Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern

Transkript

1 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa 2011 Ulm Jan-Philipp Schmidt Modellierung und Analyse

2 Seite 2 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Motivation Welchen Wert besitzen Krankenversicherungsverträge für die Aktionäre einer deutschen privaten Krankenversicherung? Was sind die Haupteinflussgrößen? Wie groß ist das Risiko für die Aktionäre? Wie beeinflussen besondere Vertragseigenschaften den Wert und das Risiko der Verträge?

3 Seite 3 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Literatur zur Thematik Bilanzprojektionen von Versicherungsverträgen: Kling et al. (2007) Gerstner et al. (2008) Marktkonsistente Bewertung von einzelnen Verträgen: Bacinello (2003) Marktkonsistente Bewertung von Beständen: Sheldon and Smith (2004) Castellani et al. (2005) Wüthrich et al. (2010) Prinzipien des Market Consistent Embedded Value: CFO Forum (2009)

4 Seite 4 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Agenda Bewertungsmodell Stochastische Umwelt Versicherungsunternehmen Bewertung Ergebnisse

6 Seite 6 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Bewertungsmodell Stochastische Umwelt: Externe Einflüsse (Ω,F,P) W-Raum X 1,...,X n Z.V. mit X i : Ω R T 1 i n Unternehmen: Zahlungsströme Y = f (X 1,...,X n ) Bewertung: Wert z. B. E(g(Y )) vgl. Baur (2009).

8 Seite 8 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Stochastische Umwelt Kapitalmarktmodell von Jarrow and Yildirim (2003) (JY-Model) Risikofaktoren: reale und nominale Forward-Zinsraten, Inflation

9 Seite 8 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Stochastische Umwelt Kapitalmarktmodell von Jarrow and Yildirim (2003) (JY-Model) Risikofaktoren: reale und nominale Forward-Zinsraten, Inflation JY-Model (Heath-Jarrow-Morton Modell, unter P) df n(t,t ) = α n(t,t )dt + ζ n(t,t )dw P n (t) df r (t,t ) = α r (t,t )dt + ζ r (t,t )dw P r (t) di(t) = I(t)µ(t)dt + I(t)σ I dw P I (t)

10 Seite 8 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Stochastische Umwelt Kapitalmarktmodell von Jarrow and Yildirim (2003) (JY-Model) Risikofaktoren: reale und nominale Forward-Zinsraten, Inflation JY-Model (Heath-Jarrow-Morton Modell, unter P) df n(t,t ) = α n(t,t )dt + ζ n(t,t )dw P n (t) df r (t,t ) = α r (t,t )dt + ζ r (t,t )dw P r (t) di(t) = I(t)µ(t)dt + I(t)σ I dw P I (t) t [0,T ], I(0) = I 0 > 0, f n(0,t ) = fn M (0,T ) und f r (0,T ) = fr M (0,T ). (Wn P,Wr P,WI P ) Brownsche Bewegung mit Korrelationen ρ n,r, ρ n,i und ρ r,i.

11 Seite 9 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Stochastische Umwelt Nehme für t [0,T ] an: ζ n(t,t ) = σ ne an(t t) und ζ r (t,t ) = σ r e ar (T t).

12 Seite 9 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Stochastische Umwelt Nehme für t [0,T ] an: ζ n(t,t ) = σ ne an(t t) und ζ r (t,t ) = σ r e ar (T t). JY-Model (Short rate Modell, unter Q n ) dn(t) = (ϑ n(t) a nn(t))dt + σ ndw n(t) dr(t) = (ϑ r (t) ρ r,i σ r σ I a r r(t))dt + σ r dw r (t) di(t) = I(t)(n(t) r(t))dt + I(t)σ I dw I (t) (W n,w r,w I ) Brownsche Bewegung mit Korrelationen ρ n,r, ρ n,i und ρ r,i und ϑ n(t) = fn(0,t) ( + a nf n(0,t) + σ2 n 1 e 2ant) T 2a n ϑ r (t) = fr (0,t) T + a r f r (0,t) + σ2 r 2a r ( 1 e 2ar t).

13 Seite 10 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Stochastische Umwelt Vorteile risikoneutrale Bewertung des Zins- und Inflationsrisikos berücksichtigt Hauptrisikofaktoren eines privaten Krankenversicherers Standardansatz

14 Seite 10 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Stochastische Umwelt Vorteile risikoneutrale Bewertung des Zins- und Inflationsrisikos berücksichtigt Hauptrisikofaktoren eines privaten Krankenversicherers Standardansatz Nachteile keine saisonalen Effekte darstellbar viele Parameter (a n,σ n,a r,σ r,σ I,ρ r,i,ρ n,r,ρ n,i ) zu schätzen reale Werte können nicht beobachtet werden

16 Seite 12 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Private Krankenversicherungsverträge in Deutschland Substitutive Krankenversicherung: Vertrag lebenslang ausgelegt Nur durch Versicherungsnehmer kündbar Prämie wird mit dem Äquivalenzprinzip kalkuliert (nach Art der Lebensversicherung) und unter der Annahme, dass sich die Gesundheitskosten in der Zukunft nicht verändern Keine Leistungen aus dem Versicherungsvertrag bei Tod oder Storno Prämie enthält einen Sicherheitszuschlag (als Prozentsatz der Prämie, mindestens 5 %).

17 Seite 13 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Wichtige Vertragseigenschaften Beitragsanpassungen Jährliche Überprüfung der Schäden Wenn die beobachteten Schäden von den erwarteten Schäden abweichen (und Abweichung nicht nur vorübergehend), dann werden alle Rechnungsgrundlagen überprüft und gegebenfalls angepasst. Insbesondere kann der erwartete Schaden (gemäß des beobachteten Schadens) und der Rechnungszins (gemäß den Renditeaussichten der Kapitalanlage) angepasst werden.

18 Seite 14 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Wichtige Vertragseigenschaften Rechnungszins Der Rechnungszins ist mit 3,5 % nach oben begrenzt. Die Höhe des Rechnungszinses orientiert sich am AUZ-Verfahren 1 (Renditeprognose für die Kapitalanlage). Der AUZ ist ein unternehmensindividueller Höchstrechnungszins. Im Rahmen einer Beitragsanpassung kann der Rechnungszins verändert werden. Wenn der Rechnungszins gesenkt wird, dann steigen die Prämien und der Sicherheitszuschlag, in der Folge auch das Kapitalanlageergebnis und das Ergebnis aus dem Sicherheitszuschlag. 1 AUZ Aktuarieller Unternehmenszins

19 Seite 14 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Wichtige Vertragseigenschaften Rechnungszins Der Rechnungszins ist mit 3,5 % nach oben begrenzt. Die Höhe des Rechnungszinses orientiert sich am AUZ-Verfahren 1 (Renditeprognose für die Kapitalanlage). Der AUZ ist ein unternehmensindividueller Höchstrechnungszins. Im Rahmen einer Beitragsanpassung kann der Rechnungszins verändert werden. Wenn der Rechnungszins gesenkt wird, dann steigen die Prämien und der Sicherheitszuschlag, in der Folge auch das Kapitalanlageergebnis und das Ergebnis aus dem Sicherheitszuschlag. Asymmetrischer Einfluss auf den Ertrag der Aktionäre. 1 AUZ Aktuarieller Unternehmenszins

20 Seite 15 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Überschussverteilung Überschüsse im Modell resultieren aus der Kapitalanlage, der Schadenentwicklung, dem Stornoverhalten und dem Sicherheitszuschlag und werden am Ende des Geschäftsjahres zusammengefasst. Überschuss positiv: Aktionäre erhalten maximal 20 %. Überschuss negativ: Bis zu 100 % geht zu Lasten der Aktionäre.

21 Seite 15 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Überschussverteilung Überschüsse im Modell resultieren aus der Kapitalanlage, der Schadenentwicklung, dem Stornoverhalten und dem Sicherheitszuschlag und werden am Ende des Geschäftsjahres zusammengefasst. Überschuss positiv: Aktionäre erhalten maximal 20 %. Überschuss negativ: Bis zu 100 % geht zu Lasten der Aktionäre. Asymmetrischer Einfluss auf den Ertrag der Aktionäre.

22 Seite 16 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Überschussverteilung Am Ende von Periode k lässt sich der Überschuss S k nach seiner Entstehung zerlegen: S k = SÜberzins k + S Schaden k + S Storno k Der Überschuss wird verteilt mit π 0,2: 2 Aktionäre Versicherungsnehmer min {πs k, S k } + S Sicherheitszuschlag k. max {(1 π)s k, 0} 2 Vereinfachte Darstellung. In diesem Vortrag wird vernachlässigt, dass Versicherungsnehmer mit mindestens 90 % am Überzinsergebnis beteiligt werden müssen.

23 Seite 17 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Analyse des Zahlungsstroms Der Zahlungsstrom zu Beginn des folgenden Geschäftsjahres ist: Y k+1 = min {πs k, S k } + Anpassung Solvenzkapital

24 Seite 17 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Analyse des Zahlungsstroms Der Zahlungsstrom zu Beginn des folgenden Geschäftsjahres ist: Y k+1 = min {πs k, S k } + Anpassung Solvenzkapital Wenn S k 0, dann ist Y k+1 πsüberzins k + πs Schaden k + πs Storno k + πs Sicherheitszuschlag k

26 Seite 19 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Bewertung Im Fokus der Analyse stehen Zahlungsströme zwischen Aktionären und Versicherungsunternehmen: PVFP := T B k Y k B k Diskontierungsfaktor, Y k Zahlungsstrom zu Beginn von Periode k. PVFP ist eine Zufallsvariable. k=0

27 Seite 20 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Bewertung Present Value of Future Profits Betrachte den Present Value of Future Profits von...

28 Seite 20 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Bewertung Present Value of Future Profits Betrachte den Present Value of Future Profits von... Certainty Equivalent Szenario (Best Estimate der Risikofaktoren): T PVFP := Bk Y k, k=0

29 Seite 20 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Bewertung Present Value of Future Profits Betrachte den Present Value of Future Profits von... Certainty Equivalent Szenario (Best Estimate der Risikofaktoren): T PVFP := Bk Y k, Monte Carlo Simulation (J Realisierungen der Risikofaktoren): k=0 PVFP MC := 1 J J T j=1 k=0 B j k Y j k EQ ( PVFP ).

30 Seite 21 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Bewertung Finanzielles Risiko Time Value of Financial Options and Guarantees: TVFOG := PVFP PVFP MC. Der Zeitwert misst die Abweichung zwischen Bewertung mittels eines Certainty Equivalent Szenario und stochastischer Bewertung.

31 Seite 22 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Bewertung Analyse der Haupteinflussgrößen Zusammensetzung des PVFP: PVFP PVFPÜberzins + PVFP Schaden + PVFP Storno + PVFP Sicherheitszuschlag Analoge Zerlegung zur Zerlegung von Y k. Zerlegung ebenfalls für PVFP MC und TVFOG möglich.

33 Seite 24 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Startwerte und Parameter Kapitalmarkt (Werte aus Jarrow and Yildirim (2003)) Nominal: a n = 0,03398, σ n = 0,00566, n 0 = 0,04 Real: a r = 0,04339, σ r = 0,00299, r 0 = 0,01 Inflation: σ i = 0,00874, I 0 = 100 Abhängigkeiten: ρ n,r = 0,01482, ρ r,i = 0,32127, ρ n,i = 0,06084 Vertragseigenschaften Verträge Alter 40, im Bestand seit 10 Jahren Prämie: C und Kopfschaden: C Verbindlichkeiten zu Beginn der Projektion k = 0: Alterungsrückstellungen: C RfB: C Eigenkapital: C

34 Seite 25 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Ergebnisse Wert im Verhältnis zum Marktwert der Aktiva 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0,02 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 Sicherheitszuschlag PVFP PVFP MC TVFOG

35 Seite 26 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Ergebnisse Zusammensetzung PVFP Wert im Verhältnis zum Marktwert der Aktiva 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0,02 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 Sicherheitszuschlag PVFP Schaden PVFPÜberzins PVFP Sicherheitszuschlag PVFP Storno

36 Seite 27 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Ergebnisse Zusammensetzung PVFP MC Wert im Verhältnis zum Marktwert der Aktiva 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0,02 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 Sicherheitszuschlag PVFP MC,Schaden PVFP MC,Überzins PVFP MC,Sicherheitszuschlag PVFP MC,Storno

37 Seite 28 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Ergebnisse Zusammensetzung TVFOG Wert im Verhältnis zum Marktwert der Aktiva 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0,02 TVFOG Sicherheitszuschlag TVFOGÜberzins TVFOG Schaden 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 Sicherheitszuschlag

38 Seite 29 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Fazit Überschüsse aus dem Überzinsergebnis und dem Sicherheitszuschlag sind die Haupteinflussfaktoren in Bezug auf den PVFP. In dieser Modellrechnung gilt für den TVFOG: Die Asymmetrie bezüglich der Überschussbeteiligung und des Rechnungszinses hat einen kleinen Einfluss auf zukünftige Erträge der Aktionäre... Der Sicherheitszuschlag führt zu einer Wertsteigerung der zukünftigen Erträge der Aktionäre... wenn wir die Ergebnisse der Monte Carlo Simulation mit dem Ergebnis einer Certainty Equivalent-Rechnung vergleichen.

39 Seite 30 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Vielen Dank für die Aufmerksamkeit. Jan-Philipp Schmidt University of Ulm Institute of Insurance Science Helmholtzstraße Ulm Germany

40 Seite 31 Marktkonsistente Bewertung von Privaten Krankenversicherern WiMa Kongress 2011 Ulm Literatur A. Bacinello. Pricing Guaranteed Life Insurance Participating Policies with Annual Premiums and Surrender Option. North American Actuarial Journal, 7(3):1 17, T. Baur. Marktkonsistente Bewertung in der Lebensversicherung. ifa Verlag Ulm, G. Castellani, M. D. Felice, F. Moriconi, and C. Pacati. Embedded Value in Life Insurance, CFO Forum. Market Consistent Embedded Value Principles T. Gerstner, M. Griebel, M. Holtz, R. Goschnick, and M. Haep. A general asset-liability management model for the efficient simulation of portfolios of life insurance policies. Insurance: Mathematics and Economics, 42(2): , R. Jarrow and Y. Yildirim. Pricing Treasury Inflation Protected Securities and Related Derivatives using an HJM Model. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 38(2): , A. Kling, A. Richter, and J. Ruß. The interaction of guarantees, surplus distribution, and asset allocation in with-profit life insurance policies. Insurance: Mathematics and Economics, 40(1): , T. Sheldon and A. Smith. Market Consistent Valuation of Life Assurance Business. British Actuarial Journal, 10(3): , M. Wüthrich, H. Furrer, and H. Bühlmann. Market-Consistent Actuarial Valuation. Springer, 2010.