11. Klasse. heißt umkehrbar, falls es zu jedem y ϵw f. genau ein x ϵd f

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1 Grundwissen 11. Klsse 11. Klsse Umkehrrkeit, Umkehrfunktion Eine Funktion f: f() mit der Definitionsmenge D f und der Wertemenge W f heißt umkehrr, flls es zu jedem y ϵw f genu ein ϵd f mit f() = y git. Ist eine Funktion f umkehrr, so ist die umgekehrte Zuordnung eenflls eine Funktion. Diese heißt Umkehrfunktion von f und wird mit f 1 ezeichnet. Kriterium für Umkehrrkeit Ist eine Funktion f streng monoton, so ist sie umkehrr. Insesondere ist jede differenzierre Funktion f, für die f'() > 0 für lle in einem Intervll (zw. f'() < 0 für lle in einem Intervll), in diesem Intervll umkehrr. Die Grphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion sind zueinnder symmetrisch ezüglich der Winkelhlierenden des I. Und III. Qudrnten. Es gilt: D f^-1 = W f und W f-1 = D f Bestimmen des Funktionsterms f 1 1. Auflösen der Funktionsgleichung y=f() nch 2. Vrilentusch y, woei nun y = f 1 Verkettung von Funktionen Für zwei Funktionen v: v() und u: u ( ) heißt die Funktion u v: u v Verkettung oder Hintereinnderusführung der Funktionen u und v. v heißt innere und u äußere Funktion. Es gilt im Allgemeinen: u v v u Umgekehrt lässt sich oft eine komplizierte Funktion f ls Verkettung von einfcheren Funktionen u und v drstellen mit f= u v (Zerlegung einer Verkettung) Aleiten von verketteten Funktionen(Kettenregel) Ist f= u v eine Verkettung zweier differenzierrer Funktionen u und v, so ist uch f differenzierr, und es gilt für f = u v =u v : f ' = u v ' =u' v v ' Aleitungsregel für Potenzfunktionen Für Funktionen p f : q = q p ( R, p Z und q N ) gilt : f ' ( )= p p q q 1 Die ntürliche Eponentilfunktion und ihre Aleitung Die ntürliche Eponentilfunktion f : e ht die Aleitungsfunktion f ' e. Eine mögliche Stmmfunktion ist F : e. Die ntürliche Logrithmusfunktion und ihre Aleitung Die ntürliche Logrithmusfunktion f : ln(), R+,ht die Aleitungsfunktion f ' : 1. Eine mögliche Stmmfunktion der Funktion f : 1 ( für 0) ist die

2 Grundwissen 11. Klsse Funktion F : ln Aleiten zusmmengesetzter Funktionen Ist v : v( ) eine differenzierre Funktion, so lssen sich die Verkettungen f ()e v( ) mit der ntürlichen Eponentilfunktion zw g( )ln[v()] mit der ntürlichen Logrithmusfunktion (woei gelten muss v() > 0) mit der Kettenregel leiten. Für f ( ) e v ( ) gilt f ' ( )=e v () v ' () v' ( ) Für g( )=ln[v()] gilt g ' ()= v() Eponentilfunktionen und Eponentilgleichungen Für lle R + gilt: e ln = Für lle R gilt: ln e = Eponentil- und Logrithmusfunktionen und ihre Grphen Für lle r R + gilt: lim r + e =0 und lim + (e r )=0 Für lle r R + gilt: lim 0 ( r ln )=0 und lim ln + =0 r Aiomtische Definition von Wrscheinlichkeit Eine Funktion P : A P (A) mit A Ω und P (A) R heißt Whrscheinlichkeitsverteilung, wenn sie folgende Bedingungen, uch Aiome von Kolmogorow gennnt, erfüllt: Aiom I: P (A) 0 Aiom II: P (Ω)=1 Aiom III: Wenn A B = { }, dnn muss gelten: P (A B)=P (A)+ P (B) P(A) heißt Wrscheinlichkeit von A. Additionsstz: Für elieige Ereignisse A und B gilt: P (A B)=P (A)+ P (B) P ( A B) Unhängigkeit von Ereignissen Zwei Ereignisse A und B heißen (stochstisch) unhängig, wenn gilt: P (A) P (B)=P ( A B), ndernflls nennt mn A und B voneinnder hängig.

3 Grundwissen 11. Klsse Gnzrtionle Funktionen in relen Situtionen Bei der Bestimmung einer gnzrtionlen Funktion für eine rele Sitution muss ein lineres Gleichungssystem ufgestellt und gelöst werden. Dzu muss zunächst ein Koordintensystem gewählt werden. Berücksichtigt mn dei vorhndene Besonderheiten (z.b. Symmetrie), so knn sich der Anstz für den Funktionsterm vereinfchen. Etremwertproleme Vorgehen eim Lösen von Etremwertprolemen: 1. Beschreien der Größe, die etreml werden soll, durch einen Term, der mehrere Vrilen enthlten knn. 2. Formulieren von gegeenen Neenedingungen. 3. Bestimmen der Zielfunktion, die nur noch von einer Vrilen hängt. 4. Untersuchen der Zielfunktion uf Etremwerte und Formulierung des Ergenisses. Hier sind uch Rndwerte zu erücksichtigen. Kompleere Etremwertproleme Bei Etremwertprolemen knn die Whl der Vrilen und die geeignete Verwendung von Neenedingungen entscheidend sein für die Einfchheit der Zielfunktion. Funktionen mit Prmetern Enthält ein Funktionsterm ußer der Vrilen noch eine weitere (von unhängige) Vrile, so gehört zu jedem möglichen Wert von eine Funktion f : f ( ). Die Vrile nennt mn Prmeter. Die Menge dieser Funktionen ezeichnet mn ls Funktionsschr. f : 1 (+ ln) für =1 ist f 1 : 1 (1+ ln ), für =0,5 ist f 0,5 : 1 ( 0,5+ ln ) Funktionsestimmungen Um eine Funktion f zu estimmen, die vorgegeene Eigenschften ht, z.b. Punkte uf dem Grphen ( f ( 0 )= y 0 ) Etremstellen oder die Steigung des Grphen n einer Stelle ( f ' ( 0 )=0

4 Grundwissen 11. Klsse oder f ' ( 0 )=c ) ( p( )) Nullstellen oder Polstellen ( f ( 0 )=0 oder q( 0 )=0 für f ( X )= (q( )) ) sind diese Eigenschften (Bedingungen) mithilfe von f oder f' ls Gleichungen zu formulieren und ds ufgestellte Gleichungssysteme zu lösen. Die nötige Anzhl von Gleichungen wird durch die Zhl der Prmeter im Funktionsterm estimmt. Die Berücksichtigung von esonderen Eigenschften wie z.b. Symmetrie des Grphen, Eistenz einer wgrechten Asymptote, knn gegeenenflls den Anstz für den Funktionsterm vereinfchen. Funktionsnpssungen Vorgehen ei einer Funktionsnpssung: 1. Zu Vernschulichung und zum Auffinden eines geeigneten Funktionstyps können die Dten in ein Koordintensystem eingetrgen werden. 2. Mithilfe von Prmetern wir die Gleichung der vermuteten Funktion ufgestellt, deren Grph näherungsweise durch die gegeenen Punkte gehen soll. 3. Je nch Zhl der Prmeter werden Koordinten einer entsprechenden Zhl von Punkten in die Funktionsgleichung eingesetzt und ds entstndene Gleichungssystem gelöst. 4. Mithilfe der Koordinten weiterer Punkte knn die Bruchrkeit der gefundenen Funktion üerprüft werden Aleitungsregeln Die Aleitung der Funktion n (n Z) Stz: Die Funktion n (n Z) esitzt die Aleitung f : n n-1. Summenregel und Fktorregel Stz: Sind die Funktionen g und h differenzierr, so gilt: Summenregel: f ()=g ()+ h() f ()=g ()+ h () Fktorregel: f ()=c g ( ) f ( )=c g () (c R) Summen- und Fktorregel ermöglichen die Ermittlung der Aleitungsfunktion von rtionlen Funktionen. D die Aleitungsfunktion jeder einzelnen Potenzfunktion eine Potenzfunktion mit einem um 1 reduzierten Grd ist, ist uch die Aleitung einer gnzrtionlen Funktion eine gnzrtionle Funktion mit einem um 1 reduzierten Grd Stz: Jede gnzrtionle Funktion f vom Grd n ist f ()=

5 Grundwissen 11. Klsse differenzierr und ihre Aleitung ist eine gnzrtionle Funktion vom Grd n-1. f ( )= Produktregel Stz: Sind die Funktionen u und v differenzierr, so gilt: Produktregel: f () = u() v() f () = u () v( )+ u() v ( ) Quotientenregel Stz: Sind die Funktionen u und v differenzierr, so gilt für lle mit v() 0: Quotientenregel: f ()= u() v() f ()= u ( ) v( ) u( ) v ( ) [v( )] 2

6 Grundwissen 12. Klsse 12. Klsse Flächeninhlt und estimmtes Integrl: Ds Integrl: Definition: Die Funktion f mit f 0 sei uf dem Intervll [ ;] definiert. Dnn nennt mn den gemeinsmen Grenzwert lim U n=lim O n von Unter- und Oersumme ds n n Integrl der Funktion f zwischen den Grenzen und. Mn schreit dfür: f d (lies: Integrl von f()d von is ). y Flächeninhlt A = f d Ds Integrl ls Flächenilnz; die Integrlfunktion: Merkstz: Für eine Funktion f, die in einem Intervll[;] definiert ist gilt: Flls f() > 0 f()<0 f( 0 )=0 und Vorzeichenwechsel für lle [ ; ] für lle [ ; ] von f() ei 0 [;] y y A y G f G f A A A 1 A 2 G f f d=a 0 f d= A 0 { f d A 1 A 2 0 flls A 1 A 2 0 flls A 1 A 2

7 Grundwissen 12. Klsse Definition: Die Funktion f :t f t sei mit ihrem Definitionsereich D f gegeen. Dnn heißt für D f die Funktion I : f t dt Intergrlfunktion von f zur unteren Grenze. Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (HDI): Die Funktion f :t f t sei im Intervll [ ;] definiert. Dnn gilt für die Integrlfunktion I : f t dt I ' =f für 0 {;} Kurz: Die Integrlfunktion I von f ist eine Stmmfunktion von f. Anmerkung: Die Integrtion ist die Umkehrung der Differentition (Aleitung). Merkstz (Berechnung von Integrlen): Die Funktion f sei in dem Intervll [ ;] definiert. Ist F eine elieige Stmmfunktion von f in diesem Intervll, dnn gilt: f d=f F Sttt F F schreit mn uch [F ], es gilt dnn: f d=[f ] Stmmfunktionen: Stmmfunktionen zu einfchen Funktionen f() 2 1 F() r r 1 1 sin cos e ln ln cos sin r 1 r 1 e ln Häufig wird ls Symol für die Menge ller Stmmfunktionen einer Funktion f ds sogennnte unestimmte Integrl f d, gelesen Integrl f()d, verwendet. Um uszudrücken, dss z.b. die Funktionen F: cos C Stmmfunktionen von f : sin sind, schreit mn: sin d= cos C C R Entsprechend z.b.: r d= r 1 r 1 Cund 1 d=ln C Im Unterschied dzu wird ds Integrl f d, dessen Wert stets ls Flächeninhlt zw. ls Flächenilnz gedeutet werden knn, uch ls estimmtes Integrl ezeichnet. Skizzieren von Stmmfunktionen:

8 Grundwissen 12. Klsse Um ei gegeenem Grphen einer Funktion f den Grphen einer Stmmfunktion von f zu skizzieren, nutzt mn chrkteristische Punkte des Grphen von f, wie Nullund Etremstellen, und echtet Vorzeichenereiche von G f. y G F G f Eigenschften von Stmmfunktionen und Integrlen: Merkstz: Sind G und H jeweils Stmmfunktionen von g und h, so gilt für lle c R : Ist f : c g zw. f : g h, so ist F: c G zw. F: G H eine mögliche Stmmfunktion. Bechte: Für f mit f =g h gilt im llgemeinen F G H Allgemein gelten folgende Rechen regeln für Integrle, welche deren sogennnte Linerität eschreien: Merkstz: Sind die Funktionen f und g uf einem Intervll I definiert, dnn gilt für lle c R und lle, I c f d=c f d Flächenerechnungen mit dem Integrlen: [f g ]d= f d g d Vorgehen ei der Berechnung des Flächeninhlts zwischen dem Grphen einer Funktion f und der -Achse üer dem Intervll [ ;] : 1. Bestimmen der Nullstellen von f. 2. Ermitteln des Vorzeichens der Funktionswerte f() in den Teilintervllen 3. Berechnen der Inhlte der Teilflächen und Addieren der Werte Merkstz: Für den Inhlt A der Fläche zwischen den Grphen zweier Funktionen f und g, die sich im Intervll [ ;] nicht schneiden, und den Grenzen = und = gilt:

9 Grundwissen 12. Klsse A= [f g ]d y G F A 0 G f Bemerkungen: Unter der Vorussetzung f g für lle [;], d.h. G f liegt in [ ;] stets oerhl von G g, gilt: A= [f g ]d (d.h. Betrgsstriche können entfllen) Die Aussge des Stzes ist uch dnn noch richtig, wenn sich die Grphen von f und g n den Stellen = und =, lso n den Rändern des Intervlls, schneiden oder erühren. Vorgehen ei der Berechnung des Flächeninhlts zwischen den Grphen zweier Funktionen f und g üer dem Intervll [ ;] : 1. Bestimmen ller Schnittpunkte z 1, z 2, z 3,... z n der eiden Grphen in [ ;] 2. Berechnen der Inhlte der Teilflächen üer [ ;z 1 ],[z 1, z 2 ]...[z n, ] und Addieren der Werte Ins Unendliche reichende Flächen: Definition: Eistiert für eine im Intervll [ ; ] zw. ];] definierte Funktion f lim f d zw. lim z z f d so heißt dieser Grenzwert ds uneigentliche Integrl üer dem etreffenden Intervll.

10 Grundwissen 12. Klsse Weitere Eigenschften von Funktionen und deren Grphen Definition Ist die Aleitung f ' einer Funktion f differenzierr, so erhält mn durch ds Aleiten von f ' die zweite Aleitung f ''. Anlog können uch weitere Aleitungen ( f ''', f 4, usw.) geildet werden. Beispiel: f =2 4 f ' =8 2 f '' =24 2 f ''' =48 f 4 =48 Definition Bewegt mn sich uf dem Grphen der Funktion f in positiver -Richtung und eschreit mn dei eine Rechtskurve (Linkskurve), so heißt der Grph in diesem Bereich rechtsgekrümmt Steigung nimmt (linksgekrümmt Steigung nimmt zu). Kriterien für ds Krümmungsverhlten 1. Kriterium mit Hilfe der ersten Aleitung Für eine differenzierre Funktion f gilt, wenn f ' in einem Intervll I streng monoton: zunehmend ist, dnn ist der Grph von f dort linksgekrümmt nehmend ist, dnn ist der Grpg von f dort rechtsgekrümmt. 2. Kriterium mit Hilfe der zweiten Aleitung Für eine zweiml differenzierre Funktion f gilt: wenn f '' 0 in einem Intervll I ist, dnn ist der Grph dort von f linksgekrümmt wenn f '' 0 in einem Intervll I ist, dnn ist der Grph dort von f rechtsgekrümmt. Kriterium für Wendestellen und Etrem Die Funktion f sei in einem Intervll I zweiml differenzierr und 0 I. Wenn f '' 0 =0 und f '' ei 0 einen Vorzeichenwechsel ht, dnn ht die Funktion f n der Stelle 0 eine Wendelstelle. Wenn f ' 0 =f '' 0 =0 und f '' ei 0 einen Vorzeichenwechsel ht, dnn ht die Funktion f ei P 0 /f 0 einen Terrssenpunkt. Wenn f ' 0 =0 und f '' 0 0 ist, dnn ht f n der Stelle 0 ein lokles Mimum. Wenn f ' 0 =0 und f '' 0 0 ist, dnn ht f n der Stelle 0 ein lokles Minimum.

11 Grundwissen 12. Klsse Zufllsgrößen und Binomilverteilung: Definition: Eine Funktion X, die jedem Ergenis eines Zufllseperiments eine reelle Zhl X zuordnet, heißt Zufllsgröße oder Zufllsvrile uf. Kurz: X : X mit und X R Whrscheinlichkeitsverteilung einer Zufllsgröße: Definition: Die Funktion, die jedem Wert i (i = 1, 2,..., n) einer Zufllsgröße X die Whrscheinlichkeit P X= i zuordnet, heißt Whrscheinlichkeitsfunktion der Zufllsgröße X oder Whrscheinlichkeitsverteilung der Zufllsgröße X zw. kurz Verteilung von X. Die Funktion F, die ei gegeener Zuflls X jeder reellen Zhl die Whrscheinlichkeit P X zuordnet heißt kumultive Verteilungsfunktion der Zufllsgröße X. Kurz: F: P X mit R und P X [0;1] Erwrtungswert einer Zufllsgröße: Ist X eine Zufllsgröße mit möglichen Werten 1, 2, 3,... n so heißt die reelle Zhl E(X) mit E(X) = 1 P X= 1 2 P X= 2... n P X= n Erwrtungswert der Zufllsgröße X. Vrinz einer Zufllsgröße: Ist X eine Zufllsgröße mit möglichen Werten 1, 2,... n und dem Erwrtungswert E(X) =, so heißt die reelle Zhl Vr(X) mit Vr(X) = 1 2 P X= 1... n 2 P X= n die Vrinz der Zufllsgröße X. Vr X heißt Stndrdweichung der Zufllsgröße X. Ziehen us einer Urne: mit Bechtung der Reihenfolge: Aus einer Urne mit n unterscheidren Kugeln wird k-ml eine Kugel mit zurücklegen gezogen. Die gezogenen Kugeln werden in der Reihenfolge des Ziehens notiert. Dnn sind n k verschiedene Ergenisse (k-tupel) möglich.

12 Grundwissen 12. Klsse Sele Ausgngsedingungen nur ohne Zurücklegen: n n 1... n k 1 Ergenisse mit einem Griff: Ziehen ohne zurücklegen und ohne Bechtung der Reihenfolge: n= unterscheidre Kugeln => n n 1 n 2... n k 1 k! k= gezogene Kugeln Für k N 0,n Nundk n heißt n k = oder n üer k ). n! k! n k! Binomilkoeffizient (Lies k us n Aus einer Urne mit N Kugeln, von denen S Schwrz sind, werden n Kugeln mit einem Griff, d.h. ohne Zurücklegen und ohne Bechtung der Reihenfolge gezogen. Die Zufllsgröße X git die Anzhl der gezogenen schwrzen Kugeln n. S s N S n s Dnn gilt: P X=s = N n Bernoulli-Eperiment und Bernoulli-Kette: Ein Zufllseperiment mit nur zwei Ergenissen heißt Bernoulli-Eperiment. Die Whrscheinlichkeit für Treffer wird mit p, die für Nieten mit q ezeichnet. q=1 p Ein Zufllseperiment, ds us n unhängigen Durchführungen desselen Bernoulli-Eperiments esteht, heißt Bernoulli-Kette der Länge n mit dem Prmeter p. Binomilverteilung: Gegeen ist eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwhrscheinlichkeit p. Die Zufllsgröße X git die Anzhl der Treffer n. Dnn eträgt die Whrscheinlichkeit für genu k Treffer mit k {0;1;...;n } P X=k = n k pk 1 p n k Eine Zufllsgröße X heißt inomilverteilt nch B(n;p) oder B n;p, wenn gilt: X knn die Werte 0;1;2;...;n nnehmen P (X =k) = n k pk 1 p n k mit 0 p 1

13 Grundwissen 12. Klsse Modellieren mit der Binomilverteilung: Vorgehensweise: 1. Üerprüfung o Bernoulli-Kette 2. Flls whr, Einführung von B n;p - Zufllsgröße X 3. Whrscheinlichkeitsestimmung mit Binomilverteilung Erwrtungswert und Vrinz der Binomilverteilung: Eine B(n;p)-verteilte Zufllsgröße X ht den Erwrtungswert =E X =np und die Vrinz =Vr X =npq mit q=1 p. Für die Stndrdweichung gilt = npq

14 Grundwissen 12. Klsse Beurteilende Sttistik Testen von Hypothesen Zu einem Schverhlt (z.b. dem Anteil schwrzer Kugeln in einer Urne) werden zwei sich usschließende Hypothesen etrchtet: Die Nullhypothese H 0 und die Gegenhypothese H 1. Getestet wird, o ufgrund des Stichproenergenisses H 0 verworfen werden knn oder nicht. Dzu wird der Werteereich der Testgröße in den Alehnungsereich (kritischer Bereich) K und den Annhmeereich K zerlegt. Entscheidungsregel: Liegt der durch die Stichproe gewonnene Wert in der Testgröße K, dnn wird H 0 verworfen, nsonsten eiehlten. Fehler eim Testen von Hypothesen Zustnd der Wirklichkeit: H 0 ist whr H 0 Ist flsch gelehnt Fehler 1. Art richtige Entscheidung Nullhypothese H 0 wird nicht gelehnt richtige Entscheidung Fehler 2. Art Bleit der Stichproenumfng n gleich, verkleinert mn jedoch ', so ewirkt mn eine Vergrößerung von K und ', sowie umgekehrt. Beide Fehler können nur durch die Erhöhung der Stichproen verringert werden. Definition Eine vorgegeene Oergrenze für den Fehler 1. Art nennt mn Signifiknzniveu. Drus ergit sich der kritische Bereich und somit die Entscheidungsregel des Tests. Ein so konstruierter Test wird Signifiknztest gennnt. Vorgehen eim einseitigen Signifiknztest: 1. Festlegen der Testgröße Z und des Stichproenumfngs n 2. Formulierung von Nullhypothese H 0 und der Gegenhypothese H 1 3. Festlegen des Signifiknzniveus 4. Bestimmen der Entscheidungsregel, des kritischen Bereichs K linksseitiger Test rechtsseitiger Test H 0 :p=p 0 oder p p 0 H 0 :p=p 0 oder p p 0 H 1 :p p 0 H 1 :p p 0 K={0;1;...;g}, woei K={g;g 1;...;n}, woei g die größte gnze Zhl ist g die kleinste Zhl ist n n mit '=P p0 Z g mit '=P p0 Z g

15 Grundwissen 12. Klsse Gerden und Eenen im Rum Definition Die Vektoren 1, 2,..., n sind linerr hängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren ls Linerkomintion der nderen Vektoren drstellr ist. Sonst sind sie liner unhängig. Im R 2 sind höchstens zwei Vektoren, im R 3 sind höchstens drei Vektoren liner unhängig. Jeder weitere Vektor lässt sich durch Linerkomintionen der liner unhängigen drstellen. Jede Gerde g lässt sich durch eiene Gleichung der sogennnten Prmeterform X= A u mit dem Prmeter R eschrieen. Hierei ist A der Ortsvektor eines Punktes der Gerden (Aufpunkt) und e u u 0 ein Richtungsvektor von g. Mögliche gegenseitige Lgeezeichnungen zweier Gerden g und h: u und v sind liner hängig, u und v sind liner unhängig, d. h., wenn g = h oder g h wenn sich g und h in einem Punkt' in einem Punkt schneiden oder windschief sind. Um die gegenseitige Lge der Gerden g: X= A u und h: X= B v zu untersuchen, knn mn folgendermßen vorgehen. Sind u und v liner hängig? J: g ist prllel zu h Liegt A uf h (Punktproe) J: g = h Nein: g h und g h Nein: g nicht prllel zu h Ht A u= B v eine Lösung? J: g und h schneiden sich in einem Punkt S Nein: g und h sind zueinnder windschief Jede Eene lässt sich durch eiene Eenengleichung in Prmeterform eschreien: X= A u v, R Hierei ist A der Ortsvektor eines Aufpunktes. u Und v sind zwei liner unhängige Richtungsvektoren. Vektordrstellung: n X A =0 Koordintendrstellung: n 1 1 n 2 2 n 0 =0 mit n o = n 1 1 n 2 2 n 3 3 Hesse'sche Normlenform der Eenengleichung: Vektordrstellung: n X A =0 Dei ist der Einheitsvektor n 0 zu n so gerichtet, dss n 0 A 0 ist. n 1 1 n 2 2 n 3 3 n 0 Koordintendrstellung: =0 ± n 2 1 n n 3 Dei ist ds Vorzeichen vor der Wurzel so zu wählen, dss n 0 ± n 2 0 wird.

16 Grundwissen 12. Klsse Die gegenseitige Lge der Gerden g: X= A u und der Eene E: n X B =0 lässt sich estimmen, indem mn die Anzhl der der gemeinsmen Punkte von g und E untersucht. Setzt mn den Ortsvektor X us der Gleichung für die Normlengleichung für E ein, so erhält mn die Gleichung: n [ A u B]=0 zur Bestimmung der Prmeter in den gemeinsmen Punkten. Ht diese Gleichung g genu eine Lösung, so schneiden sich g und E genu in einem Punkt. Gilt zudem: u=r n mit r R, so ist g senkrecht zu E. Ht diese Gleichung keine Lösung, so sind g und E prllel. Ht diese Gleichung unendlich viele Lösungen, so liegt g in E. Gegenseitige Lge von Eenen: Vorgehensweise ei gegeenen Eenen E: n X A =0 und F: m X B =0 Sind die Normlenvektoren n und m liner hängig? J : E F => gemeinsme Punkte? J: E = F Nein: E F und E F Nein: E und F schneiden sich in einer Gerden. Die gemeinsmen Punkte erhält mn durch Lösen des Gleichungssystems us den Koordintendrstellungen. Vorgehensweise zur Astndestimmung zwischen Gerden g: X= A u und Punkt P: 1. Aufstellen der Gleichung einer Eene E, die P enthält und senkrecht zu g ist. 2. Bestimmen des Schnittpunktes F der Eene E mit der Gerden g. 3. Berechnen des Astndes der Punkte P und F. Für den Astnd d (P;E) eines Punktes P p 1 p 2 p 3 von einer Hesse'scher Normlenform gegeener Eene E gilt im Fll der Vektordrstellung E: n 0 X A =0 d= n 0 P A Koordintendrstellung E: n 1 1 n 2 2 n 3 3 n 0 ± n 1 2 n 2 2 n 3 2 =0 d= n 1 p 1 n 2 p 2 n 3 p 3 n 0 n 1 2 n 2 2 n 3 2 Den Astnd zweier prlleler Eenen E 1 und E 2 estimmt mn, indem mn den Astnd eines elieigen Punktes der Eene E 2 von E 1 erechnet. Schnittwinkel zwischen zwei Gerden: Der Schnittwinkel zweier Gerden g: X= A u und h: X= B v ist gleich dem spitzen Winkel, den die Richtungsvektoren u und v festlegen. Schnittwinkel zwischen Gerde und Eene: Gerde g: X= A u, Eene E: n V B =0 spitzer Winkel zwischen Richtungsvektor u und Normlvektor n von Eene E => =90 'Schnittwinkel zwischen zwei Eenen:

17 Grundwissen 12. Klsse Schnittwinkel zwischen 2 Eenen E 1 n 1 [ X A ]=0 und E 2 : n 2 [ X B ]=0 ist gleich dem spitzen Winkel, den die Normlvektoren n 1 und n 2 einschließen.

18 Grundwissen 12. Klsse Anwendungen der Differentil- und Integrlrechnung Bei jedem Wchstumsprozess, ei dem der Bestnd je Zeiteinheit um einen konstnten Fktor zunimmt, knn durch die Eponentilfunktion f der Form f =c t, 0, eschrieen werden. Diese knn wegen k=ln in folgende Form gercht werden: f =c e kt. Dei ist c der Bestnd zum Zeitpunkt t=0, f t der Bestnd zum Zeitpunkt t und f die Wchstumsfunktion. Mn nennt 0 den Wchstumsfktor, 1 die reltive Änderung pro Zeiteinheit und k=ln die Wchstumskonstnte. Ist f t =c e kt, erhält mn für k 0 (pos. Wchstum) die Verdopplungszeit T D = ln 2 k für k 0 (neg. Wchstum) die Hlwertszeit T H = ln 2 k Lösen von Etremwertprolemen 1. Formulieren eines Terms, der die Größe, die miniml oder miml werden soll. Dieser knn mehrere Vrilen enthlten. 2. Gegeene Neenedingungen formulieren. 3. Bestimmen der Zielfunktion, die nur noch eine Vrile enthält. 4. Funktionsuntersuchung der Zielfunktion uf Etremwerte und formulieren des Ergenisses (evtl. uf Rndwerte chten). Erkenntnisse üer den Grphen der Funktion f können durch Untersuchung uf - mimle Definitionsmenge D m zw. Definitionslücken von f - Symmetrieeigenschften - Nullstellen - Schnittpunkte mit der y- Achse - Etremwerte und Monotonieverhlten - Wendepunkte und Krümmungsverhlten - Verhlten im Unendlichen - Asymptoten. Aus vorgegeenen Eigenschften und Funktionsgrph lssen sich mögliche Funktionsterme ufstellen. Die Stmmfunktion spielt hierei keine zu vernchlässigende Rolle dr.