Vorlesung. Prof. Janis Voigtländer Übungsleitung: Dennis Nolte. Mathematische Strukturen Sommersemester 2017

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1 Vorlesung Mathematische Strukturen Sommersemester 2017 Prof. Janis Voigtländer Übungsleitung: Dennis Nolte

2 Monoide, Gruppen, Körper Wir betrachten nun grundlegende Rechenstrukturen. Das sind Strukturen, mit denen man rechnen kann wie mit (ganzen/rationalen/reellen) Zahlen, die aber möglicherweise andere Elemente enthalten. Dabei beantworten wir u.a. folgende Fragen: Welche (gemeinsamen) Eigenschaften haben Addition und Multiplikation? Wie unterscheiden sich N 0 und Z grundsätzlich? Kann man auch mit endlichen Mengen von Objekten rechnen?

3 Monoide, Gruppen, Körper Monoid Gegeben seien eine nichtleere Menge M und eine zweistellige Abbildung : M M M. Wir benutzen meist die Infix-Schreibweise m 1 m 2 und bezeichnen als zweistelligen Operator. (M, ) heißt Monoid, falls folgendes gilt: Der Operator ist assoziativ, d.h., es gilt: m 1 (m 2 m 3 ) = (m 1 m 2 ) m 3 für alle m 1, m 2, m 3 M. Es gibt ein neutrales Element e M, d.h., es gilt: e m = m e = m für alle m M. Bemerkung: Wenn e existiert, ist es eindeutig bestimmt.

4 Monoide, Gruppen, Körper Beispiele und Gegenbeispiele für Monoide (N 0, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) sind Monoide (neutrales Element jeweils: 0) (N 0, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) sind Monoide (neutrales Element jeweils: 1) (Z, ) ist kein Monoid (fehlende Assoziativität) (N 0 \ {0}, +) ist kein Monoid (fehlendes neutrales Element)

5 Monoide, Gruppen, Körper Als Beispiele für endliche Monoide: Modulo-Rechnen Für jedes n N 0 \ {0} definieren wir zu Z n = {0, 1,..., n 1} folgende Addition + n und Multiplikation n. Seien k, m Z n, dann gilt: k + n m = (k + m) mod n und k n m = (k m) mod n (Z n, + n ) und (Z n, n) sind Monoide (mit neutralen Elementen 0 bzw. 1) Sie spielen eine große Rolle u.a. in der Kryptographie und Kodierungstheorie.

6 Monoide, Gruppen, Körper Additions-/Multiplikationstabellen für Z 5 : Mit diesen Tabellen bewaffnet könnten wir Lösungen suchen für Gleichungen wie: (4 5 x) = 3

7 Monoide, Gruppen, Körper In vielen Fällen (z.b. zum systematischen Lösen von Gleichungen) benötigt man beim Rechnen etwas mehr Struktur: man braucht sogenannte Inverse. Gruppe Ein Monoid (G, ) mit neutralem Element e heißt Gruppe, wenn zusätzlich zu den Monoid-Eigenschaften noch folgendes gilt: Für jedes g G gibt es ein g 1 G mit g g 1 = e. Dabei heißt g 1 das Inverse von g (und ist eindeutig bestimmt). (G, ) heißt kommutative Gruppe (oder abelsche Gruppe), falls außerdem g 1 g 2 = g 2 g 1 für alle g 1, g 2 G gilt. Bemerkung: In jeder Gruppe gilt nicht nur g g 1 = e, sondern auch g 1 g = e für alle g G.

8 Monoide, Gruppen, Körper Beispiele und Gegenbeispiele für (kommutative) Gruppen (Z, +), (Q, +), (R, +) sind Gruppen (Inverses zu x ist jeweils x) (N 0, +) ist keine Gruppe (fehlende Inverse für positive Zahlen) (Q, ), (R, ) sind keine Gruppen (0 hat jeweils kein Inverses) (Q \ {0}, ), (R \ {0}, ) sind Gruppen (Inverses zu x ist jeweils 1 x ) (Z, ), (Z \ {0}, ) sind keine Gruppen (jeweils fehlende Inverse)

9 Monoide, Gruppen, Körper Fortsetzung: Beispiele und Gegenbeispiele für Gruppen (Z n, + n ) ist eine Gruppe (Z n, n) ist keine Gruppe (0 hat kein Inverses) (Z n \ {0}, n) ist genau dann eine Gruppe, wenn n Primzahl Entscheidende Beobachtung: Ein Element m Z n \ {0} hat genau dann ein multiplikatives Inverses, wenn m, n teilerfremd sind.

10 Monoide, Gruppen, Körper Die Beobachtung am Beispiel Z 4 (also n = 4): Es gilt n = 4 = 2 2, d.h., es ist keine Primzahl. m = 2 hat kein multiplikatives Inverses in Z 4, denn ggt (2, 4) = 2 1. Insbesondere hat die Gleichung 2 4 x = (2 x) mod 4 = 1 keine Lösung, denn: Für alle x Z ist 2 x, und damit auch (2 x) mod 4, eine gerade Zahl. D.h., man kann niemals das Ergebnis 1 erhalten. Die Zahlen m = 1 und m = 3 allerdings sind jeweils teilerfremd zu n und besitzen multiplikative Inverse in Z 4.

11 Monoide, Gruppen, Körper Inversenbildung in (Z n, + n ) Das Inverse zu m Z n bezüglich der Addition + n ist: { 0 falls m = 0 ( m) mod n = n m falls m > 0 Beispiele: In Z 5, das additive Inverse zu 1 ist 5 1 = 4. (Test: = (1 + 4) mod 5 = 0) In Z 5, das additive Inverse zu 2 ist 5 2 = 3. (Test: = (2 + 3) mod 5 = 0) In Z 6, das additive Inverse zu 2 ist 6 2 = 4. (Test: = (2 + 4) mod 6 = 0) In beliebigem Z n, das additive Inverse zu 0 ist 0. (Test: 0 + n 0 = (0 + 0) mod n = 0)

12 Monoide, Gruppen, Körper Tabelle der Inversen in (Z 5, + 5 ): m m Tabelle der Inversen in (Z 6, + 6 ): m m

13 Monoide, Gruppen, Körper Inversenbildung in (Z n, n) Methode 1 (mit Euler-Fermat) Das Inverse zu m Z n \ {0}, mit ggt (m, n) = 1, bezüglich der Multiplikation n ist: m ϕ(n) 1 mod n Denn es gilt (für n > 1): m n (m ϕ(n) 1 mod n) = (m m ϕ(n) 1 ) mod n = m ϕ(n) mod n = 1 Satz von Euler-Fermat Beispiele: In Z 5, das multiplikative Inverse zu 3 ist 3 ϕ(5) 1 mod 5 = 2. (Test: = (3 2) mod 5 = 1) In Z 6, das multiplikative Inverse zu 5 ist 5 ϕ(6) 1 mod 6 = 5. (Test: = (5 5) mod 6 = 1)

14 Monoide, Gruppen, Körper Inversenbildung in (Z n, n) Methode 2 (per diophant. Gleichung) Das Inverse zu m Z n \ {0}, mit ggt (m, n) = 1, bezüglich der Multiplikation n kann auch folgendermaßen bestimmt werden: x mod n, für eine Lösung der Gleichung m x + n y = 1 Denn es gilt dann (für n > 1): m n (x mod n) = (m x) mod n = (1 n y) mod n = 1 Diese Methode funktioniert auch dann, wenn der Wert ϕ(n) nicht einfach berechnet werden kann (z.b. wenn n sehr groß ist).

15 Monoide, Gruppen, Körper Beispiel: Wir berechnen wieder das multiplikative Inverse zu 3 in Z 5. Löse 3 x + 5 y = 1: ggt (3, 5) = ggt (5, 3) = ggt (3, 2) = ggt (2, 1) = ggt (1, 0) = 1 Mit: 2 = 5 mod 3 = 5 3 1, 1 = 3 mod 2 = Also rückwärts eingesetzt: 1 = = 3 ( 5 3 1) 1 = ( 1) Somit: x = 2, y = 1. Also ist das gesuchte Inverse: x mod n = 2 mod 5 = 2.

16 Monoide, Gruppen, Körper Tabelle der Inversen in (Z 5, 5): m m Tabelle der Inversen in (Z 6, 6): m m Erinnerung: Nur für Primzahlen n (und trivial für n = 1) existieren die multiplikativen Inverse für alle m Z n \ {0}.

17 Monoide, Gruppen, Körper Motivation: Wozu eigentlich der ganze Aufwand (mit den Inversen)? Erinnern wir uns an: (4 5 x) = 3 Statt das per Ausprobieren/Durchgehen der Tabellen für + 5 und 5 zu lösen, können wir mit Hilfe der Inversen wie folgt vorgehen: (4 5 x) = x = wegen additivem Inversen zu 2 in Z 5 x = 4 5 ( ) wegen multiplikativem Inversen zu 4 in Z 5 x = 4 per Ausrechnen/Nachschlagen in Tabellen

18 Monoide, Gruppen, Körper Und was, wenn wir ein System von Gleichungen lösen wollen? Zum Beispiel: (4 5 x) + 5 (2 5 y) = 3 (2 5 x) + 5 (3 5 y) = 4 Dann stellt sich heraus, dass wir noch nicht genug Umformgesetze haben, um dies auf die gewohnte Weise aufzulösen. Dies motiviert die Einführung einer weiteren algebraischen Struktur: Körper.

19 Monoide, Gruppen, Körper Wir betrachten eine Rechenstruktur, die zwei miteinander kompatible Operationen (normalerweise + und genannt) vereint. Körper Gegeben seien eine nichtleere Menge K und zwei zweistellige Operationen + und auf K. (K, +, ) heißt Körper, falls folgendes gilt: (K, +) ist eine kommutative Gruppe, das neutrale Element bezeichnen wir mit 0. (K \ {0}, ) ist eine kommutative Gruppe, das neutrale Element bezeichnen wir mit 1. Das Distributivgesetz gilt, d.h., es gilt: a (b + c) = a b + a c für alle a, b, c K.

20 Monoide, Gruppen, Körper Diese etwas indirekte Definition können wir expliziter machen: Körperaxiome (Zusammenfassung, Teil 1) Für einen Körper (K, +, ) muss gelten:... + : K K K und : K K K + und sind assoziativ, d.h., es gilt für alle a, b, c K: a + (b + c) = (a + b) + c und a (b c) = (a b) c + hat ein neutrales Element, welches mit 0 bezeichnet wird, und hat ein neutrales Element, welches mit 1 bezeichnet wird, d.h., es gilt für alle a K: 0 + a = a + 0 = a und 1 a = a 1 = a

21 Monoide, Gruppen, Körper Körperaxiome (Zusammenfassung, Teil 2) Jedes Element a K hat ein additives Inverses und jedes Element außer 0 hat ein multiplikatives Inverses: a + ( a) = ( a) + a = 0 und a a 1 = a 1 a = 1 + und sind kommutativ, d.h., es gilt für alle a, b K: a + b = b + a und a b = b a Es gelten die Distributivgesetze, d.h., für alle a, b, c K: a (b + c) = a b + a c und (a + b) c = a c + b c (Das zweite Distributivgesetz folgt aus dem ersten aufgrund der Kommutativität von.)

22 Monoide, Gruppen, Körper Beispiele und Gegenbeispiele für Körper (Q, +, ), (R, +, ) sind Körper (Z n, + n, n) ist genau dann ein Körper, wenn n Primzahl Weitere Beispiele (auf die wir hier nicht weiter eingehen): komplexe Zahlen endliche Körper mit 4, 8, 9,... Elementen...

23 Monoide, Gruppen, Körper Bemerkung: Da wir die Operationen in einem Körper üblicherweise mit + und (oder daran angelehnte Symbole) bezeichnen, verwenden wir beim Aufschreiben von Ausdrücken und Formeln auch die gewohnten Vorrangregeln für Addition und Multiplikation. Wir schreiben also etwa statt (wie vorhin): einfach (nur noch): (4 5 x) + 5 (2 5 y) = 3 (2 5 x) + 5 (3 5 y) = x y = x y = 4 und wissen trotzdem was gemeint ist.

24 Vektorräume und Matrizen Wir betrachten nun Vektoren, die Tupel von Elementen eines Körpers sind. Vektoren sind unter anderem wichtig für die Darstellung geometrischer Objekte. Mengen von Vektoren bilden einen sogenannten Vektorraum. Matrizen werden dazu verwendet, um (lineare) Abbildungen in (oder zwischen) Vektorräumen zu beschreiben. Sie spielen auch eine wichtige Rolle beim Lösen von Gleichungssystemen.

25 Vektorräume und Matrizen Vektor Sei n N 0 \ {0} und (K, +, ) ein Körper. Ein Vektor u der Dimension n über K besteht aus n Elementen des Körpers, also u 1,..., u n K. Ein Vektor wird im Allgemeinen folgendermaßen dargestellt und daher auch Spaltenvektor genannt: u = u 1.. u n

26 Vektorräume und Matrizen Vektorraum Die Menge aller Vektoren der Dimension n über K heißt n-dimensionaler Vektorraum über K und wird mit K n bezeichnet. Bemerkungen: Eigentlich müsste man immer über (K, +, ) sagen und auch bei K n noch hinzufügen, welche Operationen auf K man verwendet. Aber wir lassen dies weg, es wird an jeder Stelle auch so eindeutig sein. Es gibt noch allgemeinere Definitionen eines Vektorraums (ähnlich zu den Definitionen von Monoid, Gruppe, Körper), die wir hier aber nicht betrachten. Die Operationen in einem Vektorraum sind Addition von Vektoren und Skalarmultiplikation, die im Folgenden betrachtet werden.

27 Vektorräume und Matrizen Klassisches Beispiel: Seien n = 2 und K = R (mit normalem + und ), d.h., wir betrachten den Vektorraum R 2. Dann kann man die Vektoren als Punkte in der zweidimensionalen Ebene interpretieren. Man stellt sie dann durch Pfeile in einem Koordinatensystem dar, jeweils ausgehend von dessen Ursprung. ( ) y ( ) 1,5 2, x Die erste Koordinate bezeichnet man dabei wie üblich als x-koordinate, die zweite als y-koordinate.

28 Vektorräume und Matrizen Addition im Vektorraum Die Addition von Vektoren ist eine zweistellige Operation + : K n K n K n, die folgendermaßen definiert ist: u u n v 1.. v n = u 1 + v 1. u n + v n Dabei werden die einzelnen Körperelemente mit Hilfe der +-Operation des Körpers verknüpft (komponentenweise Addition).

29 Vektorräume und Matrizen Vektorraum als Gruppe Ein Vektorraum bildet mit der Addition eine kommutative Gruppe. Das neutrale Element ist der Nullvektor 0 und das additive Inverse zu u wird mit u bezeichnet: 0 0 =. Falls u = 0 u 1. u n, dann ist u = u 1. u n Dabei ist 0 das neutrale Element der Addition im zu Grunde liegenden Körper und u 1,..., u n sind die entsprechenden additiven Inversen..

30 Vektorräume und Matrizen Multiplikation mit einem Skalar Ein Vektor u K n kann mit einem beliebigen einzelnen Element des Körpers multipliziert werden. Dieses k K nennt man dann auch einen Skalar. Man multipliziert es üblicherweise von links. Die Skalarmultiplikation ist also eine Operation : K K n K n. Sie ist folgendermaßen definiert: k u 1.. u n = k u 1. k u n Dabei entstehen k u 1,..., k u n durch die Multiplikationsoperation des zu Grunde liegenden Körpers K.

31 Vektorräume und Matrizen Eigenschaften der Skalarmultiplikation Seien u, v K n Vektoren und k, m K Skalare. Dann gilt: k (m u) = (k m) u k ( u + v) = k u + k v (k + m) u = k u + m u 1 u = u Dabei ist 1 das neutrale Element der Multiplikation im zu Grunde liegenden Körper.

32 Vektorräume und Matrizen Wir betrachten nun bestimmte Abbildungen zwischen Vektorräumen: sogenannte lineare Abbildungen. Lineare Abbildung Seien K n, K m zwei Vektorräume über dem gleichen Körper, d.h., mit gleicher Menge K und gleichen Operationen auf Elementebene, aber möglicherweise mit verschiedenen Dimensionen. Eine Funktion ψ : K n K m heißt lineare Abbildung, falls folgendes gilt: ψ( u + v) = ψ( u) + ψ( v) ψ(k u) = k ψ( u) für alle u, v K n für alle k K, u K n Bemerkungen: Die Multiplikation mit festem Skalar ist eine lineare Abbildung. Auch viele der interessanten Abbildungen in der Geometrie sind lineare Abbildungen (z.b. Drehungen, Spiegelungen).

33 Vektorräume und Matrizen Wir betrachten nun Matrizen, mit denen solche linearen Abbildungen beschrieben werden können. Matrix Seien m, n N 0 \ {0} und (K, +, ) ein Körper. Eine m n -Matrix A über K besteht aus m n Einträgen: A i, j K für i {1,..., m}, j {1,..., n} Sie wird folgendermaßen dargestellt: A 1,1... A 1,n A = A m,1... A m,n

34 Vektorräume und Matrizen Bemerkungen: Eine m n -Matrix besteht also aus m Zeilen der Breite n, oder anders ausgedrückt aus n Spalten der Höhe m. Dabei heißt m Zeilendimension und n Spaltendimension der Matrix. Bei einem Eintrag A i, j bezeichnet der erste Index i die Zeile, der zweite Index j die Spalte. Eine Matrix mit m = n heißt quadratisch.

35 Vektorräume und Matrizen Matrizen können mit Vektoren multipliziert werden. Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor Sei A eine m n -Matrix und u K n ein Vektor der Dimension n. Dann ist A u folgender Vektor aus K m : A 1,1... A 1,n A m,1... A m,n u 1.. u n = A 1,1 u A 1,n u n... A m,1 u A m,n u n Das heißt, in der i-ten Zeile des Ergebnis-Spaltenvektors steht als Eintrag: n (A i, j u j ) j=1

36 Vektorräume und Matrizen Bemerkung: Wir verwenden das Summenzeichen Σ als abkürzende Schreibweise: n a j = a 1 + a a n j=1

37 Vektorräume und Matrizen Beispiel: Multiplikation von Matrix und Vektor über Körper R Multiplikation einer 2 3 -Matrix mit einem Vektor der Dimension 3: ( ) 1 ( ) ( ) , = =

38 Vektorräume und Matrizen Matrix als lineare Abbildung Jede m n -Matrix A über K beschreibt eine lineare Abbildung ψ A : K n K m wie folgt: ψ A ( u) = A u Durch Nachrechnen stellt man fest, dass tatsächlich die Eigenschaften einer linearen Abbildung erfüllt sind. Insbesondere gilt für jede Matrix A, Vektoren u, v und Skalar k: A ( u + v) = A u + A v A (k u) = k (A u) Außerdem gibt es zu jeder linearen Abbildung ψ : K n K m eine m n -Matrix A mit ψ = ψ A.

39 Vektorräume und Matrizen Beispiel: (fortgesetzt auf nächsten beiden Folien) Wir betrachten folgende 2 2 -Matrix als lineare Abbildung: ( ) 1 2 A = 2 1 Es gilt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A = =, d.h. ψ A ( ) = 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A = =, d.h. ψ A ( ) = 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A = =, d.h. ψ A ( ) = 1 5

40 Vektorräume und Matrizen Grafische Darstellung: y x Die roten Punkte/Vektoren werden auf die grünen Punkte/Vektoren abgebildet (Darstellung der Abbildungsvorschrift hier durch Pfeile).

41 Vektorräume und Matrizen Grafische Darstellung: y x Lineare Abbildungen in der Ebene bilden Geraden auf Geraden ab (oder manchmal auf nur einen Punkt).

42 Vektorräume und Matrizen Zwei Matrizen jeweils gleicher Zeilen- und Spaltendimensionen können addiert werden: Addition von Matrizen Seien A, B zwei m n -Matrizen. Dann ist auch C = A + B eine m n -Matrix. Die Addition erfolgt komponentenweise, d.h., C ergibt sich wie folgt: A 1,1... A 1,n B 1,1... B 1,n A m,1... A m,n B m,1... B m,n mit C i, j = A i, j + B i, j. = C 1,1... C 1,n C m,1... C m,n

43 Vektorräume und Matrizen Matrizen als additive Gruppe Die Menge aller m n -Matrizen über einem Körper bildet mit der Addition eine kommutative Gruppe. Das neutrale Element ist die Nullmatrix N und das additive Inverse zu A wird mit A bezeichnet: N = A = A 1,1... A 1,n A m,1... A m,n

44 Vektorräume und Matrizen Unter bestimmten Voraussetzungen an die Dimensionen können Matrizen auch multipliziert werden: Multiplikation von Matrizen Sei A eine m n -Matrix und B eine n r -Matrix. Dann ist C = A B eine m r -Matrix und ergibt sich wie folgt: A 1,1... A 1,n B 1,1... B 1,r A m,1... A m,n B n,1... B n,r = C 1,1... C 1,r C m,1... C m,r mit n C i, j = (A i, l B l, j ) l=1 Bemerkung: Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor (schon eingeführt) ist ein Spezialfall dieser Matrizenmultiplikation.

45 Vektorräume und Matrizen Merkregeln: (allgemeiner Fall) Multipliziere die Zeilen der ersten Matrix (A) mit den Spalten der zweiten Matrix (B). Um in der Ergebnismatrix C den Eintrag C i, j zu erhalten, multipliziere die i-te Zeile der ersten Matrix (A) komponentenweise mit der j-ten Spalte der zweiten Matrix (B) und addiere die Multiplikationsergebnisse auf.

46 Vektorräume und Matrizen Beispiel: Multiplikation von Matrizen über Körper R Multiplikation einer 2 3 -Matrix mit einer 3 2 -Matrix: ( ) , ( ) ( ) = =

47 Vektorräume und Matrizen Falk-Schema: (als weitere Merkregel) Folgendes Schema hilft bei der Matrizenmultiplikation A B = C. Die zweite Matrix B wird nach oben verschoben. In dem Feld rechts von der ersten Matrix A und unterhalb der zweiten Matrix B entsteht dann die neue Matrix C. Ein Eintrag von C entsteht dadurch, dass die entsprechende Zeile von A und Spalte von B komponentenweise multipliziert und die Multiplikationsergebnisse aufaddiert werden. ( ) ,5 3 = 2 1 ( ) ,

48 Vektorräume und Matrizen Assoziativität der Matrizenmultiplikation Matrizenmultiplikation ist assoziativ. D.h., falls A eine m n -Matrix, B eine n r -Matrix und C eine r s -Matrix ist, dann gilt: A (B C) = (A B) C Bemerkung: Es ist jedoch nicht sinnvoll zu fragen, ob die Menge aller Matrizen einen Monoid oder gar eine Gruppe bezüglich der Multiplikation bildet. Es lässt sich ja nicht jede Matrix mit jeder Matrix verknüpfen, da die Dimensionen übereinstimmen müssten. Man kann diese Frage also höchstens jeweils für die Menge aller quadratischen Matrizen fester Dimension stellen.

49 Vektorräume und Matrizen Für festes n gilt: Eigenschaften der Multiplikation quadratischer Matrizen (I) Die Menge aller n n -Matrizen bildet mit der Multiplikationsoperation ein Monoid. Insbesondere gibt es ein neutrales Element der Multiplikation, die sogenannte Einheitsmatrix E n : E n = Diese Matrix hat Einsen in der Diagonale von links oben nach rechts unten und besteht ansonsten nur aus Nullen.

50 Vektorräume und Matrizen Beispiel 1: Multiplikation mit der Einheitsmatrix E 3 0,5 7 3 = , = 0 + 0, ( 3) + 0 = 0, Für jede n n -Matrix A gilt sowohl E n A = A als auch A E n = A.

51 Vektorräume und Matrizen Eigenschaften der Multiplikation quadratischer Matrizen (II) Nicht jede quadratische Matrix A hat ein multiplikatives Inverses A 1. Matrizen, die kein multiplikatives Inverses haben, heißen singulär. Die Nullmatrix N, aber eben nicht nur sie, ist singulär. Matrizenmultiplikation ist außerdem nicht kommutativ.

52 Vektorräume und Matrizen Beispiel 2: Nicht-Existenz eines multiplikativen Inversen Die Nullmatrix, aber auch viele andere Matrizen haben kein Inverses. Wir betrachten folgende Matrix A: A = Es gibt keine 3 3 -Matrix B, so dass A B die Einheitsmatrix ist: B 1,1 B 1,2 B 1,3 A B = B 2,1 B 2,3 B 2, B 3,1 B 3,2 B 3,3 B 1,1 B 1,2 B 1, = = E

53 Vektorräume und Matrizen Beispiel 3: Nicht-Kommutativität der Matrizenmultiplikation (über R) = =

54 Vektorräume und Matrizen Die Multiplikation von zwei Matrizen entspricht der Verknüpfung der dazugehörigen linearen Abbildungen. Matrizenmultiplikation und Verknüpfung linearer Abbildungen Sei A eine m n -Matrix über K und ψ A : K n K m die dazugehörige lineare Abbildung mit ψ A ( u) = A u. Analog sei B eine n r -Matrix und ψ B : K r K n die dazugehörige lineare Abbildung mit ψ B ( u) = B u. Dann beschreibt die m r -Matrix C = A B eine lineare Abbildung ψ C : K r K m mit ψ C ( u) = C u = (A B) u = A (B u) = A ψ B ( u) = ψ A (ψ B ( u)) und somit gilt ψ C = ψ A B = ψ A ψ B. Das beruht im Wesentlichen auf der Assoziativität der Matrizenmultiplikation.

55 Erzeugendensysteme und Basen Wir betrachten nun Konzepte, mit denen man einen Vektorraum aus einigen wenigen Vektoren, sogenannten Basisvektoren, erzeugen kann. Das hat auch Beziehungen zur Berechnung des multiplikativen Inversen einer (nicht-singulären) quadratischen Matrix und zum Lösen von Gleichungssystemen.

56 Erzeugendensysteme und Basen Erzeugendensystem Wir betrachten einen n-dimensionalen Vektorraum K n. Eine Menge S = { v 1,..., v m } von Vektoren heißt Erzeugendensystem des Vektorraums, falls sich jeder Vektor aus K n als Linearkombination von Vektoren aus S darstellen lässt. D.h., für jeden Vektor u K n muss es Skalare k 1,..., k m K geben, so dass: u = k 1 v k m v m

57 Erzeugendensysteme und Basen Beispiel 1: Die Menge ( ) 2 S = {, 0 ( ) 0, 1 ( ) 1 } = { v 1 1, v 2, v 3 } ist ein Erzeugendensystem des Vektorraums R 2. (hier n = 2, m = 3) Denn ein Vektor u R 2 lässt sich immer folgendermaßen darstellen: ( ) u1 u = = u ( ) ( ) ( ) u u 2 Also als u = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 mit k i K und v i S.

58 Erzeugendensysteme und Basen Bemerkung: Die Beziehung u = k 1 v k m v m kann allgemein auch dargestellt werden als u = ( ) v 1 v m }{{} V k 1.. k m wobei V = ( v 1 v m ) eine Matrix ist, die aus den Spaltenvektoren v 1,..., v m zusammengesetzt wird. Beobachtung: Eine Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ergibt eine Linearkombination der Spalten der Matrix.

59 Erzeugendensysteme und Basen Beobachtung: Die Menge S in Beispiel 1 enthält überflüssige Elemente: mindestens ein Vektor ist redundant. Beispielsweise kann der dritte Vektor als Linearkombination der beiden ersten dargestellt werden, und folglich kann jede Linearkombination aller drei Vektoren auch als Linearkombination nur jener beiden dargestellt werden. Dadurch motivierte Definition: Linear unabhängige Menge von Vektoren Eine Menge S = { v 1,..., v m } von Vektoren heißt linear unabhängig, falls sich kein Vektor aus S als Linearkombination der anderen Vektoren aus S darstellen lässt (mit Skalaren aus dem zu Grunde liegenden Körper, inklusive 0).

60 Erzeugendensysteme und Basen Beispiel 2: Die Menge 1 0 S = { 0, 1 } 0 0 von Vektoren aus dem R 3 ist linear unabhängig. (Sie ist jedoch kein Erzeugendensystem.)

61 Erzeugendensysteme und Basen Alternative Definition für linear unabhängig : Eine Menge S = { v 1,..., v m } von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn es keine k 1,..., k m K mit gibt außer k 1 = = k m = 0. k 1 v k m v m = 0 Das heißt, man kann den Nullvektor nur auf eine Weise als Linearkombination von linear unabhängigen Vektoren darstellen: nämlich indem man alle Skalare mit der 0 des Körpers belegt.

62 Erzeugendensysteme und Basen Beispiel 1 (nochmal aufgegriffen): Das Erzeugendensystem ( ) 2 S = {, 0 ( ) 0, 1 ( ) 1 } = { v 1 1, v 2, v 3 } des R 2 ist nicht linear unabhängig, denn zum Beispiel gilt: 1 ( ) ( ) 0 + ( 2) 1 ( ) 1 = 0 1 Also gibt es hier k 1, k 2, k 3 K mit k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 = 0, obwohl nicht k 1 = k 2 = k 3 = 0. (Es gibt jedoch linear unabhängige Erzeugendensysteme des R 2.)

63 Erzeugendensysteme und Basen Von besonderem Interesse sind Mengen von Vektoren, die beide Eigenschaften erfüllen: Basis Eine Menge B = { b 1,..., b m } von Vektoren heißt Basis, falls sie gleichzeitig ein Erzeugendensystem und linear unabhängig ist.

64 Erzeugendensysteme und Basen Beispiel 3: Die Mengen B 1 = { 0, 1, 0 } und sind verschiedene Basen des R B 2 = { 0, 3, 0 } Für B 1 (mit den sogenannten Einheitsvektoren) ist dies relativ offensichtlich. Aus den Elementen von B 2 kann man einfach die Elemente von B 1 bauen und außerdem sind auch die drei Vektoren in B 2 linear unabhängig.

65 Erzeugendensysteme und Basen Beispiel 3 (fortgesetzt): Die Menge B 3 = { 0, 2, 2 } dagegen ist keine Basis des R 3, denn ihre Vektoren sind nicht linear unabhängig. Insbesondere kann man den dritten Vektor durch Linearkombination der anderen beiden Vektoren darstellen: = ( 2)

66 Erzeugendensysteme und Basen Einheitsvektoren Wir betrachten weiter einen n-dimensionalen Vektorraum K n. Für i {1,..., n} ist der i-te Einheitsvektor e i derjenige Vektor, der an der i-ten Stelle eine Eins hat und ansonsten nur aus Nullen besteht: e 1 = e n = Dabei sind 1 und 0 natürlich die entsprechenden Elemente aus dem zu Grunde liegenden Körper. 0 1

67 Erzeugendensysteme und Basen Bemerkungen: Die Einheitsvektoren bilden immer eine Basis des K n. Für jeden Vektor u gilt ja: u = u 1.. u n = u 1 e u n e n und außerdem sind die Einheitsvektoren immer linear unabhängig. Wenn B eine Basis des K n ist, dann gibt es für jeden Vektor des K n genau eine Möglichkeit, diesen als Linearkombination von Vektoren aus B darzustellen.

68 Erzeugendensysteme und Basen Weitere Bemerkungen: Ein Erzeugendensystem des K n besteht immer aus mindestens n Vektoren. Eine Menge, die weniger als n Vektoren enthält, kann also kein Erzeugendensystem sein. Eine linear unabhängige Menge im K n besteht immer aus höchstens n Vektoren. Eine Menge, die mehr als n Vektoren enthält, ist also immer linear abhängig. Eine Basis des K n besteht immer aus genau n Vektoren. Ein Erzeugendensystem des K n mit n Vektoren ist immer eine Basis. Eine linear unabhängige Menge im K n mit n Vektoren ist auch immer eine Basis.

69 Erzeugendensysteme und Basen Aus den letzten drei Bemerkungen ergeben sich zwei Verfahren, um festzustellen, ob eine Menge B K n von Vektoren eine Basis des K n ist oder nicht: Man überprüft, ob B genau n Vektoren enthält und ob diese Vektoren ein Erzeugendensystem sind. Oder: Man überprüft, ob B genau n Vektoren enthält und ob diese Vektoren linear unabhängig sind.

70 Erzeugendensysteme und Basen Wir können nun die Frage beantworten, wann eine quadratische Matrix A invertierbar ist. Angenommen die n n -Matrix A ist invertierbar, d.h., es gibt ein multiplikatives Inverses A 1 mit A A 1 = E n. Wir betrachten A 1 als aufgebaut aus einzelnen Spaltenvektoren a 1,..., a n, d.h. A 1 = ( a 1 a n ). Dann gilt: A A 1 = A ( a 1 a n ) = ( A a1 A a n ) = ( e1 e n ) Es gilt also A a i = e i für alle i {1,..., n}. Das bedeutet (siehe frühere Beobachtung ), dass man aus den Spalten von A durch Linearkombination jeden Einheitsvektor (und damit auch jeden anderen Vektor) erhalten kann.

71 Erzeugendensysteme und Basen Die Menge der Spaltenvektoren von A ist damit ein Erzeugendensystem und da sie aus genau n Vektoren besteht auch eine Basis. Umgekehrt gilt auch, dass es zu einer Matrix, deren Spaltenvektoren eine Basis bilden, Vektoren a 1,..., a n gibt, die die obigen Eigenschaften haben und aus denen man somit eine inverse Matrix konstruieren kann. (Wie man diese Vektoren berechnen kann, besprechen wir später.)

72 Erzeugendensysteme und Basen Zusammenfassend gilt also: Invertierbare Matrizen und Basen Eine n n -Matrix A über einem Körper K ist invertierbar genau dann, wenn die Spalten von A eine Basis des K n bilden. Man sagt dann auch, die Matrix hat den vollen Rang. Hinweis: Mit A A 1 = E n gilt auch A 1 A = E n (obwohl Matrizenmultiplikation allgemein nicht kommutativ ist).

73 Gaußsches Eliminationsverfahren Wir betrachten nun ein Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen (gesucht sind die x i ) der folgenden Form: A 1,1 x A 1,n x n = b 1. A m,1 x A m,n x n = b m Dies kann geschrieben werden als A 1,1... A 1,n A m,1... A m,n x 1.. x n = b 1.. b m also A x = b für eine m n -Matrix A, einen m-dimensionalen Vektor b und einen (gesuchten) n-dimensionalen Vektor x.

74 Gaußsches Eliminationsverfahren Gegeben seien eine m n -Matrix A und ein m-dimensionaler Vektor b. Gesucht ist ein n-dimensionaler Vektor x, der folgende Gleichung erfüllt: A x = b Wenn A quadratisch (m = n) und zudem noch invertierbar ist, dann kann man zeigen, dass es genau eine Lösung x gibt: Man multipliziert die obige Gleichung auf beiden Seiten mit A 1 : A 1 A x = A 1 b und daraus folgt wegen A 1 A x = E n x = x, dass x = A 1 b.

75 Gaußsches Eliminationsverfahren Aber es bleiben viele offene Fragen: Wie berechnet man den Vektor x konkret? (Wir haben ja noch kein Verfahren, um das multiplikative Inverse einer Matrix zu bestimmen.) Was passiert, wenn die Matrix A nicht quadratisch oder nicht invertierbar ist? Kann eine solche Gleichung mehrere Lösungen haben? Kann eine solche Gleichung gar keine Lösung haben?

76 Gaußsches Eliminationsverfahren In den folgenden Beispielen arbeiten wir im Körper (R, +, ). Beispiel 1: Gleichungssystem mit einer Lösung 3 x x 2 = 2 x 1 3 x 2 = 5 Man kann dieses Gleichungssystem durch geschicktes Einsetzen lösen: zweite Gleichung wird umgeformt zu x 1 = x 2, Einsetzen in die erste Gleichung ergibt 3 (5 + 3 x 2 ) + 4 x 2 = x 2 = 2 und daraus folgt x 2 = 1. Daher: x 1 = x 2 = ( 1) = 2. Die (einzige) Lösung ist somit x 1 = 2, x 2 = 1.

77 Gaußsches Eliminationsverfahren Für dieses Beispiel gilt: A = ( ) und A hat das multiplikative Inverse A 1 = ( 3 13 b = ( (Wir werden noch sehen, wie man solche Inverse tatsächlich berechnen kann.) ) ) Test: x = A 1 b = ( ) ( ) ( ) 26 ( ) = 5 13 = 1 13

78 Gaußsches Eliminationsverfahren Beispiel 2: Gleichungssystem ohne Lösung x x 2 = 3 2 x 1 4 x 2 = 1 Man sieht, dass man 2 x 1 4 x 2 erhält, indem man x x 2 mit 2 multipliziert. Also müsste auch das Ergebnis rechts unten (= 1) ein entsprechendes Vielfaches des Ergebnisses rechts oben (= 3) sein. Das ist aber nicht der Fall, daher hat das Gleichungssystem keine Lösung. Hier sieht man, dass die Matrix ( ) 1 2 A = 2 4 aus linear abhängigen Spaltenvektoren besteht und somit nicht den vollen Rang hat. Sie ist also nicht invertierbar.

79 Gaußsches Eliminationsverfahren Beispiel 3: Gleichungssystem mit mehreren Lösungen x x 2 = 3 2 x 1 4 x 2 = 6 Die untere Gleichung ist ein Vielfaches der oberen Gleichung (Faktor 2). Also ist die untere Gleichung redundant und wir müssen einfach alle Lösungen der oberen Gleichung bestimmen. Es gilt x 1 = 3 2 x 2, also hat jede Lösung x die Form: x = ( x1 x 2 ) ( ) 3 2 x2 = = x 2 ( 3 0 ) + x 2 ( 2 1 Dabei kann x 2 R beliebig gewählt werden und wir haben unendlich viele Lösungen. Wie in Beispiel 2 ist die Matrix nicht invertierbar. )

80 Gaußsches Eliminationsverfahren Wir betrachten nun ein allgemeines Verfahren, um solche Gleichungssysteme zu lösen: das Gaußsche Eliminationsverfahren. Dabei schreiben wir immer A und b kompakt wie folgt auf: A 1,1... A 1,n b A m,1... A m,n b m

81 Gaußsches Eliminationsverfahren Das Gaußsche Eliminationsverfahren basiert auf folgenden Beobachtungen: Wenn man zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich dadurch die Lösungsmenge nicht. Wenn man eine Zeile mit einem Wert ungleich 0 multipliziert, so ändert sich dadurch die Lösungsmenge nicht. Wenn man das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addiert (oder von einer anderen Zeile subtrahiert ), so ändert sich dadurch die Lösungsmenge nicht. Wenn man zwei Spalten i, j vertauscht, so ändert sich dadurch nur die Reihenfolge der Variablen (Wert von x i wird mit Wert von x j vertauscht). Das kann man sich merken und am Ende wieder in Ordnung bringen.

82 Gaußsches Eliminationsverfahren Ziel: Wir bringen das Gleichungssystem durch die oben beschriebenen Umformungen auf folgende Form (mit k n und k m): A 1,1 A 1,2... A 1,k... A 1,n b 1 0 A 2,2... A 2,k... A 2,n b A k,k... A k,n b k b k b m wobei A 1,1 = 1, A 2,2 = 1,..., A k,k = 1

83 Gaußsches Eliminationsverfahren Bemerkung: Es handelt sich dabei links des vertikalen Strichs um eine Matrix mit Einsen auf der (nicht notwendigerweise ganz durchgehenden) Diagonale, bei der unterhalb der Diagonale nur Nullen stehen. Außerdem kommen dort eventuell (für k < m) ab der (k + 1)-sten Zeile überhaupt nur noch Nullen vor. Dieser Block von Nullen kann aber auch vollkommen fehlen (nämlich wenn k = m). Aus obiger Form kann man dann relativ einfach alle Lösungen ablesen.

84 Gaußsches Eliminationsverfahren Einige Beispiele für die gewünschte Form:

85 Gaußsches Eliminationsverfahren Bei einer m n -Matrix A läuft das Gaußsche Eliminationsverfahren in höchstens n Schritten ab. In jedem Schritt wird eine weitere Spalte in die gewünschte Form gebracht. Gaußsches Eliminationsverfahren (i-ter Schritt) Angenommen die Spalten 1,..., i 1 sind schon in der gewünschten Form. Dann sieht die Matrix folgendermaßen aus: 1 A 1,2... A 1,i... A 1,n b A 2,i... A 2,n b A i,i... A i,n b i A i+1,i... A i+1,n b i A m,i... A m,n b m

86 Gaußsches Eliminationsverfahren Wir betrachten nun A i,i, das sogenannte Pivotelement. Pivotelement A i,i 0 In diesem Fall hat A i,i ein multiplikatives Inverses A 1 i,i. (Wir arbeiten ja in einem Körper!) Wir multiplizieren die i-te Zeile mit A 1 i,i, wodurch das Pivotelement dann den Wert 1 hat, wir also diese Situation haben: 1 A 1,2... A 1,i... A 1,n b A 2,i... A 2,n b A i,n b i A i+1,i... A i+1,n b i A m,i... A m,n b m

87 Gaußsches Eliminationsverfahren Pivotelement A i,i 0 (Fortsetzung) Wir behandeln dann jede Zeile j unterhalb (also j > i) wie folgt: Wir multiplizieren die neue i-te Zeile mit A j,i und ziehen sie von der j-ten Zeile ab. Dadurch ergibt sich jeweils folgende neue j-te Zeile: (A j,i A j,i 1)... (A j,n A j,i A i,n) (b j A j,i b i) wobei immer A j,i A j,i 1 = 0 gilt. Damit ist die i-te Spalte jetzt in der richtigen Form und wir können mit dem (i + 1)-ten Schritt fortfahren, oder sind bereits fertig (falls i bereits gleich n).

88 Gaußsches Eliminationsverfahren Falls das Pivotelement A i,i den Wert 0 hat, so hat es kein multiplikatives Inverses und wir können das vorherige Vorgehen nicht anwenden. Wir unterscheiden zwei Fälle: Pivotelement A i,i = 0, Fall 1 Angenommen es gibt ein Element A j,i unterhalb von A i,i (also j > i) mit A j,i 0. Dann vertauschen wir die i-te und die j-te Zeile und fangen danach mit dem i-ten Schritt wieder von vorne an. (Achtung: Die Elemente b i, b j in der ganz rechten Spalte müssen mit getauscht werden.)

89 Gaußsches Eliminationsverfahren Pivotelement A i,i = 0, Fall 2 Angenommen es gibt kein Element A j,i unterhalb von A i,i mit A j,i 0. D.h., alle Elemente in dieser Spalte, angefangen mit A i,i, sind gleich Null. Dann betrachten wir dieses Rechteck rechts unten in der Matrix: 0 A i,i+1... A i,n b i 0 A i+1,i+1... A i+1,n b i A m,i+1... A m,n b m Falls alle Elemente A j,l mit j i und l > i gleich Null sind, dann sind wir fertig (d.h., das Verfahren insgesamt hält an).

90 Gaußsches Eliminationsverfahren Pivotelement A i,i = 0, Fall 2 (Fortsetzung) Ansonsten wählen wir eine Spalte l, in der es einen Wert A j,l 0 gibt (mit j i und l > i) und vertauschen die i-te und die l-te Spalte. Danach beginnen wir mit dem i-ten Schritt wieder von vorne. Die Vertauschung muss gemerkt und später wieder rückgängig gemacht werden! Achtung: Ein Tausch mit der b -Spalte ist nicht erlaubt! Und beim Tauschen müssen wir auch die Zeilen oberhalb der i-ten Zeile erfassen!

91 Gaußsches Eliminationsverfahren Nachdem das Verfahren beendet ist, haben wir die Zielform erreicht ( Umgeformtes Gleichungssystem ) und können die Lösungsmenge bestimmen. 1. Möglichkeit: keine Lösung Wir betrachten zunächst den unteren nur aus Nullen bestehenden A-Block (falls existent). Falls eines der zugehörigen Elemente b k+1,..., b m ungleich Null ist, so hat das Gleichungssystem keine Lösung.

92 Gaußsches Eliminationsverfahren Umgeformtes Gleichungssystem 2. Möglichkeit: Lösungen bestimmen Ansonsten betrachten wir den oberen Block mit A 1,1 = 1, A 2,2 = 1,..., A k,k = 1 A 1,1 A 1,2... A 1,k... A 1,n b 1 0 A 2,2... A 2,k... A 2,n b A k,k... A k,n b k und behandeln die Zeilen von unten nach oben wie im Folgenden beschrieben.

93 Gaußsches Eliminationsverfahren 2. Möglichkeit: Lösungen bestimmen (Fortsetzung) Die jeweils j-te Zeile (k j 1) entspricht ja im Prinzip (abgesehen von eventuell durchgeführten Spaltentauschen) folgender Gleichung: Es gilt also: x j + A j, j+1 x j A j,n x n = b j x j = b j A j, j+1 x j+1 A j,n x n Dabei setzen wir für x j+1,..., x n möglicherweise bereits berechnete Werte bzw. Ausdrücke ein. Zuletzt machen wir noch gemerkte Spaltentausche rückgängig.

94 Gaußsches Eliminationsverfahren 2. Möglichkeit: Lösungen bestimmen (Fortsetzung) Insgesamt erhalten wir die Lösungen für x 1,..., x n, wobei gegebenenfalls Variablen x j in der Darstellung übrigbleiben. Diese bleiben stehen und repräsentieren beliebige Körperelemente. Dies passiert immer dann, wenn der obere A-Block nicht quadratisch ist (also wenn n > k) und die Diagonale daher nicht ganz durchgeht. Insgesamt erhält man eine Menge von Lösungsvektoren x, die allgemein wie folgt dargestellt werden können: x { u + x j1 v x jr v r x jk K}

95 Gaußsches Eliminationsverfahren Bemerkungen: Beim Zeilen- bzw. Spaltentausch hat man oft mehrere Möglichkeiten. Dann kann man sich ein günstiges Pivotelement aussuchen. Ein Pivotelement ist günstig, wenn es ein einfach zu handhabendes multiplikatives Inverses hat. Am besten ist natürlich die Eins als Pivotelement.

96 Gaußsches Eliminationsverfahren Beispiel 4: Wir lösen folgendes Gleichungssystem in R: In Matrixschreibweise: +3 x 3 +x 4 = 3 3 x 1 +4 x 2 2 x 3 +3 x 4 = 4 6 x 1 +8 x 2 +x 3 x 4 = 13 x x 2 3 x = 4 13 x 4

97 Gaußsches Eliminationsverfahren Anfangssituation: Schritt (a): Zeile 1 und Zeile 2 vertauschen, um Pivotelement ungleich Null zu erhalten

98 Gaußsches Eliminationsverfahren 1. Schritt (b): Zeile 1 mit 1 3 multiplizieren, um Pivotelement zu Eins zu machen Schritt (c): Rechne (Zeile 2) 0 (Zeile 1) und (Zeile 3) 6 (Zeile 1)

99 Gaußsches Eliminationsverfahren 2. Schritt (a): Spalte 2 und Spalte 4 vertauschen, um Pivotelement ungleich Null zu erhalten. (Spaltenvertauschung merken!) Das Pivotelement ist nun bereits Eins. 2. Schritt (b): Rechne (Zeile 3) ( 7) (Zeile 2)

100 Gaußsches Eliminationsverfahren 3. Schritt (a): Zeile 3 mit 1 26 multiplizieren, um Pivotelement zu Eins zu machen Damit ist das Gleichungssystem in der gewünschten Form. Existenz der Lösung: Es gibt keinen unteren nur aus Nullen bestehenden A-Block, daher existiert mindestens eine Lösung.

101 Gaußsches Eliminationsverfahren Bestimmung der Lösung: An Hand des oberen Blocks : Zeile 3: x 3 = 0 0 x 4 = Zeile 2: x 2 = 3 3 x 3 0 x 4 = 3 Zeile 1: x 1 = x 2 ( 2 3 ) x x 4 = x 4 Vertauschungen rückgängig machen: Wir müssen noch x 2 und x 4 zurücktauschen, somit ergibt sich: x 1 = x 2, x 2 beliebig, x 3 = 0, x 4 = 3

102 Gaußsches Eliminationsverfahren Vektorschreibweise: x 1 x = x 2 x 3 = x x 2 x = x Das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen, je eine für jede Belegung von x 2 mit einer reellen Zahl.

103 Gaußsches Eliminationsverfahren Beispiel 2 (noch einmal): x x 2 = 3 2 x 1 4 x 2 = 1 Anfangssituation:

104 Gaußsches Eliminationsverfahren 1. Schritt: Das Pivotelement ist bereits Eins. Rechne (Zeile 2) ( 2) (Zeile 1) Schritt: Fällt sehr kurz aus, wegen des Null-Blocks. Existenz der Lösung? Zum unteren nur aus Nullen bestehenden A-Block gehört ein b-element ungleich Null. Daher existiert keine Lösung.

105 Multiplikatives Inverses einer Matrix Mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens kann man nun das multiplikative Inverse einer quadratischen Matrix bestimmen (sofern es existiert). Gegeben sei: A 1,1... A 1,n A = A n,1... A n,n Man stellt sich vor, dass das multiplikative Inverse A 1 aus Spaltenvektoren a 1,..., a n zusammengesetzt ist und schreibt A 1 = ( a 1 a n ). (Siehe auch den Abschnitt über Erzeugendensysteme und Basen Invertierbare Matrizen und Basen.)

106 Multiplikatives Inverses einer Matrix Damit A 1 das Inverse von A ist, muss gelten: A A 1 = A ( a ) ( ) 1 a n = A a1 A a n = E n = = ( ) e 1 e n Also gilt für jedes i {1,..., n}: A a i = e i Dabei ist e i der i-te Einheitsvektor. Man müsste also n Gleichungssysteme mit jeweils n Gleichungen lösen. Existieren für alle Gleichungssysteme Lösungen, so erhält man die Inverse A 1. Anderenfalls gibt es keine Inverse.

107 Multiplikatives Inverses einer Matrix Beispiel: Wir bestimmen das multiplikative Inverse folgender Matrix in R. ( ) 3 4 A = 1 3 Wir setzen zunächst a 1 = A a 1 = e 1 : ( x1 x 2 ) und lösen das Gleichungssystem 3 x x 2 = 1 x 1 3 x 2 = 0 Das ergibt die Lösungen x 1 = 3 13 und x 2 = 1 13.

108 Multiplikatives Inverses einer Matrix Wir setzen nun a 2 = A a 2 = e 2 : ( y1 y 2 ) und lösen das Gleichungssystem 3 y y 2 = 0 y 1 3 y 2 = 1 Das ergibt die Lösungen y 1 = 4 13 und y 2 = Insgesamt erhält man folgende Matrix A 1 : A 1 = ( ( ) ) x1 y a 1 a 2 = 1 = x 2 y 2 ( )

109 Multiplikatives Inverses einer Matrix Gauß-Jordan-Verfahren: Es gibt eine effizientere Methode, um das Inverse einer quadratischen Matrix zu bestimmen. Man kann insbesondere alle n Gleichungssysteme gleichzeitig lösen. Dafür schreibt man die zu invertierende Matrix und die Einheitsmatrix wie folgt nebeneinander: Dann formt man die linke Matrix durch Zeilentausch (nicht Spaltentausch!), indem man Zeilen mit einem Wert ungleich 0 multipliziert, und indem man Vielfache von Zeilen zu anderen Zeilen addiert, zur Einheitsmatrix um. Die Matrix, die dabei rechts entsteht, ist dann die Inverse.

110 Multiplikatives Inverses einer Matrix Gauß-Jordan-Verfahren: Sollte es während Durchführung dieses Verfahrens passieren, dass in einem i-ten Schritt (mit i n) alle A j,i mit j i den Wert 0 haben, dann ist die ursprünglich gegebene Matrix nicht invertierbar. Außerdem ist zu beachten: Nachdem man die normalen n Gauß-Schritte durchgeführt hat, und die Situation dann so ist: 1 A 1,2... A 1,n B 1,1... B 1,n A 2,n B 2,1... B 2,n B n,1... B n,n sind weitere maximal n 1 Schritte nötig (von unten nach oben, nur noch Additionen von Vielfachen von Zeilen zu anderen Zeilen), um links wirklich eine Einheitsmatrix herzustellen.

111 Multiplikatives Inverses einer Matrix Beispiel für Gauß-Jordan-Verfahren: Ausgangssituation: Schritt: Pivotelement ist bereits 1. Rechne (Zeile 3) 5 (Zeile 1) Schritt: Pivotelement ist bereits 1. Rechne (Zeile 3) + 4 (Zeile 2)

112 Multiplikatives Inverses einer Matrix 3. Schritt: Zeile 3 mit 1 5 multiplizieren, um Pivotelement zu 1 zu machen Schritt: Rechne (Zeile 2) 5 (Zeile 3) und (Zeile 1) 3 (Zeile 3) Schritt: Rechne (Zeile 1) 2 (Zeile 2)