Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete

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Nadine Engel
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1 Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Band 8 Herausgegeben von P. R. Halmos. P. J. Hilton R. Remmert B. Szokefalvi-Nagy Unter Mitwirkung von L. V. Ahlfors. R. Baer. F. L. Bauer R. Courant A. Dold J. L. Doob. S. Eilenberg. M. Kneser. G. H. Muller M. M. Postnikov H. Rademacher F. K. Schmidt B. Segre. E. Sperner Geschaftsfuhrender Herausgeber: P. J. Hilton

2 Hans Wittich Neuere Untersuchungen tiber eindeutige analytische Funktionen Mit 31 Abbildungen Zweite, korrigierte Auflage Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1968

3 Prof. Dr. H. Wittich Mathematisches Institut der Universitli.t Karlsruhe ISBN-13: DOl: e-isbn-13: AIle Rechte varbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftiiche Oenehmillllnil des Sprinaer-VerJaaes iibersetzt oder in irpndeiner Form vervielfiltilll werden. by Sprinaer-Verlaa OHO. Berlin 06ttinpn. Heidelberll 1955 by Sprinaer-Verlaa Berlin. Heidelberll1968 Solkover reprint of the hardcover 2nd edition 1968 Library af Conaress Catalall Card Number Tilel Nr. 4552

4 Vorwort. In der Monographie "Eindeutige analytische Funktionen" weist Herr R. NEVANLINNA auf eine Reihe von Einzelfragen hin, die aus Platzmangel nicht behandelt werden konnten. Es handelt sich dabei urn Untersuchungen, die mit den beiden Hauptsiitzen der Wertverteilung in enger Beziehung stehen. Mit dem vorliegenden Bericht wird der Versuch gemacht, diese Lucke auszufullen. Eine solche Zielsetzung bedingt insofern eine Abweichung von der ublichen Berichtsform, als die Beweise eingehender dargestellt werden mussen. In der Einleitung habe ich versucht, die zentralen Fragen der Wertverteilungslehre an den rationalen Funktionen zu erliiutern. Danach ordnet sich die Theorie des Maximalgliedes bei ganzen transzendenten Funktionen organisch in den Bericht ein und erscheint nicht nur als ein wichtiges Hilfsmittel beim Studium der L6sungen gewohnlicher Differentialgleichungen. Die Tatsache, dab die Wertverteilungslehre sich bei manchen Untersuchungen uber die Losungen gewohnlicher Differentialgleichungen als besonders zugkriiftiges Hilfsmittel erweist, rechtfertigt einen kurzen Exkurs in diese Theorie. 1m Zusammenhang mit der Umkehrung der zweiten Haupt~ ungleichung und mit dem Umkehrproblem der Wertverteilung spielen die einfach zusammenhangenden Flachen mit endlich vielen Grundpunkten eine ausgezeichnete Rolle. Zu ihrer Behandlung eignen sich quasikonforme Abbildungen. Aus diesem Grunde werden konforme und quasikonforme Abbildungen von Ringgebieten ausfuhrlich erortert, insbesondere ein Satz uber die Verzerrung bei quasikonformen Abbildungen. Wie wichtig Modulabschiitzungen fur die Theorie der konformen Abbildung sind, zeigen eindringlich die Untersuchungen von H. GROTZSCH, auf die gelegentlich hingewiesen wird. Auf die Theorie der meromorphen Kurven von L. AHLFORS, H. und J. WEYL konnte ich nicht eingehen. Man wird das kaum als Mangel empfinden, da die schone Darstellung von H. WJ!.YL: Meromorphic functions and analytic curves (Princeton University Press, 1943) zur Verfugung steht.

5 Vorwort Zu besonderem Dank bin ich den Privat<.lozenten Dr. H. P. Ku~ZI (Zurich) und Dr. H. SCHUBART (Karlsruhe), sowie Herrn H. HEUSER (Karlsruhe) verpflichtet, die mich bei den Korrekturen in tatkraftiger Weise unterstutzt haben. Karlsruhe, im September Math. Institut der Techn. Hochschule. Wittich.

6 Einleitung... Inhaltsverzeichnis. 1 I. Theorie des Maximalgliedes von WIMAN-VALIRON Zusammenhang zwischen Zentralindex, l\iaximalglied und Maximalbetrag bei ganzen transzendenten Funktionen und ihren Ableitungen. Beweis des kleinen PIcARDsehen Satzes. II. Die beiden Hauptsiitze der Wertnrteilungslehre Erster und zweiter Hauptsatz. Folgerungen aus dem zweiten Hauptsatz und der Hauptungleichung. Ordnung der Ableitung einer meromorphen Funktion. Zur Defektrelation. III. \\>'eitcre Folgerungen aus den Hauptsatzen. Erganzungen 31 Ordnung und Defektverteilung. Zich\'crte und defekte vverte. Erweiterung der CARTAKschen Beziehung durch FROST ~L\l\" und LEHTO. Beitrage von HA YMAK-STEWART und DINGHAS zur Theorie der Uberlagerungsflachen. Funktionen mit mehrfach zusammenhangendem Existenzgebiet. IV. Umkehrung des zweiten Hauptsatzes Abschatzung der Schmiegungsfunktion. umkehrung des zweiten Hauptsatzes fiir Funktionen, die Flachen mit endlich vielen Grund punkten erzeugen. Verallgemeinerungen von SELBERG und COLLINGWOOD, V. Anwendungen auf gewohnliche Differentialgleichungcn.. 63 Ganze tran~zendente Losungen nichtlinearer Differentialgleichungen. Ordnung und Defektverteilung der Losungen linearer Difierentialgleichungen. Satz von MALMQUIST. RICCATIsche und PAINLEVE sche Differentialgleichungen. \'1. Konforme und quasikunforme Abbildungen \,on l~inggebieten Der Modul eines Ringgebietes. Extremalge bict von G ROTZSCH. Reduzierter Modul. Der l\iodulsatz. Quasikonforme Abbildungen. Verzerrung bei quasikonformer Abbildung. VII. Uber das Typenproblem EinfluB der Grundpunkte. Kriterium von R. KEVA:<1LINN,\ VVITTICH. Kriterien fiir spezielle Flachen

7 VIII I nhaltsverzeichnis VIII. Das Umkehrproblem der Wertverteilung Flachen mit endlich vielen periodischen Enden. Periodisch endende Flachen. Funktionen mit maximalem Verzweigungsindex. Funktionen mit unendlich vielen positiven Verzweigungsindizes. Streckenkomplexe mit doppeltperiodischen Enden. IX. Funktionen mit beschranktem DIRICHLET-Integral 145 Interpolationsaufgaben. Schlitzabbildungen. Kriterien fiir D-hebbare Punktmengen. Zusammenhang mit der extremalen Lange. Li teraturverzeichnis lis

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