II. BUCH VIERECKE. 5. Trigonometrische. und DRACHEN-W E H R L E S

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1 II. BUCH VIERECKE 5. Trigonometrische und DRACHEN-W E H R L E S

2 Trigonometrische Sehnenviereck- und Drachen-Wehrles Abb. 43a: Sinus-Wehrle für Sehnenvierecke sin(x) * sin(y)* sin(pi - x) * sin(pi-y) / (sin(x) + sin(y) + sin(pi - x ) + sin(pi - y )) für x, y von 0 bis PI (links) bzw. für x, y von 0 bis 2*PI (rechts) Für Sehenenvierecke ist ja die Gegenwinkelsumme gleich und daher genügen zwei benachbarte Winkel zur Beschreibung des Vierecks. Somit lassen sich auch trigonometrische Sehnenviereck-Wehrles 3D-graphisch darstellen. Stabilisierter Kosinus- Tangens und Kotangens-Wehrle für Sehnenvierecke cos(x)*cos(y)*cos(pi-x)*cos(pi-y) / ( cos(x)+cos(y)+cos(PI-x)+cos(PI y)), tan(x) *tan(y)* tan(pi-x)*tan(pi-y) / ( tan(x) + tan(y) + tan(pi - x ) + tan(pi - y )) und cot(x) * cot(y)* cot(pi - x) * cot(pi-y) / ( cot(x) + cot(y) + cot(pi - x ) + cot(pi - y )) für x und y von 0 bis π

3 Der Sinus-Wehrle der halben Sehnenviereck-Winkel (sin(x/2) * sin(y/2)* sin(pi/2 - x/2) * sin(pi/2-y/2) / (sin(x/2) + sin(y/2) + sin(pi/2 - x/2 ) + sin(pi/2 - y/2 ) ist gleich dem Halbwinkel-Kosinus-Wehrle. Dasselbe gilt für den Tangens und Kotangens-Wehrle der halben SV-Winkel. (cot(pi/2 - x/2) ) * (cot(pi/2-y/2)) * (cot(x/2))*(cot(y/2)) / ((cot(x/2)) + (cot(y/2)) + (cot(pi/2 - x/2 )) + (cot(pi/2 - y/2 ))) Abb. 43b: Drittelwinkel-Kotanges-Wehrle für Sehnenvierecke cot(x/3) * cot(y/3)* cot(pi/3 - x/3) * cot(pi/3-y/3) / (cot(x/3) + cot(y/3) + cot(pi/3 - x/3 ) + cot(pi/3 - y/3 )) Abb. 43c: Sinus- und Kosinusquadrat-Wehrle für Sehnenvierecke Letzterer ist dem Kosinusquadrat-Wehrle für Dreiecke sehr ähnlich!

4 Auch für spezielle Tangentenvierecke kann man die trigonometrischen Wehrles dreidimensional darstellen, nämlich für Drachen, da dort ja zwei Winkel identisch sind. Sind die durch die Achse gehenden Winkel x und y, dann sind die restlichen beiden gleich groß und je ½(2π-x-y). Rechtwinklige Drachen sind durch einen Winkel beschreibbar. Für rechtwinklige Drachen ist sin ½α = b/e, cos ½α = a/e ( = e :a=f/2:b) 1 Nun ist nach dem Additionstheorem ja sin α = 2 sin ½α cos ½α d.h. 1 sin α = sin γ = ab /e²= e 1 f/ a² = e 2 f/ b², und daher der Sinuswehrle für rechtwinklige Drachen w( sin α i ) = sin² α / [2 ( sin α +1)] = (ab)²/ [2( a² +b²)(a² + ab +b²)] = = a²b²/ [2(a 4 +a³b+2a²b²+ab³+b 4 )] wobei a² +b²= e² und e = e 1 + e 2, e 1 / e 2 = a² / b², e 1 e 2 = ¼f² (Sekantensatz) und (A=) ½ef = ab d.h. f =2ab/e ist 2. 1 Beim rechtwinkligen Drachen ist β=δ=90 und daher α+γ=180, d.h. sin α = sin γ 2 sin ½α = ½f/a = cos ½γ = e 2 /b e 2 =½ bf/a, cos ½α = e 1 /a = sin ½γ =½f /b e 1 = ½ af/b

5 Abb. 44: Der Sinus-Wehrle für Drachen 3 sin(x) * sin(y) * (sin((2*pi-x-y)/2))^2 / /(sin(x) + sin(y) + 2*sin((2*PI-x-y)/2)) zeigt fürs Quadrat ein Maximum in der Mitte Diese folgende Darstellung liefert auch den Sinuswehrle. Weil aber der gleiche spiegelsymmetrische Winkel nun x ist, und die anderen zwei also y und 2π -2x-y, ergibt sich ein anderes Bild. >> Man ändert den Standpunkt und alles ändert sich <<! Die halben Achsenwinkel ½x und ½y bilden nun mit einem der beiden symmetrischen Drachenwinkel ein normales Dreieck mit seinen trigonometrischen Wehrles. Die Achsenwinkel x und y können nun auch für konkave, überstumpfe Ufo - Drachen größer als 180 werden. 3 eigentlich sollte ja noch durch Zwei dividiert werden!

6 Nochmals der Sinen-Wehrle der Drachen sin(x)^2 * sin(y) * sin(2*pi-2*x-y) /2*(2*sin(x) + sin(y) + sin(2*pi - 2*x -y) ) x = 0..PI, y = 0..PI (links) und rechts auch für überstumpfe Drachen bis 2π Kosinus-Drachen-Wehrle von 0 bis 2π Tangens -Drachen-Wehrle von Null bis π

7 Übungsaufgaben 1.) Sind A, B, C und D die vier Winkel eines Sehnenvierecks SV, dann gilt:: [24] und wobei allerdings keine rechten Winkel erlaubt sind, da dann der Tangens unendlich wird 4. 3.) Beweisen Sie, dass der Halbwinkel-Sinus-Wehrle für Sehnevierecke gleich dem Halbwinkel- Kosinus-Wehrle ist, und dass dasselbe sogar auch für alle Potenzen hoch n gilt. 4 C. V. Durell & A. Robson, Advanced Trigonometry, Dover, 2003, p %3A%2F%2Ftech.groups.yahoo.com%2Fgroup%2FHyacinthos%2Fmessage%2F6266&ei=gzhoUOL kbi-wswaw1idgdq&usg=afqjcnfbe_j96cjohsytutdh-r9f2ppp- Q&sig2=uu8p_5T94MMFgHznI9KBJw

8 4.) Beweise: Der Halbwinkel-Tangens-Wehrle für Sehnevierecke ist gleich dem Halbwinkel-Kotangens-Wehrle, und dasselbe gilt sogar auch für alle Potenzen hoch n