Aufgabe 1. (i) (ii) Lineare Algebra II Übungsbetrieb Blatt Σ

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1 Lneare Algebra II Übungsbetreb Blatt Σ Aufgabe 1 ( Vor: R Rng, M, N je R-Moduln, (T, τ und (T, τ zwe Tensorprodukte von M und N über R Beh:!f : T T R-lnearer Isomorphsmus mt f τ = τ Betrachte de Dagramme M N τ T M N τ T M N τ T τ T.!f τ T.!f τ T.!k Da (T, τ en Tensorprodukt von M und N st, st τ blnear. Also exstert nach unverseller Egenschaft von (T, τ genau ene R-lneare Abbldung f : T T mt f τ = τ (vergleche das Dagramm 1. Analog folgt:!f : T T mt f τ = τ (vergleche Dagramm 2. Da aber auch τ blnear st, folgt (vgl. Dagramm 3, dass genau ene R-lneare Abbldung k : T T exstert mt k τ = τ, aber de Identtät d T erfüllt des schon, also glt k = d T. Nun erfüllt g := f f ebenfalls g τ = τ, denn g τ = (f f τ = f (f τ = f τ = τ. Aus der Endeutgket folgt also g = k = d T, also f f = d T. Analog (mt den Rollen von T, T bzw. τ, τ bzw. f, f vertauscht folgt f f = d T, also st f en R-Iso. ( Vor: Beh: k Körper, V en k-vektorraum!φ: V k V End k (V mt Φ(v ϕ(w = ϕ(w v Betrachte de Abbldung Ψ: V V End k (V, (v, ϕ ( w ϕ(w v. De Abbldung st wohldefnert, das heßt Ψ(v, ϕ End k (V für (v, ϕ V V, c Danel Heß Sete 1

2 denn für w, w W und λ k st Ψ(v, ϕ(λw + w = ϕ(λw + w v ϕ ln = (λϕ(w + ϕ(w v = λϕ(wv + ϕ(w v = λψ(v, ϕ(w + Ψ(v, ϕ(w. Außerdem st de Abbldung blnear, denn für ϕ, ϕ V und v, v V, sowe λ, µ k gelten: Ψ(λv + v, µϕ + ϕ (w = (µϕ + ϕ (w (λv + v = ( µϕ(w + ϕ (w (λv + v = µλϕ(wv + µϕ(wv + λϕ (wv + ϕ (wv = µλψ(v, ϕ(w + µψ(v, ϕ(w + λψ(v, ϕ (w + Ψ(v, ϕ (w Also exstert nach unverseller Egenschaft des Tensorprodukts genau ene k-lneare Abbldung Φ: V k V End k (V mt Φ τ = Ψ, das heßt für w, v V und ϕ V glt ϕ(w v = Ψ(v, ϕ(w = (Φ τ(v, ϕ(w = Φ(v ϕ(w. ( Vor: Beh: n := dm k (V < Φ we oben st en k-isomorphsmus Nach Vorlesung glt dm k (V k V = dm k (V dm k (V ( = n n = dm k Endk (V. Also recht es (Dmensonsformel, vgl. erstes Semester z, dass Φ surjektv st. Se also f End k (V belebg. Se nun {v 1,..., v n } V ene k-bass und {v1,..., v n} V de zugehörge duale Bass (sprch v (v j = δ j. Dann glt für jedes w V dass w = n =1 v (w v, denn se w = λ v, dann glt v (wv = v ( j λ jv j v = δ j {}}{ λ j v (v j v = j λ v = w. Damt st n =1 v (v f V k V en Urbld von f bzgl. Φ denn für v l {v 1,..., v n } belebg glt ( Φ v (v f (v l = Φ(v (v f(v l = v (f(v l v = f(v l. Nach unverseller Egenschaft des freen k-moduls st damt Φ ( v (v f = f und damt st Φ surjektv. c Danel Heß Sete 2

3 Aufgabe 2 Vor: R Rng, M, N, P je R-Moduln, I Menge und M en R-Modul für alle I Beh: (M R N R P = M R (N R P, ( I M R N = I (M R N Hom R (M R N, P = Hom R (M, Hom R (N, P mt kanonschen Vorschrften (Assozatvtät Betrachte de Abbldung f : M N P M R (N R P, (m, n, p m (n p. Dann st f trlnear, denn: Seen m, m M, n, n N, p, p P und λ, µ, η R belebg. Dann glt: ( f(λm + m, µn + n, ηp + p = (λm + m VL = (λm + m (µn + n (ηp + p ( µη(n p + µ(n p + η(n p + (n p VL ( ( = λµη m (n p + λµ m (n p + λη ( m (n p + λ ( m (n p + µη ( m (n p + µ ( m (n p + η ( m (n p + ( m (n p = λµηf(m, n, p + λµf(m, n, p + ληf(m, n, p + λf(m, n, p + µηf(m, n, p + µf(m, n, p + ηf(m, n, p + f(m, n, p. Nach der Zusatzaufgabe exstert also genau ene R-lnear Abbldung ϕ: (M R N P M R (N R P mt ϕ ( (m n p = m (n p. De Komposton der folgenden Abbldungen (von oben und de Symmetre-Isomorphsmen aus der Vorlesung ψ : M R (N R P (N R P R M (P R N R M s.o. P (N R M erfüllt de Vorschrft P (M R N (M R N R P m (n p (m n p. Auf elementaren Tensoren glt damt ψ ϕ = d und ϕ ψ = d und da sch jedes Element n den Tensorprodukten als Summe von elementaren Tensoren schrebt, st also Ψ en Isomorphsmus. c Danel Heß Sete 3

4 (Dstrbutvtät Betrachte de Abbldung f : ( M N (M R N defnert durch ( (m, n ( m n. Wegen (m M glt m = 0 für fast alle I, also auch m n = 0 für fast alle I, also st de f wohldefnert. Außerdem st f blnear, denn für (m, (m M, n, n N, λ, µ R glt f ( λ(m + (m, µn + n = f ( (λm + m, µn + n = (λm + m (µn + n Also exstert ene R-lneare Abbldung Φ: = λµ(m n + λ(m n + µ(m n + (m n = λµf((m, n + λf((m, n + µf((m, n + f((m, n. ( M R N (M R N mt (m n (m n. Umgekehrt st für alle j I de Abbldung ( M j N M R N, (m j, n ( (m j δ j n blnear als Enschränkung der kan. Abbldung τ : ( M N ( M R N auf das Bld der Inkluson M j N ( M N. Das heßt es exstert für alle j I ene R-lneare Abbldung ψ j : M j R N ( M R N. Also exstert nach unverseller Egenschaft der drekten Summe auch ene R-lneare Abbldung Ψ: ( (M R N M R, mt (m n j (m j δj n j. Zege also noch, dass Φ Ψ und Ψ Φ jewels de Identtät ergeben: Rechne dazu Ψ(Φ((m n = Ψ((m n = j (m jδ j n = (m n. ( Und umgekehrt Φ(Ψ((m n = Φ j (m jδ j n j = j Φ((m jδ j n j = j (m jδ j n j = (m n. Also st Φ en Isomorphsmus und de Behauptung folgt. (Letze Aussage Defnere Ψ: Hom R (M R N, P Hom R (M, Hom R (N, P durch Ψ(f(m(n := f(m n. Zege de Wohldefnerthet von Ψ und dazu seen λ R, m, m M und n, n N und rechne Ψ(f(λm + m (n = f ( (λm + m n = f(λm n + m n f ln = λf(m n + f(m n = λψ(f(m(n + Ψ(f(m (n ( = λψ(f(m + Ψ(f(m (n = Ψ(f(λm + m = λψ(f(m + Ψ(f(m. c Danel Heß Sete 4

5 und weter Ψ(f(m(λn + n = f(m (λn + n = f(λm n + m n f ln = λf(m n + f(m n = λψ(f(m(n + Ψ(f(m(n. Also st Ψ wohldefnert. Konstruere nun ene Umkehrabbldung. Se dazu g Hom R (M, Hom R (N, P und betrachte de Abbldung η g : M N P, (m, n g(m(n Es st η g blnear nach Voraussetzung an g, denn η g (λm + m, µn + n = g(λm + m (µn + n = ( λg(m + g(m (µn + n = λg(m(µn + n + g(m (µn + n = λµg(m(n + λg(m(n + µg(m (n + g(m (n = λµη g (m, n + λη g (m, n + µη g (m, n + η g (m, n. Also exstert genau ene R-lneare Abbldung θ g : M R N P mt θ g (m n = g(m(n. Defnere nun Φ: Hom R (M, Hom R (N, P Hom R (M R N, P, g θ g. Zege, dass Φ und Ψ gegensetg nvers zuenander snd: Für Φ Ψ beachte, dass es (we mmer recht, de Glechhet (Φ Ψ(f = f für elementare Tensoren zu zegen (da Abbldungen lnear snd und sch alle Tensoren als Summe elementarer Tensoren schreben. Dann glt (Φ Ψ(f(m n = Φ(Ψ(f(m n = Ψ(f(m(n = f(m n. Anderersets glt (Ψ Φ(g(m(n = Φ(Φ(g(m(n = Φ(g(m n = g(m(n für alle n N, also folgt (Ψ Φ(g(m = g(m für alle m M, also (Ψ Φ(g = g. c Danel Heß Sete 5

6 Aufgabe 3 Lemma. Seen k en Körper und V, W, X, Y endlch-dmensonale k-vektorräume, sowe f Hom k (V, X, g Hom k (W, Y mt darstellenden Matrzen A := Φ(f und B := Φ(g bzgl. der Basen {v }, {x } bzw. {w }, {y }. Dann snd nach Vorlesung auch {v w j } j bzw. {x y j } j Basen der k-vektorräume V k W bzw. X k Y. Ebenso st nach Vorlesung de Abbldung f g : V k W X k Y auch k-lnear. Bzgl der obgen Basen glt für de darstellende Matrx Φ(f g = A B, wobe a 11 B a 12 B... a 1n B a 21 B a 22 B... a 2n B A B := a m1 B a m2 B... a mn B : Betrachte das Bld von v w j : Dazu beachte zunächst f(v = m j=1 a j x j und g(w j = k =1 b j y. Dann glt nach Konstrukton B M kl (k m k VL m k (f g(v w j = f(v g(w j = a µ x µ b νj y ν = a µ b νj (x µ y ν. µ=1 ν=1 µ=1 ν=1 b 1j Setze b j :=.. Dann ergbt sch aus obger Rechnung de (( 1l + j-te Spalte von b kj a 1 b j Φ(f g, nämlch:. kmk. a m b j Zusammen erhalte also ene (mk (nl-matrx der Form und damt de Behauptung. a 11 b 1 a 11 b 2... a 11 b l a 12 b 1... a 1n b l a 21 b 1 a 21 b 2... a 21 b l a 22 b 1... a 2n b l a m1 b 1 a m1 b 2... a m1 b l a m2 b 1... a mn b l ( Vor: z, w C, Z, W : C C mt Z(x := zx und W (x := wx Beh: Z, W End R (C und Φ(Z W st n der Form we unten De R-Lneartät st klar denn für λ R und x, y C glt Z(λx + y = z(λx + y = λzx + zy = λz(x + Z(y. c Danel Heß Sete 6

7 Für z = z 1 + z 2 und w = w 1 + w 2 snd de darstellenden Matrzen gegeben durch Φ(Z = ( z1 z 2 z 2 z 1 Also folgt mt obgem Lemma, dass ( w1 w 2 z 1 w 2 w 1 Φ(Z W = ( w1 w 2 z 2 w 2 w 1 ( w1 w 2 Φ(W =. w 2 w 1 ( w1 w 2 z z 2 1 w 1 z 1 w 2 z 2 w 1 z 2 w 2 w 2 w 1 ( z 1 w 2 z 1 w 1 z 2 w 2 z 2 w 1 = w1 w 2 z z 2 w 1 z 2 w 2 z 1 w 1 z 1 w 2 1 w 2 w 1 z 2 w 2 z 2 w 1 z 1 w 2 z 1 w 1 ( Vor: k Körper, V, W endlch-dmensonale k-vektorräume, ϕ End k (V, ψ End k (W Beh: Tr(ϕ ψ = Tr(ϕ Tr(ψ Se A := Φ(ϕ M n (k und B := Φ(ψ M m (k. Dann glt bzgl. geegneter Basen (we m Lemma, dass Φ(ϕ ψ = A B M (mn (k. Dann glt n Tr(ϕ ψ LA1 = Tr(A B = Tr(a B = a Tr(B = =1 = Dst a b jj = a b jj = Tr(A Tr(B j j LA1 = Tr(ϕ Tr(ψ. a j b jj c Danel Heß Sete 7

8 Aufgabe 4 Vor: R Rng, N (R := { x R n N : x n = 0 } ( Vor: Beh: R kommutatv N (R R st en Ideal Offenbar 0 1 = 0, also 0 N (R. Seen nun x, y N (R, also exsteren n, m N mt x n = y m = 0 und se weter r R, dann glt (rx n = r n x n = r n 0 = 0, also rx N (R und (x + y n+m = n+m + =0 ( n + m x y n+m = n+m =n+1 ( n + m x n }{{} =0 0 ( {}}{ n n + m x y ( n y m }{{} =0 =0 x n y n+m = 0. R komm. also glt bn.ls Also glt auch x + y N (R und damt st N (R R en Ideal. ( Vor: Beh: R = M 2 (Q E 12, E 21 N (R, aber E 12 + E 21 / N (R Wegen E 2 12 = 0 und E2 21 = 0 folgt E 12, E 21 N (R. Wäre nun S := E 12 + E 21 N (R, so exsterte en n N mt S n = 0, also auch Also st N (R ken Ideal. 0 = det(0 = det(s n LA1 = det(s n = ( 1 n. Bemerkung: Ene Matrx A M n (k st genau dann n N (M n (k, wenn A = 0 für en 1 n, denn falls A nlpotent st, so bestzt A nach LA1 höchstens den Egenwert 0, das heßt χ A (T kann (engebettet n den algebraschen Abschluss k von k nur de Nullstelle 0 bestzen, also χ A (T = T n k[x], also auch χ A (T = T n k[x] und nach Cayley-Hamlton folgt 0 = χ A (A = A n. Also st her S / N (R da S 2 = 1 0. Bemerkung 2: Wegen S 2 = 1 folgt S n {S, 1} für alle n N, also S n 0. c Danel Heß Sete 8

9 Zusatzaufgabe Vor: R Rng, n 1, M 1,..., M n und N seen R-Moduln Beh: Für alle R-mult-lnearen Abbldungen f : M N exstert genau ene R- (IA: n = 2 lneare Abbldung ϕ: M N mt ϕ τ = f Das st de unverselle Egenschaft des Tensorprodukts M 1 R M 2. (IS: n n + 1 Se also f : n+1 =1 N mult-lnear. Dann st für alle m M n+1 auch f m : n n+1 ι m M =1 =1 M f N, (m f((m 1,..., m n, m mult-lnear. Nach (IV exstert also ene R-lneare Abbldung ϕ m : n M N mt ϕ m( m1 m n = fm (m 1,..., m n. =1 Erhalte also ene Abbldung η : n M M n+1 N, =1 (x, m ϕ m(x. Zege, dass η blnear st: Seen dazu λ R, x, y n =1 M, sowe m M n+1 : η(λx + y, m = ϕ m(λx + y ϕ m st = R-lnear λϕ m(x + ϕ m(y = λη(x, m + η(y, m. Se nun zusätzlch m M n+1 und wegen der Lneartät m 1. Argument (gerade gezegt und da jedes Element n n =1 M ene Summe elementarer Tensoren st, recht es, de Lneartät m 2. Argument für den Fall x = m 1 m n zu zegen: η(x, λm + m = ϕ λm+m (x = ϕ λm+m (m 1 m n = f λm+m (m 1,..., m n = f ( (m 1,..., m n, λm + m f mult.ln = λf ( (m 1,..., m n, m + f ( (m 1,..., m n, m = λϕ m(m 1 m n + ϕ m (m 1 m n = λη(x, m + η(x, m. Also exstert nach unverseller Egenschaft von ene R-lneare Abbldung ϕ: n+1 =1 (M 1 R R M n R M n+1 genau M M, mt ϕ(m 1 m n+1 = f(m 1,..., m n+1. De End. von ϕ folgt aus Lneartät und dass jedes Element Summe elem. Tensoren st. c Danel Heß Sete 9