Integralsätze im Raum

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1 Prof. r. Michael Eisermann Höhere Mathematik 3 (vertieft) Kapitel G Integralsätze im Raum Bildquelle: wikipedia.org Bildquelle: wikipedia.org Carl Friedrich Gauß ( ) Sir George Stokes ( ) WiSe 217/18 Stand G Inhalt dieses Kapitels 1 Einführung: Flächenintegrale im Raum Einführendes Beispiel zum Satz von Stokes Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß 2 Integralsätze im Raum Stückweise glatte Flächen ie Integralsätze von Stokes und Gauß as archimedische Prinzip 3 Anwendungsbeispiele Kugelsegment und Kugelkappe Rotationskörper und Guldinsche Regeln Triangulierung und Linearisierung 4 Fazit: Integralsätze Zusammenfassung Aufgaben und Anwendungen

2 Klassische Anwendung: archimedisches Prinzip G11 Satz des Archimedes: ie Auftriebskraft eines Körpers K gleicht dem Gewicht gϱ vol 3 (K) der verdrängten Flüssigkeit. z K K P n Es besteht eine bemerkenswerte Beziehung zwischen dem Rand K (nur hier wirkt der ruck) und dem Inneren von K (nur dieses verdrängt Flüssigkeit). Solche Gesetzmäßigkeiten treten in Naturwissenschaft und Technik sehr häufig auf und sind ungemein nützlich: Es handelt sich um eine typische Anwendung unserer Integralsätze. iese wollen wir nun kennen und nutzen lernen! Archimedes von Syrakus ( v. Chr.) war ein genialer Mathematiker, Physiker, Ingenieur. Für König Hieron sollte er prüfen, ob dessen Krone aus reinem Gold bestand oder gestreckt war, ohne sie zu beschädigen! as archimedische Prinzip soll er beim Bade entdeckt haben. In seiner Begeisterung sprang er aus dem Wasser und rannte nackt durch Syrakus (γυμνος [gymnos], nackt, siehe Gymnasium). Sein Ausruf gilt bis heute als Sinnbild für plötzliche Erkenntnis: ἑύρηκα [heurēka], Ich habe es gefunden!, allzu frei übersetzt: Wo ist mein Handtuch? Erinnerung: Integralsätze in imension 1 und 2 G12 Überblick Unser Vorbild ist der Hauptsatz der ifferential- und Integralrechnung: Für jede stetig differenzierbare Funktion F : [a, b] R und f F gilt HI: b xa f(x) dx F (b) F (a). as ist eine bemerkenswerte Gesetzmäßigkeit: as Integral über das Intervall [a, b] lässt sich entlang des Randes [a, b] {a, b} bestimmen! Auch in der Ebene R 2 kennen wir bereits zwei solche Integralsätze; hier lassen sich Flächenintegrale durch Randintegrale bestimmen: Satz von Gauß: div f(x, y) d(x, y) f(s) ds, Satz von Green: (x,y) (x,y) rot g(x, y) d(x, y) s s g(s) ds. ies gilt sinngemäß auch im Raum R 3 und allgemein im Raum R n : Hier lassen sich Volumenintegrale durch Randintegrale bestimmen. ie hierzu nötigen Flächenintegrale erklären wir in diesem Kapitel.

3 Integralsätze im Raum: Gauß und Stokes G13 S V S V Γ S Sei V R 3 kompakt mit stückweise glatter Randfläche S V. Satz von Gauß: div f(v) dv f(s) ds v V s S V Sei S R 3 eine stückweise glatte Fläche mit Randkurve Γ S. Satz von Stokes: rot f(s) ds f(s) dγ s S s Γ S ies ist die 3dim. Fortsetzung der 2dim. Sätze von Gauß & Green. ie Orientierungen von S und Γ sind wie in der Skizze angegeben. Integralsätze im Raum: der Satz von Stokes G14 Hierbei sei f : R 3 Ω R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Jedem Punkt v Ω wird ein Vektor f(v) R 3 zugeordnet. ies können wir uns z.b. als Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit vorstellen. ie Integralsätze haben dann folgende anschauliche Bedeutung: ie ivergenz div f(v) ist die Quelldichte des Feldes f im Punkt v Ω. as Volumenintegral v V div f(v) dv misst die Quellstärke von f auf V. Rechts steht das Flussintegral von f über die Randfläche S V. ie Quellbilanz im Volumen V fließt über die Randfläche V. ie Rotation rot f(s) ist die Wirbeldichte des Feldes f im Punkt s Ω. as Flächenintegral s S rot f(s) ds misst die Zirkulation von f auf S. Rechts steht das Arbeitsintegral von f längs der Randkurve Γ S. ie Rotation auf der Fläche S zirkuliert längs der Randkurve S. Es ist sehr hilfreich und eher leicht, eine Anschauung zu entwickeln. Um zudem die Integralsätze wie oben präzise formulieren zu können, müssen wir Kurven- und Flächenintegral einführen und verstehen: Sie sollen schließlich nicht nur anschauen, sondern auch rechnen!

4 Kurven- und Flächenintegrale G15 Kurven Γ R 3 parametrisieren wir (stückw. C 1 ) durch γ : R [a, b] Γ. Am Punkt s γ(t) heftet das infinitesimale Wegelement dγ γ (t) dt. Kurven- und Arbeitsintegral über das Kurvenstück Γ sind dann: b g(s) dγ : g ( γ(t) ) γ (t) dt 1. Art s Γ s Γ f(s) dγ : ta b ta f ( γ(t) ) γ (t) dt 2. Art für (C ) Skalarfelder g : R 3 Γ R bzw. Vektorfelder f : R 3 Γ R 3. Flächen S R 3 parametrisieren wir (stückw. C 1 ) durch Φ : R 2 S. Hierbei ist R 2 ein ebenes Kompaktum mit stückweise glattem Rand. An s Φ(x, y) heftet das inf. Flächenelement ds ( x Φ y Φ) d(x, y). Flächen- und Flussintegral über das Flächenstück S sind dann: g(s) ds : g ( Φ(x, y) ) x Φ(x, y) y Φ(x, y) d(x, y) s S s S f(s) ds : (x,y) (x,y) Kurven- und Flächenintegrale f ( Φ(x, y) ) ( x Φ(x, y) y Φ(x, y) ) d(x, y) G16 Ist g : Γ R eine Massendichte (Masse pro Länge), so ist Γ g dγ die Gesamtmasse. Im Spezialfall g 1 erhalten wir die Gesamtlänge l(γ). as Kurvenelement dγ γ (t) dt stellen wir uns als kleines Wegstück vor. Seine Länge ist dγ, und der Vektor dγ liegt in s tangential an Γ. as Skalarprodukt f(s) dγ f(γ(t)) γ (t) dt ist der tangentiale Anteil von f längs der Kurve ( Kraft mal Weg ). Wir integrieren alle Beiträge. Ist g : S R eine Massendichte (Masse pro Fläche), so ist S g ds die Gesamtmasse. Im Fall g 1 erhalten wir den Flächeninhalt vol 2 (S). as Flächenelement ds stellen wir uns als ein kleines Flächenstück vor. Sein Flächeninhalt ist ds, und der Vektor ds steht in s senkrecht auf der Fläche S. Im Flussintegral ist das Skalarprodukt f(s) ds somit der normale Anteil von f senkrecht zur Fläche S. Wozu dient Φ? Meist interessiert uns letztlich nur die Fläche S R 3, aber nur Parametrisierungen können wir differenzieren und integrieren. ie Wahl einer Parametrisierung Φ ist unentbehrliche Rechentechnik; das Ergebnis ist unabhängig von der gewählten Parametrisierung!

5 Von Green in der Ebene zu Stokes im Raum G17 Erinnerung Aufgabe: Erklären Sie, warum/wie Green ein Spezialfall von Stokes ist. Green: Für S R 2 kompakt mit stückw. glatter Randkurve Γ S gilt rot f(s) ds f(s) dγ. s S Stokes: iese Gleichung gilt genauso für orientierte Flächen S R 3. ie Zerlegung ds n(s) ds ergibt die gleichwertige Formulierung rot f(s) n(s) ds f(s) dγ. s S Erinnerung: Für jedes C 1 Vektorfeld f : R 3 Ω R 3 definieren wir 1 f 1 2 f 3 3 f 2 rot(f) 2 f 2 3 f 1 1 f 3. 3 f 3 1 f 2 2 f 1 ie Ebene betten wir ein als R 2 R 2 {} R 3 und erhalten demnach rot(f 1, f 2, ) (,, 1 f 2 2 f 1 ) und das Flächenelement (,, ds). er Satz von Green ist der ebene Spezialfall des Satzes von Stokes. s Γ s Γ Einführendes Beispiel zum Satz von Stokes er Stokesche Satz überträgt den Greenschen Satz von R 2 auf R 3 : G18 S Γ S Aufgabe: Sei S R 3 die nördliche Hemisphäre vom Radius r mit dem Äquator Γ S als Randkurve. Berechnen Sie S rot(f) ds und Γ f dγ für das Vektorfeld f(x, y, z) (z y, x + z, x y). Lösung: Wir berechnen zunächst die Rotation des Vektorfeldes x z y 1 f 1 2 f y x + z rot(f) 2 f 2 2 z x y 3 f 3 2

6 Einführendes Beispiel zum Satz von Stokes G19 ie nördliche Hemisphäre ist S { (x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 r 2, z }. iese Fläche parametrisieren wir durch Kugelkoordinaten Φ : R 3 : x ( ) r sin θ cos ϕ { (θ ) } s y θ Param Φ r sin θ sin ϕ θ π/2, ϕ ϕ ϕ 2π z r cos θ Wir berechnen die Tangentialvektoren und den Normalenvektor: θ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ r 2 sin 2 θ cos ϕ ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ r sin θ cos ϕ r 2 sin 2 θ sin ϕ r 2 sin θ cos θ Für die gesuchte Zirkulation von f auf der Fläche S erhalten wir somit: rot f(s) ds Param rot f ( Φ(θ, ϕ) ) ( θ ) d(θ, ϕ) ϕ s S π/2 2π Fub C1E θ ϕ π/2 HI 4πr 2 B1I θ (θ,ϕ) 2r 2 sin 2 θ cos ϕ + 2r 2 sin 2 θ sin ϕ + 2r 2 sin θ cos θ dϕ dθ sin θ cos θ dθ HI 4πr 2[ 1 B1I 2 sin(θ)2] π/2 θ Einführendes Beispiel zum Satz von Stokes 2πr 2 ie Randkurve Γ S ist der Äquator, S { (x, y, ) x 2 + y 2 r 2 }. iese Kurve parametrisieren wir durch den Weg γ : [, 2π] R 3 mit x ( ) r cos t s y π/2 Param γ(t) Φ r sin t. t z Für das gesuchte Arbeitsintegral längs Γ erhalten wir somit 2π f(s) dγ Param f(γ(t)) γ (t) dt s Γ t 2π r sin t r sin t r cos t r cos t dt r cos t r sin t t 2π t r 2 dt 2πr 2. ie Gleichheit ist kein Zufall, sondern illustriert den Satz von Stokes: rot f(s) ds f(s) dγ s S s Γ G11

7 er Integralsatz von Stokes G111 as Ergebnis der vorigen Aufgabe ist kein Zufall, sondern illustriert einen allgemeinen Sachverhalt: den Integralsatz von Stokes im R 3. Wir können ihn nun in voller Schönheit formulieren und nachrechnen: Satz G1A (Integralsatz von Stokes) Sei R 2 ein Kompaktum mit stückweise glatter Randkurve. Sei Φ : S R 3 eine (zweimal) stetig differenzierbare Abbildung. ie Einschränkung γ Φ parametrisiert die Randkurve Φ( ). Für jedes stetig differenzierbare Vektorfeld f : R 3 S R 3 gilt dann rot(f)(φ(s)) dφ f(γ(s)) dγ. s s Hierbei nutzen wir die oben vereinbarten sinnfälligen Abkürzungen: Am Punkt γ(s) heftet das infinitesimale Wegelement dγ γ (s) ds, an Φ(s) heftet das inf. Flächenelement dφ ( x Φ y Φ) d(x, y). ie Randkurve wird hierbei wie immer positiv orientiert, sodass beim Umlauf stets links von liegt. er Integralsatz von Stokes G112 as ist eine bemerkenswerte Gleichheit: Links steht das Flussintegral der Rotation rot(f) über das parametrisierte Flächenstück Φ : R 3, rechts das Arbeitsintegral von f längs des Randweges γ : R 3. Hierzu muss Φ nicht regulär sein, stetig differenzierbar reicht. Ist die Parametrisierung Φ zudem regulär, also injektiv und überall x Φ y Φ, so ist das Bild S Φ() ein glattes Flächenstück und alle regulären Parametrisierungen von S sind untereinander äquivalent durch Umparametrisierung. (Wir setzen gleiche Orientierung voraus.) Wie wir später nachrechnen werden, ergeben dann alle regulären Parametrisierungen Φ : S dasselbe Ergebnis, sowohl beim Flächenintegral über S als auch beim Randintegral über Γ S. ies kürzen wir ab durch die parameterunabhängigen Schreibweise rot f(s) ds f(s) dγ. s S So formulieren wir es in Satz G2F, kurz und bequem. Satz G1A ist etwas allgemeiner, da wir hier noch keine Injektivität oder Regularität fordern. s Γ

8 er Integralsatz von Stokes G113 en Satz von Green in der Ebene R 2 haben wir nachgerechnet. E165 Aufgabe: er Satz von Stokes im R 3 folgt aus dem von Green im R 2! Nachrechnen: as 3dim. Vektorfeld f : R 3 S R 3 auf der Fläche S R 3 ziehen wir mittels der Parametrisierung Φ : R 2 S R 3 zurück zu einem 2dim. Vektorfeld g : R 2 R 2. Hierzu setzen wir g : ( f Φ 1 Φ, f Φ 2 Φ ). Für die beiden Vektorfelder f und g gilt dank Kettenregel f(γ(s)) dγ g(s) ds. s s Wegintegral im R 3 Wegintegral im R 2 Wir berechnen sogleich rot(g) rot(f) Φ 1 Φ 2 Φ, also rot(f)(φ(x, y)) dφ rot(g) d(x, y). (x,y) (x,y) Flächenintegral im R 3 Flächenintegral im R 2 amit folgt der Satz von Stokes aus dem Satz von Green! er Integralsatz von Stokes G114 Zur Vereinfachung setzen wir Φ als zweimal stetig differenzierbar voraus. Wir können dann den Satz von Schwarz (??) nutzen: 2 1 Φ i 1 2 Φ i. as Umrechnen von rot(g) in rot(f) gelingt dann dank Kettenregel. Wir müssen dabei allerdings über alle Indizes sorgfältig buchführen: rot(g) 1 g 2 2 g 1 1 f Φ 2 Φ 2 f Φ 1 Φ 1 i f i Φ 2 Φ i 2 i f i Φ 1 Φ i + i j jf i Φ 1 Φ j 2 Φ i + i f i Φ 1 2 Φ i i j jf i Φ 2 Φ j 1 Φ i i f i Φ 2 1 Φ i i j jf i Φ 1 Φ j 2 Φ i i f j Φ 1 Φ j 2 Φ i i<j ( if j j f i ) Φ ( 1 Φ i 2 Φ j 1 Φ j 2 Φ i ) rot(f) Φ 1 Φ 2 Φ Übung: Wer dieser Kurzschreibweise nicht traut, kann mit etwas Fleiß alle Summen sorgfältig ausschreiben und die behaupteten Gleichungen nachprüfen. Rechnen reinigt die Seele!

9 Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß G115 Aufgabe: (1) Skizzieren Sie zu gegebenem r > den Körper V { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 r 2, z } (2) Beschreiben Sie den Körper V explizit durch Parametrisierungen als Normalbereich in z Richtung, in Zylinder- und in Kugelkoordinaten. (3) Berechnen Sie den Rauminhalt vol 3 (V ) je nach Parametrisierung. Ist das Ergebnis unabhängig von der gewählten Parametrisierung? (4) Beschreiben Sie die Randfläche S V implizit / explizit wie in (2). (5) Bestimmen Sie in jedem Randpunkt s den nach außen zeigenden Einheitsnormalenvektor n V (s) sowie ds je nach Parametrisierung. (6) Berechnen Sie den Flächeninhalt vol 2 (S) je nach Parametrisierung. Ist das Ergebnis unabhängig von der gewählten Parametrisierung? (7) Berechnen Sie die ivergenz des Vektorfeldes f(x, y, z) (x, y, z), das Volumenintegral div(f) d(x, y, z) und das Flussintegral S f ds. V iese Aufgabe bietet Gelegenheit, die bisherigen Integrationstechniken zu wiederholen und die neuen Flächenintegrale einzuüben. Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß (1) Zu r > betrachten wir die nördliche Halbkugel V : G116 (2) Wir können V auf verschiedene Weisen parametrisieren: x V y x 2 + y 2 + z 2 r 2 ρ cos ϕ ρ r z ρ sin ϕ ϕ 2π z z z r 2 ρ 2 ρ cos ϕ z r ρ sin ϕ ρ ρ sin θ cos ϕ ρ r r 2 z 2 ρ sin θ sin ϕ θ π /2 z ϕ 2π ρ cos θ ϕ 2π

10 Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß G117 (3a) Parametrisierung Φ : R 3 V R 3 als z Normalbereich: x ρ ρ cos ϕ ρ ρ r y Φ ϕ ρ sin ϕ, ϕ ϕ 2π z z z z z r 2 ρ 2 Wir berechnen Jacobi Matrix und Funktionaldeterminante: cos ϕ ρ sin ϕ Φ (x, y, z) (ρ, ϕ, z) sin ϕ ρ cos ϕ det Φ ρ 1 Volumenberechnung dank Transformationssatz, Fubini und HI: vol 3 (V ) 1 d(x, y, z) det Φ d(ρ, ϕ, z) Fub C1E r ρ 2π ϕ V r 2 ρ 2 z ρ dz dϕ dρ Trafo C2B r HI B1I ρ 2πρ r 2 ρ 2 dρ [ HI 2π ( r 2 ρ 2) 3/2] r 2π B1I 3 ρ 3 r3 as Ergebnis ist unabhängig von der gewählten Parametrisierung! Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß (3b) Alternativ, Parametrisierung Φ : V in Zylinderkoordinaten: x ρ ρ cos ϕ ρ z r y Φ ϕ ρ sin ϕ, ϕ ρ r 2 z 2 z z z z ϕ 2π Jacobi Matrix Φ und Funktionaldeterminante det Φ ρ wie zuvor. Volumenberechnung dank Transformationssatz, Fubini und HI: vol 3 (V ) 1 d(x, y, z) det Φ d(ρ, ϕ, z) Fub C1E r z r HI B1I z V r 2 z 2 2π π ρ ϕ [ρ 2] r 2 z 2 ρ ρ dϕ dρ dz Trafo C2B dz r HI B1I z r z r 2 z 2 ρ π(r 2 z 2 ) dz 2πρ dρ dz HI π [r 2 z z3 ] r 2π B1I 3 z 3 r3 as Ergebnis ist unabhängig von der gewählten Parametrisierung! G118 Übung

11 Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß G119 Übung (3c) Zum Vergleich, Parametrisierung Φ : V in Kugelkoordinaten: x ρ ρ sin θ cos ϕ ρ ρ r y Φ θ ρ sin θ sin ϕ, θ θ π /2 z ϕ ρ cos θ ϕ ϕ 2π Jacobi Matrix Φ und Funktionaldeterminante det Φ ρ 2 sin θ: Volumenberechnung dank Transformationssatz, Fubini und HI: vol 3 (V ) 1 d(x, y, z) det Φ d(ρ, θ, ϕ) Fub C1E r ρ r HI B1I ρ π/2 2π 2π θ HI 2π [ρ 3] r B1I 3 ϕ V [ ρ 2 cos θ ρ ρ 2 sin θ dϕ dθ dρ ] π/2 Trafo C2B θ dρ HI r HI B1I ρ B1I r ρ 2π 3 r3 π/2 θ 2πρ 2 dρ 2πρ 2 sin θ dθ dρ as Ergebnis ist unabhängig von der gewählten Parametrisierung! Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß Aufgabe: (1) Skizzieren Sie zu gegebenem r > den Körper V { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 r 2, z } (2) Beschreiben Sie den Körper V explizit durch Parametrisierungen als Normalbereich in z Richtung, in Zylinder- und in Kugelkoordinaten. (3) Berechnen Sie den Rauminhalt vol 3 (V ) je nach Parametrisierung. Ist das Ergebnis unabhängig von der gewählten Parametrisierung? (4) Beschreiben Sie die Randfläche S V implizit / explizit wie in (2). (5) Bestimmen Sie in jedem Randpunkt s den nach außen zeigenden Einheitsnormalenvektor n V (s) sowie ds je nach Parametrisierung. (6) Berechnen Sie den Flächeninhalt vol 2 (S) je nach Parametrisierung. Ist das Ergebnis unabhängig von der gewählten Parametrisierung? (7) Berechnen Sie die ivergenz des Vektorfeldes f(x, y, z) (x, y, z), das Volumenintegral div(f) d(x, y, z) und das Flussintegral S f ds. V iese Aufgabe bietet Gelegenheit, die bisherigen Integrationstechniken zu wiederholen und die neuen Flächenintegrale einzuüben. G12

12 Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß G121 (4) Zur Halbkugel V besteht die Randfläche S V A B aus der äquatorialen Kreisscheibe A und der nördlichen Hemisphäre B. x ρ cos ϕ A y x2 + y 2 r 2 ρ sin ϕ ρ r ϕ 2π x B y z ρ cos ϕ ρ sin ϕ z x 2 + y 2 + z 2 r 2 z z r ρ r 2 z 2 ϕ 2π ρ cos ϕ ρ r ρ sin ϕ ϕ 2π z z r 2 ρ 2 ρ sin θ cos ϕ ρ r ρ sin θ sin ϕ θ π /2 ρ cos θ ϕ 2π Im Inneren des Körpers haben wir drei Freiheitsgrade, z.b. ρ, θ, ϕ. Auf der Randfläche haben wir nur noch zwei Freiheitsgrade, z.b. θ, ϕ. as entspricht dem Unterschied zwischen dreidimensionalen Körpern (Volumen) und zweidimensionalen Objekten (Flächen). Hinschauen! Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß G122 (5a) In jedem Punkt s A sehen wir die äußere Einheitsnormale n V (s) (,, 1) (senkrecht auf A, Länge 1, aus V heraus). Wir nutzen die Parametrisierung Φ : A in Polarkoordinaten: ( ) ρ cos ϕ { (ρ ) } ρ s Φ ρ sin ϕ ρ r,. ϕ ϕ ϕ 2π ie beiden Tangentialvektoren und der Normalenvektor sind: cos ϕ ρ sin ϕ ρ, ϕ, ρ ϕ. sin ϕ ρ cos ϕ (6a) Hieraus erhalten wir erneut den wohlbekannten Flächeninhalt: Param vol 2 (A) da ρ r 2π ϕ d(ρ, ϕ) ρ dϕ dρ πr 2 A ie Formel für da beinhaltet die 2dim. Funktionaldeterminante. ie Norm dφ ρ ist die Flächenverzerrung der Parametrisierung Φ. er Vektor dφ steht senkrecht auf der Fläche A, hier in V hinein. ρ ϕ ρ

13 Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß G123 (7a) as Flussintegral des Vektorfeldes f über die Kreisscheibe A ist: f(s) da Param f ( Φ(ρ, ϕ) ) ( s A ρ ) d(ρ, ϕ) ϕ ρ cos ϕ ρ sin ϕ d(ρ, ϕ) ρ Anschauung: as Feld f ist tangential zu A, daher f(s) da. (7) as Vektorfeld f : R 3 R 3 und seine ivergenz: x x f y y div(f) z z In diesem Beispiel ist div(f) konstant und daher das Integral besonders leicht: ie Quellstärke von f auf dem Bereich V ist div(f) d(x, y, z) 3 d(x, y, z) 3 vol 3 (V ) 2πr 3. V V Wo fließt dieser Überschuss hin? Über A sicher nicht! Also über B... Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß (5b) In jedem Punkt s B sehen wir die äußere Einheitsnormale n V (s) s/ s s/r (senkrecht auf B, Länge 1, aus V heraus). Wir nutzen obige Parametrisierung Φ : B in Polarkoordinaten: ( ) ρ cos ϕ { (ρ ) } ρ s Φ ρ sin ϕ ρ r ϕ,. r 2 ρ 2 ϕ ϕ 2π ie beiden Tangentialvektoren und der Normalenvektor sind: cos ϕ ρ sin ϕ ρ sin ϕ ρ/, r 2 ρ 2 ϕ ρ cos ϕ ρ ρ 2 cos ϕ/ r 2 ρ 2 ϕ ρ 2 sin ϕ/ ( ) r 2 ρ 2 ρ ρ ρ r 2 ρ Φ 2 ϕ ieser Normalenvektor zeigt nach außen, aber mit variabler Länge. ie Norm dφ ist die Flächenverzerrung der Parametrisierung Φ. G124

14 Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß G125 (6b) Hieraus erhalten wir den Flächeninhalt der Hemisphäre B: vol 2 (B) db Param B ρ ϕ d(ρ, ϕ) rρ d(ρ, ϕ) r 2 ρ2 r ρ 2π ϕ rρ r 2 ρ 2 dϕ dρ 2πr [ r 2 ρ 2 ] r ρ 2πr2 (7b) as Flussintegral des Vektorfeldes f über die Hemisphäre B ist: f(s) db Param f ( Φ(ρ, ϕ) ) ( s B ρ ) d(ρ, ϕ) ϕ ρ cos ϕ ρ 2 cos ϕ/ r 2 ρ 2 ρ sin ϕ ρ 2 sin ϕ/ r 2 ρ 2 d(ρ, ϕ) r 2 ρ 2 ρ r 2 ρ... r 2 ρ d(ρ, ϕ) 2 2πr3 (wie 6b) Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß G126 Anschauung: as Vektorfeld f steht überall senkrecht auf B und hat dort Länge r. Hieraus folgt das Flussintegral direkt und mühelos: f db f(s) n V (s) db r db r vol 2 (B) r 2πr 2 B s B Bilanz zur Halbkugel V und ihrer Randfläche S V A B: vol 3 (V ) dv 2π V 3 r3, div(f) dv 2πr 3, V vol 2 (A) da πr 2, f(s) da, A s A vol 2 (B) da 2πr 2, f(s) db 2πr 3. A ie Gleichheit ist kein Zufall, sondern illustriert den Satz von Gauß: div f(v) dv f(s) ds v V B s S s B

15 Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß G127 Übung Wir können die Hemisphäre B auf viele Weisen parametrisieren! (5c) Alternativ die Parametrisierung Φ : B in Zylinderkoordinaten: ( ) r 2 z 2 cos ϕ { (z ) z } s Φ r ϕ 2 z 2 sin ϕ z r,. ϕ ϕ 2π z ie beiden Tangentialvektoren und der Normalenvektor sind: z/ r 2 z 2 cos ϕ z z/ r 2 z 2 sin ϕ, ϕ r 2 z 2 sin ϕ r 2 z 2 cos ϕ 1 z r 2 z 2 cos ϕ ϕ r 2 z 2 sin ϕ Φ(z, ϕ) z er Normalenvektor dφ zeigt in V hinein, Rechte-Hand-Regel. ie Norm dφ r ist die Flächenverzerrung der Parametrisierung Φ. Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß G128 Übung (6c) Hieraus erhalten wir den Flächeninhalt der Hemisphäre B: vol 2 (B) db z ϕ d(z, ϕ) r d(z, ϕ) B r z 2π ϕ r dϕ dz r z 2πr dz 2πr 2 (7c) as Flussintegral des Vektorfeldes f über die Hemisphäre B ist: f(s) db Param f ( Φ(z, ϕ) ) ( s B z ) d(z, ϕ) ϕ r 2 z 2 cos ϕ r 2 z 2 cos ϕ r 2 z 2 sin ϕ r 2 z 2 sin ϕ d(z, ϕ) z z... r 2 d(z, ϕ) 2πr 3 (wie 6c) er Normalenvektor dφ zeigt in V hinein; Rechte-Hand-Regel. er Flächeninhalt dφ ist von der Orientierung unabhängig. as Flussintegral wechselt das Vorzeichen bei Orientierungsumkehr.

16 Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß G129 Übung Wir können die Hemisphäre B auf viele Weisen parametrisieren! (5d) Zum Vergleich schließlich in Kugelkoordinaten Φ : B: ( ) r sin θ cos ϕ { (θ ) } θ s Φ r sin θ sin ϕ θ π/2,. ϕ ϕ ϕ 2π r cos θ ie beiden Tangentialvektoren und der Normalenvektor sind: r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ θ r cos θ sin ϕ, ϕ r sin θ cos ϕ r sin θ θ r 2 sin 2 θ cos ϕ ϕ r 2 sin 2 θ sin ϕ r sin θ Φ(θ, ϕ) r 2 sin θ cos θ er Normalenvektor dφ zeigt aus V heraus, Rechte-Hand-Regel. ie Norm dφ r 2 sin θ ist wie immer die Flächenverzerrung. Ausführliches Beispiel zum Satz von Gauß G13 Übung (6d) Hieraus erhalten wir den Flächeninhalt der Hemisphäre B: vol 2 (B) db θ ϕ d(θ, ϕ) r 2 sin θ d(θ, ϕ) B π/2 2π θ ϕ r 2 sin θ dϕ dθ 2πr 2[ cos θ ] π/2 θ 2πr2 (7d) as Flussintegral des Vektorfeldes f über die Hemisphäre B ist: f(s) db Param f ( Φ(θ, ϕ) ) ( s B θ ) d(θ, ϕ) ϕ r sin θ cos ϕ r 2 sin 2 θ cos ϕ r sin θ sin ϕ r 2 sin 2 θ sin ϕ d(θ, ϕ) r cos θ r 2 sin θ cos θ... r 3 sin θ d(θ, ϕ) 2πr 3 (wie 6d) er Normalenvektor dφ zeigt aus V heraus; Rechte-Hand-Regel. er Flächeninhalt dφ ist von der Orientierung unabhängig. as Flussintegral wechselt das Vorzeichen bei Orientierungsumkehr.

17 as Kreuzprodukt von Vektoren im R 3 G21 Erinnerung w α u v Erinnerung: as Kreuzprodukt zweier Vektoren u, v R 3 ist u 1 v 1 u 2 v 3 u 3 v 2 u 2 v 2 u 3 v 1 u 1 v 3 u 3 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 er Vektor w u v steht senkrecht auf den Vektoren u, v. ie Orientierung von (u, v, w) entspricht der Rechte-Hand-Regel. ie Norm w ist der Flächeninhalt des von den Vektoren u und v aufgespannten Parallelogramms, also w u v sin (u, v). aher gilt w genau dann, wenn u und v linear abhängig sind. Umgekehrt w genau dann, wenn u und v linear unabhängig sind. ie Abbildung (u, v) u v ist antisymmetrisch, v u (u v), und bilinear, also u (av + bv ) a(u v) + b(u v ), ebenso in u. Zur Wiederholung siehe Kimmerle Stroppel, Lineare Algebra, 2.1. Tangentialvektoren und Flächenelemente G22 Ein parametrisiertes Flächenstück ist eine stetig differenzierbare Abbildung Φ : R 2 S R 3. S Φ(x, y) T 1 dx T 2 dy Φ (x, y) e 1 dx e 2 dy Am Punkt s Φ(x, y) heften die Tangentialvektoren T 1 : x (x, y) und T 2 : (x, y). y er zugehörige Normalenvektor ist das Kreuzprodukt N T 1 T 2. er Flächeninhalt eines kleinen Flächenelements ds ist daher ( ) vol 2 Φ [x, x + dx] [y, y + dy] (x, y) (x, y) x y dx dy

18 Glatte Flächenstücke G23 Hier sei der efinitionsbereich R 2 kompakt mit stückweise glattem Rand, z.b. ein Rechteck [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ], eine Kreisscheibe, etc. Zur Vereinfachung werden wir als zusammenhängend annehmen. ie Abbildung Φ : R 3 sei stetig diff bar, wo nötig sogar zweimal. ie Flächenparametrisierung Φ : R 2 R 3 heißt regulär, wenn sie injektiv ist und x (x, y) y (x, y) in jedem Punkt (x, y) erfüllt. as Bild S Φ() R 3 nennen wir dann ein glattes Flächenstück. er Rand S : Φ( ) ist somit eine stückweise glatte Kurve im R 3. Beispiel: Jede stetig diff bare Funktion f : R 2 R definiert ein reguläres Flächenstück Φ : R 3 mit Φ(x, y) (x, y, f(x, y)). Tangentialvektoren sind x Φ (1,, x f) und y Φ (, 1, y f), sie ergeben den Normalenvektor x Φ y Φ ( x f, y f, 1). Beispiel: Sei ϕ : R 2 R 2 injektiv und stetig diff bar mit det ϕ >. Sei Φ : R 2 R 3 gegeben durch Φ(x, y) (ϕ 1 (x, y), ϕ 2 (x, y), c). ie Tangentialvektoren x Φ ( x ϕ 1, x ϕ 2, ), y Φ ( y ϕ 1, y ϕ 2, ) ergeben den senkrechten Normalenvektor x Φ y Φ (,, det ϕ ). Glatte Flächenstücke G24 Reguläre Parametrisierungen haben besonders gute geometrische Eigenschaften und entsprechen unserer Anschauung: ie Regularität stellt sicher, dass die Bildmenge S Φ() R 3 eine glatte Fläche ist. ie Forderung x Φ y Φ bedeutet, dass die Tangentialvektoren x Φ und y Φ linear unabhängig sind, somit die Tangentialebene an S aufspannen, und S überall eine eindeutige Normalenrichtung hat. iese Forderung ist streng, in vielen Rechnungen genügt weniger: Wir nennen Φ semiregulär, wenn Φ regulär auf dem Inneren ist. Aufgabe: In der vorigen Aufgabe nutzen wir drei Parametrisierungen der Hemisphäre. Welche sind regulär? Welche sind semiregulär? Lösung: Keine ist regulär: (5b) ist injektiv aber auf divergiert ρ Φ. Anschaulich plausibel: ie Flächenverzerrung wird hier beliebig groß. Hingegen sind (5c) und (5d) stetig diff bar aber auf nicht injektiv. Alle drei sind jedoch semiregulär, und das genügt zur Integration!

19 ifferenzierbarkeit und Knicke G25 Aufgabe: Über dem Quadrat [ 1, 1] [ 1, 1] liegt der Graph S { (x, y, z) R 2 x 1, y 1, z y }. Skizzieren Sie S und geben Sie eine stetige Bijektion Φ : S an. Gibt es auch stetig differenzierbare Bijektionen Φ : S? Wird die Menge S R 3 somit zu einer glatten Fläche? z x y ifferenzierbarkeit und Knicke G26 Lösung: ie Fläche S kann C parametrisiert werden, etwa durch Ψ : R 3 mit Ψ(s, t) ( s, t, t ). ies ist eine Bijektion von auf S, aber leider nicht differenzierbar. ie Fläche S kann ebenso C 1 parametrisiert werden, etwa durch Φ : R 3 mit Ψ(s, t) ( s, t t, t 2 ). Auch Φ ist eine Bijektion des efinitionsbereichs auf die Fläche S. Sie ist offensichtlich stetig und zudem stetig differenzierbar mit 1 s, t, s t. 2 t 2t 2t 2 t er Tangentialvektor t verschwindet für t entlang der x Achse. Erstaunlich: Ein stetig differenzierbar parametrisiertes Flächenstück Φ : R 2 S kann also, wie hier gesehen, durchaus Knicke haben! Glattheit verlangt überall linear unabhängige Tangentialvektoren!

20 ifferenzierbarkeit und Ecken G27 Aufgabe: Über dem Quadrat [ 1, 1] [ 1, 1] liegt der Graph S { (x, y, z) R 2 x 1, y 1, z x + y }. Skizzieren Sie S und geben Sie eine stetige Bijektion Φ : S an. Gibt es auch stetig differenzierbare Bijektionen Φ : S? Wird die Menge S R 3 somit zu einer glatten Fläche? z x y ifferenzierbarkeit und Ecken G28 Lösung: ie Fläche S kann C parametrisiert werden, etwa durch Ψ : R 3 mit Ψ(s, t) ( s, t, s + t ). ie Fläche S kann ebenso C 1 parametrisiert werden, etwa durch Φ : R 3 mit Ψ(s, t) ( s s, t t, s 2 + t 2 ). ies ist eine Bijektion des efinitionsbereichs auf die Fläche S. Sie ist offensichtlich stetig und zudem stetig differenzierbar mit 2 s s, t, s +4 s t t. 2s er Tangentialvektor s er Tangentialvektor t 2 t 2t 4 s t +4 s t verschwindet für s entlang der y Achse. verschwindet für t entlang der x Achse. Erstaunlich: Ein stetig differenzierbar parametrisiertes Flächenstück Φ : R 2 S kann durchaus Knicke und sogar Ecken haben! Glattheit verlangt überall linear unabhängige Tangentialvektoren!

21 Integration über parametrisierte Flächenstücke G29 Weiterhin sei Φ : R 2 R 3 ein parametrisiertes Flächenstück. Für das vektorielle bzw. skalare Flächenelement schreiben wir ( dφ : x ) d(x, y) und dφ x x x d(x, y). er Flächeninhalt des parametrisierten Flächenstücks Φ ist vol 2 (Φ) : dφ (x, y) (x, y) x y d(x, y). (x,y) as Flächenintegral eines Skalarfeldes g : R 3 S R ist g dφ : g ( Φ(x, y) ) (x, y) (x, y) x y d(x, y). (x,y) as Flussintegral eines Vektorfeldes f : R 3 S R 3 ist f dφ : f(φ(x, y)) (x, y) x y (x, y) d(x, y). (x,y) Integration über parametrisierte Flächenstücke G21 Links steht die bequeme Kurzschreibweise, rechts steht, wie man es explizit ausrechnet mit dem Flächenelement dφ ( x Φ y Φ) d(x, y). as Flächenelement dφ stellen wir uns als kleines Flächenstück vor: Sein Flächeninhalt ist dφ, und der Vektor dφ steht senkrecht auf der Fläche. So kommen wir wie erklärt von der Geometrie zum Integral. Einfachstes Beispiel für ein Flächenintegral ist der Flächeninhalt dφ : Anschaulich summiert dieses Integral alle Flächenelemente. Allgemein ist das Flächenintegral g dφ ein durch g : S R gewichteter Flächeninhalt. Wir können uns g als Massendichte vorstellen; das Flächenintegral ergibt dann die Gesamtmasse an. as Flussintegral f dφ misst, wieviel f durch Φ fließt: er Vektor dφ steht senkrecht zur Fläche, somit ist das Skalarprodukt f dφ der normale Anteil von f senkrecht zur Fläche. Sind f und dφ parallel, so multipliziert man die Länge f mit dφ. Im Allgemeinen sind f und dφ nicht parallel; es zählt dann nur der Anteil von f in Normalenrichtung: ie Zerlegung dφ n dφ ergibt f dφ (f n) dφ.

22 Orientierungsumkehr einer param. Fläche G211 Flächenintegrale formulieren wir wie oben zunächst für parametrisierte Flächenstücke Φ : R 2 R 3. Wir wollen nun nachrechnen, dass sie invariant sind unter (orientierungstreuer) Umparametrisierung. Beispiel: Zur Parametrisierung Φ : R 3 erhalten wir die umgekehrte Parametrisierung Φ : R 3 durch Vertauschung: { (x, y) R 2 (y, x) } Φ : R 3 mit Φ(x, y) Φ(y, x) Beide parametrisieren dieselbe Menge S Φ() Φ( ), aber mit umgekehrter Orientierung: as Kreuzprodukt wechselt sein Vorzeichen! Flächenintegrale bleiben bei Orientierungsumkehr unverändert: g d Φ g dφ Flussintegrale hingegen wechseln das Vorzeichen: f d Φ f dφ. Orientierungsumkehr einer param. Fläche G212 Als Beispiel betrachten wir Kugelkoordinaten Φ : R 2 S R 3 : ( ) r sin θ cos ϕ { (θ ) } θ Φ r sin θ sin ϕ θ π/2,. ϕ ϕ ϕ 2π r cos θ ie beiden Tangentialvektoren und der Normalenvektor sind: θ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ r 2 sin 2 θ cos ϕ ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ r sin θ cos ϕ r 2 sin 2 θ sin ϕ r 2 sin θ cos θ urch Vertauschung erhalten wir Φ : R 2 S R 3 mit ( ) r sin θ cos ϕ { (ϕ ϕ Φ r sin θ sin ϕ, θ θ) } ϕ 2π θ π/2 r cos θ ie beiden Tangentialvektoren und der Normalenvektor sind nun: Φ ϕ Φ r sin θ sin ϕ r cos θ cos ϕ r 2 sin 2 θ cos ϕ θ r sin θ cos ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ r 2 sin 2 θ sin ϕ r 2 sin θ cos θ.

23 Invarianz unter Umparametrisierungen G213 Wir wollen verschiedene Parametrisierungen Φ : R 2 S R 3 und Φ : R 2 S R 3 derselben Fläche miteinander vergleichen. Eine Umparametrisierung ist eine stetige Bijektion H :. Für eine reguläre Umparametrisierung verlangen wir zudem, dass sowohl H als auch H 1 : stetig differenzierbar sind. Wir nennen Φ : R 3 und Φ : R 3 äquivalent vermöge einer Umparametrisierung H, wenn Φ Φ H gilt, also Φ H 1 Φ. Satz G2A (Transformationssatz) Äquivalente Flächenparametrisierungen Φ Φ H haben dieselbe Bildmenge S Φ() Φ( ) und denselben Flächeninhalt. Es gilt 1 Φ 2 Φ ( 1 Φ 2 Φ) H det H. aher sind Flächenintegrale invariant unter Umparametrisierung: g d Φ g dφ, f d Φ sign(det H ) f dφ Invarianz unter Umparametrisierungen G214 Nachrechnen der ersten Koordinate von 1 Φ 2 Φ dank Kettenregel: ( 1 Φ 2 Φ)1 1 Φ2 2 Φ3 1 Φ3 2 Φ2 1 (Φ 2 H) 2 (Φ 3 H) 1 (Φ 3 H) 2 (Φ 2 H) + ( 1 Φ 2 H 1 H Φ 2 H 1 H 2 ) ( 1 Φ 3 H 2 H Φ 3 H 2 H 2 ) ( 1 Φ 3 H 1 H Φ 3 H 1 H 2 ) ( 1 Φ 2 H 2 H Φ 2 H 2 H 2 ) ( 1 Φ 2 2 Φ 3 1 Φ 3 2 Φ 2 ) H ( 1 H 1 2 H 2 2 H 1 1 H 2 ) ( 1 Φ 2 Φ) 1 H det H Ebenso die Koordinaten ( 1 Φ 2 Φ)2 und ( 1 Φ 2 Φ)3. Hieraus folgt die Behauptung 1 Φ 2 Φ ( 1 Φ 2 Φ) H det H.

24 Invarianz unter Umparametrisierung G215 Flächenintegral eines Skalarfeldes g : R 3 S R über Φ Φ H: g d Φ (1) (g Φ) 1 Φ 2 Φ d( x, ỹ) (2) (3) (4) (g Φ H) ( 1 Φ 2 Φ H) det H d( x, ỹ) (g Φ) 1 Φ 2 Φ d(x, y) g dφ Gleichungen (1) und (4) sind die efinition des Flächenintegrals bezüglich Φ und Φ, (2) folgt aus der Kettenregel wie oben erklärt, und (3) ist der Transformationssatz angewendet auf H :. as Ergebnis ist von der Parametrisierung unabhängig. Jeder darf sich die für ihn bequemste Parametrisierung aussuchen. Statt Regularität der gesamten Umparametrisierung H : genügt es, dies im Inneren zu fordern: ank vol 2 ( ) vol 2 ( ) tragen die Ränder nichts zu den Flächenintegralen bei. Invarianz unter Umparametrisierung Flussintegral eines Vektorfeldes f : R 3 S R 3 über Φ Φ H: f d Φ f Φ 1 Φ 2 Φ d( x, ỹ) f Φ H ( 1 Φ 2 Φ) H det H d( x, ỹ) sign(det H ) f Φ 1 Φ 2 Φ d(x, y) sign(det H ) f dφ as Vorzeichen sign(det H ) ±1 gilt, je nachdem ob die Parametrisierungen Φ und Φ gleichsinnig oder gegensinnig sind. G216 as Ergebnis ist ansonsten von der Parametrisierung unabhängig. Jeder darf sich die für ihn bequemste Parametrisierung aussuchen. Statt Regularität der gesamten Umparametrisierung H : genügt es, dies im Inneren zu fordern: ank vol 2 ( ) vol 2 ( ) tragen die Ränder nichts zu den Flächenintegralen bei.

25 Tangentialvektoren und Normalenvektoren G217 Φ(x, y) S T 1 T 2 Sei Φ : R 2 S R 3 eine reguläre Parametrisierung. An jedem Bildpunkt s Φ(x, y) heften linear unabhängige Tangentialvektoren T 1 x (x, y) und T 2 (x, y). y er zugehörige Normalenvektor N T 1 T 2 ist daher nicht Null. ies definiert das Einheitsnormalenfeld n : S R 3 durch N(x, y) n(s) N(x, y) ie Vektoren T 1, T 2, N ändern sich je nach Wahl der Parametrisierung! ie Einheitsnormale n bleibt jedoch gleich bis auf das Vorzeichen. Äquivalente Parametrisierungen und Orientierung Satz G2B (Umparametrisierung) Je zwei reguläre Parametrisierungen Φ : R 3 und Φ : R 3 mit demselben Bild S sind äquivalent vermöge H Φ 1 Φ. Ihre Orientierung ist entweder gleichsinnig oder gegensinnig, also entweder ñ(y) n(y) in jedem Punkt y Φ(x) Φ( x) oder aber ñ(y) n(y) in jedem Punkt y Φ(x) Φ( x). G218 Beispiel: ie Kugelfläche (Sphäre) können wir parametrisieren durch ( ) ( ) θ Φ ϕ Φ r sin θ cos ϕ ϕ r sin θ sin ϕ [, π] [, 2π],, θ [, 2π] [, π]. r cos θ Hier gilt dφ d Φ, die Parametrisierungen sind also gegensinnig. efinition G2C (Orientierung) Eine glattes Flächenstück S R 3 wird orientiert durch die Wahl eines der beiden möglichen Einheitsnormalenfelder n : S R 3.

26 Integration über glatte Flächenstücke G219 efinition G2 (Flächen- und Flussintegral) Sei S R 3 ein glattes Flächenstück (noch ohne Parametrisierung). Wir wählen eine (semi)reguläre Parametrisierung Φ : R 2 S. as Flächenintegral eines Skalarfeldes g : R 3 S R ist g ds : g dφ g(φ(x, y)) x y d(x, y). S Für Flussintegrale sei die Fläche S zusätzlich orientiert. as Flussintegral eines Vektorfeldes f : R 3 S R 3 ist f ds : f dφ f(φ(x, y)) x d(x, y). y S ies ist wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Parametrisierung Φ. Jeder darf sich die für ihn bequemste Parametrisierung aussuchen. ank dieses Satzes ist das Ergebnis unabhängig vom Rechenweg. Integration über glatte Flächenstücke G22 Wir vollziehen damit für Flächen dieselbe Abstraktion wie für Kurven: Zunächst ist S R 3 nur eine nackte Menge ohne Struktur. Für diese hat es keinen Sinn nach ifferenzierbarkeit oder Flächeninhalt zu fragen: iesen Fragen müssen wir erst durch eine Parametrisierung Φ : R 2 S R 3 einen Sinn geben! Hierzu verlangen wir, dass Φ (semi)regulär ist. In der praktischen Anwendung interessieren wir uns meist nur für die Fläche S. Für ihre Handhabung und die Berechnung von Integralen jedoch ist zusätzlich eine Parametrisierung Φ notwendig. ie Wahl von Φ ist willkürlich, doch glücklicherweise ist das Endergebnis von der Parametrisierung unabhängig: Je zwei (semi)reguläre Parametrisierungen Φ : S und Φ : S derselben Fläche S sind (semi)regulär äquivalent vermöge H Φ 1 Φ Sie liefern somit dieselben Flächen- und Flussintegrale, wie oben ausführlich nachgerechnet. Bei Flächen wie bei Kurven muss bei Integralen 2. Art die Orientierung angegeben werden. Wir benutzen hier die stillschweigende Voraussetzung, dass die Parameterbereiche und wegzusammenhängend sind. Zwei Parametrisierungen Φ : S und Φ : S sind dann entweder überall gleichsinnig oder überall gegensinnig. (Gibt es mehrere Wegkomponenten, so kann man auf jeder Komponente eine der beiden möglichen Orientierungen wählen.) Jede reguläre Parametrisierung von S liefert eine reguläre Parametrisierung des Randes S. In der Praxis nutzen wir neben regulären Parametrisierungen häufig auch semireguläre Parametrisierungen: iese sind allgemeiner und flexibler, und daher meist bequemer. Sie können am Rand irregulär sein, aber das Innere genügt für die Berechnung von Flächenintegralen: Wegen vol 2 ( ) trägt der Rand hierzu nichts bei.

27 Stückweise glatte Flächen G221 Glatte Flächen sind schön aber oft zu restriktiv. Typisches Beispiel und Modell ist die Oberfläche eines Quaders Q [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]. S S Γ S ie Oberfläche eines Quaders. ies ist eine stückweise glatte Fläche S Q R 3, zusammengesetzt aus sechs regulären Flächenstücken. Sie hat keinen Rand, geschrieben S, und ist orientierbar durch die nach außen zeigende Normale. ieselbe Fläche aber ohne eckel. iese Teilfläche S S lässt sich zusammensetzen aus fünf regulären Flächenstücken. Sie ist orientierbar durch die nach außen zeigende Normale. Ihre Randkurve Γ S sind die vier Kanten des oben entstehenden Rechtecks mit der gezeigten positiven Orientierung. Rechte-Hand-Regel: ie Orientierung der Fläche S definiert eine zugehörige positive Orientierung der Randkurve Γ S. Stückweise glatte Flächen G222 Eine Teilmenge S R 3 heißt stückweise glatte Fläche, wenn es glatte Flächenstücke S 1,..., S k gibt, sodass S S 1 S k gilt. Wie im obigen Modell verlangen wir geometrische Vorkehrungen: ie Flächenstücke schneiden sich höchstens längs ihrer Randkurven. Im Inneren jeder Kante schneiden sich höchstens zwei Flächenstücke. (In Eckpunkten können mehrere Flächenstücke zusammenstoßen.) Innere Kanten treten also stets doppelt auf und heben sich auf. ie verbleibenden einzelnen Kanten bilden den Rand S. Im Falle S nennt man die Fläche S geschlossen. Ein Orientierung von S besteht aus Orientierungen der Flächenstücke S 1,..., S k, die wie gezeigt in gemeinsamen Kanten gegenläufig sind. ies definiert die Orientierung des Randes S im Satz von Stokes: Beim Zusammensetzen einer stückweise glatten Fläche heben sich innere Kanten paarweise auf, denn sie sind gegenläufig orientiert. Es bleibt die positiv orientierte Randkurve Γ S.

28 Stückweise glatte Flächen G223 Eine Hemisphäre. ie Hemisphäre lässt sich als ein reguläres Flächenstück parametrisieren, zum Beispiel durch stereographische Projektion vom Südpol auf die Äquatorebene. ie Hemisphäre ist orientierbar durch die nach außen zeigende Normale. Sie hat den Äquator als Rand, und die Rechte-Hand-Regel definiert seine Orientierung. ie Oberfläche einer Kugel. ie Sphäre S lässt sich nicht als ein einziges reguläres Flächenstück parametrisieren, aber sie lässt sich aus zwei regulären Flächenstücken zusammensetzen, z.b. aus zwei Hemisphären. Sie ist orientierbar durch die nach außen zeigende Normale. Sie hat keinen Rand, S. ie Sphäre ist kompakt und unberandet, S. ies nennt man auch eine geschlossene Fläche. Stückweise glatte Flächen G224 er Mantel eines Zylinders. er Zylindermantel ist ein reguläres Flächenstück, zum Beispiel parametrisiert durch einen Kreisring. Er lässt sich ebenso durch zwei Rechtecke regulär parametrisieren, wie in der Skizze angedeutet. er Zylindermantel ist orientierbar durch die nach außen zeigende Normale. Er hat zwei Kreislinien als Rand, und die Rechte-Hand-Regel definiert ihre Orientierungen. er Mantel eines Kegels. er Kegelmantel lässt sich durch zwei reiecke regulär parametrisieren, wie in der Skizze angedeutet. er Kegelmantel ist orientierbar durch die nach außen zeigende Normale. Er hat eine Kreislinie als Rand, und die Rechte-Hand-Regel definiert ihre Orientierung.

29 as Möbius Band G225 M (3 + r sin ϕ 2 ) cos ϕ (3 + r sin ϕ 2 ) sin ϕ r cos ϕ 2 ϕ 2π 1 r 1 as Möbius Band G226 ie Mittelachse (r ) besteht aus einer Kreislinie, hier vom Radius 3. Um diese windet sich das Möbius Band in halber rehung, also 18. Aus Papier hergestellt erhalten wir eine Fläche mit nur einer Seite! Sie lässt sich aus zwei regulären Flächenstücken zusammensetzen, je durch Rechtecke parametrisiert, etwa ϕ π und π ϕ 2π, doch die Orientierungen passen nicht zusammen. as bedeutet: as Möbius Band ist eine glatte Fläche, aber nicht orientierbar! Es wurde im Jahr 1858 unabhängig voneinander von dem Göttinger Mathematiker und Physiker Johann Benedict Listing und dem Leipziger Mathematiker und Astronomen August Ferdinand Möbius beschrieben. as Möbius Band ist das universelle Modell einer nicht-orientierbaren Fläche: Eine beliebige Fläche S ist genau dann nicht-orientierbar, wenn sie ein Möbius Band enthält (als eingebettete Teilfläche). In diesem Fall lässt sich der Satz von Stokes nicht anwenden.

30 as Möbius Band G227 as Möbius Band G228 Ist Mathematik eine Tätigkeit des Erfindens oder des Entdeckens? iese uralte ebatte ist nicht nur philosophisch bedeutsam, sondern auch ökonomisch: Technische Erfindungen können patentiert werden, nicht aber Entdeckungen. aher sind wissenschaftliche Theorien grundsätzlich nicht patentierbar. as betrifft auch mathematische Methoden bis hin zu Algorithmen und Computerprogrammen. as Möbius-Band zeigt eine erstaunliche mathematische Anwendung: ie elfseitige Gebrauchsmusterschrift findet man beim eutschen Patent- und Markenamt unter register.dpma.de/pmaregister/pat/ PatSchrifteneinsicht?docIdE U1. Sie beginnt so: Beschreibung: ie Erfindung gehört zum Maschinenbau, insb. zu den Antriebsriemen. [...] er Nachteil der bekannten Antriebsriemen ist eine geringe Betriebszeit durch den Verschleiß der Arbeitsflächen. [...] Um den genannten Nachteil zu beseitigen wäre es zweckdienlich, nicht nur eine Oberfläche des Riemens als Arbeitsoberfläche zu benutzen, sondern möglichst alle Oberflächen des Riemens. afür sollte man den Riemen nach Art des Möbius-Bandes verdrehen. [...]

31 Integration über stückweise glatte Flächen G229 efinition G2E (Flächen- und Flussintegral) Sei S R 3 eine stückweise glatte Fläche. Wir wählen (semi)reguläre Parametrisierung Φ 1 : R 2 1 R 3,..., Φ k : R 2 k R 3, sodass S Φ 1 ( 1 ) Φ k ( k ) gilt und Φ i ( i ) Φ j ( j ) für i j. as Flächenintegral eines Skalarfeldes g : R 3 S R ist g ds : S g dφ g dφ k. k Für Flussintegrale sei die Fläche S zusätzlich orientiert. as Flussintegral eines Vektorfeldes f : R 3 S R 3 ist f ds : f dφ f dφ k. 1 k S ies ist wohldefiniert, das heißt, das Ergebnis ist unabhängig von der Wahl der Zerlegung von S und der Parametrisierungen Φ k. Integration über stückweise glatte Flächen G23 Aufgabe: Vorgelegt sei eine stückweise glatte Fläche S R 3 mit stückweise (semi)regulärer Parametrisierung Φ i : i R 3 für i 1,..., k sowie eine zweite Ψ j : E j R 3 für j 1,..., l. Warum liefern beide dasselbe Ergebnis für das Flächenintegral? g dφ g dφ k? g dψ g dψ l 1 k E 1 E l Lösung: Auf den paarweisen Schnitten S ij Φ i ( i ) Ψ j ( E j ) erhalten wir stückweise Parametrisierungen Φ ij : ij S ij und Ψ ij : E ij S ij. iese sind jeweils semiregulär äquivalent. Wir haben die Zerlegungen S i Φ i( i ) i,j Φ ij( ij ) j,i Ψ ji(e ij ) j Ψ j(e j ) jeweils bis auf Nullmengen (vom Flächeninhalt ). Hieraus folgt: i i g dφ i i j ij g dφ ij j i E ij g dφ ij j E j g dφ j Gleiches gilt für Flussintegrale: as Ergebnis ist also wohldefiniert. Jeder darf sich die für ihn bequemste Parametrisierung aussuchen.

32 er Integralsatz von Stokes G231 Satz G2F (Integralsatz von Stokes) Sei S R 3 eine stückweise glatte, orientierte Fläche. Ihre Randkurve Γ S ist dann ebenso stückweise glatt und werde positiv orientiert. Für jedes stetig differenzierbare Vektorfeld f : R 3 S R 3 gilt dann rot f(s) ds f(s) dγ. s S ie Zerlegung ds n(s) ds ergibt die gleichwertige Formulierung rot f(s) n(s) ds f(s) dγ. s S Beweis: ie Gleichung gilt für jedes reguläre Flächenstück S R 3 und folgt aus dem entsprechenden Satz von Green in der Ebene, siehe G1A. Für stückweise glatte Flächen addieren sich die Flächenintegrale. ie Kurvenintegrale längs innerer Kanten heben sich paarweise auf, da sie gegenläufig orientiert sind. Bleibt der positiv orientierte Rand Γ S. s Γ Spezialfall: geschlossene Flächen s Γ G232 Ist die Fläche S R 3 geschlossen, also S, so gilt rot f(s) ds f(s) ds s S s S ies gilt für die Randfläche S V jedes Kompaktums V R 3. Integralsätze können Rechnungen dramatisch vereinfachen! as Flussintegral links kann beliebig kompliziert sein; rechts beim Randintegral sehen wir das Ergebnis auf einen Blick! Einfaches Beispiel: ie (dreidim.) Vollkugel K hat als (zweidim.) Rand die Kugelfläche / Sphäre S K. ie (zweidim.) Sphäre S hat als (eindim.) Rand die leere Menge, S. Ebenso für den Volltorus V R 3 und die Torusfläche S V.

33 Kompakta mit stückweise glattem Rand G233 Typisches Beispiel ist ein Quader V [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]. n V V S V efinition G2G (Kompaktum mit stückweise glattem Rand) V R 3 heißt Kompaktum mit stückweise glattem Rand, wenn gilt: V ist kompakt und der Rand V ist eine stückweise glatte Fläche. In jedem regulären Punkt s V liegt das Innere von V auf der einen Seite von V und das Äußere von V auf der anderen Seite. er Rand V ist positiv orientiert, wenn n V stets nach außen zeigt. er Integralsatz von Gauß im Raum G234 Satz G2H (Integralsatz von Gauß im Raum) Sei V R 3 kompakt mit stückweise glatter Randfläche S V, orientiert durch den von V nach außen weisenden Normalenvektor. Für jedes stetig differenzierbare Vektorfeld f : V R 3 gilt dann div f(v) dv f(s) ds. v V ie Zerlegung ds n(s) ds ergibt die gleichwertige Formulierung div f(v) dv f(s) n(s) ds. v V Links steht das Volumenintegral der Quelldichte div(f) über V. Hierbei bezeichnet dv d(x, y, z) das übliche Volumenelement. Rechts steht das Flussintegral von f über die Randfläche S V. as Flächenelement ds ( 1 Φ 2 Φ) d(x, y) sei positiv orientiert: er Normalenvektor ds senkrecht auf V zeigt aus V heraus. s S s S

34 er Satz von Gauß für Normalbereiche G235 en Satz von Gauß rechnen wir nach wie in der Ebene (Seite E169): Aufgabe: Rechnen Sie die Gleichung des Gaußschen Satzes nach... (1) Für f (,, f 3 ) und jeden Normalbereich in z Richtung V { (x, y, z) R 3 (x, y) A, g(x, y) z h(x, y) }. Hierbei sei A R 2 ein Kompaktum mit stückweise glattem Rand sowie g, h : A R stetig differenzierbare Funktionen mit g h. (2) Ebenso für (, f 2, ) in y Richtung und (f 1,, ) in x Richtung. (3) Für f (f 1, f 2, f 3 ) und jeden Trinormalbereich V R 3. Z.B. ein Quader, eine Kugel, oder jedes konvexe Kompaktum. (4) Gilt die Gleichung für jeden Bereich V R 3 zerlegt wie in (3)? Z.B. eine Kugelschale oder ein Quader mit mehreren Löchern. Lösung: Zum Flussintegral tragen nur oberer und unterer eckel bei: O { (x, y, h(x, y)) (x, y) A }, n O ( x h, y h, +1), U { (x, y, g(x, y)) (x, y) A }, n U (+ x g, + y h, 1). er Satz von Gauß für Normalbereiche G236 (1) er HI und Fubini ergeben den Satz von Gauß für f (,, f 3 ): h(x,y) f 3 div f(v) dv (x, y, z) dz d(x, y) v V (x,y) A zg(x,y) z f 3 (x, y, h(x, y)) f 3 (x, y, g(x, y)) d(x, y) (x,y) A s O f(s) do + s U f(s) du s S V f ds (3) Somit gilt der Satz von Gauß für jedes Vektorfeld f (f 1, f 2, f 3 ), wenn V ein Normalbereich in x und y und z Richtung ist. div(f) dv div(f 1,, ) dv + div(, f 2, ) dv + div(,, f 3 ) dv V V V V (f 1,, ) ds + (, f 2, ) ds + (,, f 3 ) ds f ds V V (4) er allgemeine Fall folgt durch Zerlegung von V in Normalbereiche. Alle Volumenintegrale addieren sich, ebenso die Flächenintegrale. Innere Flächen heben sich paarweise auf, es bleibt der Rand V. V V

35 as archimedische Prinzip G237 Aufgabe: Integrieren Sie die Auftriebskraft, die auf den Körper K wirkt. z K K P n Folgern Sie den Satz des Archimedes: ie Auftriebskraft des Körpers K gleicht dem Gewicht gϱ vol 3 (K) der verdrängten Flüssigkeit. Es besteht eine bemerkenswerte Beziehung zwischen dem Rand K (nur hier wirkt der ruck) und dem Inneren von K (nur dieses verdrängt Flüssigkeit). Wir können dies nun berechnen! Wir nehmen zur Vereinfachung an, die Flüssigkeit habe konstante ichte ϱ >. ie Schwerkraft wirkt nach unten in negativer z Richtung, wie in der Skizze angedeutet. er Körper liege ganz in der Flüssigkeit; ihre Oberfläche sei z. Längs des Randes K übt die Flüssigkeit einen ruck aus. ieser nimmt linear mit der Tiefe z zu, entsprechend der darüber liegenden Wassersäule. er Absolutbetrag des rucks in Tiefe z ist demnach P gϱ z. Konkrete Werte sind in unserem Beispiel ϱ Wasser 1kg/m 3 und g Erde 9.81m/s 2, somit gϱ 981N/m 3. as archimedische Prinzip G238 Lösung: In jedem Randpunkt (x, y, z) K sei n(x, y, z) die äußere Einheitsnormale. Hier herrscht folgender ruck ( Kraft pro Fläche): skalar P g ϱ z, vektoriell P g ϱ z n ie Vektoren P und n sind entgegengesetzt; das Vorzeichen steckt im Faktor z <. Insgesamt erfährt der Körper K daher die Auftriebskraft F P ds g ϱ z n ds. K (x,y,z) K Ihre Komponenten F (F x, F y, F z ) berechnen wir mit Gauß: ( z ) z ) z n x ds n ds div( d(x, y, z) K K K z n y ds z n z ds K K K ( z ( z ) ) n ds n ds Gauß G2H K Gauß z ) div( d(x, y, z) G2H K Gauß ) div( d(x, y, z) vol G2H 3 (K) K z

36 as archimedische Prinzip G239 as archimedische Prinzip gilt auch für Körper, die nur teilweise in die Flüssigkeit eintauchen: Es zählt das eingetauchte Volumen. (Warum?) as archimedische Prinzip ist ungemein praktisch: Ein Schiff verdrängt Wasser, erhält dadurch Auftrieb und schwimmt an der Oberfläche. er hier angenommene ruckverlauf gilt bei konstanter ichte, in einem inkompressiblen Medium. Er gilt annähernd auch in Luft (und anderen Gasen) bei nicht allzu großen Höhenunterschieden. Er gilt insbesondere für realistisch große Luftschiffe oder Ballone. Schließlich löste Archimedes mit Hilfe der Wasserverdrängung das Problem der ichtemessung und konnte den Goldschmied des Königs als Betrüger entlarven. Gibt es eine schönere Geschichte für eine HM3 für Materialwissenschaftler und Luft- und Raumfahrttechniker? amit sind wir schließlich zum Ausgangsbeispiel zurückgekehrt: dem archimedischen Prinzip, das wir nun mathematisch verstehen. ie Anordnung der Themen gleicht somit einem geschlossenen Weg. as Wegintegral über dieses Kapitel ist aber nicht Null, denn wir haben sehr wohl Arbeit verrichtet und neue Erkenntnisse gewonnen! G24 as archimedische Prinzip Aufgabe: Wieviel Prozent eines Eisberges liegen unter Wasser? Speziell für ϱ Eis 918kg/m 3 und ϱ Wasser 125kg/m 3? Allgemein? Wie hängt das Ergebnis von der Form des Eisberges ab? Lösung: Sei E der Eisberg, unter Wasser liege der Teil U E. Wir nehmen Gleichgewicht an, d.h. der Eisberg sinkt oder steigt nicht. as Gewicht vol 3 (E) ϱ Eis g gleicht dem Auftrieb vol 3 (U) ϱ Wasser g. Also vol 3 (U) vol 3 (E) ϱ Eis ϱ Wasser.9 Mit anderen Worten, etwa 9% des Eisberges liegen unter Wasser, nur die verbleibenden 1% sind über Wasser sichtbar. aher der sprichwörtliche Ausdruck: Wir sehen nur die Spitze des Eisberges. er genaue Wert hängt nur von den Materialkonstanten ab, also der Massendichte des Eises ϱ Eis und des Wassers ϱ Wasser. Hingegen ist die Form des Eisberges unerheblich. Alles ist schön und einfach! er Integralsatz von Gauß und somit auch der archimedische Satz sind auf alle Körper mit stückweise glatter Randfläche anwendbar!

37 Kugelsegment und Kugelkappe G31 Aufgabe: (1) Skizzieren Sie zu h r das Kugelsegment V { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 r 2, r h z r } (2) Beschreiben Sie den Körper V explizit durch Parametrisierungen in Zylinderkoordinaten sowie als Normalbereich in z Richtung. (3) Berechnen Sie den Rauminhalt vol 3 (V ) je nach Parametrisierung. Ist das Ergebnis unabhängig von der gewählten Parametrisierung? (4) Beschreiben Sie ebenso explizit wie in (2) die Kugelkappe S { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 r 2, r h z r } (5) Bestimmen Sie in jedem Punkt s S den nach außen zeigenden Einheitsnormalenvektor n(s) sowie ds je nach Parametrisierung. (6) Berechnen Sie den Flächeninhalt vol 2 (S) je nach Parametrisierung. Ist das Ergebnis unabhängig von der gewählten Parametrisierung? iese Aufgaben bieten Gelegenheit, die bisherigen Volumen- Integrale zu wiederholen und die neuen Flächenintegrale einzuüben. Kugelsegment und Kugelkappe G32 z h r h a r x a a 2 r 2 (r h) 2 2rh h 2 y

38 Volumen eines Kugelsegments G33 (2) en Körper V ist implizit durch Un/Gleichungen gegeben: x V y R 3 x 2 + y 2 + z 2 r 2 r h z r z Wir können ihn explizit in Zylinderkoordinaten parametrisieren: ρ cos ϕ r h z r V ρ sin ϕ ρ r 2 z 2 z ϕ 2π Wir können ihn ebenso als Normalbereich in z Richtung beschreiben: ρ cos ϕ ρ a V ρ sin ϕ r h z r 2 ρ 2 z ϕ 2π as Ergebnis ist unabhängig von der gewählten Parametrisierung: Jede andere Parametrisierungen geht evtl. einen anderen Rechenweg, endet aber beim selben Ergebnis. Wir wählen geschickte Parameter! Volumen eines Kugelsegments (3a) Parametrisierung Φ : V in Zylinderkoordinaten: x ρ ρ cos ϕ ρ r h z r y Φ ϕ ρ sin ϕ, ϕ ρ r 2 z 2 z z z z ϕ 2π Jacobi Matrix Φ und Funktionaldeterminante det Φ ρ wie zuvor. Volumenberechnung dank Transformationssatz, Fubini und HI: vol 3 (V ) 1 d(x, y, z) det Φ d(ρ, ϕ, z) Fub C1E r r HI B1I zr h zr h V r 2 z 2 2π π ρ ϕ [ρ 2] r 2 z 2 ρ ρ dϕ dρ dz Trafo C2B dz r HI B1I zr h r zr h r 2 z 2 ρ π(r 2 z 2 ) dz G34 2πρ dρ dz HI π [r 2 z z3 ] r πh 2( r h ) B1I 3 zr h 3 Ist das plausibel? as Ergebnis stimmt zumindest für h, r, 2r.

39 Volumen eines Kugelsegments G35 Wir können den Körper V auf viele Weisen parametrisieren! (3b) Alternativ, Parametrisierung Φ : V als z Normalbereich: x ρ ρ cos ϕ ρ ρ a y Φ ϕ ρ sin ϕ, ϕ ϕ 2π z z z z r h z r 2 ρ 2 Jacobi Matrix Φ und Funktionaldeterminante det Φ ρ wie zuvor. Volumenberechnung dank Transformationssatz, Fubini und HI: vol 3 (V ) 1 d(ρ, ϕ, z) det Φ d(ρ, ϕ, z) Fub C1E a ρ 2π ϕ V r 2 ρ 2 zr h Trafo C2B ρ dz dϕ dρ... πh 2( r h 3 as Ergebnis ist unabhängig von der gewählten Parametrisierung! ) Flächeninhalt der Kugelkappe G36 (4) ie Kugelkappe S ist implizit durch Un/Gleichungen gegeben: x S y x 2 + y 2 + z 2 r 2 r h z r z Wir können S explizit in Zylinderkoordinaten parametrisieren: ρ cos ϕ r h z r S ρ sin ϕ ρ r 2 z 2 z ϕ 2π Wir können S ebenso als Graph einer Funktion f(x, y) beschreiben: ρ cos ϕ ρ a S ρ sin ϕ z r 2 ρ 2 z ϕ 2π Im Inneren des Körpers haben wir drei Freiheitsgrade, z.b. z, ρ, ϕ, auf der Randfläche nur noch zwei, z.b. z, ϕ oder ρ, ϕ.

40 Flächeninhalt der Kugelkappe G37 (5a) Parametrisierung Φ : R 2 S R 3 in Zylinderkoordinaten: ( ) r 2 z 2 cos ϕ { (z ) z } s Φ r ϕ 2 z 2 sin ϕ r h z r,. ϕ ϕ 2π z ie beiden Tangentialvektoren und der Normalenvektor sind: z/ r 2 z 2 cos ϕ z z/ r 2 z 2 sin ϕ, ϕ r 2 z 2 sin ϕ r 2 z 2 cos ϕ 1 z r 2 z 2 cos ϕ ϕ r 2 z 2 sin ϕ Φ(z, ϕ) z er Normalenvektor dφ zeigt in V hinein, Rechte-Hand-Regel. ie Norm dφ r ist die Flächenverzerrung der Parametrisierung Φ. Flächeninhalt der Kugelkappe G38 (6a) Hieraus erhalten wir den Flächeninhalt der Kugelkappe S: vol 2 (S) ds z ϕ d(z, ϕ) r d(z, ϕ) S r zr h 2π ϕ r dϕ dz r zr h 2πr dz 2πrh as ist eine bemerkenswert einfache Formel! Ist Sie plausibel? as Ergebnis stimmt zumindest für h, r, 2r (Hemi-/Sphäre). as Ergebnis ist unabhängig von der gewählten Parametrisierung: Jede andere Parametrisierungen geht evtl. einen anderen Rechenweg, endet aber beim selben Ergebnis. Wir wählen geschickte Parameter! en Spezialfall der Hemisphäre haben wir oben schon gerechnet G127. Statt über z r integrieren wir nur über r h z r. ie alternativen Rechnungen (5b,6b) in der zweiten Parametrisierung führe ich hier nicht aus. Sie verlaufen wie oben für die Hemisphäre vorgeführt G124: Statt über ρ r integrieren wir nur über ρ a.

41 Volltorus und Torusfläche G39 Aufgabe: Sei < r < R. Wir betrachten den Volltorus V mit (R + ρ sin θ) cos ϕ ρ r V (R + ρ sin θ) sin ϕ θ 2π. ρ cos θ ϕ 2π (1) Parametrisieren Sie die Torusfläche T V und skizzieren Sie die Teilfläche T T für π 4 ϕ 3 2 π und θ 7 4 π. (2) Bestimmen Sie den Flächeninhalt vol 2 (T ) der Torusfläche T. Volltorus und Torusfläche Lösung: G31 z ϕ y R θ r x Für ρ erhalten wir die blaue Kreislinie K vom Radius R, und der Volltorus V besteht aus allen Punkten mit Abstand höchstens r zu K. Im Sonderfall R und r > erhalten wir Kugelkoordinaten. ie Randfläche T V des Volltorus erhalten wir für ρ r: (R + r sin θ) cos ϕ T V (R + r sin θ) sin ϕ θ 2π ϕ 2π r cos θ

42 Flächeninhalt der Torusfläche G311 Im Inneren des Körpers haben wir drei Freiheitsgrade, hier ρ, θ, ϕ. Auf der Randfläche haben wir nur noch zwei Freiheitsgrade, hier θ, ϕ. (2) Parametrisierung Φ : R 2 T R 3 in Toruskoordinaten: x ( ) (R + r sin θ) cos ϕ { (θ ) } y θ Φ (R + r sin θ) sin ϕ θ 2π, ϕ ϕ ϕ 2π z r cos θ Wir parametrisieren hier die gesamte Torusfläche. Wenn die Problemstellung anderes verlangt, dann passen Sie die Parameter entsprechend an, etwa π 4 ϕ 3 2 π und θ 7 4π in obiger Skizze. Tangentialvektoren, Normalenvektor, Flächenelement: r cos θ cos ϕ (R + r sin θ) sin ϕ θ r cos θ sin ϕ, ϕ (R + r sin θ) cos ϕ, r sin θ θ r(r + r sin θ) sin θ cos ϕ ϕ r(r + r sin θ) sin θ sin ϕ, θ ϕ r(r + r sin θ) r(r + r sin θ) cos θ Flächeninhalt der Torusfläche G312 as Flächenelement dφ r(r + r sin θ) misst die durch Φ bewirkte Flächenverzerrung. Ihre Berechnung ist hier etwas länglich aber leicht. Hiermit berechnen wir den Flächeninhalt: vol 2 (T ) Fub C1E HI B1I 2π dφ 2π 2π θ ϕ 2π θ HI B1I 2πr 2πR (θ,ϕ) θ r(r + r sin θ) dϕ dθ r(r + r sin θ) dθ (θ, ϕ) ϕ ies illustriert die Guldinschen Flächenregel G3A für die Mantelfläche M eines Rotationskörpers: vol 2 (M) vol 1 (Γ) 2π d(γ) (θ, ϕ) d(θ, ϕ)

43 Volumen des Volltorus G313 Aufgabe: Bestimmen Sie das Volumen vol 3 (V ) des Volltorus. Lösung: Parametrisierung Φ : R 3 V R 3 in Toruskoordinaten: x ρ (R + ρ sin θ) cos ϕ ρ ρ r y Φ θ (R + ρ sin θ) sin ϕ, θ θ 2π z ϕ ρ cos θ ϕ ϕ 2π Jacobi Matrix Φ und Funktionaldeterminante det Φ : sin θ cos ϕ ρ cos θ cos ϕ (R + ρ sin θ) sin ϕ Φ (x, y, z) (ρ, θ, ϕ) sin θ sin ϕ ρ cos θ sin ϕ (R + ρ sin θ) cos ϕ cos θ ρ sin θ det Φ... ρ (R + ρ sin θ) (plausibel, rechtshändig) iese eterminante misst die durch Φ bewirkte Volumenverzerrung. Volumen des Volltorus G314 Volumenberechnung dank Transformationssatz, Fubini und HI: vol 3 (V ) 1 d(x, y, z) det Φ d(ρ, θ, ϕ) Fub C1E V r HI B1I 2π 2π 2π ρ θ ϕ r 2π ρ r HI 4π 2 B1I ρ HI B1I πr 2 2πR θ ρ R dρ Trafo C2B ρ (R + ρ sin θ) dϕ dθ dρ ρ (R + ρ sin θ) dθ dρ ies illustriert die Guldinsche Volumenregel G3A für den Rauminhalt eines Rotationskörpers K: vol 3 (K) vol 2 (A) 2π d(a)

44 Volumen des Volltorus G315 Aufgabe: Parametrisieren Sie den Volltorus in Zylinderkoordinaten. Bestimmen Sie so erneut das Volumen vol 3 (V ) des Volltorus. Lösung: ie Parametrisierung Φ : R 3 V R 3 ist nun: x ρ ρ cos ϕ y Φ ϕ ρ sin ϕ, z z z ρ r z r ϕ ϕ 2π z R r 2 z 2 ρ R + r 2 z 2 Jacobi Matrix Φ und Funktionaldeterminante det Φ ρ wie immer. ie eterminante misst die durch Φ bewirkte Volumenverzerrung. Ihre Berechnung ist hier besonders leicht und wohlbekannt von Polarund Zylinderkoordinaten. afür ist die Integration etwas länger. Volumen des Volltorus G316 Volumenberechnung dank Transformationssatz, Fubini und HI: vol 3 (V ) 1 d(x, y, z) det Φ d(ρ, ϕ, z) Fub C1E V r z r r HI 2π B1I r HI π B1I π Trafo C2B R+ r 2 z 2 z r z r r z r HI 2πR πr 2 B1I 2π ρr r 2 z 2 ϕ R+ r 2 z 2 ρr ρ dρ dz r 2 z 2 [ρ 2] R+ r 2 z 2 ρr r 2 z 2 dz 4R r 2 z 2 dz ρ dϕ dρ dz ies illustriert die Guldinsche Volumenregel G3A.

45 Guldinsche Regeln für Rotationskörper G317 ie folgenden Rechenregeln sind besonders einfach und häufig nützlich. Sie sind benannt nach Paul Guldin ( ), waren aber bereits in der Antike bekannt, etwa Pappos von Alexandria (um 3 n. Chr.). Satz G3A (Guldinsche Regeln für Rotationskörper) er Körper R R 3 entstehe durch Rotation einer ebenen Fläche A um eine disjunkte Achse in derselben Ebene. Für sein Volumen gilt dann: vol 3 (R) vol 2 (A) 2π d(a) Hierbei ist vol 2 (A) der Flächeninhalt der rotierten Fläche A und d(a) der Abstand ihres Schwerpunktes zur rehachse. ie Mantelfläche M R hat den Flächeninhalt vol 2 (M) vol 1 (Γ) 2π d(γ). Hierbei ist vol 1 (Γ) die Länge der rotierten Randkurve Γ A und d(γ) der Abstand ihres Schwerpunktes zur rehachse. Guldinsche Regeln für Rotationskörper G318 Aufgabe: Parametrisieren Sie R und M in Zylinderkoordinaten und beweisen Sie die Guldinschen Regeln durch explizites Nachrechnen. Nachrechnen der Guldinschen Volumenformel: Wir parametrisieren den Körper R durch Φ : [, 2π] A R 3 mit x ϕ r cos ϕ r sin ϕ cos ϕ y Φ r r sin ϕ (x, y, z), (ϕ, r, z) r cos ϕ sin ϕ z z z 1 ie Funktionaldeterminante ist det Φ r und das Volumen somit 2π vol 3 (R) r dϕ d(r, z) 2π r d(r, z). (r,z) A ϕ (r,z) A er Abstand des Flächenschwerpunkts von der rehachse ist 1 d(a) r d(r, z). vol 2 (A) (r,z) A araus erhalten wir die Guldinsche Volumenformel: vol 3 (R) vol 2 (A) 2π d(a)

46 Guldinsche Regeln für Rotationskörper G319 Nachrechnen der Guldinschen Flächenformel: ie Kurve Γ R > R parametrisieren wir durch einen Weg γ : [a, b] R > R, γ(t) (r(t), z(t)) ie rotierte Mantelfläche M parametrisieren wir durch ( ) r(t) cos ϕ Φ : [, 2π] [a, b] R 3 ϕ, Φ r(t) sin ϕ. t z(t) Tangentialvektoren, Normalenvektor, Flächenelement: r(t) sin ϕ r ϕ (t) cos ϕ, t, ϕ t r(t) cos ϕ r(t)z (t) cos ϕ r(t)z (t) sin ϕ, r(t)r (t) r (t) sin ϕ z (t) ϕ t r(t) r (t) 2 + z (t) 2 Guldinsche Regeln für Rotationskörper G32 Als Flächeninhalt der Mantelfläche M erhalten wir: vol 2 (M) dφ r(t) r (t) 2 + z (t) 2 d(ϕ, t) 2π 2π b ϕ ta b ta (ϕ,t) r(t) dγ(t) dϕ r(t) dγ(t) er Abstand des Kurvenschwerpunkts von der rehachse ist d(γ) 1 vol 1 (Γ) b ta r(t) dγ(t). araus erhalten wir die Guldinsche Flächenformel: vol 2 (M) vol 1 (Γ) 2π d(γ). Besonders einfach werden die Guldinschen Regeln, wenn A und Γ symmetrisch sind, wie etwa der Kreis (G311) oder die Herzkurve (??), bezüglich einer Achse im Abstand d parallel zur Rotationsachse.

47 Volltorus und Torusfläche G321 Aufgabe: Bestimmen Sie mit den Guldinschen Regeln das Volumen vol 3 (V ) des Volltorus sowie den Flächeninhalt vol 2 (T ) der Torusfläche. Lösung: (1) Mit vol 2 (A) πr 2 und d(a) R gilt vol 3 (V ) vol 2 (A) 2π d(a) πr 2 2πR 2π 2 r 2 R (2) Mit vol 1 (Γ) 2πr und d(a) R gilt vol 2 (T ) vol 1 (Γ) 2π d(γ) 2πr 2πR 4π 2 rr Sei Γ die Kreislinie vom Radius r um (R,, ) in der x z Ebene. iese rotieren wir um die z Achse und erhalten die Torusfläche T. ie Kurve Γ hat Länge 2πr und den Schwerpunkt (R,, ). Somit hat die Torusfläche T den Flächeninhalt vol 2 (T ) 4π 2 rr. ie von Γ berandete Kreisfläche A hat den Flächeninhalt πr 2. Ihr Schwerpunkt ist der Kreismittelpunkt, also ebenfalls (R,, ). Somit hat der Volltorus V den Rauminhalt vol 3 (V ) 2π 2 r 2 R. So kann man sich Torusvolumen und Flächeninhalt leicht merken! Gerader Kegel und Kegelstumpf G322 R h M R h r M r r 1 Aufgabe: Bestimmen Sie das Volumen eines geraden Kegels bzw. eines Kegelstumpfes sowie den Flächeninhalt seiner Mantelfläche. Lösung: ank der Guldinschen Flächenformel finden wir: vol 2 (M) πr h 2 + r 2 bzw. vol 2 (M) π(r + r 1 ) h 2 + (r 1 r ) 2 ank der Guldinschen Volumenformel und Ergänzung finden wir: vol 3 (R) 1 2 hr 2π r 3 π 3 hr2 bzw. vol 3 (R) π 3 h(r2 1 + r 1 r + r 2 )

48 Vollkugel und Kugelfläche G323 A a Γ b Aufgabe: Sei (a, ) der Schwerpunkt der Halbkreisfläche A { (x, y) R 2 x 2 + y 2 r 2, y } und (b, ) der Schwerpunkt der Halbkreislinie Γ { (x, y) R 2 x 2 + y 2 r 2, y } Berechnen Sie diese (1) mit Guldin sowie (2) direkt durch Integration. Lösung: (1) Aus vol 2 (A) π 2 r2 und vol 1 (Γ) πr folgt dank Guldin: π 2 r2 2π a! 4 3 πr3 a 4 3π r wobei 4 3π πr 2π b! 4πr 2 b 2 π r wobei 2 π Vollkugel und Kugelfläche G324 (2) Zum Vergleich berechnen wir die beiden Schwerpunkte direkt durch Integration und nutzen Polarkoordinaten. (Für A können wir alternativ auch die Greensche Schwerpunktformel nutzen, siehe??.) a vol 2 (A) (x,y) A r ρ a 4 3π r b vol 1 (Γ) b 2 π r (x,y) Γ y d(x, y) ρ 2[ cos ϕ y dγ r 2[ cos ϕ ] π ϕ ] π Polar C2B r ϕ dρ 2 [ ρ 3 Polar C2B π ρ ϕ ] r π 3 ϕ 2r 2 ρ ρ sin ϕ ρ dϕ dρ 2 3 r3 r sin ϕ r dϕ

49 Triangulierung eines Werkstücks G325 Nur sehr wenige, einfache Werkstücke haben elementar-geometrische Form. Komplizierte Werkstücke kann man triangulieren, das heißt näherungsweise darstellen durch Ecken, Kanten, reiecke und Tetraeder. Linearisierung und Approximation G326 as Flächenstück S R 3 liege ganz in einer Ebene E, wie etwa jedes reieck S [P, Q, R] einer Triangulierung. Zudem sei das Vektorfeld f : R 3 R 3 affin-linear, das heißt x 1 x 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + b 1 f x 2 A x 2 + b a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + b 2. x 3 x 3 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 23 x 3 + b 3 ann gelten folgende nützliche Vereinfachungen: (1) Ebene Integration liefert den Flächeninhalt vol 2 (S). (2) er Schwerpunkt s von S liegt in derselben Ebene E. (3) ie Einheitsnormale n : S R 3 ist konstant und senkrecht auf E. (4) as Flussintegral von f durch S schließlich vereinfacht sich zu f(s) n(s) ds f(s) n vol 2 (S). s S (5) ank Linearität von f ist div(f) a 11 + a 22 + a 33 konstant. Statt Integralen benötigen wir hier also nur Grundrechenarten!

50 Linearisierung und Approximation G327 Aufgabe: Rechnen Sie diese vereinfachenden Formeln nach. Lösung: (1 3) Wir können unser Koordinatensystem so wählen, dass S ganz in der x y Ebene liegt, also S { (x, y, ) R 3 }. ie Parametrisierung Φ : R 2 S R 3, Φ(x, y) (x, y, ), ergibt 1 x, y, x y. Flächenintegrale über S R 3 sind demnach genau dasselbe wie gewöhnliche zweidimensionale Integrale über R 2. (4) In unseren geschickt gewählten Koordinaten gilt schließlich: ] f(s) n(s) ds [a 31 x + a 32 y + b 3 d(x, y) s S 1 (x,y) ] [a 31 s x + a 32 s y + b 3 vol 2 () f(s) n vol 2 (S) 1 Linearisierung und Approximation G328 Für jede ebene Fläche S und jedes affin-lineare Vektorfeld f gilt die vereinfachte Formel (4) exakt, ohne jeden Näherungsfehler. ie vorige Aufgabe rechnet diese erfreuliche Vereinfachung nach. Warum haben wir Flächenintegrale dann nicht gleich so definiert? ie vereinfachte Rechnung benötigt die genannten Voraussetzung! Nicht jede Fläche S R 3 ist eben. Nicht jedes Vektorfeld f : S R 3 ist linear. In diesem Falle ist die exakte Rechnung nicht mehr so einfach; hier nutzen wir gewinnbringend unsere Integrationsmethoden! Ist das Flächenstück S klein genug, so weicht das Vektorfeld f auf der Fläche S nur wenig von der Linearisierung um den Schwerpunkt s ab. Für f(x) Ax + b ist Formel (4) dann eine einfache Näherung. In der Taylor Entwicklung treten im Allgemeinen höhere Terme auf: ie Formel (4) ist exakt bis zu 1. Ordnung, der Fehler ist 2. Ordnung. ie Flächensummen k f(s k) n k vol 2 (S k ) konvergieren bei immer feineren Unterteilungen gegen das Flächenintegral s S f(s) n(s) ds. ie Numerik entwickelt hierzu Methoden, wie man Näherungsfehler kontrolliert, und möglichst schnell möglichst klein bekommt.

51 Illustration anhand einfacher Polyeder G329 Aufgabe: (1) Skizzieren Sie die folgenden Körper: W { (x, y, z) R 3 x 1, y 1, z 1 } O { (x, y, z) R 3 x + y + z 2 } K { (x, y, z) R 3 x, y, z 1, x + y + z 2 } P { (x, y, z) [, 1] 3 x + y + z 2 } (2) Bestimmen Sie den Rauminhalt vol 3 (P ) des Körpers P. (3) Bestimmen Sie für jede Seite S 1,..., S 7 von P den Fluss des Vektorfeldes f(x, y, z) ( 3x + 1, 12y + 4, 36z + 6 ) durch S k. (4) Berechnen und vergleichen Sie div(f) d(x, y, z) und P f ds. (5) Führen Sie alle Rechnungen ebenso für W und O und K aus. er diskrete Charme dieser Aufgabe ist, dass man sie auch ohne komplizierte Integrale direkt mit elementarer Geometrie lösen kann. Auch diesen Spezialfall sollten Sie kennen und beherrschen. P Illustration anhand einfacher Polyeder G33 z x W y O K P

52 Illustration anhand einfacher Polyeder G331 Lösung: (1) ie obige Skizze zeigt die Polyeder W, O, K und P. (2) Für das Polyeder P gilt vol 3 (P ) 5/6 und vol 2 ( P ) (9 + 3)/2. (3) Wir bestimmen für jede Seite S 1,..., S 7 von P den Fluss des Vektorfeldes f(x, y, z) ( 3x + 1, 12y + 4, 36z + 6 ) durch S k. Flächenstück / Typ Schwerpunkt s k Normale n k Inhalt Fluss S 1 Quadrat (, 1/2, 1/2) ( 1,, ) 1 1 S 2 Quadrat (1/2,, 1/2) (, 1, ) 1 4 S 3 Quadrat (1/2, 1/2, ) (,, 1) 1 6 S 4 rechtw. reieck (1, 1/3, 1/3) (+1,, ) 1/2 2 S 5 rechtw. reieck (1/3, 1, 1/3) (, +1, ) 1/2 8 S 6 rechtw. reieck (1/3, 1/3, 1) (,, +1) 1/2 21 S 7 gleichs. reieck (2/3, 2/3, 2/3) (1, 1, 1)/ 3 3/2 45/2 (4) Wir finden P div(f) d(x, y, z) 51 vol 3(P ) 42.5 P f ds. (5) Für W, O, K verlaufen alle Rechnung genauso (etwas länglich). Illustration anhand einfacher Polyeder G332 Polyeder faszinieren seit jeher: er Würfel W und das Oktaeder O gehören zu den fünf platonischen, das Kuboktaeder K zu den dreizehn archimedischen Körpern. Unser Polyeder P ist weniger regelmäßig. Wir kommen ohne Integrale aus, weil das Vektorfeld f affin-linear ist. Ist f hingegen nicht linear aber die Flächenstücke klein genug, so erhält man auf diese Weise wenigstens eine brauchbare Näherung. Auch extrem komplizierte Körper wie z.b. Fahrzeugteile kann man so trianguliert darstellen, das heißt, man konstruiert sie aus Ecken, Kanten, reiecken und Tetraedern. (as Beispiel zeigt ein Pumpengehäuse, für das der Wärmefluss berechnet werden soll.) Hieraus lassen sich nun Weglängen, Flächen- und Rauminhalte sowie Flussintegrale bestimmen, zumindest näherungsweise. ie Rechnung verläuft genau wie im obigen Beispiel, nur die atenmenge ist größer.

53 Kurvenintegrale G41 Fazit Ein Weg ist eine stetige Abbildung γ : [a, b] R n, hier meist n {2, 3}. Er parametrisiert die Kurve Γ { γ(t) a t b } R n als Bildmenge. er Weg heißt regulär, wenn γ injektiv ist und stetig differenzierbar mit γ (t) für alle t [a, b]. Seine Bildmenge Γ heißt dann glatte Kurve. Am Punkt s γ(t) heftet das infinitesimale Wegelement ds γ (t) dt. as Kurvenintegral eines Skalarfeldes g : R n Γ R ist b g dγ g(s) ds : g ( γ(t) ) γ (t) dt. Γ s Γ Speziell für g 1 erhalten wir so die Länge vol 1 (Γ) l(γ) von Γ. as Arbeitsintegral eines Vektorfeldes f : R n Γ R n ist b g dγ f(s) ds : f ( γ(t) ) γ (t) dt. Γ s Γ as Arbeitsintegral wechselt das Vorzeichen bei Orientierungsumkehr. iese Integrale sind invariant bei (positiver) Umparametrisierung, somit wohldefiniert für jede (orientierte) stückweise glatte Kurve Γ. Glatte Flächenstücke R 2 heißt Kompaktum mit stückweise glattem Rand, wenn gilt: ist kompakt und der Rand ist eine stückweise glatte Kurve. In jedem regulären Randpunkt s liegt das Innere von auf der einen Seite von und das Äußere auf der anderen Seite. Beispiele: Rechtecke, Polygone, Kreisscheiben, Kreisringe,... er Rand ist positiv orientiert, wenn stets links von liegt. ie Einheitstangente t : R 2 zeigt in Richtung der Orientierung, die Einheitsnormale n t : R 2 zeigt überall aus heraus. Sei R 2 zusammenhängend kompakt mit stückweise glattem Rand. Ein parametrisiertes Flächenstück ist eine C 1 Abbildung Φ : R 3. Senkrecht auf den Tangentenvektoren x Φ(x, y) und y Φ(x, y) steht der Normalenvektor x Φ(x, y) y Φ(x, y) für (x, y). ie Parametrisierung Φ heißt regulär, wenn sie injektiv ist und zudem x Φ(x, y) y Φ(x, y) in jedem Punkt (x, y) erfüllt. as Bild S Φ() R 3 heißt dann glattes Flächenstück. er Rand S : Φ( ) ist dann eine stückweise glatte Kurve. ta ta G42 Fazit

54 Flächenintegrale G43 Fazit Flächen S R 3 parametrisieren wir (stückweise) durch Φ : R 2 S. An s Φ(x, y) heftet das inf. Flächenelement ds ( x Φ y Φ) d(x, y). as Flächenintegral eines Skalarfeldes g : R 3 S R ist g(s) ds : g ( Φ(x, y) ) x Φ(x, y) y Φ(x, y) d(x, y) s S (x,y) Speziell für g 1 erhalten wir so den Flächeninhalt vol 2 (S) von S. as Flussintegral eines Vektorfeldes f : R 3 S R 3 ist f(s) ds : f ( Φ(x, y) ) ( x Φ(x, y) y Φ(x, y) ) d(x, y) s S (x,y) er Normalenvektor x Φ y Φ im Punkt Φ(x, y) steht senkrecht auf S. Für das Flussintegral zählt daher nur der Anteil von f senkrecht zu S. as Flussintegral wechselt das Vorzeichen bei Orientierungsumkehr. iese Integrale sind invariant bei (positiver) Umparametrisierung, somit wohldefiniert für jede (orientierte) stückweise glatte Fläche S. Kompakta mit stückweise glattem Rand Hier ist ds dφ x Φ y Φ d(x, y) das skalare Flächenelement und ds dφ ( x Φ y Φ) d(x, y) das vektorielle Flächenelement. ie Zerlegung ds n(s) ds definiert die Einheitsnormale n : S R 3. iese definiert für jedes Flächenstück eine der beiden Orientierungen. Für stückweise glatte Flächen verlangen wir, dass die Orientierungen einzelner Flächenstücke am gemeinsamen Rand zusammenpassen. Zur numerischen Approximation können wir die Kurve / Fläche triangulieren und das Vektorfeld linearisieren / Taylor entwickeln. Für Polygone E15 oder Polyeder G325 und lineare Vektorfelder ist dies exakt. V R 3 heißt Kompaktum mit stückweise glattem Rand, wenn gilt: V ist kompakt und der Rand V ist eine stückweise glatte Fläche. In jedem regulären Punkt s V liegt das Innere von V auf der einen Seite von V und das Äußere von V auf der anderen Seite. Beispiele: Quader, Polyeder, Vollkugeln, Kugelschalen, Volltori,... er Rand V ist positiv orientiert, wenn n V stets nach außen zeigt. ie Einheitsnormale ist der Einheitsvektor in Richtung dφ n V dφ. G44 Fazit

55 er HI als eindimensionaler Integralsatz G45 Fazit Unsere Integralsätze beruhen alle auf dem Hauptsatz der ifferentialund Integralrechnung (HI, Satz B1I) und verallgemeinern diesen: 1dim: Jedes kompakte Intervall [a, b] R hat als Rand [a, b] {a, b}. er Startpunkt zählt negativ, n(a) 1, der Zielpunkt positiv, n(b) +1. Für jede stetig differenzierbare Funktion f : [a, b] R gilt dann f (s) ds f(s) n(s) f(b) f(a). s [a,b] s {a,b} Allgemein: Sei Ω R n offen und f : Ω R stetig differenzierbar. Zudem sei Γ Ω eine stückweise glatte und orientierte Kurve. Für das Arbeitsintegral von f grad f entlang Γ gilt dann: f (s) ds f(s) n(s) s Γ s Γ ie Orientierung teilt die Randpunkte s Γ in Start- und Zielpunkte; Startpunkte zählen negativ, n(s) 1, Zielpunkte positiv, n(s) +1. Ist die Kurve Γ geschlossen, also Γ, so folgt s Γ f (s) ds. er Integralsatz von Gauß G46 Fazit er Satz von Gauß in der Ebene R 2 und im Raum R 3 besagt: as Volumenintegral der ivergenz div(f) über das Kompaktum V ist gleich dem Flussintegral von f nach außen über die Randfläche V. 2dim: Sei R 2 kompakt mit stückweise glatter Randkurve Γ. Sei n : Γ R 2 : s n(s) die nach außen weisende Einheitsnormale. Für jedes stetig differenzierbare Vektorfeld f : R 2 R 2 gilt dann div f(x, y) d(x, y) f(s) n(s) ds f(s) ds. (x,y) s Γ 3dim: Sei V R 3 kompakt mit stückweise glatter Randfläche S V. Sei n : S R 3 : s n(s) die nach außen weisende Einheitsnormale. Für jedes stetig differenzierbare Vektorfeld f : R 3 V R 3 gilt dann div f(x, y, z) d(x, y, z) f(s) n(s) ds f(s) ds. (x,y,z) V Gleichwertige Schreibweise mit n(s) ds ds bzw. ds n(s) ds. s S s Γ s S

56 er Integralsatz von Green und Stokes G47 Fazit er Satz von Green in der Ebene bzw. von Stokes im Raum: as Flächenintegral der Rotation rot(f) über die Fläche S ist gleich dem Arbeitsintegral von f entlang der Randkurve S. 2dim: Sei S R 2 kompakt mit stückweise glatter Randkurve Γ S. Für jedes stetig differenzierbare Vektorfeld f : R 2 S R 2 gilt dann rot f(s) ds f(s) ds. s S 3dim: Allgemeiner gilt dies für jede stückweise glatte, orientierte Fläche S R 3 und jedes stetig differenzierbare Vektorfeld f : R 3 S R 3. ie Zerlegung ds n(s) ds ergibt die gleichwertige Formulierung rot f(s) n(s) ds f(s) ds. s S ie stückweise glatte Randkurve Γ S sei hierbei positiv orientiert. Liegt die Fläche S in einer Ebene, so reduziert sich Stokes zu Green. s Γ s Γ Zusammenfassung und Rückblick G48 Fazit iese Integralsätze sind gut und schön! Geht es auch einfacher? Nein, denn Sie sollen nicht nur fühlen, sondern auch rechnen können! Zur präzisen Formulierung und konkreten Berechnung benötigen Sie daher alle Werkzeuge für Kurven-, Flächen- und Volumenintegrale. Hierzu brauchen Sie solide Grundlagen und effiziente Methoden: efinitionen & Sätze, Beispiele & Rechentricks... sowie Übung! Nochmal die Lernziele laut Modulhandbuch: ie Studierenden verfügen über grundlegende Kenntnisse zur Integralrechnung für Funktionen mehrerer Veränderlicher. Sie sind in der Lage, die behandelten Methoden selbstständig, sicher, kritisch, korrekt und kreativ anzuwenden. Sie besitzen die mathematische Grundlage für das Verständnis quantitativer Modelle aus den Ingenieurwissenschaften. Sie können sich mit Spezialisten aus dem ingenieurs- und naturwissenschaftlichen Umfeld über die benutzten mathematischen Methoden verständigen.

57 ie Gramsche eterminante G49 Übung Aufgabe: Für je zwei Vektoren u, v R 3 gilt ( ) u v 2 u u v u det u v v v Zeigen Sie dies (1) durch geduldiges Ausrechnen sowie (2) geometrisch. Lösung: (1) Wir rechnen in kartesischen Koordinaten: u 1 v 1 u 2 v 3 u 3 v 2 u v u 2 v 2 u 3 v 1 u 1 v 3 u 3 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 u v 2 + u 2 2v3 2 + u 2 3v2 2 2u 2 v 2 u 3 v 3 ( ) u u v u det u v v v + u 2 3v u 2 1v 2 3 2u 1 v 1 u 3 v 3 + u 2 1v2 2 + u 2 2v1 2 2u 1 v 1 u 2 v 2 ( u 2 det 1 + u ) u2 3 u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 v1 2 + v2 2 + v2 3 Ausmultiplizieren und vereinfachen: Beide stimmen überein! ie Gramsche eterminante (2) Ausrechnen ist gut, zudem wollen wir geometrisches Verständnis: w as Kreuzprodukt w u v steht senkrecht auf den Vektoren u, v. v Seine Norm w u v sin (u, v) α ist der Flächeninhalt des von u, v u aufgespannten Parallelogramms. Stehen u und v senkrecht, also u v, so folgt w u v, somit ( ) u v 2 u u det. v v Andernfalls orthogonalisieren wir v bezüglich u durch v v λu mit λ (v u)/(u u). adurch wird die Matrix diagonal, denn u v ; Kreuzprodukt und eterminante bleiben unverändert erhalten. as Kreuzprodukt nützt uns nur für Flächen im R 3. ie Gramsche eterminante hingegen nützt in jeder imension. Anwendung / Ausblick: So integrieren wir im R n auf k dimensionalen Untermannigfaltigkeiten. G41 Übung

58 ie erste Fundamentalform G411 Übung Sei Φ : R 2 S R 3 ein parametrisiertes Flächenstück. ie erste Fundamentalform von Φ ist die folgende Matrix: ( ) ( ) g Φ : R 2 2, g Φ g11 g 12 x Φ : x Φ y Φ x Φ g 21 g 22 x Φ y Φ y Φ y Φ Sie gibt an, wie die Tangentialebene an (x, y) in R 2 abgebildet wird auf die Tangentialebene am Punkt s Φ(x, y) in der Bildfläche S R 3. Wir nennen g Φ auch den metrischen Tensor der Parametrisierung Φ. Er beschreibt vollständig die innere Geometrie der Fläche S R 3. Aufgabe: Wie liest man der ersten Fundamentalform g Φ ab, (1) ob Φ flächentreu ist? (2) winkeltreu? (3) längentreu? Welche Beziehung gilt? Lösung: (1) Flächentreue folgt aus der (Gramschen) eterminante: Φ ist flächentreu det(g Φ ) 1 Genauer und allgemeiner: er Faktor det(g Φ ) x Φ y Φ ist die Flächenverzerrung, wie wir in der vorigen Aufgabe ausgerechnet haben. ie erste Fundamentalform (2) Für Winkeltreue müssen x Φ und y Φ senkrecht stehen und gleiche Länge λ haben (sonst stehen die iagonalen nicht mehr senkrecht): ( ) Φ ist winkeltreu (konform) g Φ λ 2 λ 2 (3) ie Länge eines Weges γ : [a, b] R 2 mit γ(t) (x(t), y(t)) ist l(γ) b a γ(t) dt b a ẋ(t) 2 + ẏ(t) 2 dt. ie Länge des Weges Φ γ : [a, b] S R 3 ist entsprechend l(φ γ) b a G412 Übung Φ (γ(t)) γ(t) b dt g11 ẋ(t) 2 + 2g 12 ẋ(t)ẏ(t) + g 22 ẏ(t) 2 dt. a Gleichheit für alle Wege γ gilt nur, falls g 11 g 22 1 und g 12 g 21 : ( ) Φ ist längentreu (isometrisch) g Φ 1 1 Φ ist winkel- und flächentreu

59 Kartographie und Projektionen der Sphäre G413 Übung Lambert Projektion (1772) Mercator Projektion (1569) Fun fact: Grönland (2.2 Mio km 2 ) passt 14mal in Afrika (3.3 Mio km 2 ). ie Abwicklung des Zylinders ist längentreu. Aufgabe: Wir wickeln das Rechteck [, 2π] [ 1, 1] R 2 auf den Zylinder Z { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1, 1 z 1 } R 3. (1) Formulieren Sie explizit diese Parametrisierung Φ : Z. (2) Ist Φ flächentreu? oder winkeltreu? oder gar längentreu? Lösung: (1) Wir bestimmen Parametrisierung und Tangentialvektoren: Φ : [, 2π] [ 1, 1] Z, Φ(ϕ, z) (cos ϕ, sin ϕ, z) ϕ Φ ( sin ϕ, cos ϕ, ), z Φ (,, 1) (2) ie erste Fundamentalform beschreibt die geometrische Verzerrung: ( ) ( ) ( ) g11 g 12 ϕ Φ ϕ Φ z Φ ϕ Φ 1 g 21 g 22 ϕ Φ z Φ z Φ z Φ 1 aher ist Φ längentreu, somit insbesondere winkel- und flächentreu. Zum Vergleich nochmal die Flächenverzerrung übers Kreuzprodukt: ϕ Φ z Φ (cos ϕ, sin ϕ, ) ϕ Φ z Φ 1 Intrinsisch gesehen ist der Zylinder Z flach, seine Geometrie ist lokal dieselbe wie die des ebenen Rechtecks, nicht aber seine Lage im R 3. G414 Übung

60 Lamberts Zylinderprojektion ist flächentreu. G415 Übung Aufgabe: (Lambert Projektion) Wir projizieren den Zylinder Z axial auf die Einheitssphäre S { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 1 } R 3. (1) Formulieren Sie diese Abbildung Φ : [, 2π] [ 1, 1] S. (2) Ist Φ flächentreu? oder winkeltreu? oder gar längentreu? Lösung: (1) Wir bestimmen Parametrisierung und Tangentialvektoren: Φ(ϕ, z) ( 1 z 2 cos ϕ, 1 z 2 sin ϕ, z ) ϕ Φ(ϕ, z) ( 1 z 2 sin ϕ, 1 z 2 cos ϕ, ) z Φ(ϕ, z) ( z/ 1 z 2 cos ϕ, z/ 1 z 2 sin ϕ, 1 ) (2) ie erste Fundamentalform beschreibt die geometrische Verzerrung: ( ) ( ) ( ) g11 g 12 ϕ Φ ϕ Φ z Φ ϕ Φ 1 z 2 g 21 g 22 ϕ Φ z Φ z Φ z Φ 1/(1 z 2 ) aher ist Φ flächentreu aber nicht winkeltreu (auch nicht längentreu). Intrinsisch gesehen ist der Zylinder Z flach, die Sphäre S gekrümmt. Keine Abbildung Z S ist sowohl flächen- als auch winkeltreu. Mercators Zylinderprojektion ist winkeltreu. Aufgabe: (Mercator Projektion) Wir projizieren den unendlichen Zylinder Z { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1 } zentral auf die Sphäre S. (1) Formulieren Sie diese Abbildung Φ : [, 2π] R S. (2) Ist Φ flächentreu? oder winkeltreu? oder gar längentreu? Lösung: (1) Wir bestimmen Parametrisierung und Tangentialvektoren: Φ(ϕ, z) (cos ϕ, sin ϕ, z)/ 1 + z 2 ϕ Φ(ϕ, z) ( sin ϕ, cos ϕ, )/ 1 + z 2 z Φ(ϕ, z) ( z cos ϕ, z sin ϕ, 1)/(1 + z 2 ) 3 /2 (2) ie erste Fundamentalform beschreibt die geometrische Verzerrung: ( ) ( ) ( g11 g 12 ϕ Φ ϕ Φ z Φ ϕ Φ 1/(1 + z 2 ) ) g 21 g 22 ϕ Φ z Φ z Φ z Φ 1/(1 + z 2 ) aher ist Φ winkeltreu aber nicht flächentreu (auch nicht längentreu). Nahe des Äquators ist Φ nahezu isometrisch, also auch flächentreu. Nahe den Polen wird die Flächenverzerrung dramatisch (siehe Skizze). G416 Übung

61 urchdringung zweier Zylinder G417 Übung Aufgabe: (1) Skizzieren Sie die beiden Zylinder Z 1 { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1, 2 z 2 }, Z 2 { (x, y, z) R 3 x 2 + z 2 1, 2 y 2 }. (2) Berechnen Sie das Volumen der Schnittmenge K Z 1 Z 2. Beschreiben Sie K hierzu möglichst explizit als Normalbereich. (3) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Randfläche K. Parametrisieren Sie K hierzu stückweise als Graph. (4) In welchen Punkten ist die betrachtete Randfläche K nicht glatt? Geometrisch: Wo erlaubt K keine eindeutige Tangentialebene? (5) Welche Form haben die beiden Schnittkurven Z 1 Z 2? Finden Sie implizite Gleichungen bzw. explizite Parametrisierungen. ieser urchdringungskörper ist nicht leicht zu visualisieren. Mit unseren Methoden gelingt die Rechnung dennoch leicht! as ist ein halbwegs realistisches Beispiel eines Werkstücks: nicht ganz trivial aber noch gut mit Stift und Papier zu berechnen. urchdringung zweier Zylinder G418 Übung

62 urchdringung zweier Zylinder G419 Übung Lösung: (1) ie Skizze gibt einen Überblick, was zu beachten ist. (2) Für K müssen wir nur x 2 + y 2 1 und x 2 + z 2 1 erfüllen, also: 1 x 1, 1 x 2 y 1 x 2, 1 x 2 z 1 x 2 Hieraus erhalten wir das Volumen ganz leicht als iteriertes Integral: vol 3 (K) 1 d(x, y, z) K 1 1 x 2 y 1 x 2 1 x 2 z 1 dz dy dx 1 x 2 1 x 1 1 x 2 x 1 y 1 x x 2 dy dx 1 x 1 4(1 x 2 ) dx [4x 4 3 x3] x (rational, ohne π) 3 Plausibilitätscheck: as ist größer als das Kugelvolumen 4 3 πr (3) Wir parametrisieren das obere der vier Flächenstücke als Graph: Φ : { ( ) x y R 2 x 2 + y 2 1 } S R 3, Φ ( ) x y x y 1 x 2 urchdringung zweier Zylinder G42 Übung Zur Flächenparametrisierung Φ berechnen wir den Normalenvektor: 1 x/ 1 x 2 x Φ y Φ x/ 1 1 x 2 1 Seine Länge (euklidische Norm) ist das Flächenelement: x Φ y Φ 2 x2 1 x x2 1 x x2 1 x x 2 en Flächeninhalt von S erhalten wir hieraus durch Integration: vol 2 (S) 1 x Φ y Φ d(x, y) 1 x 1 x 1 1 x 2 1 x 2 y 1 x 2 1 dy dx 2 dx 4 Am Ende geht s überraschend leicht! ank Symmetrie erhalten wir schließlich vol 2 ( K) 4 vol 2 (S) 16. Plausibilitätscheck: as ist größer als die Kugelfläche 4πr

63 as Viviani Fenster G421 Übung 2 Z 2 Z 1 1 H 3 1 y 1 ie vorigen Aufgaben üben die Schritte von Un/Gleichungen zum Bild und zur Parametrisierung. In dieser Aufgabe beginnen wir mit dem Bild. Sie ist eine Variante einer architektonisch-geometrischen Fragestellung, die Vincenzo Viviani, ein Schüler Galileos, 1692 vorschlug und löste. as Viviani Fenster Aufgabe: (1) Beschreiben Sie gemäß obiger Skizze den Zylinder Z und die Hemisphäre H in R 3 durch geeignete Un/Gleichungen. (2) Parametrisieren Sie die Schnittkurve Γ Z H und berechnen Sie ihre Länge vol 1 (Γ) soweit möglich (bis zu einem elliptischen Integral). (3) ie Kurve Γ zerlegt die Fläche Z: Parametrisieren Sie jedes der drei Flächenstücke Z 1, Z 2, Z 3 und berechnen Sie den Flächeninhalt vol 2 (Z i ). Erstes Wunder: er Flächeninhalt vol 2 (Z 3 ) ist rational, sogar ganzzahlig. (4) Berechnen Sie ebenso H 1 (in x z Polarkoordinaten) und damit H 3. Zweites Wunder: Es gilt vol 2 (Z 1 ) vol 2 (H 1 ) und vol 2 (Z 3 ) 2 vol 2 (H 3 ). (5) as zweite Wunder folgt geometrisch aus der Lambert Projektion. Geometrisches Verständnis überprüft bzw. ersetzt die Rechnung. Lösung: (1) er vorgelegten Skizze entnehmen wir: Z { (x, y, z) R 3 2 y 2, x 2 + (z 1) 2 1 } H { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 4, z } (2) Wir wählen z 1 + cos(t) und x sin(t) auf Z. Auf H erhalten wir: y 2 4 x 2 z cos(t) 4 sin(t/2) 2 H x G422 Übung

64 as Viviani Fenster er Weg γ : [, 4π] R 3 mit γ(t) ( sin(t), 2 sin(t/2), 1 + cos(t) ) durchläuft Γ Z H einmal komplett, tatsächlich beide Schleifen. γ (t) ( cos(t), cos(t/2), sin(t) ) γ (t) 2 cos(t) 2 + cos(t/2) 2 + sin(t) cos(t/2) 2 vol 1 (Γ) 4π t 1 + cos(t/2) 2 dt ieses elliptische Integral können wir leider nur numerisch auswerten. Plausibilitätscheck: Schraubenlinie (kürzester Weg) 4 π (3) Wir berechnen den Flächeninhalt des rechten Flächenstücks: Z 1 { (x, y, z) R 3 x 2 + (z 1) 2 1, 4 x 2 z 2 y 2 } vol 2 (Z 1 ) 2π t 2 2 sin(t/2) dt [ ] 2π 2t + 4 cos(t/2) t 4π 4 4 4π (plausibel nach Skizze) Ebenso erhalten wir für das linke und mittlere Flächenstück Z 2 und Z 3 die Flächeninhalte vol 2 (Z 2 ) 4(π 2) und vol 2 (Z 3 ) 16. Rational! as Viviani Fenster (4) Wir berechnen den Flächeninhalt des rechten Flächenstücks: H 1 { (x, y, z) R 3 x 2 + (z 1) 2 1, x 2 + y 2 + z 2 4 } ( ) ρ cos ϕ { ( ) } ϕ Φ 4 ρ 2 ϕ auf R 2 ϕ π ρ ρ ρ 2 sin ϕ ρ sin ϕ ρ sin ϕ cos ϕ ϕ Φ ρ Φ ρ/ ρ 2 / 4 ρ 2 cos ϕ 4 ρ 2 ρ +ρ cos ϕ sin ϕ ρ 2 / 4 ρ 2 sin ϕ vol 2 (H 1 ) ϕ Φ ρ Φ π 2 sin ϕ d(ϕ, ρ) dρ dϕ 8 π ϕ π/2 ϕ [ 2 ] 2 sin ϕ 4 ρ 2 dϕ ρ ϕ ρ π [ 1 cos ϕ dϕ 8 ϕ sin ϕ ϕ ] π/2 2ρ 4 ρ cos ϕ dϕ ϕ 4π Aus vol 2 (H) 8π 2 vol 2 (H 1 ) + 2 vol 2 (H 3 ) folgt vol 2 (H 3 ) 8. Rational! G423 Übung G424 Übung

65 Iglu G425 Aufgabe: Ein bewohnter Iglu werde beschrieben durch die Menge I { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 4, z }. er Wärmefluss im Iglu sei gegeben durch das Vektorfeld f(x, y, z) (x, y, 4z + x 2 + y 2 4). (1) Wieviel Wärme entsteht im Iglu I insgesamt? (2) Wieviel Wärme fließt durch den Boden B nach unten? (3) Wieviel Wärme fließt durch die Kuppel K nach außen? Iglu G426 Lösung: (1) as Vektorfeld f hat konstante Quelldichte div(f) 6. (ies entspricht homogener Wärmeerzeugung im Inneren des Iglu.) ie Gesamtmenge der im Iglu entstehenden Wärme ist demnach div(f) di 6 vol 3 (I) π 23 32π. I (2) er Boden des Iglu ist die Kreisscheibe B { (x, y, ) R 3 x 2 + y 2 4 }. ie äußere Einheitsnormale ist hier konstant n B (,, 1). Also f n B d(x, y) 4 x 2 y 2 d(x, y) B B 2π 2π ϕ 2 ρ [2ρ 2 ρ4 4 (4 ρ 2 ) ρ dρ dϕ ] 2 ρ 2π(8 4) 8π.

66 Iglu G427 (3a) Wir sparen uns viel Arbeit durch den Satz von Gauß: div(f) di f ds f db + f dk I S I Hieraus lesen wir ab: K f dk 32π 8π 24π. (ieser Iglu verliert demnach dreimal mehr Wärme über die Kuppel als über den Boden.) (3b) Alternativ können wir auch das dritte Integral direkt ausrechnen: K { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 4, z }. ie Kuppel parametrisieren wir z.b. in Kugelkoordinaten Φ : K: ( ) r sin θ cos ϕ { (θ ) } θ s Φ r sin θ sin ϕ θ π/2,. ϕ ϕ ϕ 2π r cos θ ie beiden Tangentialvektoren und der Normalenvektor sind: θ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ r 2 sin 2 θ cos ϕ ϕ Iglu r cos θ sin ϕ r sin θ B r sin θ cos ϕ K r 2 sin 2 θ sin ϕ r 2 sin θ cos θ er Normalenvektor dφ zeigt aus V heraus, Rechte-Hand-Regel. as Flussintegral des Vektorfeldes f über die Kuppel K ist demnach: f(s) dk f ( Φ(θ, ϕ) ) ( s K θ ) d(θ, ϕ) ϕ r sin θ cos ϕ r 2 sin 2 θ cos ϕ r sin θ sin ϕ r 2 sin 2 θ sin ϕ d(θ, ϕ) 4r cos θ + r 2 sin 2 θ 4 r 2 sin θ cos θ 2π ϕ π/2 θ G428 r 3 sin 3 θ + 4r 3 sin θ cos 2 θ + r 4 sin 3 θ cos θ 4r 2 sin θ cos θ dθ dϕ Spätestens hier verfluchen wir unsere Wahl dieses Rechenweges... Umso mehr preisen wir den wunderbar nützlichen Satz von Gauß! Zum Glück sind dies Standardintegrale der Form π/2 θ sinp θ cos q θ dθ. Geduldiges Ausrechnen / Nachschlagen ergibt (für den Radius r 2): f(s) dk π 2 r2 (r 2 + 8r 8) 24π s K iese Beispiel illustriert erneut den Nutzen unserer Integralsätze.

67 Gauß vs Stokes integral battle G429 Aufgabe: () Rezitieren Sie möglichst präzise unsere Integralsätze. Wie bestimmt man möglichst allgemein div rot(g) und rot grad(h)? (1) Skizzieren Sie V { (x, y, z) [ 4, 4] 3 x 2 + y 2 + z 2 25 }. (2) Bestimmen Sie das Volumen vol 3 (V ) dieses Körpers V sowie den Flächeninhalt vol 2 (S) seiner Randfläche S V. (3) In welchen Punkten s S ist die Randfläche S V nicht glatt? Geben Sie überall sonst den äußeren Einheitsnormalenvektor an. (4) Berechnen Sie zu f(x, y, z) (x, 2y, e xy ) das Flussintegral S f ds. Lässt sich der Satz von Stokes anwenden? der Satz von Gauß? (5) Wir betrachten das Vektorfeld g(x, y, z) (x, y, z)/(x 2 + y 4 + z 6 ). Bestimmen Sie zum Vektorfeld f rot(g) das Flussintegral S f ds. Lässt sich der Satz von Stokes anwenden? der Satz von Gauß? (6) Wir betrachten g(x, y, z) ( cos(xyz), sin(xyz), exp(x 2 + y 4 + z 6 ) ). Bestimmen Sie zum Vektorfeld f rot(g) das Flussintegral S f ds. Lässt sich der Satz von Stokes anwenden? der Satz von Gauß? Gauß vs Stokes integral battle Lösung: (1) Skizze: G43 Luigi Colani, Kugellampe UFO