Übungen zu Physik I für Physiker Serie 5 Musterlösungen

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1 Übungen zu Physik I für Physiker Serie 5 Musterlösungen Allgemeine Fragen 1. Wohin geht die Energie, die durch Reibung verbraucht wird? Nenne praktische Beispiele. Sie wird in Wärme umgewandelt. Beispiele: heissgelaufene Bremsen, warme Hände durch reiben, heissgelaufener Bohrer, In der Abb. 1 ist das Potential V pot als Funktion von x gezeigt. Gib für jeden Punkt an, ob die Kraft positiv, negativ oder Null ist. Wo ist der Betrag der Kraft am grössten? Bestimme alle Gleichgewichtslagen und gib an, ob das betreffende Gleichgewicht stabil, labil oder indifferent ist. Abb. 1: Potentialkurve für ein V pot x. Die Kraft berechnet sich aus dem Gradienten des Potentials, in diesem eindimensionalen Fall also F = dv dx. Gleichgewicht GG hat man dort, wo die Kraft Null ist. Für ein stabiles GG muss die Kraft der Auslenkung entgegenwirken, bei einem labilen GG ist die Kraft in Richtung der Auslenkung. Ein indifferentes GG liegt vor, wenn auch bei einer Auslenkung oder Verrückung des Körpers die Kraft Null bleibt. Entsprechend erhält man für die Punkte: A dv dx > 0 F negativ B dv dx C dv D dv dx = 0 F = 0, labiles GG dx < 0 F positiv, dv dx maximal, daher auch Kraft am grössten = 0 F = 0, stabiles GG E dv dx > 0 F negativ F dv dx = 0 F = 0, indifferentes GG 3. Ein Kahn soll mittels eines starken Blasebalgs angetrieben werden, wozu die folgenden Vorschläge gemacht werden: a freier Luftstrom, b Luftstrom trifft Segel und c Luftstrom trifft auf Schaufelrad, welches eine Schiffsschraube antreibt. Welche Wirkungen haben diese 3 Antriebsarten? Nehmen wir zunächst einmal an, der Blasebalg würde kontinuierlich arbeiten, z.b. ein Föhn. Dieser sauge Luft von beiden Seiten links und rechts an und blase die beschleunigte Luft nach vorne 1

2 Abb. 2: Antriebsvorschläge weg. Auf Grund des Impulssatzes muss der Föhn pro Zeiteinheit den gleich grossen, entgegengesetzten Impuls der weggeblasenen Luft aufnehmen. Es wirkt also eine konstante Kraft auf den Föhn und wenn er fest mit dem Schiff verbunden ist, wird dieses mit einer konstanten Kraft beschleunigt, im Fall a nach rechts. Im Fall b mit dem Segel wird es schon etwas komplizierter und wir müssen Annahmen über das Segel machen. Bremst das Segel den Luftstrom einfach ab, wird ein gleich grosser Impuls pro Zeit auf das Segel wie auf den Föhn übertragen. Wegen entgegengesetzter Richtungen ist die gesamte Impulsänderung gleich Null, das Schiff bewegt sich nicht. Wird zumindest ein Teil der Luft reflektiert ist die Impulsübertragung auf das Segel grösser als auf den Föhn, das Schiff würde sich nach links bewegen, im Fall einer vollelastischen Reflektion nach hinten mit derselben Beschleunigung wie in Teil a. Der letzte Vorschlag ist sowohl von der technischen Realisierung als auch von den physikalischen Prinzipien noch etwas komplizierter. Nehmen wir an, die Schaufeln würden den Luftstrom wieder gerade zum Stillstand bringen, wirkt auf sie auch gerade die Kraft auf den Föhn. Diese Kraft wird nun aber nicht unmittelbar auf das Schiff übertragen, sondern führt zu einem Drehmoment auf das Windrad welches sich zu drehen beginnt. Diese Drehbewegung wird mittels eines Getriebes auf die Schiffschraube übertragen, welche dann eine Kraft auf das Wasser ausübt. Ist das Getriebe richtig geplant Untersetzung!, kann diese Kraft grösser sein als die auf den Föhn und das Schiff kann sich nach links bewegen. Hat das Getriebe auch noch einen Vorwärts- und Rückwärtsgang sind beide Richtungen möglich. Am effizientesten wird aber der Vorschlag a sein. Da im Fall b höchstens ein Teil der Luft reflektiert wird in anderen Worten: die Reflektion ist teilweise inelastisch wird die Beschleunigung kleiner als im Fall a sein. Im Fall c ist der Wirkungsgrad dieses Antriebs in jedem Fall kleiner 1. Das Windrad wird wie das Segel nicht optimal funktionieren und auch das Getriebe und die Schiffschraube führen zu weiteren Verlusten. Hat man einen echten Blasebalg werden die Bewegungen insbesondere in den Fällen b und c sehr holperig verlaufen. Nach der Kompression des Balgs wird sich das Schiff auf alle Fälle erstmal nach rechts bewegen, da das beschleunigte Luftpaket eine gewissen Zeit benötigt um das Segel bzw. das Windrad zu erreichen. Erst dann findet der zweite Impulsübertrag statt, bei dem das Schiff nach links beschleunigt wird und sich dann eventuell in diese Richtung bewegt oder auch nur zur Ruhe kommt. Aufgaben 1. Satellit [2 Punkte] a Satelliten, welche sich synchron mit der Erde drehen, sind z.b. für die Übertragung von Fernseh- und Radioprogrammen wichtig. Berechne den Radius solch einer geostationären Umlaufbahn. Gravitationskonstante Γ = m 3 /kg s 2 2

3 b Wie gross sind für solch eine Umlaufbahn kinetische bzw. potentielle Energie für einen Satelliten mit einer Masse von 150 kg? Setze, wie in solchen Fällen üblich, das Potential im Unendlichen auf Null; die Erdmasse ist m Erde = kg. c Zeige, dass das Verhältnis im Aufgabenteil 1b für jede stabile Kreisbahn um eine Zentralmasse gleich ist. a Auf geostationärer Bahn muss gelten: ω Sat = ω Erde = 2π T mit T = s = 1 d. Für eine stabile Satellitenbahn muss ferner gelten: G = F z Γ M Erdem Sat r 2 = m Sat ω 2 Satr r 3 = ΓM Erde ωsat 2 ΓM Erde r = 3 ωsat km 1 b oder km über der Erdoberfläche. E pot = Γ M Erdem Sat r = GJ verwendet man v = ωr wird die kinetische Energie zu E kin = 1 2 m Satω 2 Satr 2 = GJ = 1 2 E pot. c Für das Verhältnis erhält man E pot E kin = ΓM Erdem Sat r 1 2 m Satω 2 Sat r2 = 2ΓM Erde ω 2 Sat r3 und mit Gl. 1 = 2ΓM Erdeω 2 Sat ω 2 Sat ΓM Erde = 2. Anders geschrieben: 2E kin + E pot = 0 ein Spezialfall des Virial Theorems 3

4 2. Skifahrer [2 Punkte] Ein Skifahrer starte aus der Ruhe in einer Höhe h über dem Mittelpunkt einer Kuppe mit dem Radius R = 4.0 m, vgl. Abb. 4. Reibung wird vernachlässigt. a Skizziere die Kräfte, die auf den Skifahrer oben auf der Kuppe wirken. b Bestimme die maximale Höhe h, bei der die Skier im höchsten Punkt der Kuppe gerade noch mit dem Schnee in Kontakt bleiben. c Wie gross ist dann seine Geschwindigkeit? a Auf den Skifahrer wirken nur die Gravitationskraft und die Normalkraft. Damit er über die kreisförmige Kuppe fährt, muss deren Vektorsumme gleich der Zentripetalkraft sein: F Z = G + N 2 Abb. 3: Kräfte auf Skifahrer b Die Geschwindigkeit des Skifahrers lässt sich am einfachsten mit der Energieerhaltung berechnen. Die aus der Höhendifferenz h R zwischen Startpunkt und Gipfel der Kuppe gewonnene potentielle Energie wird in kinetische verwandelt: mgh R = 1 2 mv2 v 2 = 2gh R. 3 Der Grenzfall, dass die Skier den Kontakt mit dem Boden gerade noch nicht verlieren, entspricht N = 0 in Gl. 2. F Z und G haben dieselbe Richtung, also gilt betragsmässig F Z = G, und 3 folgt mit F Z = mv2 R 2mgh R = mg R h = 3 2 R = 6 m. 4 c Diese eben berechnete Höhe h = 3 2R in Gl. 3 eingesetzt ergibt v 2 = gr v = gr m/s 22.6 km/h. 4

5 Abb. 4: Skifahrer fährt über eine Kuppe. Wann hebt er ab? 3. Looping [2 Punkte] Ein Wagen der Masse m gleitet reibungsfrei auf einer Achterbahn von der Höhe H herab und durchläuft einen Looping mit Radius R, vgl. Abb. 5. a Aus welcher Höhe H muss der Wagen mindestens starten, damit der Looping durchlaufen wird? b Bestimmen Sie die Normalkraft, welche die Bahn auf den Wagen ausübt in Abhängigkeit des Winkels φ. Geben Sie die Normalkraft in Vielfachen der Gewichtskraft des Wagens für φ = 0, 90 und 180 an, wenn der Wagen aus der in a berechneten Höhe startet. Abb. 5: Achterbahnfahrt c Bei welchem Winkel φ löst sich der Wagen von der Bahn, wenn er von H = 2R startet? a Im Looping wirkt die von der Bahn auf den Wagen ausgeübte Normalkraft immer in radialer Richtung, ist somit ein Teil der Zentripetalkraft, hinzu kommt noch der in radialer Richtung wirkende Teil der Gewichtskraft G r vgl. auch Abb. 6. F z = G r + N BW 6 Damit der Looping durchlaufen wird muss im obersten Punkt für die Normalkraft N BW 0, bzw. F z G r 7 m v2 R mg. 8 Die Geschwindigkeit ist natürlich von φ abhängig, am einfachsten erhält man sie mit Hilfe des Energiesatzes Gl. 10 in 8 eingesetzt und nach H aufgelöst erhält man H 5 R

6 E kin = E pot,0 E pot,φ 1 2 mv2 = mgh mgr1 cosφ v 2 = 2g[H R1 cosφ] 9 φ = 180 ergibt v 2 = 2g[H 2R] 10 Abb. 6: Kräfte während einer Looping-Fahrt b Aus Gl. 6 erhält man für die Normalkraft N = F z G r. Nun müssen aber alle Kräfte als Funktion von φ ausgedrückt werden. Für F z hat man das mit der Geschwindigkeit v schon getan. Für G r erhält man schliesslich G r = mgcosφ. Nφ = 2mg [H R1 cosφ] + mgcosφ R [ ] 2H = mg R 2 + 3cosφ 12 Setze H = 5 2R dann erhält man N0 = 6mg N90 = 3mg N180 = 0 c Den Ablösewinkel falls der Wagen von einer Höhe H < 5 2R startet erhält man aus Gl. 12 indem man Nφ a = 0 und z.b. für H = 2R einsetzt: [ ] 4R 0 = mg R 2 + 3cosφ a cosφ a = 2 3 φ a

7 4. Zentraler Stoss mit unterschiedlichen Massen [4 Punkte] Zwei Bälle mit Massen m 1 und m 2 werden aus einer Höhe h wie in der Skizze fallen gelassen. Sie prallen elastisch vom Boden ab und fliegen wieder nach oben. a Welche Geschwindigkeit v 2 hat der leichtere Ball unmittelbar nach dem Aufprallen, wenn er unmittelbar zuvor die Geschwindigkeit u 2 hatte? Verwende als Näherung, dass m 2 m 1. b Zeige mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für einen Stapel aus N Bällen, wobei für die Massen der Bälle m i = αm i 1, mit 0 < α 1, gelte, der N-te Ball nach dem Aufspringen die Geschwindigkeit 2 N v N 1 + α N Abb. 7: Elastischer Stoss mit unterschiedlichen Massen erhält. v 0 ist die gemeinsame Geschwindigkeit der Bälle unmittelbar vor dem Aufspringen. c Berechne unter Verwendung von Gl. 13 wieviele Bälle notwendig wären, um bei einer Fallhöhe von 2 m dem obersten Ball eine Geschwindigkeit v N > v Schall = 340 m/s zu erteilen? Der nächste Ball sei immer doppelt so schwer wie der darüberliegende. Welche Masse hätte dann der unterste Ball, wenn man als obersten Ball einen Tischtennisball m = 2.7 g nähme? a Wir nehmen an, dass zwischen den Bällen eine kleine Lücke δx sei, so dass es nacheinander erst zu einer Reflektion des unteren Balles und dann einem elastischen Stoss zwischen unterem und oberen Ball kommt. Entsprechend der Fallhöhe haben beide Bälle unmittelbar vor dem Auftreffen die Geschwindigkeit v 0 = 2gh wegen der Richtung nach unten. Der untere Ball wird am Boden elastisch reflektiert, d.h. er kehrt seine Bewegungsrichtung um und hat dann die Geschwindigkeit +v 0. D.h. als Geschwindigkeiten vor dem Stoss zwischen Ball 1 und 2 hat man die Geschwindigkeiten u 1 und u 2 = v 0, welche man in die Gleichungen für den zentralen elastischen Stoss einsetzt. Uns interessiert nur die Geschwindigkeit des zweiten Balles, also v 2 = m 2 m 1 u 2 + 2m 1 u 1 m 1 + m 2 14 = m 2 m 1 v 0 + 2m 1 v 0 m 1 + m 2 15 für den Grenzfall einer sehr kleinen Masse m 2, vereinfacht sich das zu 2m 1 v 0 + m 1 v 0 = 3v 0. m 2 m 1 m 1 7

8 b Wir überprüfen Gl. 13 zunächst für den Fall N = 2 N = 1 ergibt zwar auch die richtige Lösung, ist aber trivial, da dann gar kein Stoss stattfindet. Hierfür können wir Gl. 15 verwenden, wenn wir m 2 = αm 1 einsetzen: v 2 = αm 1 m 1 v 0 + 2m 1 v 0 m 1 + αm 1 = m 1v 0 [1 α + 2] m α α 1 + α α 1 1 Nun folgt der Induktionsschritt: N 1 N Vor dem Stoss: 2 N 1 u 1 = v N α N 2 1 u 2 = v 0 Diese Anfangsgeschwindigkeiten müssen in Gl. 14 zusammen mit m 2 = αm 1 eingesetzt werden um v N zu berechnen: αm 1 m 1 v 0 + 2m 1 v 2 N α v N = N 2 m 1 + αm 1 1 α + 2 2N 1 1+α N α 1 α1 + α N N 21 + α N α N α 2 N [2 + α 1]1 + αn α N α N α 2 N 1 + α N 1 1 c Unter Verwendung von Gl. 13 kann man folgende Ungleichung aufstellen 2 N v Schall < v α N 1 1 v Schall 2 N + 1 < v α N 1 vschall ln + 1 < N ln2 N 1ln1 + α v 0 ln vschall v ln1 + α N >. ln2 ln1 + α Mit α = 1 2 und v 0 = 2gh 6.26 m/s folgt für N > N = 13 v m/s. 8

9 Das Gewicht des untersten Balles berechnet sich zu m 1 = α 1 N m N = 2 12 m kg. 5. Wegintegral [2 Punkte] Berechne die Arbeit, die verrichtet wird, wenn ein Massenpunkt mit Masse m unter dem Einfluss der Gravitationskraft von A nach B bewegt wird. siehe Figure 8 Abb. 8: Koordinatensystem mit kartesischen Koordinaten und Poloarkoordinaten a Berechnen Sie die Arbeit, die verrichtet wird, wenn sich der Massenpunkt entlang des Viertelkreises mit Radius R Weg C 1 von A nach B bewegt. Hinweis: Benutzen Sie Polarkoordinaten b Zeigen Sie, dass die gleiche Arbeit verrichtet wird, wenn sich der Massenpunkt entlang der x-koordinate und dann entlang der y-koordinate von A nach B Weg C 2 bewegt. a In Polarkoordinaten: x = Rcosφ, y = Rsinφ mit Ableitung dx dt = R dφ dt da R =konst. B B W = F d r = F r tb dt = A π 2 0 A ta 0 mg mgrcosφ dφ = mgrsinφ π/2 0 = mgr R dφ R dφ sinφ, dy dt = R dφ dt cosφ dt sinφ dt cosφ dt = b Da nur die Komponente der Kraft parallel zur Bewegungsrichtung Arbeit verrichtet, wird auf dem Weg von A nach 0,0 entlang der x-achse keine Arbeit verrichtet. Die Bewegung von 0,0 nach B entlang der y-achse ist parallel zur Gravitationskraft und also ist W = mgr. 9