Aufgaben zur Lehrveranstaltung. Simulation. 1 Vergleich numerischer Integrationsverfahren

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1 Aufgaben zur Lehrveranstaltung Simulation 1 Vergleich numerischer Integrationsverfahren Gegeben sei die folgende Systembeschreibung: ẋ(t) = 2x(t) + 2u(t), x(0) = 0, u(t) = sin(t), t [0, 10] 1.1 Programmieren Sie (in Pseudo- oder MATLAB R 1 -Code) das Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung mit fester Schrittweite h! 1.2 Programmieren Sie (in Pseudo- oder MATLAB R -Code) das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung mit fester Schrittweite h! 1.3 Realisieren Sie die Berechnung der Lösung der Differentialgleichung mittels Runge-Kutta- Verfahren 4./5. Ordnung mit Schrittweitensteuerung! 1.4 Ermitteln Sie die analytische Lösung (auf analytischem oder symbolischem Weg)! 1.5 Vergleichen Sie nach einer rechentechnischen Umsetzung alle Ergebnisse miteinander! 1 MATLAB R ist ein eingetragenes Warenzeichen der The MathWorks Inc.

2 2 Numerische Lösung von Differentialgleichungen mittels MATLAB R Nachfolgend sind die Systembeschreibungen verschiedener Systeme gegeben. Lösen Sie die Differentialgleichungen numerisch mit eineeeigneten Verfahren unter den angegebenen Bedingungen! 2.1 Linearer, exponentieller und logistischer Wachstumsprozess: a) Lineares Wachstum: Wachstumsrate (-koeffizient, -parameter) r = 3.2 eines Bestandes x(t) (z.b. einer Tierpopulation) ist konstant; der Bestand ist eine normierte Größe; Anfangsbestand (-zustand) x(0) = 0.1 b) Exponentielles Wachstum: Wachstumsrate r = 3.2 ist proportional zum vorhandenen Bestand (z.b. einer Tierpopulation); Anfangsbestand (-zustand) x(0) = 0.1 c) Logistisches Wachstum: Wachstumsrate r ist abhängig von noch bestehenden Wachstumsmöglichkeiten; Bestandsgröße (Zustandsgröße) x(t) sehr viel kleiner als die Tragfähigkeit der Umwelt k: kaum Wachstumsbeschränkung; Bestand kommt in die Nähe des möglichen Maximalbestandes: bestehender Freiraum (k x(t)) verringert sich gegen Null; Bestandszuwachs geht auf Null zurück ( ẋ(t) = r x(t) 1 x(t) ), x(0) = 0.1, r = 3.2, k = 1 k Stellen Sie für die ersten beiden Arten des Wachstums die Systembeschreibungen auf! Führen Sie Simulationen mit unterschiedlichen Zeithorizonten und Wachstumsraten r für alle drei Varianten durch! Vergleichen Sie die Ergebnisse miteinander! 2.2 Stabpendel: drehbar gelagertes Stabpendel wird aus der Ruhelage mit einem anfänglichen Drehwinkel ausgelenkt; ϕ(t) - Drehwinkel, ω(t) = ϕ(t) - Winkelgeschwindigkeit, ω(t) = ϕ(t) - Winkelbeschleunigung, d = Dämpfung, m = 1 - Masse, l = 1 - Länge, g = Erdbeschleunigung Beschreibungsgleichung: ω(t) = d m ω(t) g l sin ϕ(t), ϕ(0) = 30 2

3 2.3 Chemische Stufenreaktion: Eine chemische Stufenreaktion läuft in einem vollständig durchmischten Rührkessel nach folgendem Prinzip ab: A B C. Das bedeutet, dass Stoff A zunächst in Stoff B und dieser wiederum in Stoff C umgewandelt wird. Die Beschreibung des Verhaltens der Stoffkonzentrationen x A (t), x B (t) und x C (t) erfolgt mittels eines Differentialgleichungssystems mit der entsprechenden Zustandszuordnung: x A (t) = x 1 (t) x B (t) = x 2 (t) x C (t) = x 3 (t) ẋ 1 (t) = x 1 (t) ẋ 2 (t) = x 1 (t) a x 2 (t) ẋ 3 (t) = b x 2 (t), a = 2, b = 2 Simulieren Sie das zeitliche Verhalten dieser Stufenreaktion ausgehend von den Anfangsbedingungen x 1 (0) = 1, x 2 (0) = x 3 (0) = 0! Stellen Sie das Ergebnis grafisch dar! Welchen stationären Endwert nehmen die drei Konzentrationen an? 2.4 Feder/Dämpfer-Feder-Masse-Schwinger: Die Abbildung 2 zeigt ein schwingungsfähiges System bestehen aus einer Masse sowie einer Reihenschaltung einer Feder mit einem Feder-Dämpfer-Element (Quelle und Bild: [1]): Die Bewegungsgleichungen lauten: m ẍ + k(x s) =, m = 10, k = , g = 9.81 (2a) f D (ṡ) + k 0 s k(x s) = 0, k 0 = 10 3 (2b) Die Kraft (Funktion f D (ṡ)) kann beliebig nichtlinear sein, z. B. f D (ṡ) = d 0 ṡ + dṡ s, d 0 = 0.5, d = 6 (3) In der Regel gelingt keine Auflösung in ein explizites Differentialgleichungssystem. Das implizite lautet mit der Zustandszuordnung y = [y 1 y 2 y 3 ] T = [x s ẋ] T und mit (3): ẏ 1 y 3 = 0 (4a) m ẏ 3 + k(y 1 y 2 ) + = 0 (4b) d 0 ẏ 2 + dẏ 2 ẏ 2 k (y 1 y 2 ) + k 0 y 2 = 0 (4c) 3

4 Mehrere Lösungsmöglichkeiten sind unter Umständen unter MATLAB R in Betracht zu ziehen, z. B. bei unterschiedlicher Berücksichtigung der Dämpfungskraft f D (ṡ): (a) Nichtlineare Beziehung für die Dämpfungskraft nach (3) a 1 ) Implizites Differentialgleichungssystem nach (4a) - (4c) a 2 ) Differential-algebraisches Gleichungssystem (DAE-System) mit Masse-Matrix M und der Zustandszuordnung y = [y 1 y 2 y 3 y 4 ] T = [x s ẋ ṡ] T Mẏ(t) = f(y, t) m 0 ẏ(t) = k k 0 0 y(t) k (k + k 0 ) f D (y 4 ) (5) (b) Lineare Beziehung: f D (ṡ) = d 0 ṡ, (d = 0); Umformung in explitzites Differentialgleichungssystem Lösen Sie das implizite Differentialgleichungssystem und das DAE-System mit geeigneten Verfahren und stellen Sie jeweils die Jacobi-Matrix J = y f = f bereit! Für eine freie Bewegung y des Systems ist die Untersuchung durchzuführen. Anfangsannahme für die Zustände im Falle des impliziten Differentialgleichungssystems: y 0 = [ k(k 0 + 1) ] T 10 (6) k 0 Anfangszustände für den Fall des DAE-System: y 0 = d 0 2d + ( d0 2d k(k 0 +1) k 0 10 ) d k(x 0 s 0 ) k 0 s 0 sign (k(x 0 s 0 ) k 0 s 0 ]) Optional: Lösung des expliziten Differentialgleichungssystems (7) 3 Modellierung und Simulation eines Tank-Systems mittels Simulink R Gegeben sei folgendes Tanksystem mit den Vorgaben: 4 m3 x(t) - Füllhöhe (0 x(t) 0.6 m), u(t) - Zufluss (0 u(t) 10 ), z(t) - Abfluss, s A T = m 2 - Tankquerschnitt, A ab = m 2 - Abflussquerschnitt. 3.1 Stellen Sie die Systembeschreibung auf! (Hinweise: Volumenbilanz; Torricelli-Gesetz: Abflussgeschwindigkeit v ab (t) = 2 g x(t), g - Erdbeschleunigung) 3.2 Entwerfen Sie anhand der Systembeschreibung ein Signalflussbild (Simulationsdiagramm)! 4

5 3.3 Realisieren Sie das Simulationsdiagramm in Form eines Simulink R 2 -Modells mit Hilfe der grafischen Modellierungsumgebung und vorgefertigten Elementen aus den Simulink R - Bibliotheken! Benutzen Sie als Eingangssignal einen konstanten Zufluss in Höhe von 80 % des Maximalzuflusses! Wählen Sie einen geeigneten Simulationszeithorizont! 3.4 Im Hinblick auf eine spätere Regelung des Systems soll eine Linearisierung im Arbeitspunkt für x AP = 0.2 m vorgenommen werden. a) Fügen Sie dazu in das von Ihnen entwickelte Simulink R -Modell anstelle des Eingangssignals einen Inport, als zusätzliche Ausgabeeinheit einen Outport ein und speichern Sie das Modell unter einem anderen Namen ab! Bestimmen Sie die Arbeitspunktwerte (x AP,u AP ) (MATLAB R -Funktion: trim)! Linearisieren Sie im Arbeitspunkt (MATLAB R -Funktion: linmod), um eine zustandsorientierte Beschreibung zu erhalten! Simulieren Sie das Systemverhalten wie unter 3.3 bei Verwendung der linearen Systembeschreibung! b) Schreiben Sie eine M-File S-Function zur Beschreibung des nichtlinearen Systemverhaltens und wiederholen Sie die Simulation wie unter 3.3 unter Verwendung des Blockes S-Function (matlabroot\toolbox\simulink\blocks\sfuntmpl.m)! c) Schreiben Sie eine CMEX S-Function zur Beschreibung des nichtlinearen Systemverhaltens und wiederholen Sie die Simulation wie unter 3.3 unter Verwendung des Blockes S-Function (matlabroot\simulink\src\sfuntmpl basic.c, sfuntmpl doc.c)! 3.5 Realisieren Sie einen Regelkreis (wahlweise mit der linearen oder nichtlinearen Systembeschreibung) unter Nutzung eines Zweipunktreglers, der den durch eine Pumpe gesteuerten Zufluss ein- bzw. ausschaltet, wenn der Füllstand um 0.05 m nach unten bzw. oben vom Arbeitspunktwert (Sollwert) abweicht! 3.6 Realisieren Sie einen Regelkreis mit günstigem dynamisches Verhalten mittels PI-Regler! 4 Modellierung und Simulation eines Stabpendels mittels Simulink R Die freie Bewegung des Stabpendels aus Aufgabe 2.2 soll mit Hilfe einer Simulink R -S-function realisiert werden. Als Ausgangsgrößen sollen der Winkel und die Winkelgeschwindigkeit be- 2 Simulink R ist ein eingetragenes Warenzeichen der The MathWorks Inc. 5

6 trachtet werden. 4.1 Schreiben Sie eine Simulink R - M-File S-function! 4.2 Erstellen Sie ein Simulink R -Simulationsdiagramm! 4.3 Führen Sie die Simulation durch und illustrieren Sie sich den Verlauf von Winkel und Winkelgeschwindigkeit grafisch! 5 Modellierung und Simulation eines elektrischen Stromkreises mittels OpenModelica/Modelica R Modellieren und simulieren Sie das Verhalten des folgenden elektrischen Stromkreises (I - Induktivität, W - Widerstand, C - Konstantspannungsquelle, E - Erdung! Erstellen Sie dazu ein Modell in Modelica R 3 -Syntax! Gehen Sie folgende Teilschritte 5.1 bis 5.4! 5.1 Definieren Sie eine Modellklasse (unvollständiges Teilmodell, partial model ) für ein elektrisches Element, das zwei Kontakte hat! Verwenden Sie dazu die in der Modelica R - Bibliothek Modelica.SIunits vordefinierten Variablentypen für Spannung, Strom, Widerstand und Induktivität sowie das in der Modelica R -Bibliothek Modelica.Electrical.Analog.Interfaces definierte Element Pin (Kontakt)! 5.2 Spezifizieren Sie für alle Elemente mit zwei Kontakten unter Nutzung des vorher definierten Teilmodells ( partial model ) die konkreten Eigenschaften (physikalische Zusammenhänge und Parameter L = 10 mh, R = 1 Ω, Amplitude der Konstantspannung K = 1 V)! 5.3 Verbinden Sie die Elemente zu einem elektrischen Stromkreis mittels connect -Anweisungen! 5.4 Übersetzen Sie das Modell und führen Sie die Simulation mit einer geeigneten Zeitbasis aus! Literatur [1] W. D. Pietruszka. MATLAB R und Simulink R in der Ingenieurpraxis. Modellbildung, Berechnung und Simulation. Springer, Modelica R ist ein eingetragenes Warenzeichen der Modelica Association. 6