II. BUCH VIERECKE. 4. Die SEHNENund TANGENTEN

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1 II. BUCH VIERECKE 4. Die SEHNENund TANGENTEN

2 Sehnen- und Tangentenvierecke Im Sehnenviereck (SV) ist ja die Summe der Gegenwinkel gleich α+γ = ß+δ =180º, während im Tangentenviereck (TV) die Summe der Gegenseiten gleich sein muss: a+c = b+d (die Umkehrungen gelten ebenfalls!). Gleiche Gegenwinkelsumme bzw. Gegenseitensumme Weil die Umfangswinkel über gleichen Sehne gleich sind, ist sin α = f/2r und sin β = e/2r Daraus ergibt sich das Verhältnis der Diagonalen als das Verhältnis der Sinuswerte der zwei benachbarten Winkel a und ß! 1 e : f = sin β : sin α = (ad+bc)/(ab+cd) 2 1 Beachte: sin α = sin (180º-α) = sin γ und analog ist sin ß = sin (180º - δ) = sin δ. 2 Nach einer Formel des Inders Brahmagupta ( ) siehe gegen Ende des Kapitels

3 Abb. 40a: Das Diagonalenverhältnis beim Sehnenviereck ist e/f = sin(x)/sin(y) für x, y von 0 bis π bzw. rechts bis 2π Die Mitte des Sattels, oder des Schnittes mit z=1 für gleichlange Diagonalen, ist das Quadrate mit den Winkeln x = y= ½π Das Produkt der Diagonalen e und f beim Sehnenviereck ist nach Ptolemäus 3 gerade die Summe der Gegenseitenprodukte 4 ef = ac+bd Die Diagonalen selbst sind e = {(ad+bc)(ac+bd)/(ab+cd)} f = {(ab+cd)(ac+bd)/(ad+bc)} womit ihr Produkt ef = ac+bd wird, was schon seit langem bekannt ist 5. 3 Claudius Ptolemäus (85-165), der Erfinder des geozentrischen Epizyklen-Weltbildes Diesen Satz des Ptolemäus kann man auch mit Hilfe der komplexen Zahlen beweisen: >>Zahlen<< von Ebbinghaus, Hermes, Hirzebruch, Köcher, Mainzer, Prestel, Remmert; Springer Für andere Vierecke ist das Diagonalenprodukt kleiner, nur beim Sehnenvierecke ist das Diagonalenprodukt maximal, d.h. gleich der Summe der Gegenseitenprodukte. Das mit dem Sinus des Diagonalenschnittwinkels multiplizierte Diagonalenprodukt liefert bei jedem Viereck den Flächeninhalt. Für rechtwinklige Diagonalen ist A=½ef. 5 Nach dem Kosinussatz e²=a²+b²-2ab*cos(beta) und e²=c²+d²-2cd*cos(delta). Es gilt cos(delta)=cos(180 -beta)=-cos(beta) und e²=c²+d²+2cd*cos(beta). cos(beta) wird eliminiert: (a²+b²-e²)/(2ab)=(c²+d²-e²)/(2cd). Daraus folgt e²=(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd) oder e=sqrt[(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)]. Analog erhält man f²=(ac+bd)(ab+cd)/(bc+ad) oder f=sqrt[(ac+bd)(ab+cd)/(bc+ad)]

4 Diesen Satz des Ptolemäus kann man übrigens für das Sehnensechseck zum Fuhrmannschen erweitern 6 : Sind a, b, c, a, b und c die Sechseckseiten, wobei (a, a ), (b, b ) und (c, c ) die Gegenseitenpaare sind, dann gilt für das Diagonalenprodukt der drei Diagonalen e, f und g, die keine Ecke gemeinsam haben, und g mit a und d keine Sechseckecke teilt, h mit b und e und i mit den Seiten c und f gemeinsame Ecken haben efg = abc + a b c + aa e + bb f + cc g R. J. Gregorac verallgemeinerte diesen Fuhrmannschen Satz noch auf konvexe Kreisvielecke gerader Eckenanzahl 7. Analoge Sätze gibt es auch in der hyperbolischen und elliptischen Geometrie. 6 Für Sehnensechsecke gibt es auch interessante Zusammenhänge des Flächenquadrats mit den sechs verschiedenen Seitenquadratprodukt-Summen >>Cyclic Hexagon<< Enzyklopädie der M. von Eric W. Weisstein, CRC-Press Fuhrmann W., Synthetische Beweise Planimetrischer Sätze, Berlin (1890), du triangle de Fuhrmann R. J. Gregorac, Feuerbach s relation and Ptolemy s theorem in R n. Geom. Dedicata 60 (1996), no. 1,

5 Für ein beliebiges Viereck gilt 8 : Die Fläche für Sehnenvierecke ist nach Brahmagupta (s. Anhang) A = ¼ [(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)] also der vierte Teil der WURZEL aus dem Differenzenprodukt der Seiten! Der Umkreiskreisradius R eines einbeschriebenen Sehnenvierecks ist 9 R = [(ab+cd) (ac+bd) (ad+bc)] / 4A, Für einen Beweis siehe z.b

6 für Kreisvierecke gilt somit R = ¼ {[(ab+cd) (ac+bd) (ad+bc)] / (abcd)} (Beim Dreieck ist 4AR das Seitenprodukt etwa eines Dreiecks der Seiten e = {(ad+bc)(ac+bd)/(ab+cd)}, f = {(ab+cd)(ac+bd)/(ad+bc)} und g = {(ab+cd)(ad+bc)/(ac+bd)} siehe 130, 83,2 und (1440/13) der Abb. 41a, was aber eine andere Fläche ~45,3 und einen anderen Umkreisradius ~5,7 ergibt Nimmt man aber die Quadrate der Seitenlängen, so braucht daraus kein Dreieck mehr zu entstehen, wie das Dreieck 3,4 und 5 zeigt, deren Quadratseiten wegen 9+16=25 die Dreiecksungleichung nicht mehr erfüllt.) Der Radikand der Zähler-Wurzel (ab+cd) (ac+bd) (ad+bc) ist gleich dem Produkt je zweier Diagonalenpaare e und f, e und f bzw. e und f der drei verschiedenen Realisierungs-Möglichkeiten, ein Sehnenviereck mit den vier Seiten a, b, c und d darzustellen (Abb. 41). (ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) = e f e f e f = (4AR)² Die Flächen sind dabei gleich groß, denn jede Sehne bildet mit dem Umkreismittelpunkt einen der vier Kreissektoren, die man auf drei Arten zum ganzen Kreis zusammenfügen kann (Kuchenstückmodell). Diese drei verschiedenartige Ausführungen für die vier gegeben Seiten haben genau denselben Flächeninhalt 10, denn die vier von den Seiten als Sehne erzeugten Kuchenstücke oder Kreissektoren des SV (bzw. Tangentensektoren beim TV) fügen sich eben auf vier verschiedene Weisen zum ganzen Kuchen zusammen, bzw. als Ganzes zum Vollkreis umfassenden Tangentenviereck. In Wirklichkeit unterscheiden sich aber nur zwei (die gleich sind) der vier Diagonalen e, f, e und f von e und f, denn es gibt ja nur (4 über 2) = 6 und wegen der Vertauschbarkeit somit nur 3 wirklich verschiedene Möglichkeiten für benachbarte zwei Sehnen, eine Diagonale zu bilden. Diese dritte Diagonale sei g. Dann ist das Produkt der drei verschiedenen Diagonalen 10 Diese Fläche ist übrigens maximal für gegebene vier Seitenlängen

7 efg = [(ab+cd) (ac+bd) (ad+bc)] = 4AR Beispiel Abb. 37: In einen Kreis mit Radius 1885/8 lassen sich Sehnen der Länge , 399 und 440 auf drei verschiedene Arten mit A=87780 zusammensetzen: ac+bd = = 377 x 13650/29 (womit f~470,7 wird) ab+cd = = 13650/29 x 6061/13 (womit g~466,2 ist) ad+bc = = 377 x 6061/13 efg = ( x x )= 4x x 1885/8 = Beispiel der Abb. 41a: A = ¼ [( )( )( )( )] = ¼ (24x16x12x8) =16x3= 48 (3x7+9x11)(3x9+7x11)(3x11+7x9)= = 96²x130 Die Wurzel daraus ist 96x ,57 und somit R=96x 130 /(4x48)= 32,5 5,7 (3x7+9x11)(3x9+7x11):(3x11+7x9)=120x104:96=130 e = ,4 (3x9+7x11)(3x11+7x9) : (3x7+9x11) =83,2 f 9,12 (3x7+9x11) (3x11+7x9):(3x9+7x11): 120x96: ,77 e 10,52 Das Produkt ist grob überschlagen 1000 und genau 96x

8 Abb. 41a: Die drei verschiedenen Sehnenvierecke derselben Seiten mit den Seitenlängen a=3, b=7, c=9 und d=11 eines Kreises mit R=½ 130 haben alle dieselbe Fläche A=48 Es gibt nur drei verschiedene Diagonalenlängen (gelb), deren Produkt 4AR = 96x 130 ist; hier e 11,4 sowie f 9,1 und e 10,5, Das ungefähre Diagonalenprodukt 11,4x9,12x10,52~1104,5 hat etwa 1% Fehler

9 Abb. 41b: Die Mittelpunktswinkel der drei flächengleichen Sehnenvierecke sind 90º, 60º, 100º und 110º (daher gleiche Seitenlängen) Der jeweilige ⅓π Winkel ist hier farbig hervorgehoben! Die zugehörigen Tangentenvierecke haben auch gleiche Flächen aber nicht mehr die gleichen Seitenlängen Für den Inkreisradius r von Tangentenvierecken gilt Bretschneiders 11 Formel r = ½ [(2ef)² - (a²-b²+c²-d)²] / u = = [(ef)² - ¼(a-b)²(a+b-c-d)²] / (a+b+c+d) Beim Tangentenviereck bilden die Diagonalen 4 Teildreiecke, deren Summe zweier inverser Inkreisradien (Ankreisradien) der gegenüberliegenden Inkreise gleich sein muss. Ist die Summe oder das Produkt je zweier gegenüberliegenden Inkreisradien (Ankreisradien) gleich, dann ist das TV ein Drachen J. W. Harris und H Stocker, "Quadrilateral of Tangents." Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, Seite 86, 1998 bzw. Bretschneiders Formel für beliebige Vierecke kann man auch mit dem Diagonalen- Spread s zu A² = 4P 1 P 2 s berechnen, wobei die beiden P-Quadranzen die Quadrate der Diagonalen e und f sind und s das Sinusquadrat ihres Schnittwinkels:

10 Speziell für Rhomben (Rauten) ist A=½ef. Da die Seitenlängen a=b=c=d gleich sind, folgt wegen a =½ (e²+f²) für u=2 (e²+f²) und für den Inkreisradius r=2a/u: r=ef/[2 (e²+f²)] Das Diagonalenverhältnis eines Sehnenvierecks ist nach Brahmagupta 13 e/f = sin β / sin α = ( ad+bc ) /(ab+cd). Brahmaguptas Erkenntnisse über Vierecke, deren Seiten- und Diagonalen-Längen (bzw. auch noch der Flächeninhalt) rational sind, können durch alleinige Zusammensetzung pythagoreischer Dreiecke gefunden werden (Kummer 14 ). Allerdings beschränkte sich Brahmagupta selbst nur auf solche mit senkrecht aufeinander stehenden Diagonalen. Solche besitzen auch eine Art von Feuerbachkreis (den Acht-Punkte-Kreis -- vorhergehendes Kapitel) 15 : Schneiden sich bei einem Viereck die Diagonalen e und f senkrecht, dann ist (wovon man sich mit dem Satz des Pythagoras schnell überzeugen kann) die Quadratsumme der Gegenseiten gleich a +c = b +d 13 Forum Geometricorum Volume 7 (2007) von Claudi Alsina and Roger B. Nelsen 14 Eduard Kummer ( ) 15 Der Acht Punkte Kreis ist ein einfaches und faszinierendes Beispiel eines Sachverhalts, der erst in diesem Jahrhundert entdeckt wurde und 1944 Gegenstand eines Artikels von L. Brand in der Zeitschrift der AMS war. --> Der Feuerbach Kreis oder Neun Punkte Kreis von Peter Andree, 18. Dezember 2003 oder

11 und umgekehrt. Dann (und nur dann bilden die Seitenmitten ein Rechteck, dessen Diagonalenschnitt Zentrum des 8P-Kreises sein kann) liegen die vier Seitenmitten des Vierecks und ihre vier Projektionen auf die gegenüberliegende Seite auf einem Kreis, nämlich dem Acht-Punkte- Kreis)! Jedes Sehnenviereck lässt sich dadurch, weil die Tangenten senkrecht auf dem Berührradius (Verbindung der Berührpunkte zum Kreiszentrum M u ) stehen, zu einem Tangentenviereck ergänzen. Dieses wiederum lässt sich (auch durch die Verbindungen zum Kreiszentrum) in vier rechtwinklige Drachen zerlegen. Sind die Sehnenviereckseiten rational, dann ergeben sich auch aufgrund der ähnlichen Dreiecke wiederum rationale Tangentenabschnitte und damit rationale TV-Seiten. Und da auch der Inhalt rational ist (rationale Drachen) ist das TV rational

12 Das Tangentenviereck ist das Polardreieck seines Sehnenvierecks bezüglich dessen Umkreis. Beide Diagonalen des SV und TV schneiden sich in demselben Punkt S i (der Schnittpunkt ist Pol derselben Polaren). Die Polare des Diagonalenschnitts S i steht senkrecht auf der Euler-Geraden, der S i M u Verbindung, auf der auch der Schwerpunkt S (als Schnitt der Gegenseitenmitteverbindungen) liegt. Die Polare zum Schnitt der Gegenseitenmitteverbindungen S ist eine Parallele zur Polaren von S i, (die Pole zu M a M c und M b M d liegen darauf) wie jede Polare zum Pol eines Eulergeradenpunktes. Nur bei sich senkrecht schneidenden Diagonalen (hier in dieser Abbildung ist dies aber nicht der Fall!) ist die Mitte zwischen S i und M u von allen Seitenmitten gleich weit entfernt (Achtpunktekreiszentrum)!

13 Übungsaufgaben 1.) Zeigen Sie, dass man jedes Tangentenviereck in vier rechtwinklige Drachen zerlegen kann. Liegen deren Inkreismitten auf einem konzentrischen Kreis zum Dracheninkreis? Anleitung: Beweisen Sie, dass die Entfernungen der Dracheninkreis-Zentren M i zum Zentrum des Tangentenviereck- Inkreises MM i = r/(r+x i ) (r² +x i ²) sind, wobei x i der entsprechende von der Ecke aus gemessene Tangentenabschnitt des TV-Inkreises mit dem Radius r ist. Die von der Ecke aus gemessenen Drachentangentenabschnitte t i ergeben sich aus den (durch die TV-Inkreisberührpunkte erzeugte) Tangentenabschnitten des TV-Vierecks x i = t i1 +t i2. Dabei wird der TV-Tangentenabschnitt durch den Dracheninkreis- Berührpunkt in die x/(x+r) und r/(x+r) Bruchanteile zerlegt. 2.) Berechnen Sie, dass beim Tangentenviereck die Entfernungen der Zentren des Um- und Inkreises der rechtwinkligen Drachen MuMi = ½ {(r -x i ) /(r+x i )} (r²+x i ²) sind, wobei x i der entsprechende von der Ecke aus gemessene Tangentenabschnitt des Tangentenviereck-Inkreises mit dem Radius r ist. Für die Entfernung m der Drachendiagonalenmitten gilt m = ½ (r²-x i ²) / (r² +x i ²)

14 3.) Zeigen Sie, dass die Fläche aller Vierecke mit denselben Diagonalenlängen und denselben Diagonalenrichtungen gleich sind! Allgemein lässt sich die Fläche eines Vierecks über die Diagonalen e und f und dem Sinus des Schnittwinkels dieser Diagonalen berechnen zu: A = ½ e f sin ( e, f) 4.) Für die Summe der Quadrate aller Seiten gilt a²+b²+c²+d²= e² + f² + 4m², wobei m die Verbindungsstrecke der Diagonalenmitten ist 16. b.) Im Trapez mit den parallelen Seiten a und c gilt a + b² + c + d² = e² + f² + (a-c) Allgemein gilt die folgende Cayley-Menger determinant p und q sind hierbei die Diagonalen

15 5.) Konstruieren sie ein Tangentenviereck TV und das durch die vier Berührpunkte gebildete Sehnenviereck SV. Die Diagonalen des TV und SV scheinen sich im selben Punkt zu schneiden. Können Sie das auch beweisen 17? 6.) Wie heißt ein Tangentenviereck auf englisch? A quadrilateral is said to be bicyclic or bicentric if it is cyclic and tangential! Die Winkelhalbierenden der sich schneidenden Gegenseiten eines Sehnenvierecks schneiden sich senkrecht! 2/Quadrilaterals Revealed.html A polygon with 4 sides is called a quadrilateral or a tetragon or a quadrangle 17 Dass dich die Diagonalen und die Verbindungen gegenüberliegender Inkreisberühtpunkte eines TVs in einem Punkt schneiden ist (fast) trivial, wenn man den Satz von Brianchon kennt. einen etwas elementareren Beweis finden Sie bei. Einen Beweis finden Sie auch auf S. 234 im Lehrbuch zur ebenen Geometrie mit Übungsaufgaben für höhere Lehranstalten von Professor Dr. Th. Spieker (am Kgl. Viktoria-Gymnasium zu Potsdam); A. Stein s Verlagsbuchhandlung 37. Auflage

16 7.) Welche Ungleichungen gelten für Kreisvierecke? OPTIMAL BOUNDING QUADRATIC FUNCTIONS 1. Introduction and... Determination of new quadratic inequalities for the bicyclic quadrilateral. Eckard Specht (math4u) Ungleichungen in Vierecken 8.) Zeigen Sie: Bei einem Tangentenviereck werden durch die Diagonalen vier Dreiecke gebildet, für deren inverse Inkreisradien Gegensumme die Gleichheit gilt. Auch für die inverse Ankreisgegensumme gilt dies (siehe untere Abbildung). Wird aus dem Tangentenviereck ein Drachen, wenn die Inkreisradien-Gegensumme oder das Inkreisradienprodukt gleich ist? Gilt das entsprechende auch für gleiche Summen oder Produkte gegenüberliegender Ankreisradien?