die benötigt wird, um eine Ladung q von r nach r zu bringen ist also demnach: W r r R dr = r r qe dr = q [φ(r) φ(r )]

15 2 ELEKTROSTATIK 11 (a) E-Feld (b) Potential Abbildung 2: Verhalten bei einer homogen geladenen Kugel 2.4 Homogen geladene Kugel Die Ladungsdichte ρ einer Kugel mit dem Radius R sei gegeben durch (mit: r = r ) { ρ, r R ρ(r) =, r > R Dann ist logischerweise die Gesamtlaung Q = ρ 4 3 πr3. Bei symmetrischen Problemen (Symmetrie ist auch eine Translationsinvarianz) sollte man die Symmetrie und Integralsätze ausnutzen. Aus der Tatsache, dass eine Kugel rotationsysmmetrisch ist folgt: E(r) = E(r) e r mit e r = e radial nach außen. Aus dem Gaußschen Satz (2.2) folgt E(r) 4πr 2 = 1 ε ρ { 4π 3 r3 E(r) = kq { r R 3 1 r 2 4π, r R 3 R3, r > R, r R, r > R Für das Potential ergibt sich dann: φ(r) = φ( ) r E(r ) dr Wähle nun φ( ) = und E dr E(r ) dr = E(r ) e r e r dr r φ(r) = E(r ) = kq { 1 + R2 r 2 R 2R 3 1 r, r R, r > R

16 12 2 ELEKTROSTATIK 2.5 Unendlich homogen geladene Ebene Sei eine geladene xy-ebene gegeben. Dabei gilt die Translations- und Spiegelsymmetrie E(r) = E(z) e z und E(z) = E( z) Definition 2.3 (Flächenladungsdichte) Ladungen pro Fläche = Flächenladungsdichte σ = dq da Nehme den Gauß schen Satz und setze eine Quader-Gauß-Box sinnvoll in die xy-fläche. Dabei stehen vier Seiten der Box senkrecht zu den elektrischen Feldlinien, wodurch dessen Skalarprodukt null wird. Es werden also nur noch zwei Seiten betrachtet, von denen aufgrund der sinnvollen Platzierung beide gleich sind: sgn(z)e(z) A 2 = σ A 1 ε E(z) = σ sgn z 2ε wobei sgn x eine sogenannte Signumfunktion bzw. Vorzeichenfunktion ist. Sie wird wie folgt definiert: Definition 2.4 (Signum-/Vorzeichenfunktion) +1 x > sgn(x) := x = 1 x < Potential für z > Wähle für φ() = so folgt aus φ(z) = φ() z E(z ) dz : φ(z) = σ z 2ε, z φ(z) = σ z 2ε < z < 2.6 elektrische Leiter Definition 2.5 (Leiter) Ein Leiter ist ein Material mit frei beweglichen Ladungen (ohne Rückstellkraft, aber

17 2 ELEKTROSTATIK 13 Reibung ). Im Inneren des Leiters gilt (zumindest in der Elektrostatik) E = und φ = const, da sonst Kräfte F = qe wirken und Ladungsverschiebung stattfinden, bis Ruhe eintritt Verhalten des Feldes and der Oberfläche Man nehme den Stokes schen Satz für Kurve an Oberfläche: Rechteck mit einer Kante im Leiter, einer Kante außerhalb A ( E) da = E dr = }{{} C = ( = innen }{{} = = außen + + außen E dr = seitlich }{{} = für d ) E dr Für Dicke d der Gaußbox d : E dr = E dr E Oberfläche Man nehme Gauß sche Satz (für Zylinder) an Oberfläche und lasse die Dicke d gegen null laufen mit s := Zylinderfläche ohne Mantel: Es = 1 ε Q E = 1 ε σ nicht unbedingt verstanden Beachte fehlenden Faktor 1 im Vergleich zur geladenen Ebene mit Flächenladungsdichte 2 σ

18 14 2 ELEKTROSTATIK 2.7 Eigenschaften des Potentials Das Linienintegral r r ist wegunabhängig also ist das Feld konservativ da gilt: E dr = ( E) da = C(A) A }{{} = φ(r) ist durch die Wahl des Bezugspunktes r und φ(r) eindeutig festgelegt (für ein vorgegebenes E). (Nebenbemerkung: Wäre das E Feld nicht konservativ, so könne man ein Elektron auf einem energiearmen Weg entlang schieben und auf einem energiereichen Weg zurückschieben und somit Energie gewinnen) Es gilt 2 φ = ( φ) = ( E) = ρ ε. Daraus folgt die Definition 2.6 (Poisson-Gleichung) 2 φ = ρ ε Für ein Ladungsfreies Gebiet also mit ρ = folgt dann die Definition 2.7 (Laplace-Gleichung) φ = 2 φ = 2.8 Randwertprobleme Einführendes Beispiel: Bildladung Betrachte eine Punktladung q bei x = y =, z = z q > vor einer leitenden, geerdeten xy - Ebene (also mit φ = ). Die Frage ist nun, wie das Potential im Halbraum z aussieht. 2 2 siehe auch Nolting 3, S.18ff

19 2 ELEKTROSTATIK 15 Lösungsweg: Konstruktion mit Hilfe einer fiktiven Bildlagung q in z < bei z = z q. Dabei wird q so gewählt, dass das von q und q erzeugte Gesamtpotential bei z = verschwindet: kq kq φ() = x x y y z q z q Aus Gründen der Symmetrie folgt q = qz q = zq. Damit kann nun das Potential im gesamten Halbraum z aufgestellt werden: φ(r) = kq r z q 1 r + z q 1 für z Die Bildladung ersetzt die komplizierte Ladungsverteilung, die von q auf der xy-ebene induziert wird, und ermöglicht eine einfache Berechnung des Potentials. Wir haben hier ein Randwertproblem gelöst: zu lösen war die Poisson-Gleichung im Gebit z > ( 2 φ = ρ ε mit ρ ˆ= Punktladung q) mit vorgegebenen Potential auf dem Rand des Gebites. (Rand = xy-ebene und streng genommen auch unendlich) Problemstellung und Eindeutigkeit Gegeben: Ladungsdichte ρ(r) in Volumen V 3 Randbedingungen auf Oberfläche A(V ) Es kann die Poisson-Gleichung ( DGL) aufgestellt und umgestellt werden zu: 2 yφ(x, y, z) + 2 yφ(x, y, z) + 2 zφ(x, y, z) + ρ(x, y, z) ε = 3 Ladungsdichte ist eigentlich immer auf ein Volumen beschränkt, da sie für das restliche Universum unbekannt ist

20 16 2 ELEKTROSTATIK Exkurs DGL partiell für die gesuchte Funktion φ. Partiell heißt, dass weitere Variablen auftreten (im Gegensatz zu gewöhnlichen DGL) linear in φ, da die unbekannte Funktion bzw. deren Ableitungen linear auftreten, dh. h. Vorfaktoren hängen nicht von φ ab. (Nebenbemerkung: Bsp für nichtlineare DGL: φ + aφ 3 +f(r)φ = ) }{{} nicht linear elliptisch, da die Vorfaktoren der 2. Ableitungen gleiche Vorzeichen haben, wie bei der Ellipsengleichung x2 + y2 = 1 (Die Poisson-Gleichung ist elliptisch, da die q 2 b 2 Vorfaktoren der 2. Ableitungen das gleiche Vorzeichen habne) Für homogene, lineare DGLs gilt das Superpositionsprinzip, d.h. wenn φ 1, φ 2 Lösungen der DGL sind, dann auch die Linearkombination φ = aφ 1 + bφ 2 Ohne Zusatzbedingung ist die Lösung nicht eindeutig Arten von Randbedingungen Dirichlet-Randbedingung: Potential auf dem Rand A(V ), also φ A(V ) ist vorgegeben Neumann-Randbedingung: Normalableitung auf dem Rand, also n φ A(V ) =: = Normalableitung mit n = 1, n A(V ) ist vorgegeben φ n gemischte Randbedingung (Stückweise Dirichlet und Neumann) Theorem 2.8 (Eindeutigkeitstheorem) Falls φ 1, φ 2 Lösung von φ = ρ ε sind mit gleichern Randbedingungen, dann ist φ 1 = φ 2 + const Beweis. φ 1 = ρ ε φ 2 = ρ ε } ψ = mit ψ = φ 1 φ 2 <?> Dirichlet-Randbedingung: ψ A(V ) = (φ 1 φ 2 ) A(V ) = Neumann-Randbedingung: ψ A(V ) = n (φ 1 φ 2 ) A(V ) = Nach Gauß: woher kommt das ψ ψ n (ψ ψ) d 3 r = ψ( ψ) da = V A(V )

21 2 ELEKTROSTATIK 17 (Produktregel) = ( ψ)( ψ) d 3 r + = V V ( ψ)( ψ) d 3 r V ψ ( 2 ψ) d 3 r }{{} = Da aus ψ = folgt ψ = const gilt also: φ 1 = φ 2 + const Bei Dirichlet-Randbedingung: φ 1 = φ 2 also ist die Lösung eindeutig Bei Neumann-Randbedingung ist die Lösung bis auf eine Konstante eindeutig </?> Green scher Satz & Green sche Funktion Green scher Satz Betrachte das Vektorfeld w = u v v u bestehend aus u(r), v(r). Aus dem Gauß schen Satz folgt dann w da = w d 3 r A(V ) V (u v v u) da = (u v v u) d 3 r A(V ) V = ( u v + u 2 v) ( v u + v 2 u) d 3 r V = (u 2 v v 2 u) d 3 r V Definition 2.9 (Green sche Satz) ( u v n v u ) da = n A(V ) V (u v v u) d 3 r Green sche Funktion Definition 2.1 (Green sche Funktion) Die Lösung einer homogenen DGL mit der Eigenschaft, dass die Inhomogenität (bei Poisson-Gleichung ist der Term ρ ε ) proportional zur Deltafunktion ist. (Mathematische Hilfsmittel zur Lösung für eine beliebige Inhomogenität)

22 18 2 ELEKTROSTATIK Voraussetzung ist, dass die vorliegende DGL der Form Ly = f entspricht, wobei L ein linearer Differentialoperator, y die zu lösende Funktion und f die Inhomogenität ist. Betrachtet man so eine Gleichung möchte man die Gleichung lösen mit L 1 Ly = y = L 1 f Dies ist allerdings nicht so einfach möglich, da L nicht injektiv ist und es somit kein Linksinverses gibt. Da L allerdings surjektiv ist gibt es ein rechtsinverses, was uns schon zur Lösung bzw. zur Greenschen Funktion führt. Wir nennen dieses Inverse deshalb G. Es gilt dann LG = 1 und somit Ly = f = 1f = (LG)f Ly = L(Gf) Ly = Ly y = Gf Die Greensche Funktion G = G(r, r ) ist die partikuläre Lösung einer homogenen DGL für die Delta-Distribution δ als Inhomogenität (bzw. diese proportional dazu). Im Fall der Poisson-Gleichung ist es die Lösung dieser Gleichung im Volumen V für Punktladungen am Ort r Die Inhomogenität wird von Punktladugnen erzeugt: LG(r, r ) = 1 ε δ(r r ) (2.4) mit L := lineare Ableitungsoperator = = x y + 2 z (Nebenbemerkung: Wie bekomme ich eine partikuläre Lösung des inhomogenen Problems? Finde Lösung für den Fall der Punkt-Inhomogenität in 2.4) Crashkurs: Faltung Die Faltung (f g) zweier Funktionen f, g : R n C ist definiert durch (f g)(x) := f(τ)g(x τ)dτ R n Eigenschaften Die Faltung ist kommutativ Unter Beachtung der Definition der Faltung stellt man fest, dass wenn die Delta- Distribution mit einer Funktion gefaltet wird, dies wieder die besagte Funktion ergibt. Durch diese Erkenntnis ergibt sich (analog zu voherigen Überlegungen) die folgende Logikkette: Ly p = f = δ f

23 2 ELEKTROSTATIK 19 = (LG) f Ly p = L(G f) Ly p = Ly p y p = G f Für den Fall der gewöhnlichen DGL mit konstanten Koeffizienten ist die Greensche Funktion lösbar über die Fourier Transformation. Die allgemeine Lösung ergibt sich durch Superposition dieser partikulären mit der allgemeinen Lösung des homogenen Teils Hierbei wird in Gleichung 2.4 G(r, r ) als Potential am Ort r interpretiert. Lösung: G(r, r 1 ) = k r r + f(r, r ) mit einer Funktion f, die f(r, r ) =, damit G die Poisson-Gleichung erfüllt. Dabei muss f so gewählt werden, dass bestehende Randbedinungen erfüllt sind Betrachte Ladungsdichte ρ innerhalb vom Volumen V Definiere im folgenden: u(r ) = φ(r ), v(r ) = G(r, r ). Dann ist der Green sche Satz mit Integration über r (mit n := Normalenvektor zu r ) A(V ) ( φ G n G φ ) ( da = n V φ(r ) 2 G }{{} 1 ε δ(r r ) = 1 ε φ(r) + 1 ε V G 2 φ(r ) }{{} 1 ρ(r ε ) G(r, r )ρ(r ) d 3 r ) d 3 r ( φ(r) = G(r, r )ρ(r ) d 3 r ε φ G V A(V ) n G φ ) da }{{} n }{{} bestimmt durch Ladungsverteilung bestimmt durch Randbedingungen Dirichlet - Randbedingungen Wähle Green sche Funktion G (r, r ) zum Beispiel so, dass Randbedingungen G D (r, r ) r A(V ) = erfüllt ist φ(r) = V G D (r, r )ρ(r ) d 3 r ε A(V ) φ G D n d 3 r warum ist G D n

24 2 2 ELEKTROSTATIK Neumansche Randbedingungen: (für r in V) A(V ) G n da = G da Gauß = A(V ) V Beachte, dass G n r A(V ) = nicht möglich, da }{{ 2 G } d 3 r = 1 ε 1 δ(r r ε ) Wähle Green sche Funktion G N (r, r ) so, dass (Nebenbemerkung: 1 ε oben, 1 aus der Integration über Oberfläche) A G n (r, r ) = 1 r A(V ) Aε aus siehe Also folgt für das Potential φ(r) = G N (r, r )ρ(r ) d 3 r + ε V A(V ) (Nebenbemerkung: aus Definition des Mittelwertsatzes) φ = 1 A A(V ) G N (r, r ) φ n (r ) da + φ da φ = frei wählbare const ( Neumann) Fazit: Green sche Funktion hängt vom Typ der Randbegingung ab, aber weder von der genauen Randbedingung noch von der Ladungsdichte Frage: Gilt die Symmetrie G(r, r ) = G(r, r)? Antwort (ohne Beweis): G D ist symmetrisch, G N kann symmetrisch gewählt werden Green sche Funktion in R 3 Betrachte den ganzen drei dimensionalen Raum mit Rand bei r = und Dirichlet Randbedingung: φ( ) = G D (r, r 1 ) = k r r + f(r, r ) mit lim r f(r, ) = und 2 f(r, r ) = Offensichtlich erfüllt f(r, r ) = die geforderten Bedingungen und ist somit (wegen Eindeutigkeitstheorem) die richtige Lösung: G D (r, r 1 ) = k r r Es gilt 2 G D = 2 G D = 1 ε δ(r r ) Für eine beliebige Ladungsdichte δ(r ) in R 3 kann das Potential aus der Greenschen Funktion berechnet werden.

25 2 ELEKTROSTATIK Green sche Funktion und Bildladung Erinnerung: Potential einer Punktladung q bei lautet bei r = (,, z q ) mit z q > vor einer leitender xy - Ebene mit φ = : ( ) 1 φ q,r (r) = kq r (,, z q ) 1 r + (,, z q ) Dies entspricht der Definition der Green schen Funktion mit Dirichlet-Randbedingungich dachte es gibt keine allgemein gültige Def G D (r, r ) = 1 qr φ q(r ) Weiter physikalische Fragen im Zusammenhang mit dem Bildladungsproblem Wie ist die von q induzierte Flächenladungsdichte σ auf xy - Ebene. Verwende: E Oberfläche = σ ε. E-Feld (Beachte: jetzt betrachtet in Abh. von r ): E q,r (r ) = φ q,r (r ) ( ) r E q,r (r r ) = kq r r + r + r 3 r + r 3 Feld an der Oberfläche (z = ) ( ) E q,r (r = (x, y (x, y, z q ),)) = kq x 2 + y 2 + z 2 3 (x, y, z q ) q x 2 + y 2 + z 2 3 q = kq x 2 + y 2 + z 2 3 q 2z q Daraus folgt, dass das E-Feld senkrecht auf der Oberfläche A liegt. Für die Flächenladungsdichte ergibt sich dann: σ = ε E qr (r = (x, y, ))e z σ = q z q 2π x 2 + y 2 + z 2 3 q Die induzierte Ladungsdichte ist wie erwartet entgegengesetztt zu q geladen und ist maximal bei x = y = Induzierte Gesamtladung q ind : q ind = σ da Kart = xy Ebene dx dy σ(x, y ) Für die Umrechnung in Polarkoordinaten gilt: (x, y) (r, φ) dr dφ = cos φ r sin φ sin φ r cos φ dr dφ = r(cos φ2 + sin φ 2 ) dr dφ = r dr dφ

26 22 2 ELEKTROSTATIK Polar q ind = = 2π = q dr r 2π dr q 2π dϕ σ(r ) z q r r 2 + z q 3 = qz q [ ] 1 r 2 + z q Bildkraft (Nebenbemerkung: keine Kraft auf sich selbst): Kraft der induzierten Ladungen auf q: (anziehende Kraft) F = qe ind = qk( q) r + r r + r 3 = kq2 1 (2z q ) 2 e z Entwicklung nach orthogonalen Funktionen Betrachte System von Funktionen U n (x), n = 1,2,... auf dem Intervall [a, b]. Wenn folgendes gilt, heißen Sie: Definition 2.11 (orthonormal) b a U m (x)u n (x) dx = δ m,n = { 1, m = n, m n Unbedingt im Nolting 3 S. 116ff nachlesen Definition 2.12 (vollständig) U n (y)u n (x) = δ(x y) n=1 Die Kombination der Definition von Funktionssysteme von Orthonormalität und Vollständigkeit ermöglicht die Entwicklung einer Funktion f auf [a, b]: f(x) = b Entwicklung gilt für x ]a, b[: a dy f(y)δ(x y) = f(x) = b a f(y) c n U n (x) n=1 U n (y)u n (x) dy n=1 mit:

27 2 ELEKTROSTATIK 23 c n = b a f(y)u n (y) dy Dabei ist zu beachten, dass die Entwicklung im offenen Intervall ]a, b[ definiert ist. Das bedeutet, dass es bei x = a und x = b nicht garantiert ist, dass es die Funktion f(x) wirklich approximieren kann/konvergent ist. Beispiel 2.13 (orthogonale Funktionensysteme) (Nebenbemerkung: Entwicklung in e Funktion heißt Fourierreihe) 1. U l (x) = 1 2x e ilx π x ; l Z, x [ x, x ] 2. U n (x) = 2 a nπx sin ; n N, x [, a] a Dies führt noch zu Legendre Polynomen und Kugelflächenfunktionen Trennung der Variablen/Methode der Separation Es handelt sich um eine allgemeines Verfahren zur Lösung von partiellen DGL s. Ziel ist es eine Lösung in Form eines Produkts bzw. Summe aus Produkten aus Funktion, die nur von einer Veriablen abhängen. Dies ist also auch eine Möglichkeit zur Lösung der Greenschen Funktion eine andere für eine andere Art von DGL geht über Fourier- Transformation. ϕ(r) = ϕ( (x, y, z) ) = f(x) g(y) h(z) Grund: Dadurch erreicht man, dass eine partielle DGL in eine gewöhnliche und somit (hoffentlich) einfacher zu lösende Funktion umgewandelt wird Die Laplace-Gleichung/(Poisson-Gleichung) ist eine lineare, partielle, homogene(/inhomogene) DGL zweiter Ordnung (mit Randbedingungen). Sich eignet sich also dadurch als konkreten Erklärungsbeispiel. Laplace-Gleichung in kartesischen Koordinaten x, y in einem (ladungsfreien) Rechteck Drei Kanten werden auf ein Potential φ = gehalten; an der Vierten gilt φ(x, y) = V (x). Gesucht φ(x, y)

28 24 2 ELEKTROSTATIK Anmerkungen Das zweidimensionale Problem kann als dreidimensionale Situation aufgefasst werden, die translationsinvariant entlang der z-richtung ist, d.h. φ ist von z unabhängig, so dass 2 z 2 φ =. Die Laplacegleichung sagt anschaulich aus, dass sich die Krümmungen in x- und y-richtung zu Null addieren. Die Lösung φ kann deshalb keine lokalen Extrema haben. Nehme Laplace Gleichung 2 φ = = 2 2 φ(x, y) + φ(x, y) = x2 y2 Seperationsansatz: φ(x, y) = X(x) Y (y). Eingesetzt in Laplace Gleichung dann folgt X Y + XY = X X = Y Y Es ist zu sehen, dass die linke Seite X Y nicht von y und die rechte Seite nicht X Y von x abhängt. Damit diese Gleichung also für beliebige x, y gilt, muss X = Y = X Y const =: α 2 sein. X (x) = α 2 X(x) Y (y) = α 2 Y (y) Mögliche Lösungen sind e ±iαx, sin(αx), cos(αx),.... (Die richtige Lösung hängt von den Randbedingungen ab). Hier ergibt sich für die Struktur der Lösung: X(x) = sin αx Y (y) = sinh αy Damit nun die Randbedingungen X() = X(a) = erfüllt werden ergibt sich für α 2 n = n2 π 2 a 2, n = 1,2,... X(x) = sin nπ a x

29 2 ELEKTROSTATIK 25 Da auch die Randbedingung Y () = erfüllt werden muss folgt: wobei sinh Ω Def = 1 2 (eω e Ω ) Y (y) = sinh nπ a y Weil die Laplace-Gleichung linear und homogen ist, sind Linearkombinationen wieder Lösungen. Aufgrund dieser Linearität folgt die allgemeine Lösung (ohne Berücksichtigung der Randbedinung V (x)): φ(x, y) = A n sin nπ a x sinh nπ a y n=1 Nun gibt es nur noch eine verbleibende Randbedingung φ(x, b) = A n sin nπ a x sinh nπ a b =! V (x) (2.5) n=1 Die einzige Freiheit, um diese Randbedingung zu erfüllen steckt in der Wahl der A n nπx Wir wissen, dass nach Abschnitt U n = sin, n = 1,2,... ein vollständig a orthogonales Funktionensystem auf [, a] bildet. Deshalb ist es möglich V (x) als Summme dieser vollständigen orthogonalen Funktionen (mit Vorfaktoren c n = a dx U n(x)v (x)) zu schreiben V (x) = 2 a c n U n (x) (2.6) n=1 Weiter kann man die Gleichung (2.5) genauer zu Betrachten und Terme zu identifizieren mithilfe von Gleichung (2.6): V (x) = A n sin nπ a x sinh nπ a b n=1 = A n sinh nπ 2 a b a n=1 }{{} c n a c n = 2 A n sinh nπb a a 2 nπx c n = dx sin a a V (x) A n = 2 a Beispiel 2.14 (V (x) = V = const) a 1 sinh nπb a a sin nπx [( a V dx = V a ) cos nπx ] a nπ a a 2 sin nπ a x } {{ } U n sin nπx V (x) dx a

30 26 2 ELEKTROSTATIK φ(x, y) = 4V π a = V nπ (1 cos nπ) = V a nπ (1 ( 1)n ) { 2a nπ = V, n = 1,3,..., n = 2,4,... ( 1 (2k + 1)πx sin 2k + 1 a k= ) sinh (2k+1)πy a sinh (2k+1)πb a Anmerkung Wir sind strenggenommen noch nicht fertig, denn wir haben noch nicht gezeigt, dass die Lösung die Randbedingung φ(, y) = und φ(a, y) = erfüllt. Dies ist zwar für die Funktionen sin nπx offensichtlich, aber nicht, wenn wir diese in einer a unendlichen Reihe aufsummieren. Beachte, dass die Randbediungungen an den Ecken links oben und rechts oben unstetig sind V = lim lim φ(x, y) lim x y b y b lim x φ(x, y) = Um zu zeigen, dass φ(, y) = φ(a, y) = ist zu überprüfen, ob wir den Limes x (bzw. x a) mit der Summation k= vertauschen können, denn in diesem Fall gilt: φ(, y) = lim φ(x, y) = lim (...) = lim(...) = x x x k= k= }{{} = In der Analysis wird gezeigt, dass Limes und Summe vertauscht werden können, wenn sie für alle x gleich schnell konvergiert). In unsererm Fall zeigt man dies so: mit: ψ(x, y) = f k (x, y) = φ(x, y) = 4V ψ(x, y) π f k (x, y) k= sin (2k+1)π a 2k + 1 x sinh (2k+1)πy a sinh (2k+1)πb a Es gilt f k (x, y) 1 sinh (2k+1)πy a. Es sei n := 2k + 1 2k+1 sinh (2k+1)πb a sinh (2k+1)πy a sinh (2k+1)π b = e nπy a e nπb a = e nπ(y b) a e nπ(y b) a e nπy a e nπb a e nπ(y+b) a nπb 2 1 e a e π(y+b) a πb 2 1 e a 1 1 e 2πb a (e nπ(b y) a ) + e nπ(y+b) a

31 2 ELEKTROSTATIK 27 2.Summand immer kleiner als 1.Summand = 1 1 e 2πb a 2e nπ(b y) a 2 1 e 2πb a (g(y)) n mit: g(y) = e π(b y) a 2 mit: M k (y) = g(y) 2k+1 (2k+1)(1 e 2πb a ) f k (x, y) M k (y) Falls y = b, g(y) = g(b) = 1 k= M k Konvergiert nicht. Es kann keine Aussage getroffen werden Falls y < b, < g(y) < 1 M k k= 2g(y) 1 e 2πb a = 2g(y) 1 e 2πb a (g(y) 2 ) k k= }{{} geometrische Reihe 1 1 g(y) 2 Es konvergiert und somit ist k= f k(x, y) nach dem Majorantenkriterium gleichmäßig konvergent in x und somit stetig in x. Randbedingung φ(, y) = φ(a, y) = ist erfüllt 2.9 Der elektrische Dipol Betrachte zwei Ladung q, q in kleinem Abstand d und der Position einer der beiden Ladungen von r. Das davon nach dem Superpositionsprinzip erzeugte Potential ist: ( ) 1 φ(r) = kq r r d 1 (2.7) r r Was passiert nun, wenn dieser Abstand nun fast null wird? Bei diesem Grenzwert d hilft mal wieder Taylor: ( 1 r r d = 1 1 r r d + d d +... d= r r d ) d=

32 28 2 ELEKTROSTATIK Aus der Erkenntniss d dy f(x y) = f (x y) ( 1) folgt, dass gilt: d f(r d) = r f(r d). Somit: = ( ) 1 r r 1 r d +... r r In Gleichung (2.7) eingesetzt ergibt sich nun für das gesuchte Potential approximiert: φ(r) qd 1 r 4πε r r Definition 2.15 (Dipolmoment) Das das Dipolmoment ist ein Vektor, der von der negativen zu der positiven Ladung zeigt. Ferner gilt: p = qd φ(r) d p 4πε r r r r Das elektrische Feld des Dipols Betrachte den vereinfachten Fall für r =, d.h. Dipol am Ursprung φ(r) kp r r 3 ( ( p r ) E(r) = k = k r 3 ( (Produktregel) = k 1 ) r 3 [ = k 3r r r 4 r j [1,3] j [1,3] [ 3r E(r) = k r (p r) 1 ] 3 r p 3 1 r 3 ) 3 p j r j j=1 p j r j + 1 r 3 ( p j r j + 1 r 3 j [1,3] j [1,3] p j r j }{{} =e j ) p j r j ] Für einen Beobachter, der weit weg ist ergibt sich r φ 1, E 1. Dabei ist zu r 2 r 3 beachten, dass dies schneller gegen null konvergiert als bei Punktladungen (Dort ist es φ 1, E 1 ) r r 2 Es gilt: E(r) = E( r) (Bei Punktladung: E(r) = E( r))nachvollziehen!)

33 2 ELEKTROSTATIK 29 Allgemeiner für N Punktladungen Hier kann p von der Wahl des Koordinatenursprungs abhängen, da keine Angabe über die Gesamtladung gemacht worden ist!!! p = N q j r j (2.8) j=1 Be- Dipolmoment für kontinuierliche Ladungsverteilungen/Multipolentwicklung trachte das von einer räumlich begrenzten Ladungsdichte ρ(r) Potential φ(r) = k ρ(r ) r r d3 r Für zwei Ladungen die dicht nebeneinander liegen verglichen mit dem Beobachtungspunkt, wenn also gilt r r : Taylor φ(r) k 1.Ordnung [ 1 = k r ( 1 ρ(r ) ) r 1 r r d 3 r r ( ρ(r ) d 3 r 1 ) ] ρ(r )r d 3 r r Bekannterweise ist das erste Integral identisch mit der Gesamtladung Q. Aus (2.8) ist schon zu erahnen, dass das zweite Integral das Dipolmoment ist ( ( Q φ(r) k r 1 ) ) p r Wobei Q r := Monopolterm und ( 1 r ) p := Dipolterm. Diese Entwicklung kann in höheren Ordnungen fortgesetzt werden kartesische Multipolentwicklung 2.1 Die elektrostatische Energie Energie ist die gespeicherte Arbeit, um eine elektrostatische Anordnung herzustellen. Also Arbeit, um eine Punktladung q von B nach A zu bringen W = Für B folgt W = qφ(a). A B ( qe) dr = q [φ(a) φ(b)] Berechne nun die Gesamtenergie einer Anordung von N Punktladungen q 1, q 2,..., q N (, die an die Ort r 1, r 2,..., r N gebracht werden sollen): W = N q j φ j (r j ) j=1

34 3 2 ELEKTROSTATIK Mit φ j = Potential, das von q 1,..., q j 1 erzeugt. Das Problem dieser Aufgabe ist, dass sich mit der Verschiebung auch das Potential ändert. Für j = 2,..., N und φ 1 (r) = gilt für das Potential φ j, welches von q 1,..., q j 1 j 1 φ j (r j ) = k W = k k=1 j 1 q k r j r k N j=2 k=1 }{{} N k<j=2 = 1 2 k N k,j=1 q j q k r j r k δ kj q j q k r j r k (Summe über alle Paare j, k außer j = k. Der Faktor 1 2 Zählung zu kompensieren) ist nötig, um die doppelt- Energie für kontinuierliche Ladungsverteilung Σ W = 1 2 k d 3 r d 3 r ρ(r)ρ(r ) r r = 1 2 d 3 r ρ(r)φ(r) Zu beachten ist, dass die Gesamtenergie von der Ladungsverteilung abhängig ist. Im Beispiel einer geladenen Kugel ist das also von den Integrationsgrenzen der Kugel abhängig. Wir wollen nun die Energie durch das elektrische Feld ausdrücken. Dazu wird Poisson verwendet: 2 φ = ρ ε ρ = ε 2 φ W = 1 2 d 3 r ( ε 2 φ)φ Nach Partieller Integration = ε 2 (Gauß) = ε 2 W = ε 2 d 3 r [ (( φ)φ ) ( φ ( φ) )] ( φ)φ da } A {{ } r, da ( φ)φ 1 r 3 E 2 (r) d 3 r + ε 2 ( φ) 2 d 3 r }{{} =E 2 (Nebenbemerkung: dies wird nun nicht mehr im Beispiel der geladenen Kugel bis zur Kugeloberfläche integriert sondern quasi über das Universum) (Nebenbemerkung: da 1 (für endliche Ladungsverteilungen)) r 2

35 2 ELEKTROSTATIK 31 Definition 2.16 (Energiedichte) w(r) = ε 2 E2 (r) Dieser Ausdruck behält auch in der zeitabhängigen Elektrodynamik seine Gültigkeit und verdeutlicht, dass eine Feld auch ohne Anwsenheit von Ladungen ein Energie tragen kann (z.b. in einer Lichtwelle) Feld einer Punktladung trägt unendlich große Energie Selbstenergie W = ε ( kq r ) 2 d 3 q 1 r = 2 r 3 32π 2 ε 2 r 4 r2 dr 4π = Diese Selbstenergie wird daher nicht mitgezählt und wurde daher bei der Gesamtenergie von N Punktladungen weggelassen (j k) Elektrostatische Energie eines Leiters W = 1 ρ φ(r) d 3 r = φ 2 }{{} 2 V =const im Leiter ρ d 3 r = φq Wechselwirkung zwischen zwei Ladungsverteilungen Für die Gesamtenergie gilt (seit letztem Kapitel) bekanntlich: W = k d 3 r d 3 r ρ(r)ρ(r ) 2 r r Setze ρ(r) = ρ 1 (r) + ρ 2 (r) (WW := Wechselwirkungsenergie) [ W = k ρ 1 ρ 1 2 r r d3 r d 3 r + d 3 r d 3 r ρ 2 ρ 2 r r + 2 } {{ } W 1 = W 1 + W 2 + W W W } {{ } W 2 Fazit: Das Superpositionsprinzip ist hier nicht anwendbar Annahme, dass die Ausdehnung von ρ 1 klein ist um r 1 : φ 2 (r) Taylor φ 2 (r 1 ) + ( φ 2 (r 1 ) ) (r r 1 ) um r 1 =φ 2 (r 1 ) E 2 (r 1 )(r r 1 ) d 3 r d 3 r ρ 1 ρ 2 r r } {{ } W W W ] W W W ρ 1 (r)φ 2 (r 1 ) d 3 r ρ 1 (r)e 2 (r 1 )(r r 1 ) d 3 r

36 32 2 ELEKTROSTATIK = φ 2 (r 1 )Q 1 E 2 (r 1 ) p 1 mit Q 1 = ρ 1 d 3 r und dem Dipolmoment von ρ 1 bzgl. Ursprung r 1 : p 1 = ρ 1 (r r 1 ) d 3 r Energie eines ungeladenen Dipols in einem äußeren Feld E: W dip = p E Dipole möchten sich entlang des Feldes ausrichten Vergleich Kompass Klassischer Elektronenradius Betrachte das Elektron als geladene Hohlkugel mit Radus R, Masse m e und Ladung e. Dann gilt für die Energie weil es ein Leiter ist? W = 1 2 Qφ = 1 2 e e 4πε R! = m e c 2 Damit diese Gleichung erfüllt ist, muss für den Radius R der Kugel gelten: R = e 2 8πε m ec 2 Definition 2.17 (klassische Elektronenradius) wer hat eine 2 gesehen. ich vermisse sie r e = k e2 m e c Kugelflächenfunktion Besonders in der theoretischen Physik haben die Kugelflächenfunktionen eine große Bedeutung für die Lösung partieller Differentialgleichungen. Sie treten zum Beispiel bei der Berechnung von Atomorbitalen auf, da die beschreibende zeitunabhängige Schrödingergleichung den Laplace-Operator enthält und sich das Problem am besten in Kugelkoordinaten lösen lässt. Auch die in der Elektrostatik auftretenden Randwertprobleme können elegant durch die Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen gelöst werden. [Wik12] Eine Funktion ist periodisch, wenn sie die Laplace-Gleichung erfüllt. Eine solche Funktion lässt sich dann (analog zu Fourier-Reihe) als Summe von ebenen Wellen ( Kugelflächenfunktionen) darstellen. Im Grenzfall auch als Integral. Aus voherigen Überlegungen lässt sich dann erkennen, dass diese ebenen Wellen ( Kugelflächenfunktionen) ein Orthonormalsystem bilden. Die Kugelflächenfunktionen sind definiert als ein vollständiger und orthonormaler Satz von Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators [ug12]

37 2 ELEKTROSTATIK 33 Kugelflächenfunktionen bilden (summiert) Funktionen auf der Fläche einer Kugel Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten Die Laplace Gleichung in Kugelkoordinaten lautet: = x 2 + y 2 + z. 2 Erfolgt nun x r sin θ cos ϕ eine Transformation zu Kugelkoordinaten mit r, θ, ϕ und y = r sin θ sin ϕ so z r cos θ folgt: = 1 r 2 r r2 }{{ r } 1 + r 2 =: r = r + 1 r 2 θ,ϕ ( 1 sin θ θ sin θ θ + 1 ) 2 sin 2 θ ϕ }{{ 2 } =: θ,ϕ Die Laplace-Gleichung lautet dann in Kugelkoordinaten (r 2 r + θ,ϕ )φ = Neben der trivialen Lösung φ = gibt es weitere Lösungen. Auf diese kommt man mit Trennung der Variablen Teile nun das Potential in Radial- und Winkelkomponente (Polar- und Azimutwinkel) auf, indem der Seperationsansatz φ(r, θ, ϕ) = R(r) S(θ, ϕ) verwendet wird. Dies ist möglich, da in der Laplace - Gleichung in Kugelkoordinaten der Radius unabhäng von den Winkeln ist. Setze nun diesen Ansatz in die Gleichung ein und es ergibt sich die DGL φ = S r R + R 1 r 2 θ,ϕs = θ,ϕs S = r2 r R R Da beide Seiten unabhängig voneinander sind muss (wenn die Gleichung erfüllt sein soll) jede Seite gleich einer Konstanten C sein (später stellt sich heraus, dass C = l(l+1) sinnvoll ist) θ,ϕs(θ, ϕ) S(θ, ϕ) = C = r2 r R(r) R(r) { θ,ϕ S(θ, ϕ) = CS(θ, ϕ) r R(r) = C r 2 R(r)

38 34 2 ELEKTROSTATIK Weiterer Separationsansatz CS(θ, ϕ) = θ,ϕ S(θ, ϕ) = 1 sin θ θ sin θ 1 S(θ, ϕ) + θ sin 2 θ C sin 2 θ = sin θ sin θ 2 S(θ, ϕ) + S(θ, ϕ) θ θ ϕ 2 S(θ, ϕ) 2 S(θ, ϕ) ϕ2 Betrachte nun die Winkelabhängige Ableitung mithilfe eines weiteren Seperationsansatzes: S(θ, ϕ) = T (θ) Q(ϕ) = Q(ϕ) sin θ θ sin θ θ T (θ) Q(ϕ) T (θ) T (θ)c sin 2 θ = sin θ θ sin θ θ + T (θ) + T (θ) 2 ϕ 2 Q(ϕ) Q(ϕ) T (θ) 2 ϕ 2 Q(ϕ) T (θ) Q(ϕ) (2.9) Trigonometrische Funktionen (und dann natürlich auch die exp Funktion) erfüllen die DGL d2 Q = constwoher DGL?. Mögliche Lösung ist Q(ϕ) = e imϕ für m Z, ϕ dϕ 2 [, 2π]. Diese Lösung erfüllt die Bedingung Q(ϕ) = Q(ϕ + 2π). sin mϕ und cos mϕ sind ebenfalls mögliche Lösungen, die aber unpraktischer später beim Rechnen sind. e imϕ können zu reellen Lösungen superponiert werden (da linear ist dies auch wirklich möglich). Lösung eingesetzt in (2.9) ergibt: Substituiere: x = cos θ T C sin 2 θ = sin θ θ sin θ θ T m2 T = sin θ θ sin θ θ T m2 T + T C sin 2 θ d dθ =dx d dθ dx = d cos θ d dθ dx = sin θ d dx sin θ d dθ = sin2 θ d dx = (1 cos2 θ) d dx = (1 x2 ) d dx Definiere T (θ) =: P (cos θ) = P (x) [ = (1 x 2 ) d dx (1 x2 ) d [ d =P (x) dx (1 x2 ) d dx ] dx + C(1 x2 ) m 2 ] m2 1 x 2 + C P (x) suche Spezialfälle m = Definition 2.18 (Legendre sche DGL) [ d dx (1 x2 ) d ] dx + C P (x) =

39 2 ELEKTROSTATIK 35 (1 x 2 )P (x) 2xP (x) + CP (x) = Die Lösung erfolgt z.b. durch Potenreihenansatz und mit Fordungerung, dass P (x) endlich in x [ 1,1] (vgl. θ [, π], x = cos θ). Es ergibt sich die Definition 2.19 (Formel von Rodrigues) P l (x) = 1 d l 2 l l! dx l (x2 1) l Erfüllen die DGL mit C = l(l + 1), l =,1,....? C = ; C 1 = 2; C 2 = 6; C 3 = 12;... 1,5 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 Pl(x),5 1 1,5,5 1 x Eigenschaften: P l heißen Legendre-Polynome P (x) = 1; P 1 (x) = x; P 2 (x) = 1 2 (3x2 1); P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x);... P l bildven ein vollständiges Orthogonalsystem auf [ 1,1] Sie sind die partikulären Lösungen der legendreschen Differentialgleichung(Q:wiki) Definition 2.2 (Orthogonalitätsrelation für m = )

40 36 2 ELEKTROSTATIK 1 1 P l (x) P l (x) dx = 2 2l + 1 δ l,l Die Normierung so gewählt ist, dass P l (1) = 1, P l ( 1) = ( 1) l (anstatt Normierung des Integrals 1 (x) dx ) P 2 1 l Allgemeiner Fall m Definition 2.21 (Orthogonalitätsrelation für m ) 1 1 Pl m (x) P m l (x) dx = 2 2l + 1 (l + m)! (l m)! δ l,l (Nebenbemerkung: Pl m heißt nicht P hoch m) Die Lösungen heißen assoziierte Legendrefunktionen und lauten mit l =,1,... und m = l, l + 1,..., l 1, l: P m l Es gilt:pl (x) = P l(x). Pl m [ 1,1]. (x) = ( 1)m 2 l l! (1 x 2 m/2 dl+m ) dx l+m (x2 1) l bilden für festes m ein vollständiges Orthogonalsystem auf Kugelflächenfunktion Definition 2.22 (Kugelflächenfunktionen) 2l + 1 (l m)! S lm (θ, ϕ) := 4π (l + m)! P l m (cos θ) e imϕ Eigenschaften: S lm sind Lösungen von θ,ϕ S lm = l(l + 1)S lm S lm bilden vollständiges Orthonormalsystem (deshalb die Wurzel etc.) auf der Oberfläche der Einheitskugel, d.h. θ [, π], ϕ [,2π] Orthonormalität 2π dϕ π sin θ dθ S l m (θ, ϕ)s lm(θ, ϕ) = δ l,l δ m,m Vollständigkeit l S lm (θ, ϕ )S lm (θ, ϕ) = δ(ϕ ϕ )δ(cos θ cos θ ) l= m= l

41 2 ELEKTROSTATIK 37 (Nebenbemerkung: S l, m (θ, ϕ) = ( 1) m S lm (θ, ϕ)) Beispiel 2.23 (S = 1 3 4π, S 1 = cos ϑ) 4π Entwicklung einer Funktion f(ϑ, ϕ) (Dafür wurden die Kugelflächenfunktionen ja erschaffen ): l f(ϑ, ϕ) = a l,m S l,m (ϑ, ϕ) mit: a l,m = 2π l= m= l dϑ f(ϑ, ϕ)s l,m (ϑ, ϕ) Additionstheorem der Kugelflächenfunktion P l (cos ϑ) = 4π 2l + 1 l m= l S lm (ϑ 1, ϕ 1 )S lm (ϑ 2, ϕ 2 ) mit: ϑ = ((ϑ 2, ϕ 1 ), (ϑ 2, ϕ 2 )) φ(r, ϑ, ϕ) = R(r) S lm (ϑ, ϕ) Betrachte nun den Radialteil (im Gegen- Radialgleichung der Laplace-Gleichung satz zum eben betrachteten Winkelanteil) r 2 r R(r) = CR(r) = l(l + 1)R(r) d dr r2 d. Nach Anwendung der Pro- dr Wiederholung: Operator in Radialrichtung r = 1 1 duktregel ergibt sich: 2r d + 1 r 2 d2 = 2 d + d2 r 2 dr r 2 dr 2 r dr Definiere U(r) := rr(r) du dr dr = R(r) + r dr r 2. dr 2 d2 U dr 2 = 2dR dr + r d2 R dr 2 = r rr(r) Radialgleichung: r d2 U dr 2 = l(l + 1) U r 2 mögliche Lösung ( Linearität): U(r) = Ar l+1 + Br l Allgemeine Lösung φ(r, ϑ, ϕ) = l ( Al,m r l + B l,m r l 1) S l,m (ϑ, ϕ) l= m= l In jedem ladungsfreien Bereich kann also das Potential in Form einer solchen Reihe entwickelt werden

42 38 2 ELEKTROSTATIK Spezialfall: Azimuthalsymmetrisches Potential d.h. φ hängt nicht von ϕ ab. Wegen S l,m e iϕ 2l+1 Verwende nur Terme mit m = : S l, (ϑ, ϕ) = S 4π l(cos ϑ) ϕ(r, ϑ) = ( al r l + b l r l 1) P l (cos ϑ) l= Für das Potential auf der Position z-achse gilt: φ(r, ϑ = ) = (z=r) = ( al r l + b l r l 1) l= ( ) al z l + b l z }{{ l 1 } z l= Die Entwicklung auf der z-achse liefert Koeffizienten a l, b l und somit Entwicklung im ganzen ladungsfreien Raum Potential einer Punktladung in Kugelkoordinaten Betrachte zunächst den Fall, dass die Punktladung q an einem Ort r auf der positiven z-achse liegt: also r = (,, r ) und betrachte das Potential bei r = (,, r) (geometrische Reihe: n= an = 1 1 a 1 φ(r) = kq r r = kq 1 r r für a < 1) 1. Fall r > r φ(r) = kq 1 1 r 1 r = kq 1 r r l= ( r ) l r 2. Fall r > r φ(r) = kq 1 r 1 1 r r = kq 1 r ( r l= r ) l Fall mit r < = min{r, r }; r > = max{r, r } φ(r) = kq 1 r > l= ( ) l r< r > Betrachte Potential an einem beliebigen Ort r. Entwicklung in Lagendrepolynome (s ) φ(r) = kq 1 r < l r > r > l P l(cos ϑ) l=

43 2 ELEKTROSTATIK 39 Das Problem ist, dass diese Funktion an der kritischen Stelle unstetig ist. Für r nicht auf der z-achse gilt: φ(r) = q ε r > l= 1 2l + 1 ( r< r > ) l m= ls l,m(ϑ, ϕ )S l,m(ϑ, ϕ) wegen P l (cos ϑ ) = 4π l 2l+1 m= l S l,m(ϑ, ϕ )S l,m (ϑ, ϕ) wobei ϑ der Winkel zwischen z Achse und r minus ϑ (Winkel von z Achse und r) sphärische Multipolentwicklung Sei ρ(r) eine endliche Ladungsverteilung: ρ(r ) φ(r) = k r r d3 r = ρ(r ) = 1 1 ε r > 2l + 1 l= ( r< r > ) l l m= l Definition 2.24 (sphärische Multipolmoment q l,m ) S l,m (ϑ, ϕ )S l,m (ϑ, ϕ) d 3 r q l,m = ρ(r )r l S l,m (ϑ, ϕ ) d 3 r für r außerhalb von ρ(r ) φ(r) = 1 l l= ε m= l 1 1 2l + 1 r q l,ms l+1 l,m (ϑ, ϕ) Beispiel 2.25 kugelsymmetrische Verteilung q, = Q 4π, q l,m = für l q, = spährischer Monopol

44 4 3 MAGNETOSTATIK 3 Magnetostatik Analog zur Definition der Elektrostatik ist die Magnetostaik die Physik der stationären Ströme Ströme erzeugen Magnetfelder (siehe Elektromagneten) Es gibt keine magnetischen Ladung (keine magnetsiche Monopole), die ein Magnetfeld erzeugen würden 3.1 Der elektrische Strom Stromstärke I = dq dt = Ladung durch Querschnitt Zeit Stromdichte j = di da e mit A = Leiterquerschnitt oder beliebige Fläche, durch die der Stromfluss berechnet werden soll folgt: I = j da Beispiel 3.1 Betrachte eine Strommdichte in x-richtung j(r) = j x (r)e x. Dann ist der Strom durch die yz Ebene: I yz = j da = da j yz yz xe x e x = dy dz j x A Für den Strom geladener Teilchen mit Geschwindigkeit v, die eine Ladungsverteilung ρ bilden gilt: j = ρ d3 r ρ da dx e e = = ρve da dt da dt ρv = j v, ρ können von Ort und Zeit abhängen Ladungserhaltung Gesamtladung bleibt (in der Regel, siehe Annhiliation o.ä.) gleich. Dass heißt, Ladungsänderung in einem Volumen V entspricht Strom durch die Oberfläche A(V ) (Nebenbemerkung: Per Definition zeigt die Richtung nach draußen) dq dt = I d ρ d 3 r = dt V A(V ) j da = V j d 3 r Dies gilt für beliebige Volumina, insbesondere für beliebig Kleine