Skript. Massivbau I und II. DIN (Juli 2001) Hilfsmittel, Tabellen und weitere Unterlagen. bearbeitet von Prof. Dr.-Ing.

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1 Skript Massivbau I und II DIN (Juli 2001) Hilfsmittel, Tabellen und weitere Unterlagen bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Jörg Reymendt Stand: März 06 University of applied sciences Prof. Dr.-Ing. Hans Georg Reinke Prof. Dr.-Ing. Jörg Reymendt

2 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 2 Inhaltsverzeichnis 1 LEHRINHALTE MASSIVBAU I-III: MASSIVBAU I MASSIVBAU II MASSIVBAU III WICHTIGE LITERATUR FÜR MASSIVBAU I,II,III: BETONSTABSTAHLTABELLEN EXPOSITIONSKLASSEN UND BETONDECKUNG VERANKERUNG VON BEWEHRUNGSSTÄBEN VERANKERUNGSLÄNGE VON BEWEHRUNGSSTÄBEN ÜBERGREIFUNGSLÄNGE VON BEWEHRUNGSSTÄBEN ÜBERGREIFUNGSSTÖßE VON BETONSTAHLMATTEN BESTIMMUNG VON BETONDRUCKFESTIGKEIT, BETONFESTIGKEITSKLASSEN BESTIMMUNG DER BETONZUGFESTIGKEIT WERKSTOFFGESETZE UND QUERSCHNITTBEMESSUNG BETON BETONSTAHL SICHERHEITSKONZEPT UND TEILSICHERHEITSBEIWERTE BEGRENZUNG DER VERFORMUNGEN (BIEGESCHLANKHEIT) EXAKTE BERECHNUNG AM BAUTEIL NACHWEIS DER BEGRENZUNG DER VERFORMUNG OHNE DIREKTE BERECHNUNG TRAGWERKSIDEALISIERUNGEN MITWIRKENDE PLATTENBREITE WIRKSAME FELDLÄNGEN GEOMETRISCHE BEDINGUNG FÜR DIE BEHANDLUNG ALS VOLLPLATTE SCHNITTGRÖßENERMITTLUNG VERFAHREN DER SCHNITTGRÖßENERMITTLUNG UMLAGERUNG VON SCHNITTGRÖßEN BEMESSUNG FÜR BIEGUNG BIEGEBEMESSUNG MIT GESCHÄTZTEM INNEREN HEBELARM BIEGEBEMESSUNG MIT SPANNUNGSBLOCKVERFAHREN VEREINFACHTE BIEGEBEMESSUNG EINES PLATTENBALKENS PARABEL-RECHTECK-VERLAUF ALS NICHTLINEARE BETONDRUCKZONE ALLGEMEINES BEMESSUNGSDIAGRAMM FÜR RECHTECKQUERSCHNITTE BEMESSUNG FÜR QUERKRAFT ALLGEMEINER NACHWEIS BAUTEILE OHNE SCHUBBEWEHRUNG BAUTEILE MIT SCHUBBEWEHRUNG...37

3 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II MINDESTQUERKRAFTBEWEHRUNG VON BALKEN UND PLATTENBALKEN BEMESSUNG FÜR TORSION NACHWEIS BEI REINER TORSION QUERKRAFT UND TORSION ANSCHLUSS ZUG- UND DRUCKGURT BEI PLATTENBALKEN NORMALKRAFTBEANSPRUCHTE BAUTEILE AUSGESTEIFTE UND UNAUSGESTEIFTE TRAGWERKE VERSCHIEBLICHE UND UNVERSCHIEBLICHE SYSTEME SCHLANKHEIT VON STÜTZEN MODELLSTÜTZENVERFAHREN DRUCKGLIEDER MIT ZWEIACHSIGER BIEGUNG BEWEHRUNGSRICHTLINIEN UND BAULICHE DURCHBILDUNG VON DRUCKGLIEDERN VIERSEITIG GESTÜTZTE PLATTEN NACH PIEPER MARTENS LASTVERTEILUNGSBREITE BEI EINACHSIG GESPANNTEN PLATTEN AUFLAGERKRÄFTE VIERSEITIG GELAGERTER PLATTEN UNTER GLEICHFLÄCHENLAST...57

4 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 4 1 Lehrinhalte Massivbau I-III: 1.1 Massivbau I 1. Grundlagen des Verbundwerkstoffs Stahlbeton Kraftfluss ungerissener und gerissener Stahlbeton Werkstoffe und Werkstoffkennlinien Beton Stahl Verbundwirkung Modellbetrachtung, Stabwerke, B- und D- Bereiche Betondruckstab Stahlbetonzugstab Normen : DIN , EC2 und DIN Sicherheitskonzept 2. Biegebemessung von Rechteckquerschnitten B - Bereich, Kraftfluss Lastniveau : Rechnerischer Bruchzustand Ermittlung der Biegebewehrung, Nachweise der Biegetragfähigkeit mit geschätztem inneren Hebelarm und Überprüfung der Druckzone mit Spannungsblock mit Werkstoffkennlinien und Bernoulli - Hypothese Hilfsmittel : k d - Verfahren und Dimensionsfreie Bemessungsdiagramme 3. Querkraftbemessung von Stahlbetonträgern mit Bügelbewehrung B - Bereich, Kraftfluss Lastniveau : Rechnerischer Bruchzustand Stabwerk, Fachwerkanalogie nach Mörsch Fachwerkstatik des parallelgurtigen Fachwerks Bemessung der Bügel und Nachweis der schrägen Druckstäbe mit angesetztem Druckstrebenneigungswinkel 45 und 31 Standardverfahren nach DIN Mindestbügelbewehrung bei kleiner Querkraftbeanspruchung Nachweis der schrägen Druckstreben nach EC 2 4. Querkraftbemessung von Platten ohne Bügelbewehrung B - Bereich, Kraftfluss Stabwerkmodell, Zahnmodell Fachwerkstatik Nachweis der Querkrafttragfähigkeit Tragfähigkeit nach DIN Einfluss der Plattendicke und der Längsbewehrung

5 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 5 5. Torsionsbemessung B - Bereich, Kraftfluss Fachwerkhohlkasten Bemessung der Bügelbewehrung und Nachweis der Betondruckstreben mit angesetztem Druckstrebenneigungswinkel 45 Tragfähigkeit nach DIN Nachweis der schrägen Druckstreben nach DIN Nachweis der schrägen Druckstreben bei Torsion und Querkraft nach DIN Stahlbetonträger mit Biegung und Querkraft Tragwerksentwurf von einfachen Stahlbetonbauteilen Lastannahmen Einfache Statische Systeme Stützweiten Einspannungen Ermittlung von Schnittgrößen Einfeldträger und einachsig gespannte Platten Kragarme Durchlaufträger und einachsig gespannte Durchlaufplatten Momentenumlagerung im Stahlbeton Umlagerungsbegrenzungen nach DIN Mindestmomente bei statisch nicht erfassten Einspannungen etc. Stabwerkmodell für den Träger Versatzmaß und Zugkraftdeckungslinie Mindestabmessungen von Massivbauteilen Träger Deckenplatten : Biegeschlankheit gemäß DIN Gebrauchsfähigkeit von Stahlbetonbauteilen Kraftfluss bei Gebrauchslast Begriff der Rissbreite Einfache Berechnung der Rissbreite Beschränkung der Rissbreite nach DIN Überblick über die DIN Begriffsvergleich von DIN , EC 2 und DIN Werkstoffklassifizierung Teilsicherheitskonzept Bemessung für Biegung Bemessung für Querkraft Gebrauchsfähigkeit 9. Anwendungsbeispiele Deckenplatte über ein- und mehrere Felder Unterzüge

6 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Massivbau II 1. Stahlbetonplattenbalken mit Biegung und Querkraft Tragwerksentwurf von Stahlbetonplattenbalken Abmessungen von Plattenbalken Biegeschlankheitswerte Bemessung von Plattenbalken Statische Systeme Stützweiten und Einspannungen 2. Zweiachsig gespannte Plattensysteme Kraftfluss Drillsteife und Drillweiche Platten Randbedingungen Schnittgrößenermittlung mit einfachen Gleichgewichtsbedingungen und Tafelwerken Bewehrungsführung 3. Druckbeanspruchte Systeme ohne Stabilitätseinfluss Biegung mit Normalkraft Bemessung mit Spannungsblock mit k d - Tafel mit Interaktionsdiagrammen 4. Druckbeanspruchte Systeme mit Stabilitätseinfluss Globaler Kraftfluss Einfluss von Verformungen und Steifigkeiten auf die Schnittgrößen Knicken von einfachen Stahlbetonstabtragwerken Knicksicherheitsnachweis gemäß EC 2 Bewehrungsführung 5. Verankerungstragfähigkeit von Beton Kraftfluss Modellformulierung Druckkegel mit Zugring Betonzugfestigkeit Rippengeometrie Rechenwerte der Verbundspannungen gemäß DIN Verbundbereiche Verankerungslänge gemäß EC 2 Konstruktive Details 6. Zeichnerische Darstellung der Stahlbetonkonstruktionen Schalpläne Bewehrungspläne

7 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Massivbau III 1. Der vollständige Kraftfluss von Stahlbetonträgern Begriff B - und D - Bereiche, Kraftfluss Modellbetrachtung, Stabwerke Betondruckstab Stahlbetonzugstab Normen : DIN , EC2, DIN Globales Sicherheitskonzept der DIN Teilsicherheitskonzept der DIN Berechnung und Bemessung einiger typischer D - Bereiche und Umsetzung der Bemessung in Bewehrungsskizzen und Bewehrungspläne Lasteinleitungen bei Trägern Auflagernahe Einzellast Unten angehängte Einzellast Einfeldscheibe Abfangwand eines Einkaufszentrums Tür im Brückenpfeiler Konsolen einer Fertigteilstütze Ausgeklinkte Träger. Einzelfundamente Köcherfundamente Aussparungen von Trägern Aussparungen in Decken Konzentrierte Einzel- und Linienlasten, Spaltzugbeanspruchungen punktförmig gestützte Platten (Flachdecken) Schnittgrößenermittlung Durchstanznachweis Streifen- und Grenzfundamente 3. Horizontale Gebäudeaussteifung Labilitätszahl Lastfall Wind und Lotabweichung Lastverteilung der Horizontalkräfte auf aussteifende Bauteile 4. Mauerwerksbau Tragwerksentwurf von Mauerwerksbauten Grundrisse von typischen Mauerwerksbauten Aussteifung von Mauerwerk Mauerwerk Mauerwerksarten, Steinfestigkeitsklassen Bemessung von Mauerwerk gemäß DIN Semesterarbeit Statik (Aufbau einer statischen Berechnung) Schal - und Bewehrungspläne

8 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 8 2 Wichtige Literatur für Massivbau I,II,III: Schneider Bautabellen, Werner - Verlag, Düsseldorf Wendehorst/Muth Bautechnische Zahlentafeln, B.G. Teubner Verlag, Stuttgart Beispiele zur Bemessung von Betontragwerken nach DIN , Deutscher Beton Verein Avak: Stahlbetonbau in Beispielen Teil 1: Bemessung von Stabtragwerken Avak: Stahlbetonbau in Beispielen Teil 2: Bemessung von Flächentragwerken Konstruktionspläne für Stahlbetonbauteile Besonders empfehlenswerte, weiterführende Literatur: Betonkalender, Verlag Ernst und Sohn, Berlin (erscheint jährlich); Hier sind regelmäßig die aktuellen Normen und zugehörige Beiträge zur Anwendung abgedruckt. Wommelsdorff: Stahlbetonbau Bemessung und Konstruktion Teil 1: Grundlagen - Biegebeanspruchte Bauteile WIT Wommelsdorff: Stahlbetonbau Bemessung und Konstruktion Teil 2: Stützen und Sondergebiete des Stahlbetonbaus (DIN 1045/2001); WIT Grasser/Kupfer/Pratsch/Feix: Bemessung von Stahl- und Spannbetonbauteilen; Betonkalender. Kordina/Quast: Bemessung von schlanken Bauteilen für den durch Tragwerksverformungen beeinflussten Grenzzustand der Tragfähigkeit Stabilitätsnachweis; Betonkalender. Schlaich/Schäfer Konstruieren im Stahlbeton; Betonkalender Steinle/Hahn: Bauen mit Betonfertigteilen im Hochbau, Betonkalender Hefte des Deutschen Ausschuss für Stahlbeton (DAfStb), Beuth -Verlag, Berlin Bemessungshilfsmittel zu DIN , besonders empfehlenswert Heft 525 Vorlesungen über Massivbau, Band I bis VI, Leonhardt, Springer - Verlag, Heidelberg Menn Stahlbetonbrücken, Springer - Verlag, Wien Mauerwerkkalender, Verlag Ernst und Sohn, Berlin (erscheint jährlich) Mauerwerksbau, Pohl/Schneider/Wormuth/Ohler/Schubert, Werner - Verlag, Düsseldorf

9 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 9 3 Betonstabstahltabellen Nenndurchmesser d s in mm Nennquerschnitt A s in cm² 0,283 0,503 0,785 1,131 1,54 2,01 3,14 4,91 6,16 8,04 12,57 Nenngewicht G in kg/m 0,222 0,395 0,617 0,888 1,21 1,58 2,47 3,85 4,83 6,31 9,86 Tab. 1 Querschnitte und Nenngewichte für Betonstahl; max. Länge 12 m (bis 15 m) Stababstand s Stabdurchmesser in mm Stäbe pro in cm m 5,0 5,65 10,05 15,71 22,62 30,79 40,21 62,83 98,17 123,15 20,0 5,5 5,14 9,14 14,28 20,56 27,99 36,56 57,12 89,25 111,95 18,2 6,0 4,71 8,38 13,09 18,85 25,66 33,51 52,36 81,81 102,63 16,7 6,5 4,35 7,73 12,08 17,40 23,68 30,93 48,33 75,52 94,73 15,4 7,0 4,04 7,18 11,22 16,16 21,99 28,72 44,88 70,12 87,96 14,3 7,5 3,77 6,70 10,47 15,08 20,53 26,81 41,89 65,45 82,10 13,3 8,0 3,53 6,28 9,82 14,14 19,24 25,13 39,27 61,36 76,97 12,5 8,5 3,33 5,91 9,24 13,31 18,11 23,65 36,96 57,75 72,44 11,8 9,0 3,14 5,59 8,73 12,57 17,10 22,34 34,91 54,54 68,42 11,1 9,5 2,98 5,29 8,27 11,90 16,20 21,16 33,07 51,67 64,82 10,5 10,0 2,83 5,03 7,85 11,31 15,39 20,11 31,42 49,09 61,58 10,0 10,5 2,69 4,79 7,48 10,77 14,66 19,15 29,92 46,75 58,64 9,5 11,0 2,57 4,57 7,14 10,28 13,99 18,28 28,56 44,62 55,98 9,1 11,5 2,46 4,37 6,83 9,83 13,39 17,48 27,32 42,68 53,54 8,7 12,0 2,36 4,19 6,54 9,42 12,83 16,76 26,18 40,91 51,31 8,3 12,5 2,26 4,02 6,28 9,05 12,32 16,08 25,13 39,27 49,26 8,0 13,0 2,17 3,87 6,04 8,70 11,84 15,47 24,17 37,76 47,37 7,7 13,5 2,09 3,72 5,82 8,38 11,40 14,89 23,27 36,36 45,61 7,4 14,0 2,02 3,59 5,61 8,08 11,00 14,36 22,44 35,06 43,98 7,1 14,5 1,95 3,47 5,42 7,80 10,62 13,87 21,67 33,85 42,47 6,9 15,0 1,88 3,35 5,24 7,54 10,26 13,40 20,94 32,72 41,05 6,7 16,0 1,77 3,14 4,91 7,07 9,62 12,57 19,63 30,68 38,48 6,3 17,0 1,66 2,96 4,62 6,65 9,06 11,83 18,48 28,87 36,22 5,9 18,0 1,57 2,79 4,36 6,28 8,55 11,17 17,45 27,27 34,21 5,6 19,0 1,49 2,65 4,13 5,95 8,10 10,58 16,53 25,84 32,41 5,3 20,0 1,41 2,51 3,93 5,65 7,70 10,05 15,71 24,54 30,79 5,0 21,0 1,35 2,39 3,74 5,39 7,33 9,57 14,96 23,37 29,32 4,8 22,0 1,29 2,28 3,57 5,14 7,00 9,14 14,28 22,31 27,99 4,5 23,0 1,23 2,19 3,41 4,92 6,69 8,74 13,66 21,34 26,77 4,3 24,0 1,18 2,09 3,27 4,71 6,41 8,38 13,09 20,45 25,66 4,2 25,0 1,13 2,01 3,14 4,52 6,16 8,04 12,57 19,63 24,63 4,0 Tab. 2 Querschnitte von Flächenbewehrungen a s in cm 2 /m

10 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 10 Stabdurchmesser Anzahl der Stäbe d s in mm ,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5, ,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7, ,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11, ,54 3,08 4,62 6,16 7,70 9,24 10,78 12,32 13,85 15, ,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20, ,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31, ,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49, ,16 12,32 18,47 24,63 30,79 36,95 43,10 49,26 55,42 61, ,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80, ,18 20,36 30,54 40,72 50,89 61,07 71,25 81,43 91,61 101, ,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66 Tab. 3 Querschnittswerte von Balkenbewehrung A s in cm² Balkenbreite in cm Durchmesser d s in mm nom c [mm] nom c [mm] nom c [mm] nom c [mm] nom c [mm] nom c [mm] nom c [mm] nom c [mm] Tab. 4 Größte Anzahl von Stäben in einer Lage für Balkenbewehrung Die Tabelle bezieht sich auf Bügeldurchmesser d s =10 mm (inkl. Krümmungsradius in den Ecken) für die Betondeckungen nom c= 20, 30 und 40 mm, ohne Berücksichtigung von Rüttelgassen. Der Mindeststababstand liegt bei 20 mm bzw. d s.

11 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 11 Lagermattenprogramm Die Kennzeichnung der Typen erfolgt durch die Art der Matte (R- oder Q-Matte), Angabe des Stahlquerschnitts in cm²/m sowie der Duktilitätsklasse (A=normale Duktilität) Länge / Breite [m] Randeinsparung (Längsrichtung) 5,00 / 2,15 ohne 6,00 / 2,15 mit 5,00 / 2,15 ohne 6,00 / 2,15 mit Mattenbezeichnung Q 188 A Q 257 A Q 335 A Q 377 A Q 513 A R 188 A R 257 A R 335 A R 377 A R 513 A mm Mattenaufbau in Stabdurchmesser Anzahl der Längsrandstäbe Stababstände Innenbereicbereich Rand- mm Längsrichtung Querrichtung links rechts Querschnitte as längs quer 150 6,0 1, ,0 1, ,0 2, ,0 2, ,0 3, ,0 3, ,0d 6, , ,0 3, ,0d 7, , ,0 5, ,0 1, ,0 1, ,0 2, ,0 1, ,0 3, ,0 1, ,0d 6, , ,0 1, ,0d 7, , ,0 1,13 Gewichte je Matte je m² cm²/m kg kg 32,4 3,01 44,1 4,10 57,7 5,37 67,6 5,24 90,0 6,98 26,2 2,44 32,2 3,00 39,2 3,65 46,1 3,57 58,6 4,54 Tab. 5 Betonstahl Lagermatten (DIN / ) d s = 6, ,15 d s = 7,0d d s = 7,0 6,00 Bild 1 Aufbau einer Betonstahlmatte mit Randeinsparung am Beispiel R513 A

12 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 12 4 Expositionsklassen und Betondeckung Expositionsklassen für Bewehrungskorrosion Beispiele für Umweltbedingungen Mindestfestigkeitsklasse Kein Angriffsrisiko X0 Kein Angriffsrisiko Unbewehrte Bauteile C 12/15 Karbonatisierungsinduzierte Bewehrungskorrosion XC1 XC2 XC3 XC4 Trocken oder ständig nass Nass, selten trocken Mäßige Luftfeuchtigkeit Wechselnd nass und trocken Innenbauteile, Bauteile unter Wasser Wasserbehälter, Gründungen Außenbauteile Wasserwechselzonen C 16/20 C 16/20 C 20/25 C 25/30 Chloridinduzierte Bewehrungskorrosion XD1 XD2 XD3 Mäßige Feuchtigkeit Nass, selten trocken Wechselnd nass und trocken Sprühnebelbereich von Verkehrsflächen Schwimmbecken Parkdecks (nur mit Beschichtung) C 30/37 C 35/45 C 35/45 Chloridinduzierte Bewehrungskorrosion aus Meerwasser XS1 XS2 XS3 Salzhaltige Luft Unter Wasser Gezeiten, Spritz- und Sprühwasserzonen Außenbauteile in Küstennähe Hafenbecken Kaimauern C 30/37 C 35/45 C 35/45 Tab. 6 Umweltklassen für Bewehrungskorrosion Umweltklasse Anforderungen an die Betondeckung [mm] Karbonatisierungsinduzierte Korrosion Chloridinduzierte Korrosion Chloridinduzierte Korrosion aus Meerwasser XC1 XC2 XC3 XC4 XD1 XD2 XD3 XS1 XS2 XS3 Verbundbedingung c min d s bzw. d sv c min d s bzw. d sv c min d s bzw. d sv c min (Betonstahl) 1) 2) c min (Spannstahl) 1) 2) c (Vorhaltemaß) 3) ) Für Leichtbeton: c min + 5 mm 2) Bei Verschleißangriff XM 1: c min + 5 mm, XM 2: c min + 10 mm, XM 3: c min + 15 mm 3) XC 1: 10%-Quantilwert, XC 2 bis XS 3: 5%-Quantilwert Zusätzliche Anforderungen: siehe DIN , Abschnitt 6.3 Tab. 7 Anforderungen an die Betondeckung Betondeckung für die statische Berechnung: c nom = c min + c

13 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 13 5 Verankerung von Bewehrungsstäben 5.1 Verankerungslänge von Bewehrungsstäben f ck f bd 1,6 2,0 2,3 2,7 3,0 3,4 3,7 4,0 4,3 4,4 4,5 4,7 4,8 4,9 4,9 Tab. 8 Bemessungswert der Verbundspannung f bd [N/mm²] bei guten Verbundbedingungen und d s 32 mm. Für mäßige Verbundbedingung f bd mit dem Faktor 0,7 multiplizieren. a) und b) gute Verbundbedingungen für alle Stäbe c) und d) Stäbe in nicht schraffierten Bereich: gute Verbundbedingungen; Stäbe im schraffierten Bereich: mäßige Verbundbedingungen Bild 2 Festlegung der Verbundbedingungen Grundmaß der Verankerungslänge: l b ds = 4 f f yd bd (siehe Tab. 11) mit: d s = Stabdurchmesser f yd = Bemessungswert an der Streckgrenze des Betonstahls f bd = Bemessungswert der Verbundspannung nach Tab. 8 Verankerungslänge von Stäben: A =α mit: l b = A s,erf, A s,vorh = s, erf b, net a lb lb,min As, vorh l l b,min = α a = Grundmaß der Verankerungslänge (s. oben) erf. bzw. vorh. Querschnittsfläche der Bewehrung Mindestwert der Verankerungslänge = 0,3 α a l b 10 d s für Zugstäbe = 0,6 l b 10 d s für Druckstäbe Beiwert zur Berücks. der Verankerung nach Tab. 9

14 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 14 Tab. 9 Gebräuchlichste Verankerungsarten von Betonstahl 5.2 Übergreifungslänge von Bewehrungsstäben l s = l α l b, net 1 s,min mit: l b,net = Verankerungslänge (s. oben) α 1 = Beiwert nach Tab. 10 l s,min = Mindestwert der Übergreifungslänge = 0,3 α a α 1 l b 15 d s und 200 mm 1 Anteil der ohne Längsversatz gestoßenen Stäbe am Querschnitt einer Bewehrungslage 30 % > 30 % 2 d s < 16 mm 1,2 1,4 Stoß in der Zugzone 3 d s 16 mm 1,4 2,0 4 Stoß in der Druckzone 1,0 1,0 Tab. 10 Beiwerte α 1 für Übergreifungslängen

15 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 15 Betonfestigkeitsklasse Verbund- Stabdurchmesser d s [mm] bedingungen C 12/15 gut mäßig C 16/20 gut mäßig C 20/25 gut mäßig C 25/30 gut mäßig C 30/37 gut mäßig C 35/45 gut mäßig C 40/50 gut mäßig C 45/55 gut mäßig C 50/60 gut Mäßig Tab. 11 Grundmaß der Verankerungslänge l b in [cm] 5.3 Übergreifungsstöße von Betonstahlmatten Ausbildung und Anordnung als Hauptbewehrung Die Festlegungen in der DIN beziehen sich auf den häufigen Fall des Übergreifungsstoßes in zwei Ebenen ( Zwei-Ebenen-Stoß ). Bei Betonstahlmatten mit Bewehrungsgehalt a s < 12 cm²/m darf durch einen Vollstoß ohne Längsversatz gestoßen werden. Bei mehr als 12 cm²/m dürfen nur 60 % des erf. Betonstahlquerschnitts an einer Stelle gestoßen werden. Dies ist zudem nur bei der inneren Lage bei mehrlagiger Bewehrung zulässig. Bei mehrlagiger Bewehrung sind die Stöße der einzelnen Lagen stets mindestens um die 1,3-fache Übergreifungslänge l s in Längsrichtung gegeneinander zu versetzen. Eine zusätzliche Querbewehrung ist im Übergreifungsbereich nicht erforderlich. Übergreifungslänge:

16 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 16 l s =α A s, req 2 lb ls,min As, prov mit: α = a, s 1,0 2,0 α 2 = Beiwert für die Übergreifungslänge von Betonstahlmatten α = Querschnittsfläche in mm² / m (α=a s /s) A s,req erforderliche Querschnittsfläche der Bewehrung. A s,prov vorhandene Querschnittsfläche der Bewehrung. l b l s,min Grundmaß der Verankerungslänge nach Gl. (85) mit dem Bemessungswert der Verbundspannung f bd für gerippte Stäbe. Mindestmaß der Übergreifungslänge: es ist l s, min = 0,3 α 2 l b 200mm sq s q Abstand der angeschweißten Querstäbe Stabdurchmesser der Querstäbe d s 6 mm d s > 6 mm 8,5 mm d s > 8,5 mm 12 mm d s > 12 mm 1 Mindestübergreifungslängen der Querstäbe s l 150 mm s l 250 mm s l 350 mm s l 500 mm s l Stababstand Längsstäbe Tab. 12 Mindestübergreifungslängen in Querrichtung von Betonstahlmatten

17 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 17 6 Bestimmung von Betondruckfestigkeit, Betonfestigkeitsklassen Bezeichnungen DIN : für n Proben: für 3 Proben: z.b. C 20 / 25 B 25 f ck = f ck,cyl (C 20) β WN f ck,cube (C 25) f ck = charakteristische Druckfestigkeit - 5 % Fraktile, - für Kleinserien nach DIN x x x x n min 3 f ck f f min ck f + λ s ck k + λ s ck 1 n n [Vergleich DIN 1045-Alt] x3 β WS = β WN + 5 x β Versuchsdurchführung: 28 Tage Wasserlagerung 7 Tage Wasserlagerung 21 Tage Luftlagerung (DIN 1048, T. 1) Probekörper: Zylinder : h 300 = mm Würfel : a = 200mm d 150 f ck,cyl β WN min WN Würfel : a = 150 mm f ck,cube Bild 3 Probekörper für Betondruckfestigkeitsprüfung nach DIN und DIN 1045 (88)

18 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 18 7 Bestimmung der Betonzugfestigkeit Die Betonzugfestigkeit kann entweder über einen Biegeversuch oder über einen Spaltversuch bestimmt werden. Aus den Ergebnissen kann die axiale Zugfestigkeit abgeleitet werden. f ct = f ct,ax Axiale Zugfestigkeit Biegeversuch: f ct,ax = 0,5 f ct,fl Spaltzugversuch: f ct,ax = 0,9 f ct,sp 2 3 Mittlere Zugfestigkeit: f =,30 f ct, m 0 ck Untere und obere charakteristische Zugfestigkeiten: Lastverteilungsstreifen 5 x 10 mm f ctk;0,05 = 0,7 f ct,m f ctk;0,95 = 1,3 f ct,m Festigkeitsklasse C für Normalbeton [N/mm²] f ck γ c 1,50 1,52 1,53 1,56 1,60 1,63 1,67 f cd 1) 6,8 9,1 11,3 14,2 17,0 19,8 22,7 25,5 28,3 30,8 33,3 38,1 42,5 46,9 50,9 ε c2 [%o] -2,0-2,03-2,06-2,1-2,14-2,17-2,20 ε c2u [%o] -3,5-3,1-2,7-2,5-2,4-2,3-2,2 1) mit Langzeitbeiwert a = 0,85 Tab. 13 Verformungskennwerte für Normalbeton bei der Anwendung des Parabel-Rechteck- Diagramms

19 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 19 8 Werkstoffgesetze und Querschnittbemessung 8.1 Beton σ c (<0) σ c (<0) -f cd -f cd 0 ε c2 ε c2,u Bild 4 Parabel-Rechteck-Diagramm ε c (<0) 0 ε c3 ε c3,u ε c (<0) bilineare Spannungs-Dehnungs-Linie χ f cd = α f ck / γ c α = Abminderungsfaktor bei Langzeiteinwirkung (0,85) γ c = Teilsicherheitsbeiwert für Beton Bild 5 Spannungsblock χ = 0,95 für Normalbeton Bild 6 Vergleich der Betonfestigkeitsklassen DIN und DIN 1045(88)

20 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 20 Spalte Zeile Kenngröße Festigkeitsklassen 1 fck 12 a fck,cube fcm fctm 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 5 fctk;0,05 1,1 1,3 1,5 1,8 2 2,2 2,5 2,7 2,9 6 fctk;0,95 2 2,5 2,9 3,3 3,8 4,2 4,6 4,9 5,3 7 Ecm b εc1-1,8-1,9-2,1-2,2-2,3-2,4-2,5-2,55-2,6 9 εc1u -3,5 10 n 2,0 11 εc2-2,0 12 εc2u -3,5 13 εc3-1,35 14 εc3u -3,5 a Die Festigkeitsklasse C12/15 darf nur bei vorwiegend ruhenden Einwirkungen verwendet werden. b Diese Werte stellen den mittleren Elastizitätsmodul als Sekante bei σc 0,4 fcm dar ,2 3 5, ,65-3,4 2,0-2,03-1,35-1,35-3, ,4 3,1 5, ,7-3,3 1,9-2,06-1,4-1,4-2, ,6 3, ,8-3,2 1,8-2,1-1,5-1,5-2, ,8 3,4 6, ,9-3,1 1,7-2,14-1,6-1,6-2, ,5 6, ,95-3,0 1,6-2,17-1,65-1,65-2, ,2 3,7 6, ,0-3,0 1,55-2,2-1,7-1,7-2,2 16 Analytische Beziehung, Erläuterung N/mm² N/mm² fcm = fck + 8 N/mm² fctm = 0,30 fck (2/3) fctm = 2,12 ln(1+ fcm/10) bis C50/60 ab C55/67 fctk;0,05 = 0,7 fctm 5%-Quantil fctk;0,95 = 1,3 fctm 95%-Quantil Ecm = 9500 (fck + 8) 1/3 N/mm² in %o; gilt nur für Bild 22 in %o; gilt nur für Bild 22 in %o; gilt nur für Bild 22 in %o; gilt nur für Bild 22 in %o; gilt nur für Bild 22 in %o; gilt nur für Bild 22 Tab. 14 Festigkeits- und Formänderungskennwerte für Normalbeton

21 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Betonstahl f f t y k f y f y σ s idealisierter Verlauf ε s [%] 0,2 % ε uk Bild 7 Spannungs-Dehnungs-Linie des Betonstahls für die Schnittgrößenermittlung f yk σ s idealisierter Verlauf f tk,cal = 525 N/mm² E s = N/mm² (E-Modul) α = K -1 (Wärmedehnzahl) Verlauf für Bemessung vereinfachte Annahme ε uk = 50 (hochduktiler Stahl) 2 %o arctan E S ε su = 25 %o ε s [%] f yk = 500 N/mm² (Steckgrenze) f tk = 550 N/mm² (Zugfestigkeit) Bild 8 Spannungs-Dehnungs-Linie des Betonstahls für die Bemessung In der Regel wird in Deutschland hochduktiler Betonstahl BSt 500 geliefert. Für die Querschnittsbemessung ist die Stahldehnung ε s auf den charakteristischen Wert der Stahldehnung unter Höchstlast ε uk 25 zu begrenzen.

22 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 22 Tab. 15 Eigenschaften der Betonstähle Bezeichnung von Betonstählen: A: normale Duktilität B: hohe Duktilität Hinweis: Die Duktilität (Verformungskapazität) des Betonstahls spielt für die Umlagerung von Schnittgrößen eine wichtige Rolle (vlg. Abschnitt 12.2). Normal duktiler Stahl hat ein geringeres Umlagerungsvermögen. Betonstahlmatten (Lagermatten) werden meist aus normal duktilem Stahl gefertigt (z.b. Q513 A).

23 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 23 9 Sicherheitskonzept und Teilsicherheitsbeiwerte ZEI- LE Art der Einwirkung ständig G k veränderlich Q k Vorspannung P k Auswirkung ist γ G γ Q γ P 1 ungünstig 1,35 1,5 1,0 2 günstig 1,00 0 1,0 Tab. 16 Teilsicherheitsbeiwerte γ F für Einwirkung auf Tragwerke nach DIN Kombination Unbewehrtes Betonbauteil γ c Stahlbeton-/ Spannbetonbauteil γ c 1) Betonstahl oder Spannstahl γ s γ P Systemwiderstand bei nichtlinearen Verfahren zur Schnittgrößenermittlung γ R 2 Grundkombination 1,8 1,5 1,15 1,3 3 Außergewöhnliche Kombination (ausgenommen Erdbeben) 1,55 1,3 1,0 1,1 4 Ermüdung - 1,5 1,15 - Tab. 17 Teilsicherheitsbeiwerte für die Bestimmung des Tragwiderstands nach DIN ) ' 1 für Beton ab der Festigkeitsklasse C 55/67 beträgt γ c = 1, 0 f ck 1,1 500

24 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 24 Einwirkung Kombinationsbeiwerte ψ 0 ψ 1 ψ 2 Nutzlast: Wohn-, Aufenthalts-, Büroräume Versammlungsräume; Verkaufsräume Lagerräume 0,7 0,7 1,0 0,5 0,7 0,9 0,3 0,6 0,8 Windlasten 0,6 0,5 0 Scheelasten: Orte bis zu NN +1000m Orte über NN +1000m 0,5 0,7 0,2 0,5 0 0,2 Temperatureinwirkungen (nicht für Brand) 0,6 0,5 0 Baugrundsetzungen 1,0 1,0 1,0 Sonstige veränderliche Einwirkungen 0,8 0,7 0,5 Tab. 18 Kombinationsbeiwerte ψ für Hochbauten (DIN ) Bezeichnung Verwendung Q k charakteristischer Wert 1. od. allgemeine Einwirkung Q in ständigen Situationen ψ 0 Q k Kombinationsbeiwert 2. bis n-te Einwirkung Q ψ 1 Q k häufiger Wert 1. od. allgemeine Einwirkung Q ψ 2 Q k quasi- ständiger Wert 2. bis n-te Einwirkung Q in vorübergehenden Situationen in außergewöhnlichen Situationen Tab. 19 Verwendung der Kombinationsbeiwerte Allgemeiner Nachweis für den Grenzzustand der Tragfähigkeit S d R d S d : Bemessungswert der Einwirkungen (z.b. Bemessungsschnittgröße infolge Einwirkungen). R d : Bemessungswert des Bauteilwiderstandes (z.b. vom Querschnitt aufnehmbare Schnittgröße). Schnittgrößenkombination für ständige und vorübergehende Situationen: f f ck yk Sd ( γ G, j Gk, j ) + γ Q, q Qk,1 + ( γ Q, i ψ 0, i Qk, i ) + 1,0 Pk Rd ; j i> 1 γ c γ s f ; γ pk p ;

25 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Begrenzung der Verformungen (Biegeschlankheit) Die Biegeschlankheit für Bauteile (Begrenzung der Durchbiegung) richtet sich in der DIN an die bereits bekannten Berechnungsarten der DIN Die Begrenzung der Verformungen kann entweder durch eine exakte Berechnung am Bauteil oder durch einen Nachweis ohne direkte Berechnung ermittelt werden Exakte Berechnung am Bauteil Bei Wohnbauten, Bürobauten, öffentliche Bauten und Fabriken sollten folgende Durchbiegungen in Abhängigkeit der Stützweite l unter den quasi-ständigen Einwirkungen nicht überschritten werden: zul. f l/250 mit l = Stützweite des Systems Bei der Gefahr von Schäden an angrenzenden Bauteilen (z.b. Risse an leichten Trennwänden infolge Deckendurchbiegung) sollte die zulässige Durchbiegung inkl. der zeitabhängigen begrenzt werden zu: zul. f l/500 mit l = Stützweite des Systems Der Grenzwert darf ggf. bei besonderen Maßnahmen heruntergesetzt werden. Eine Überhöhung der Schalung ist möglich, sollte jedoch l/250 nicht überschreiten Nachweis der Begrenzung der Verformung ohne direkte Berechnung Der Nachweis der Verformung ohne direkte Berechnung wird über die zulässige Biegeschlankheit geführt: Für Platten des üblichen Hochbaus mit normalen Anforderungen an die Durchbiegung: d l i /35 mit d = statische Höhe l i = α l (Ersatzstützweite mit α gem. 0) l = Stützweite des Systems für Bauteile mit hohen Anforderungen (z.b. Rissgefahr in leichten Trennwänden) d l i 2 /150

26 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 26 Bild 9 Beiwerte α zur Bestimmung der Ersatzstützweite Statische Höhe d [cm] d = l i ²/150 d = l i / Spannweite li [m] Bild 10 Statische Höhe d [cm] für unterschiedliche Spannweiten l i [m] Bauteildicke h = d + nom c + d s,bügel + d s,längs /2

27 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Tragwerksidealisierungen 11.1 Mitwirkende Plattenbreite Für die Schnittgrößenermittlung von Durchlaufträgern im üblichen Hochbau darf die mitwirkende Plattenbreite b eff feldweise konstant angesetzt werden. Bild 11 Mitwirkende Breite bei Plattenbalken (Randbalken und Mittelbalken) Ermittlung der mitwirkenden Breite nach DIN : Die DIN erhöht die mitwirkende Plattenbreite um 20 % der halben lichten Feldweite je Seite. b eff = beff, I + bw mit beff, I 0,2 bi + 0,1 l0 = 0,2 l0 mit b w = Stegbreite des betrachteten Balkens b eff,i = effektive Plattenbreite einer Balkenseite l 0 = Abstand der Momentennullpunkte des betrachteten Balkens! (siehe Bild 12) b i Bild 12 Abstand der Momentennullpunkte l 0

28 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Wirksame Feldlängen Die statisch wirksamen Stützweiten für Balken, Plattenbalken und Platten werden berechnet zu: l eff = l n + a 1 + a 2 Nicht durchlaufende Bauteile Durchlaufende Bauteile Auflager mit Volleinspannung Freie Kragträger Kragarm eines Durchlaufträgers Anordnung eines Lagers 11.3 Geometrische Bedingung für die Behandlung als Vollplatte Rippen- und Kassettendecken dürfen bei linear-elastischer Schnittgrößenermittlung als Vollplatte betrachtet werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt werden:

29 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Schnittgrößenermittlung 12.1 Verfahren der Schnittgrößenermittlung Die DIN ermöglicht verschiedene Berechnungsverfahren zur Schnittgrößenermittlung: Linear-elastische Berechnung Linear-elastische Berechnung mit Umlagerung Verfahren nach der Plastizitätstheorie Nichtlineare Verfahren 12.2 Umlagerung von Schnittgrößen Die unter Verwendung linear-elastischer Berechnungsverfahren ermittelten Momentenverläufe an durchlaufenden Systemen dürfen für die Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit umgelagert werden, wobei die daraus entstehenden Schnittgrößen mit den einwirkenden Lasten im Gleichgewicht stehen müssen. Die Auswirkungen einer Momentenumlagerung müssen bei der Bemessung durchgängig berücksichtigt werden. Dies gilt für die Bemessung für Biegung mit und ohne Längskraft, für die Bemessung für Querkraft, für die Verankerungslängen und die Abstufung der Bewehrung. Für Durchlaufträger, bei denen das Stützweitenverhältnis benachbarter Felder 0,5 < l eff,1 / l eff,2 < 2,0 beträgt, in Riegeln von unverschieblichen Rahmen und in sonstigen Bauteilen, die vorwiegend auf Biegung beansprucht sind, einschließlich durchlaufender, in Querrichtung kontinuierlich gestützter Platten, gelten für mögliche Momentenumlagerungen unter Verwendung von hochduktilem Stahl folgende Grenzen: xd δ 0,64+ 0,8 d δ 0,7 xd δ 0,72+ 0,8 d δ 0,8 bis C50/60 ab C55/ 67 mit δ das Verhältnis des umgelagerten Moments zum Ausgangsmoment vor der Umlagerung x d /d bezogene Druckzonenhöhe im Grenzzustand der Tragfähigkeit nach Umlagerung (die Grenzwerte sind in der Regel in den Bemessungstafeln gekennzeichnet)

30 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II M Ed δ M Ed - + In Eckknoten unverschieblicher Rahmen ist die Umlagerung auf δ = 0,9 begrenzt. Durch die Umlagerung ergibt sich für das Stützmoment eine wirtschaftlichere Bemessung. Die Feldmomente, die sich durch die Umlagerung erhöhen, werden in der Regel durch größere Momente infolge anderer Lastfälle abgedeckt. Die maximal zulässige Umlagerung kann durch eine Vorbemessung z.b. mit µ sd -Tafeln bestimmt werden (µ Ed -Tafeln weisen x d /d direkt aus). Bild 13 Umlagerung von Momentenverläufen 13 Bemessung für Biegung Bei der Biegebemessung wird das Gleichgewicht der Inneren Kräfte mit den äußeren Einwirkungen im Querschnitt betrachtet. Ziel ist in der Regel die Ermittlung der erforderlichen Biegebewehrung (Längsbewehrung). Für die Ermittlung der Bewehrung sind unterschiedliche Verfahren zulässig. In der Praxis werden i.d.r. Tabellenwerke angewendet (z.b. k d -Verfahren) Biegebemessung mit geschätztem inneren Hebelarm Querschnitt: f cd F cd x/2 x/2 F cd h d M sd Z F sd F sd a s b Bild 14 Querschnitt unter Biegebeanspruchung mit äußerer Einwirkung und Bauteilwiderstand 7 Ansatz: Geschätzter innerer Hebelarm z d 8 Zugkraft in Höhe der Bewehrung (Gleichgewicht am Querschnitt) Z sd M sd M sd = = erforderliche Bewehrung: z 7 d 8 A s Z = f sd yd = M 7 d 8 sd f yd

31 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 31 Kontrolle der Druckzone: mit H = 0 beträgt die Betondruckkraft F cd = Fsd x 7 1 halbe Höhe der Druckzone: = d z = d d = d Höhe der Druckzone: x = 2 d = d 8 4 resultierende Betondruckkraft: 1 Fcd = d b fcd > 4 M z sd F Ed F cd z d Bemessungswert der Zugkraft in der Längsbewehrung Bemessungswert der Betondruckkraft in Richtung Bauteilachse Hebelarm der inneren Kräfte statische Höhe (Nutzhöhe), Abstand des Schwerpunkts der Bewehrung zum gedrückten Rand) 13.2 Biegebemessung mit Spannungsblockverfahren Querschnitt: F cd ε c x 0,8 x 0,4 x f cd F cd h d M sd Z F sd ε s F sd a s b Bild 15 Querschnitt unter Biegebeanspruchung mit äußerer Einwirkung und Bauteilwiderstand H = 0 Betondruckkraft F cd = Fsd F sd = As f yd F cd = b 0,8 x fcd aus F = F sd cd folgt: As f yd x = 0,8 b fcd M = 0 Betondruckkraft F cd = M z sd mit M = z und z = d 0, 4 x folgt sd F cd

32 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 32 M sd = b 0,8 x f ( d 0,4x) cd auflösen nach x (Druckzonenhöhe): Hebelarm der inneren Kräfte: d M sd x = ,8 b d f z = d 0, 4 x cd erforderliche Bewehrung: A s Z = f sd yd = M sd M sd = z f ( d 0,4x) f yd yd 13.3 Vereinfachte Biegebemessung eines Plattenbalkens Querschnitt: b eff f cd h f F cd x x/2 F cd h d M sd Z F sd F sd a s b w Bild 16 Plattenbalkenquerschnitt unter Biegebeanspruchung mit äußerer Einwirkung und Bauteilwiderstand Zulässige Annahme: Druckzone entspricht der Plattenabmessung und der Hebelarm der inneren Kräfte b h eff f z = d h f 2 = 0 H F cd = Fsd M = 0 Fsd = Fcd = M z sd aus F sd = A f erfolgt die erforderliche Bewehrung: s yd Kontrolle der Druckzone: A s F = f sd yd = M z f sd yd M = h f d 2 sd f yd M z sd F cd = < 0,8 beff h f f cd

33 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Parabel-Rechteck-Verlauf als nichtlineare Betondruckzone

34 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Allgemeines Bemessungsdiagramm für Rechteckquerschnitte Bild 17 Allgemeines Bemessungsdiagramm nach DIN mit Dehnungsbegrenzung ε s 25 o / oo und Betonfestigkeitsklassen bis C 50/60

35 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Bemessung für Querkraft Die Querkraftbemessung der DIN für biegebewehrte Querschnitte mit Querkraftbewehrung (Schubbewehrung) basiert auf dem in Bild 18 dargestellten Fachwerkmodell. Die möglichen Neigungen der Druckstreben ϑ sind hierbei in beide Richtungen zu begrenzen. Bild 18 Fachwerkmodell zur Querkraftbemessung für bewehrte Bauteile α Winkel zwischen Querkraftbewehrung und Bauteilachse (meist 90 ) ϑ F sd F cd b w Winkel zwischen der geneigten Betondruckstrebe und der Bauteilachse Bemessungswert der Zugkraft in der Längsbewehrung Bemessungswert der Betondruckkraft in Richtung Bauteilachse kleinste Stegbreite z Hebelarm der inneren Kräfte im betrachteten Querschnitt (vereinfacht darf z=0,9 d angesetzt werden) l b,net l b,net A sl betrachteter Schnitt d 45 V sd 45 V sd 45 d A sl A sl l b,net V Ed Bild 19 Definition von A sl für die Ermittlung des Längsbewehrungsgrads ρ l am betrachteten Schnitt

36 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Allgemeiner Nachweis V Ed V Rd (Einwirkung aus Querkraft muss vom Bauteilwiderstand aufgenommen werden) Der Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft wird durch folgende drei Werte bestimmt: V Rd,ct V Rd,cy V Rd,max V Ed Aufnehmbare Bemessungsquerkraft eines Bauteils ohne Schubbewehrung (in EC 2 als V Rd1 bezeichnet) Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft eines Bauteils mit Schubbewehrung d. h. Querkraft, die ohne Versagen der Zugstrebe aufgenommen werden kann. (in EC 2 als V Rd3 bezeichnet) Bemessungswert der Querkraft, die ohne Versagen des Balkenstegs bzw. der Betondruckstrebe aufnehmbar ist. (in EC 2 als V Rd2 bezeichnet) Bemessungswert der einwirkenden Querkraft Die maßgebende Querkraft am Auflager bei Balken und Platten unter Gleichlast ist zu ermitteln bei - direkter Stützung V Ed im Abstand von 1,0 d vom Auflagerrand - indirekter Stützung V Ed direkt am Auflagerrand 14.2 Bauteile ohne Schubbewehrung Für Platten ohne Schubbewehrung gilt: V Ed V Rd,ct mit: V Rd, ct 1 3 = 0,10 η1 κ (100 ρl f ck ) 0, 12 σ η =1,0 1 für Normalbeton κ = / d 2 (mit d in mm) Berücksichtigung des Maßstabs bzw. Bauteilhöhe ρ l cd b Längsbewehrungsgrad gem. Bild 19 (aus der Biegebemessung) mit Asl ρ l = 0,02 bw d b w kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts d Nutzhöhe (statische Höhe) σ cd = N Ed / A c mit N Ed als Längsdruckkraft infolge Last oder Vorspannung (Druck negativ!) Anmerkung: Die Dübelwirkung der Längsbewehrung wird in V Rd,ct durch den Längsbewehrungsgrad (100 ρ l ) 1/3 berücksichtigt. Die Einspannung der Betonzähne und die Kornverzahnung wird durch die Schubfestigkeit 0,10 f ck 1/3 berücksichtigt. w d

37 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Bauteile mit Schubbewehrung Allgemeine Bemessung des Querschnitts für Querkraft lotrechte Schubbewehrung (α=90 ) geneigte Schubbewehrung (α <> 90 ) Bemessungswiderstand der Betondruckstrebe V Rd,max 1 = α c fcd bw z (tanθ + cotθ ) α c = 0,75 (für Normalbeton) f cd = α f ck /γ c (α Dauerlastfaktor = 0,85) b w kleinste Stegbreite θ Neigungswinkel der Druckstrebe z innerer Hebelarm (z=0,9 d) Bemessungswiderstand der Betondruckstrebe V Rd,max (cotθ + cotα) = α c fcd bw z 2 (1+ cot θ ) α c = 0,75 (für Normalbeton) f cd = α f ck /γ c (α Dauerlastfaktor = 0,85) b w kleinste Stegbreite θ Neigungswinkel der Druckstrebe (s. oben) z innerer Hebelarm (z=0,9 d) α Winkel zwischen Schubbewehrung und Bauteilachse Bemessungswiderstand der Schubbewehrung V Rd, sy= asw f ywd z cotθ Bemessungswiderstand der Schubbewehrung V = a f z (cotθ + cotα) sinα Rd, sy sw ywd mit a sw = A sw /s w f ywd Bemessungswert der Stahlfestigkeit der Schubbewehrung z innerer Hebelarm (z=0,9 d) θ Neigungswinkel der Druckstrebe (s. unten) vereinfachend darf cotθ angesetzt werden: - bei reiner Biegung cotθ =1,2 - bei Biegung m. Längsdruck cotθ =1,2 - bei Biegung m. Längszug cotθ =1,0 mit a sw = A sw /s w f ywd Bemessungswert der Stahlfestigkeit der Schubbewehrung z innerer Hebelarm (z=0,9 d) α Winkel zwischen Schubbewehrung und Bauteilachse θ Neigungswinkel der Druckstrebe (s. unten) Neigungswinkel der Druckstrebe θ ( 60 ): 0,58 cotϑ (1,2 1,4 σ cd / f (1 V / V ) Rd, c Ed cd ) 3,0 2,0 ( ϑ 18,5 ) ( ϑ 26,5 ) für Normalbeton für Leichtbeton mit: V Rd, c 1 σ 3 = η ct fck 1 β 0, , 2 f cd cd b w z β ct = 2,4 η 1 = 1,0 für Normalbeton σ =N / A (N Ed < 0 für Längsdruck, z.b. aus Vorspannung) cd Ed c N Ed = Bemessungswert der Längskraft

38 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 38 Vereinfachte Vorgehensweise bei lotrechter Schubbewehrung (α=90 ) ohne Längskraft (Regelfall) Bemessungswiderstand der Betondruckstrebe V Rd,max 1 = α c fcd bw z (tanθ + cotθ ) α c = 0,75 (für Normalbeton) f cd = α f ck /γ c (α Dauerlastfaktor = 0,85) α c f cd siehe Tabelle unten b w kleinste Stegbreite θ Neigungswinkel der Druckstrebe (s. unten) z innerer Hebelarm (z=0,9 d) Ermittlung der Schubbewehrung a sw = V Ed tanθ f z a sw Schubbewehrung je laufenden Meter V Ed Bemessungswert der einwirkenden Querkraft (vgl. 14.1) θ Neigungswinkel der Druckstrebe (s. unten) f yd Bemessungswert der Steckgrenze des Betonstahls der Querkraftbewehrung z innerer Hebelarm (z=0,9 d) ACHTUNG! Einheiten beachten! yd Vereinfachend darf hier für cotθ = 1,2 bzw. tanθ = 0,83 angesetzt werden! Genauere Berechnung: 0,58 cotθ (1 0,24 f 1,2 3,0 1 3 ck bw z / VEd ) ( θ 60 ) für Normalbeton ohne Normalkraft Betonfestigkeitsklasse 12/15 16/20 20/25 25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 50/60 α c f cd in MN/m² 5,10 6,80 8,50 10,6 12,8 14,9 17,0 19,1 21,2 0,24 f 1/3 ck in MN/m² 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,79 0,82 0,85 0, Mindestquerkraftbewehrung von Balken und Plattenbalken Balken und Plattenbalken (auch ohne rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung V Ed V Rd,ct ) erfordern eine Mindestquerkraftbewehrung. Der Bewehrungsgrad ermittelt sich zu: - für b w h: ρ w = 2,0 ρ - für b w > h: ρ w = 1,3 ρ mit ρ siehe Tabelle ρw = s w Asw b sinα w 1 ρ in ( o / oo) charakteristische Betondruckfestigkeit f ck [N/mm²] ,51 0,61 0,70 0,83 0,93 1,02 1,12 1,21 1,31 1,34 1,41 1,47 1,54 1,60 1,66 Die Werte in Zeile 1 ergeben sich aus ρ = 0,16 f ctm/f yk (nicht für Leichtbeton)

39 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Bemessung für Torsion Gleichgewichtstorsion Torsion ist aufgrund des erforderlichen Gleichgewichts nachzuweisen Verträglichkeitstorsion auf den Torsionsnachweis darf verzichtet werden Der Torsionsnachweis für den Querschnitt wird unter Annahme eines gedachten dünnwandigen, geschlossenen Querschnitts geführt (umlaufendes Fachwerkmodell). Bild 20 Fachwerkmodell für torsionsbeanspruchte Querschnitte und Querschnittsbetrachtung t eff = 2 nom c + d sl zweifacher Schwerpunktabstand der Längsbewehrung vom Bauteilrand (< vorh. t) T T Ed Ed T T Rd,max Rd, sy ( Druckstrebennachweis) ( Zugstrebennachweis) 15.1 Nachweis bei reiner Torsion Aufnehmbare Kraft der Druckstrebe T Rd, max = α c, red fcd 2Ak teff sinθ cotθ mit α c,red = 0,7 α c (allgemein mit α c =0,75 für Normalbeton) α c,red = α c bei Kastenquerschnitten mit Bewehrung an Betonaußen- und Innenseite. A k die durch die Mittellinien der gedachten Wände eingeschlossene Fläche t eff Wandstärke des Ersatzhohlquerschnitts θ Neigungswinkel der Druckstrebe für Torsion (darf vereinfachend zu θ =45 angesetzt werden). Aufnehmbare Kraft der Torsions-Bügelbewehrung Aufnehmbare Kraft der Torsions-Längsbewehrung T T Rd Rd Asw, sy = f yd 2Ak s w Asl, sy = f yd 2Ak u k cotθ tanθ

40 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 40 mit u k A sl A sw s w Umfang der Fläche A k in der Mittellinie gemessen die Querschnittsfläche der Torsionslängsbewehrung die Querschnittsfläche der Torsionsbügelbewehrung der Bügelabstand der Torsionsbügelbewehrung Die Torsionsdruckbewehrung darf in Druckgurten des Querschnitts abgemindert werden, im Zuggurt muss sie zur vorhandenen Längsbewehrung aus Biegung addiert werden. Die Torsionsbügelbewehrung ist zur vorhandenen Schubbewehrung zu addieren. Hierbei ist zu beachten, dass sich die vorhandene Torsionsbügelbewehrung jeweils auf eine Seitenfläche des Querschnitts bezieht Querkraft und Torsion Bei gleichzeitig wirkender Querkraft und Torsion ist darauf zu achten, dass die sich überlagernden Betondruckspannungen in der Druckstrebe aus Querkraft und Torsion unterhalb der Druckstrebentragfähigkeit liegen: T T Ed Rd,max 2 V + V Ed Rd,max 2 1 (für Vollquerschnitte) Für einen näherungsweise rechteckigen Vollquerschnitt ist außer der Mindestbewehrung keine Querkraft- und Torsionsbewehrung erforderlich, wenn folgende Bedingungen eingehalten sind: T Ed VEd b w 4,5 TEd und V Ed 1 + VRd, ct 4,5 VEd bw Schubkraft in der Wand des Nachweisquerschnitts infolge Torsionsmoment T Ed (vgl. Fachwerkmodell): V Ed, T TEd z = 2 A k mit A k z die durch die Mittellinien der gedachten Wände eingeschlossene Fläche die Höhe der Wand, definiert durch den Abstand der Schnittpunkte der Wandmittellinie mit den Mittellinien der angrenzenden Wände

41 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Anschluss Zug- und Druckgurt bei Plattenbalken Bei Plattenbalken wurde die Mitwirkung der Platte bei der Biegebemessung berücksichtigt. Dies bedeutet, dass bei unveränderlichen Biegemomenten Anteile der Biegedruckkraft F c in die Platte übertragen werden müssen. Hierdurch entstehen auch in den Gurten profilierter Querschnitte (rechnerisch) Schubbeanspruchungen. Als Modell für die Erfassung dieser Beanspruchungen kann wieder das Fachwerkmodell dienen, das gedanklich in der Plattenmittelfläche liegt. Der Nachweis wird im Anschnitt zwischen Platte und Steg geführt. Er erfolgt analog zur Querkraftbemessung des Balkens durch Vergleich der einwirkenden Querkraft mit der Druckstrebentragfähigkeit V Rd,max und der Tragfähigkeit der Schubbewehrung V Rd,sy. Der Bemessungswert der Einwirkenden Längsschubkraft wird aus einer zu übertragenden Querkraft je laufenden Meter Balkenlänge ermittelt: V Ed = F D F D = Längskraftdifferenz in einem einseitigen Gurtabschnitt mit der Länge a v, in dem die Längsschubkraft als Konstant angenommen werden darf. a v ist dabei der halbe Abstand zwischen den Momentennullpunkten. Der Nachweis der Querkrafttragfähigkeit darf wie die Querkraftbemessung geführt werden (siehe 14.3). Dabei kann b w = h f und z = a v gesetzt werden. Die Druckstrebenneigungswinkel dürfen in den Zuggurten vereinfachend zu cotϑ = 1,0 und in den Druckgurten zu cotϑ = 1,2 gesetzt werden. Die hierbei bereits vorhandene Bewehrung aus Querbiegung darf dabei angesetzt werden.

42 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 42 Anschluss der Druckgurte Der Anteil der Biegedruckkraft im Gurt F d,max kann aus folgenden Beziehungen ermittelt werden. Beachtet man ferner, dass im Plattenbalken eine Druckbewehrung nicht sinnvoll ist, und nimmt an, dass die Betonspannungen näherungsweise konstant sind, vereinfacht sich die Beziehung zu: mit F d, max = F cd, max A A ca cc A ca Fläche eines Gurtteils zwischen Anschnitt und Ende der mitwirkenden Breite A cc Gesamtfläche der Biegedruckzone F cd,max Gesamte Betondruckkraft in der Biegedruckzone F d,max Betondruckkraftanteil in der Platte (je Seite) Damit ergibt sich die über die Länge av (halber Abstand zwischen Momentennullpunkten) in den Steg einzuleitende Betondruckraft zu: F d,max FD = und V Ed = F D av Nachweis der Schubkraft: V V Ed Ed V V Rd,max Rd, sy V Rd,max α c fcd h f av = (tanθ + cotθ ) a sw VEd tanθ = f a yd v Die erforderliche Bewehrung a sw ist dabei zu je 50 % auf der Ober- und Unterseite des Anschlusses der Platte zum Steg einzulegen. Vorhandene Biegezugbewehrung in der Platte darf dabei angerechnet werden.

43 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Normalkraftbeanspruchte Bauteile 17.1 Ausgesteifte und unausgesteifte Tragwerke Grundsätzlich ist bei Tragwerken zunächst zu unterscheiden, ob es sich um ausgesteifte oder unausgesteifte Tragwerke handelt [DIN , Abschnitt (1)]. Ein ausgesteiftes Bauwerk verfügt in der Regel über ausreichend vorhandene aussteifende Bauteile wie z.b. Wände, Aufzugkerne, Treppenhauskerne. Ein aussteifendes Bauteil bzw. ein System aus mehreren aussteifenden Bauteilen muss in der Lage sein, die durch Wind, Schiefstellung, Erdbeben bzw. anderen äußeren Einwirkungen entstehenden horizontalen Beanspruchungen des Gebäudes aufnehmen zu können und sicher in die Fundamente abzuleiten Verschiebliche und unverschiebliche Systeme Tragwerke gelten als unverschieblich, wenn sie hinreichend ausgesteift sind (z.b. durch Wandscheiben), oder wenn der Einfluss der Theorie II. Ordnung (Knotenverschiebung bei Belastung) nachweislich weniger als 10 % beträgt. Rahmentragwerke gelten als unverschieblich, wenn das Tragwerk hinreichend ausgesteift ist (z.b. durch Wandscheiben), oder wenn der Einfluss der Theorie II. Ordnung (Knotenverschiebung bei Belastung) kleiner als 10 % beträgt. aussteifende Bauteile Tragwerke, die durch lotrechte Bauteile (z.b. Wandscheiben, Aufzugkerne) ausgesteift sind, dürfen als unverschieblich angesehen werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt werden: - bei annähernd symmetrisch angeordneten aussteifenden Bauteilen (unsymmetrische s. DIN ): 1 h ges E cm I F Ed c 1 (0,2+ 0,1 m ) für m 3 1 0,6 für m 4

44 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 44 mit h ges Gesamthöhe des Tragwerks bis zur Fundamentoberkante m Anzahl der Geschosse E cm I c Gesamtsteifigkeit der aussteifenden Bauteile in der betrachteten Richtung F Ed Summe der Bemessungswerte der Vertikallasten mit γ F =1,0 (Eigengewicht +Verkehr) Diese Bedingung ist bereits aus der alten DIN 1045 (88) als Labilitätszahl α bekannt. Sind die lotrecht aussteifenden Bauteile nicht annähernd symmetrisch angeordnet, oder besteht aufgrund ungünstiger Steifigkeitsverteilungen die Gefahr einer Verdrehung des Tragwerks, so ist nun auch die Verdrehsteifigkeit des Systems nach DIN , 8.6.2(5) nachzuweisen: mit E I 1 cm ϖ 1 cm T hges FEd, j rj 2,28 FEd, j rj j j G I 1 (0,2 + 0,1 m ) für m 3 1 für m 4 0,6 h ges Gesamthöhe des Tragwerks bis zur Fundamentoberkante m Anzahl der Geschosse F Ed Summe der Bemessungswerte der Vertikallasten mit γ F =1,0 r j Abstand des Bauteils j vom Schubmittelpunkt des Gesamtsystems F Ed,j Bemessungswert der Vertikallasten des Bauteils j mit γ F =1,0 E cm I c Gesamtsteifigkeit der aussteifenden Bauteile in der betrachteten Richtung, wobei die Betonzugspannungen den Wert f ctm (Mittelwert der zentrischen Betonzugfestigkeit) nicht überschreiten sollte. E cm I ω Summe Nennwölbsteifigkeiten aller gegen Verdrehung aussteifenden Bauteile G cm I Τ Summe Torsionssteifigkeiten aller gegen Verdrehung aussteifenden Bauteile (St. Vernant sche Torsionssteifigkeit) Sind die Bedingungen aus den Gleichungen nicht erfüllt, so ist die Stabilität des Gesamtsystems unter Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung nachzuweisen. Das Bauteil ist dann bei vorhandenen aussteifenden Wänden zwar ausgesteift, jedoch als verschieblich anzusetzen (Beispiel: schlankes Hochhaus mit aussteifenden Kernen) Schlankheit von Stützen l o λ = i mit lo = β l col Knicklänge (gemäß Eulerfall) l col Länge des Druckglieds i Trägheitsradius i = I A vereinfachend für Rechteckquerschnitt: i = 0,289 h

45 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 45 Bild 21 Beiwerte β zur Bestimmung der Knicklänge verschiedener Eulerfälle Bei Rahmensystemen aus Stützen und Riegeln kann mit Hilfe des Nomogramms in Bild 22, abhängig von der Steifigkeit der angrenzenden Riegel und Stützen, die Einspannwirkung an den Knoten bestimmt werden und so eine genauere und meist wirtschaftlichere Knicklänge des Systems errechnet werden. Das Nomogramm unterscheidet zwischen unverschieblichen und verschieblichen Systemen. Der schraffierte Bereich sollte bei der Anwendung vermieden werden. Die Bestimmung des Beiwerts β erfolgt mittels der Steifigkeitsverhältnisse k A und k B : k A I l + I l = und I col1 col1 col 2 col 2 b1 lb 1 + 0,5 Ib2 lb2 k B I = I l + I col0 col0 col1 col1 b3 lb3 + 0,5 I b4 lb4 l a) unverschieblicher Rahmen b) verschieblicher Rahmen Bild 22 Interaktionsdiagramm zur Bestimmung der Knicklänge von Geschossstützen

46 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 46 Abgrenzung der Schlankheit In Abhängigkeit von der Schlankheit eines Einzeldruckglieds kann entschieden werden, ob bei der Bemessung des Druckglieds der Einfluss der Theorie II. Ordnung berücksichtigt werden muss. Unverschiebliche und verschiebliche Einzeldruckglieder gelten als schlank, wenn folgende Grenzwerte der Schlankheit überschritten werden: λ λ max max = = ν Ed für ν für ν Ed Ed 0,41 < 0,41 mit ν Ed N = A f c Ed cd N Ed A c f ck γ c Bemessungswert der mittleren Längskraft des Einzeldruckglieds die Querschnittsfläche des Druckglieds der charakteristische Wert der Betondruckfestigkeit Teilsicherheitswert für Beton (1,5 für Beton bis C50/60) Unverschiebliche Tragwerke oder Einzeldruckglieder, die als nicht schlank gelten, brauchen nicht nach Theorie II. Ordnung bemessen werden. Schlanke Einzeldruckglieder in unverschieblichen Tragwerken brauchen zudem nicht nach Theorie II. Ordnung bemessen werden, wenn sie zwischen ihren Enden nicht durch Querlasten oder Momente beansprucht werden und die Längskraft über die Stützenlänge konstant ist. Die dann zulässige Grenzschlankheit beträgt: mit λ crit e = 25 (2 e ) e 01 /e 02 die jeweilige Lastausmitte der Längskraft an den Stützenenden mit e 01 e 02. Für e 01 = e 02 = 0 ist λ crit = 25 zu setzen. Für den Sonderfall der beidseitig gelenkig gelagerten Stütze ist λ crit = 25 zu setzen. Bei Einzeldruckgliedern, die keine Betrachtung nach Theorie II. Ordnung erfordern, sollte der Querschnittswiderstand mindestens folgende Bedingungen erfüllen: M Rd N h 20 und N N mit h = Stützenlänge Ed Rd Ed In Bild 23 sind die oberen und unteren Grenzen der Schlankheit λ crit in Abhängigkeit der äußeren Biegebeanspruchungen an den Stielenden e 01 und e 02 dargestellt.

47 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 47 λ crit 75 Bild 23 Einfluss und Grenzwerte der Ausmitten e 01 und e 02 auf die Grenzschlankheit λ lim e e Soweit die Bedingungen eingehalten werden, darf für die vorliegende Einzelstütze eine Regel- Querschnittsbemessung durchgeführt werden. Zweckmäßig ist hierbei z.b. die Verwendung der auch schon von der DIN 1045(88) bzw. aus DAfStb-Heft 220 [5] bekannten µ-ν-diagramme für symmetrisch bewehrte Querschnitte die im DAfStb- Heft 525 erscheinen werden. Momentenverlauf über die Stützenhöhe 17.4 Modellstützenverfahren Mit dem Modellstützenverfahren liefert die DIN ein vereinfachtes Verfahren zur Bemessung schlanker Einzeldruckglieder mit Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung. Anwendungsgrenzen: - Rechteck- oder kreisförmiger, konstanter Querschnitt (Beton u. Bewehrung) - Planmäßige Lastausmitte e 0 0,1 h - Schlankheit λ < 140 (sinnvolle Forderung) Eine Modellstütze ist eine Kragstütze mit der Länge l 0, die - am Stützenfuß eingespannt und am Stützenkopf frei verschieblich ist und - unter Wirkung von Längskräften und Momenten eine einfach gekrümmte Verformungsfigur aufweist, wobei am Stützenfuß das maximale Moment auftritt. Der Stabilitätsnachweis für die Modellstütze wird am Stützenfuß auf der Grundlage der Krümmung (1/r) des Querschnitts unter maximaler Auslenkung des Stützenkopfs nach Theorie II. Ordnung geführt. Die tatsächlich auftretende Stützengeometrie- und Stützenlagerung wird durch den Ansatz der Modellstütze idealisiert.

48 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 48 e 1 e tot e 2 e 1 N Ed N Ed Gesamtausmitte am Stützenfuß: e tot = e 1 + e 2 mit e 1 = e 0 + e a l = l 0 2 mit e 0 e a e 2 planmäßige Ausmitte aus Theorie I. Ordnung ungewollte Zusatzausmitte infolge Imperfektion Ausmitte nach Theorie II. Ordnung Bild 24 Modellstütze als idealisierter Kragstütze des tatsächlichen Systems Planmäßige Ausmitte e 0 : Aus den auf die Stütze einwirkenden Schnittgrößen N Ed und M Ed errechnet sich die planmäßige Ausmitte aus Theorie I. Ordnung e 0 zu: e = 0 M N Ed Ed Erzeugen die äußeren Momente über die Stützenlänge für Druckglieder in unverschieblichen Rahmentragwerken mit konstanten Querschnitten einen linear veränderlichen Momentenverlauf aufgrund unterschiedliche Werte der Lastausmitten an den Stützenenden, darf vereinfachend folgende wirksame Lastausmitte e 0 in Abhängigkeit des vorliegenden Systems angesetzt werden: e = 0,6 e e = 0,4 e ,4 e 01 der größere Wert ist maßgebend. mit e 01, e 02 die jeweilige Lastausmitte in [m] der Längskraft an den Stabenden nach Bild 25 mit e 02 e 01. e 0(1/2) = (M Ed0(1/2) /N Ed ) M Ed0 N Ed Bemessungswert des aufnehmbaren Biegemoments nach Theorie I. Ordnung Bemessungswert der aufnehmbaren Normalkraft

49 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 49 a) b) c) N Ed N Ed N Ed a) Druckglied mit gleicher Lastausmitte an beiden Enden e 02 e 02 b) Druckglied mit unterschiedlichen Lastausmitten gleichen Vorzeichens an beiden Enden e 0 e 01 e 01 c) Druckglied mit unterschiedlichen Lastausmitten unterschiedlicher Vorzeichen an beiden Enden N Ed N Ed N Ed Bild 25 Bemessungsmodell zur Berechnung der Gesamtlastausmitte Ungewollte Ausmitte e a : Zur Berücksichtigung von ungewollten Imperfektionen bei der Herstellung wird eine Zusatzausmitte in Abhängigkeit der Stützenhöhe in ungünstiger Richtung angesetzt: l0 1 ea= α a1 mit α a1 = l mit α a1 h ges l 0 l Schiefstellung gegen die Sollachse (in Bogenmaß) Gesamthöhe des Tragwerks in [m] Ersatzlänge des Druckgliedes Länge des Druckgliedes Zusätzliche Lastausmitte infolge Theorie II. Ordnung e 2 : 1 l 2 0 e2= K1 r 10 mit l 0 (1/r) Ersatzlänge der Stütze Krümmung im kritischen Querschnitt (Stützenfuß) K 1 = λ/10-2,5 für 25 λ 35 = 1 für λ > 35

50 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 50 e tot e 2 e 1 h d N Ed M Ed, N Ed A s2 A s1 ε s2 0,9 d ε s1 Bild 26 Betrachtung des Querschnitts mit der größten Krümmung Die Krümmung (1/r) darf im kritischen Querschnitt näherungsweise wie folgt berechnet werden: 1 = 2 K r mit ε yd 2 ε yd 0,9 d N ud N Ed mit K 2 = 1 N N ud bal Bemessungswert der Dehnung der Bewehrung an der Steckgrenze = f yd /E s (bei BSt 500: ε yd = 435/ = 0,0022 d statische Höhe des Querschnitts in der betrachteten Richtung N ud Bemessungswert der Grenztragfähigkeit des Querschnitts, der nur durch zentrische Druckbeanspruchung belastet wird. N ud = -(f cd A c + f yd A s ) N Ed N Ud N Ed Bemessungswert der aufnehmbaren Längsdruckkraft (Druck negativ) Näherung N bal Bemessungswert der Längsdruckkraft bei größter Momententragfähigkeit des Querschnitts. Bei symmetrisch bewehrten Querschnitten darf N bal vereinfachend angenommen werden zu: N bal = -0,4 f cd A c N bal (1/r) max (1/r) Die Annahme K 2 = 1 liegt immer auf der sicheren Seite.

51 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 51 Gebäude/ Tragwerk Th. II. O. <10% ja sind aussteifende Bauteile vorhanden nein Labilitätszahl Einfluss erfüllt (Gl. 1/2) Th. II. Ordnung ja nein ja > 10% nein System ist unverschieblich System ist verschieblich System ist unverschieblich Berücksichtigung der Th. II. Ordnung erforderlich! Einzeldruckglied (Stütze) System ist unverschieblich System ist verschieblich M Ed, N Ed λ > λ crit ja Berücksichtigung der Th. II. Ordnung z.b. mit Hilfe des Modellstützenverfahrens e tot nein e tot = e 0+e a+e 2 M Ed II = N Ed e tot Regelbemessung z.b. mit dem Interaktionsdiagramm Bild 27 Ablaufdiagramm für die Bemessung mit dem Modellstützenverfahren.

52 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Druckglieder mit zweiachsiger Biegung Um einen genauen Nachweis, der meist nur mit Hilfe eines geeigneten EDV-Programms durchgeführt werden kann in Grenzen umgehen zu können, darf in der DIN bei Rechteckquerschnitten unter Berücksichtigung von zulässigen Verhältnissen der bezogenen Ausmitten ein Nachweis getrennt in beide Querschnittsrichtungen durchgeführt werden. Zulässig ist diese Betrachtung jedoch nur dann, wenn sich der Lastangriffspunkt von N Ed innerhalb des in Bild 28 dargestellten schraffierten Bereich befindet. Diese Bedingung wird durch folgende Beziehungen eingehalten: oder ( e h) ( e b) 0, 2 0z 0 y mit ( e b) ( e h) 0, 2 0 y 0z e 0y, e 0z die jeweilige Lastausmitte nach Theorie I. Ordnung. Bild 28 Grenzen für getrennte Nachweise von Stützenquerschnitten in Richtung der beiden Hauptachsen

53 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Bewehrungsrichtlinien und bauliche Durchbildung von Druckgliedern Die Konstruktionsregeln für die Ausbildung von Stützen sind im Abschnitt [13.5] DIN erläutert. Für Stützenquerschnitte ist unabhängig von der ermittelten statisch erforderlichen Bewehrungsmenge folgender Mindestlängsbewehrungsgrad einzuhalten: A 0, 15 N s, min = Ed f yd Der maximale Bewehrungsgehalt von Stützen liegt, wie bereits aus der alten DIN 1045(88) bekann, bei 9%, auch im Bereich von Stößen. Damit wurde nicht die Festlegung des EC2 mit 8 % übernommen. A = 0, 09 s, max A c Als konstruktive Anforderungen sind ferner folgende Punkte einzuhalten: Die Längsbewehrung muss durch Querbewehrung umschlossen werden. 1 d s, Quer d s, Längs, mindestens jedoch 6 mm 4 d s 5mm bei Betonstahlmatten als Bügelbewehrung Bei Stabbündeln mit d sv > 28 mm als Druckbewehrung ist der Stabdurchmesser der Bügel- und Wendelbewehrungen mindestens mit 12 mm auszubilden. Die Querbewehrung ist ausreichend zu verankern. maximale Bügelabstände s Bü 12 min d s,l s Bü min h Stütze (kleinster Stützendurchmesser) s Bü 300 mm Die Bügelabstände sind um den Faktor 0,6 zu verkürzen - im Bereich von Übergreifungen von Längsstäben mit max d sl > 14 mm - unmittelbar unter und über Balken und Platten für eine Höhe gleich der größeren Abmessung des Stützenquerschnitts Längsstäbe im Abstand > 15 d s,bügel vom Eckbereich sind durch zusätzliche Querbewehrung zu halten. Der Mindestdurchmesser der Längsbewehrungsstäbe beträgt min d sl = 12 mm Die geringste zulässige Seitenlänge einer Stütze ist festgelegt zu 200 mm für Vollquerschnitte in Ortbetonbauweise 120 mm für waagerecht betonierte Fertigteilstützen

54 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Vierseitig gestützte Platten nach Pieper Martens

55 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 55 Bild 29 Anordnung der Drillbewehrung in den Plattenecken 19 Lastverteilungsbreite bei einachsig gespannten Platten

56 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 56

57 Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II Auflagerkräfte vierseitig gelagerter Platten unter Gleichflächenlast Die vorliegenden Unterlagen, Bilder und Diagramme dienen ausschließlich zu Lehrzwecken.