Mathematischer Anhang Vorlesung: Makroökonomik (B.Sc.)

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1 Mathematischer Anhang Vorlesung: Makroökonomik (B.Sc.) Universität eipzig Makroökonomik Prof. Dr. Thomas Steger Oktober 2016

2 1 Funktionen Makroökonomische Analyse bedeutet häufig den Einfluss einer oder mehrerer Größen auf andere zu untersuchen. Solche theoretisch oder empirisch motivierten Zusammenhänge werden in mathematischen Funktionen ausgedrückt. So wird der Output Y einer Volkswirtschaft als eine Funktion der Produktionsfaktoren apital () und Arbeit (), Y = f(, ), der onsum als eine Funktion des Einkommens, C = f(y ), oder die Investitionen als Funktion des Zinses (i), I = f(i), modelliert. So ordnet beispielsweise eine Funktion f jedem D eindeutig eine Zahl y W zu, so dass y = f() gilt. Im Falle einer Funktion mehrerer Variablen ordnet f jeder Wertekombination ( 1,..., n ) einen Funktionswert y zu. D heißt der Definitionsbereich, W der Wertebereich. wird die unabhängige Variable oder Argument, y die abhängige Variable oder Funktionswert genannt. Da Definitions- und Wertebereich in den meisten Fällen die Menge der nichtnegativen reelen Zahlen R ist, wird im Folgenden auf die Angabe verzichtet. Oft wird die formale Analyse von Zusammenhängen durch Graphiken unterstützt. Der Graph einer Funktion f ist die Menge aller Punkte {(, y) D y = f()} in einem oordinatensystem. Funktionen können allgemein (global) oder in speziellen Bereichen (lokal) bestimmte Eigenschaften aufweisen. Eine Funktion heißt monoton steigend (fallend), wenn für alle 0, 1 R mit 1 > 0 die Ungleichung f( 1 ) ( )f( 0 ) gilt. Ersetzt man die Relation ( ) durch > (<), so liegt strenge Monotonie vor. Von onveität (onkavität) spricht man, wenn eine Verbindungslinie zweier beliebiger Punkte des Graphen der Funktion stets oberhalb (unterhalb) des Graphen verläuft. Für alle 0, 1 R und alle a (0, 1) muss bei onveität (onkavität) f(a 0 + (1 a) 1 ) ( ) af( 0 ) + (1 a)f( 1 ) gelten. 2 Stetigkeit Eine naive Vorstellung von Stetigkeit einer Funktion auf einem bestimmten Intervall, ist die des nicht abgesetzten Bleistiftes beim Zeichnen der Funktion. Nicht ganz präzise, trifft es aber den Sachverhalt. Stetige Funktionen weisen also keine Sprungstellen auf. 2

3 f 1 f 0 f 0 f Figure 1: Monotonie, onveität Eine Funktion wird stetig an der Stelle = a genannt, wenn die Funktionswerte durch das Annähern der Argumente von links und rechts an a, dem Funktionswert von a entsprechen. Vorrausgesetzt natürlich, der Funktionswert f(a) eistiert. lim f() = f(a) = lim f() a + a y f y f a a' a' Figure 2: stetig - unstetig Für Funktionen mehrerer Veränderlicher ist obige Definition von Stetigkeit für alle einzelnen Argumente zu überprüfen. Eine Summe, Differenz und ein Produkt stetiger Funktionen ist wieder eine stetige Funktion. 3 Steigung Das Niveau einer Funktion f() an einer bestimmten Stelle 0 ist nicht immer aufschlussreich. Vielmehr interessiert die Änderung des Funktionswertes bei Variation von. In den Wirtschaftswissenschaften ist die Steigung einer Funktion ein zentrales Analysekonzept. Wann immer von Grenzgewinn, Grenzkosten oder Grenzproduktivität die Rede ist, meinen wir die Steigung der Funktion, vielmehr die Änderung des Funktionswertes f() bei einer infinitesimalen ( sehr 3

4 kleinen ) Änderung des Argumentes. Der Quotient y gibt allgemein die Steigung an und wird Differenzenquotient genannt. Im linearen Fall ist somit der Anstieg der Funktion bestimmt. In allen anderen Fällen wird durch das Anlegen einer Sekante der durchschnittliche Anstieg in einem Intervall bestimmt. Unten stehende Abbildung verdeutlicht, daß durch ein immer kleiner werdendes sich die Steigung der Sekante, der Steigung der Funktion an der Stelle annähert. Wird nun immer kleiner gewählt, infinitesimal, so wird im Grenzübergang aus der Sekante eine Tangente an der Stelle und der richtige Anstieg ist gefunden. Da ein beliebiger Wert sein kann, gilt der gefundene Zusammenhang für alle D. Aus dem Differenzenquotient ist jetzt der Differentialquotient geworden. f f( + ) f() () lim 0 auch df d Funktionswert f y f Argument Beispiel für f() = 2 Figure 3: Anstieg einer Funktion f ( + ) 2 2 () = lim 0 f () = = lim 0 2 = lim = lim

5 3.1 Partielle Ableitung In der ökonomischen Theorie werden die technischen Bedingungen der Produktion durch eine Funktion abgebildet. Bereits bekannt ist die Produktionsfunktion vom Typ Cobb-Douglas. Die spezifischen Eigenschaften einer solchen Funktion werden später analysiert. Hier soll nur darauf eingegangen werden, wie eine Funktion mehrerer Veränderlicher in Bezug auf den Anstieg zu handhaben ist. Die Frage ist also auch hier wieder, wie sich der Funktionswert (Output) ändert, wenn die Argumente (Inputs) variiert werden. Um deutlich zu machen, dass eine Funktion mehrerer Veränderlicher nach einer Variablen differenziert wird (partiell), schreibt man anstelle des d im Differentialquotienten ein Fantasie-d. Gegeben sei folgende Funktion: Y = F (, ) = A α 1 α Um die Veränderung von Y bezüglich apital zu bekommen, halten wir einfach Arbeit konstant, haben defacto nur ein Argument und können so wie oben beschrieben vorgehen. Y = Aαα 1 1 α Für den Faktor Arbeit, jetzt also apital festgehalten, erhalten wir folgenden Ausdruck 4 Regeln zum Ableiten Y A = Aα (1 α) α Oft ist im studentischen Alltag keine Zeit oder Notwendigkeit gegeben, den Anstieg einer Funktion über den Differenzen- bzw. Differentialquotienten zu bestimmen. Viele Generationen vor uns haben die wichtigsten Anstiege spezieller Funktionen bestimmt und niedergeschrieben. Diese werden jeweils an einem Beispiel dargestellt. Faktorregel: f() = a g() Beispiel: f () = a g () f() = 3 ln() ; f () = 3 1 Summenregel: f() = g() + h() f () = g () + h () Beispiel: f() = ln() ; f () = Produktregel: 5

6 f() = g() h() f () = g () h() + g() h () Qutientenregel: f() = g() h() f () = g () h() g() h () (h()) 2 Beispiel: Beispiel: f() = 4 2 ln() ; f () = 8 ln() + 4 f() = ; f () = 1 ( 2) 2 ettenregel: f() = g(h()) Beispiel: f () = g (h()) h () f() = (1 3 ) 5 ; f () = 15 2 (1 3 ) 4 5 Optimierung 5.1 Maimierung ohne Nebenbedingung Optimierungsprobleme nehmen in den Wirtschaftswissenschaften ein zentrale Rolle ein. Jedem untersuchten Wirtschaftssubjekt werden Verhaltensregeln unterstellt. Der Haushalt maimiert seinen Nutzen aus Freizeit und onsum und Unternehmen maimieren ihren Gewinn. Was aber genau heißt optimieren? Optimierungsprobleme ohne Nebenbedingung können mit Hilfe der Schulmathematik gelöst werden. Die Aufgabe besteht darin, die Argumente eines funktionalen Zusammenhangs zu finden, die f(), den Funktionswert, maimieren. Im Folgenden soll anhand einer kleinen urvendiskussion das Vorgehen wiederholt werden. Funktionswert 10 8 f 6 f'' f' f' f' 0 Argument Figure 4: Optimierung ohne Nebenbedingung 6

7 Abbildung 4 zeigt drei Funktionen. f(), die erste Ableitung f () (Anstieg) und die zweite Ableitung (rümmung) f (). Ein lokales Maimum, im folgenden mit bezeichnet, muss zwei riterien erfüllen. Zum einen darf eine Erhöhung von keine Steigerung von f() mit f() > f( ) zur Folge haben. Diese Bedingung erster Ordnung ist genau dann erfüllt, wenn der Anstieg der Funktion Null ist. notwendige Bedingung für Maimum: f ( ) = 0 Zum anderen müssen in einer beliebig kleinen ɛ-umgebung um die Funktionswerte kleiner als f( ) sein, so dass f( ± ɛ) < f() gilt. Die Bedingung zweiter Ordnung ist genau dann erfüllt, wenn f() bei konkav ist. onkavität bedeutet, dass die zweite Ableitung der Funktion negativ ist, der Anstieg also kleiner wird. hinreichende Bedingung für Maimum: f ( ) < Maimierung mit Nebenbedingung In Optimierungsproblemen gibt es typischerweise Einschränkungen. Der Haushalt maimiert seinen onsum beispielsweise unter der Nebenbedingung, dass seine Budgetbeschränkung erfüllt ist. Um Probleme dieser Art zu lösen, verwenden Ökonomen häufig die Methode der agrange-multiplikatoren. Im folgenden Beispiel soll ohne die Funktionsfähigkeit des agrangeansatzes zu beweisen, das allgemeine Vorgehen erläutert werden. Gegeben sei eine Produktionsfunktion Y = f(, ) = A α 1 α und die mit Preisen gewichteten Faktormengen als ostenfunktion, C(, ) = p +p. Welche ombination der Inputs führt nun bei einem bestimmten Outputniveau Ȳ zu minimalen osten? Die agrangefunktion für dieses Problem lautet: (,, λ) = p + p + λ(a α 1 α Ȳ ) Die Nebenbedingung A α 1 α = Ȳ wurde zu Aα 1 α Ȳ = 0 umgeschrieben, so dass die Produktion im Optimum dem geforderten Niveau entspricht. Die Bedingung erster Ordnung muss für alle Variablen erfüllt sein. Die agrangefunktion ist also nach allen Variablen abzuleiten und Null zu setzen. = p f(, ) + λ = 0 (1) 7

8 = p f(, ) + λ = 0 (2) = f(, ) Ȳ = 0 λ (3) Das Gleichungssystem (bestehend aus obigen notwendigen Bedingungen) determiniert, und λ. Für eine ökonomische Interpretation ist es hilfsreich, Bedingung 1 durch Bedingung 2 zu teilen: f(,) p λ = p λ f(,) (4) p p = f(,) f(,) = r w Eine bestimmte Menge wird also zu minimalen osten produziert, wenn das Verhältnis der Faktorpreise gerade dem Verhältnis der Grenzproduktivitäten der Faktoren entspricht. (5) 6 Elastizität Wie schon im apitel Steigung erwähnt, sind Ökonomen nicht nur an Niveaugrößen, sondern insbesondere auch an Veränderungen interessiert. Manchmal reicht das onzept des Anstiegs, die absolute Veränderung des Funktionswertes bei Variation des Argumentes, nicht aus. Die Änderung der nachgefragten Menge von Mittelklassewagen durch Erhöhung des Preises um einen Euro, mag nicht ins Gewicht fallen. Anders bei Butter. Um solche Sensitivitäten vergleichbar zu machen und von ihrer Einheit zu trennen, muss ein dimensionsloses Maß her. Elastizitäten messen also die Änderung der einen Größe im Verhältnis zur Änderung der anderen Größe nicht absolut, sonder relativ. Beispiel: Gegeben sei die Funktion y = f(). Der absolute Anstieg von f() durch Erhöhung des Argumentes auf + lautet: y f( + ) f() =. Die relative Änderung, die Elastizität von f bezüglich, lautet: ɛ y = y y / = y y = y y = y f( + ) f(). Diese Definition der Elastizität wird auch durchschnittliche oder Bogenelastizität von y im Intervall [, + ] genannt. 8

9 Um die Elastizität unabhängig vom Zuwachs in zu erhalten, kann für differenzierbare Funktionen gegen 0 betrachtet werden lim 0 f( + ) f() y = y f () = y df() d. Wegen infinitesimalen Änderungen in wird diese Elastizität auch Punktelastizität genannt. 7 Verschiebung von Graphen Regeln: y = f() + c verschiebt Graphen um c Einheiten für c > 0 nach oben, für c < 0 nach unten. y = f( + c) verschiebt den Grphen für c > 0 nach links, für c < 0 nach rechts. y y Figure 5: Graphenverschiebung oben/unten - links/rechts y = c f() streckt (staucht) den Graphen vertikal für c > 1 (0 < c < 1 ), für c < 1 ( 1 < c < 0) vertikale Streckung (Stauchung) und Spiegelung an der X-Achse. y y Figure 6: Graphenverschiebung strecken/spiegeln 9

10 8 Unsicherheit Viele Entscheidungen, die Wirtschaftssubjekte tätigen, haben mit der Zukunft zu tun. Unternehmen bilden Erwartungen über die Entwicklung auf den Märkten für die eigenen Produkte oder nehmen eine künftige Zinsentwicklung in die Planung der Investitionsvorhaben auf. onsumenten und Arbeitnehmer machen sich Gedanken über die zukünftige Preis- und ohnentwicklung und beziehen diese in heutiges Verhalten ein. Erwartungsbildung bedeutet in diesem Zusammenhang häufig, dass Unsicherheit über das Eintreten eines bestimmten Ereignisses in der Zukunft herrscht. Aus der statistischen Grundausbildung sind einige Momente von Zufallsvariabeln bekannt, die hier nochmal erwähnt werden. 8.1 Erwartungswert Der Erwartungswert einer Zufallsvariable X ist die Summe der einzelnen Ausprägungen, gewichtet mit ihrer Eintrittswahrscheinlichkeit. M E(X) := j f( j ) j=1 Der Erwartungswert entspricht dem arithmetischen Mittel bei statistischen Variablen. Die Wahrscheinlichkeiten f( j ) übernehmen hier die Rolle relativen Häufigkeiten. Der Erwartungswert einer Variablen X wird häufig auch mit µ X bezeichnet. 8.2 Varianz Die Varianz von Zufallsvariablen ist wie bei statistischen Variablen ein Streuungsmaß. Die Varianz gibt die erwartete, quadrierte Abweichung der Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert an. V (X) := E [X E(X)] ovarianz Die ovarianz zweier Zufallsvariablen mißt den Gleichlauf, die gemeinsame Tendenz, den stochastischen Zusammenhang dieser beiden Größen. Formal ist die ovarianz als der Erwartungswert des Produktes der Abweichungen der einzelnen omponenten von ihrem jeweiligen Mittelwert definiert. Cov(X, Y ) := E [(X µ Y ) (Y µ Y )] 10

11 Sind die untersuchten Größen unabhängig voneinander, ist die ovarianz Null. Umgekehrt kann aus einer ovarianz von Null nicht gleich auf Unabhängigkeit geschlossen werden. Ist die ovarianz aber verschieden von Null, so kann bei positiven Werten von einem Gleichlauf, bei negativen Werten von einer gegenläufigen Bewegung ausgegangen werden. Da ovarianzen mit obiger Definition nicht untereinander vergleichbar sind, sondern von den absoluten Abweichungen abhängen, kann durch das Produkt der Standardabweichungen geteilt werden und man erhält den orrelationskoeffizienten ρ XY := Cov(X, Y ) σ X σ Y Der orrelationskoeffizient hat dasselbe Vorzeichen wie die ovarianz, liegt aber stets zwischen 1 und +1. Er gibt die Strenge des linearen stochastischen Zusammenhangs unabhängig von den Größenordnungen und Varianzen der Variablen an. 9 Reihen Eine Summe aus Zahlen der Form s n = a + ak + ak ak n 2 + ak n 1 wird geometrische Reihe mit dem Quotienten k genannt. In der ökonomischen Analyse treffen wir häufig auf solche Reihen. Beispielsweise beim Aufsummieren eines diskontierten Zahlungsstromes oder dem Berechnen des Zeitpunktes an dem eine Umweltresource erschöpft sein wird. Zwei Dinge sind hier für uns von Bedeutung. Einmal interessiert uns der Wert der betrachteten Summe, zum Anderen ob diese gegen einen festen endlichen Wert konvergiert. Die Antwort auf die erste Frage wäre ein einfaches aufsummieren der Reihenglieder. großen Reihen werden wir aber schnell an unsere Grenzen stoßen. Ein kleiner Trick hilft uns weiter. Multipliziert man auf beiden Seiten mit k, erhält man ks n = ak + ak ak n 1 + ak n Anschließende Subtraktion dieser von der ersten Gleichung ergibt (1 k)s n = a ak n s n = a akn 1 k Bei Die Frage nach der onvergenz (Divergenz) lässt sich für geometrische Reihen schnell beantworten. Für k < 1 konvergiert die Summe für steigendes n gegen a 1 k und für k > 1 divergiert die geometrische Reihe. 11

12 10 Produktionsfunktion Die in der makroökonomischen Analyse am häufigsten unterstellte Produktionsfunktion ist vom Typ Cobb-Douglas. Sie beschreibt die ombinationsmöglichkeiten der Inputs (apital, Arbeit) und den damit erreichbaren Output (Y ). Y = f(, ) = α 1 α mit 0 < α < 1 Y=F[,A] apital Arbeit Figure 7: Cobb-Douglas Produktionsfunktion 10.1 Substitionsmöglichkeiten Isoquanten beschreiben alle ombinationen der Inputs, die zum gleichen Output führen. Der Anstieg der Isoquante (Grenzrate der Substitution) gibt das Substitutionsverhältnis der Faktoren an. über das totale Differential der Produktionsfunktion dy = f(, ) d + f(, ) Für Y = konst. kann der Anstieg d = 0 f(,) d d = f(,) = αα 1 1 α (1 α) α α = α 1 α α 1 α 1 α α = α 1 α 10.2 Grenzproduktivität Sie zeigt näherungsweise an, um welchen Betrag die Produktion steigt, wenn der Faktoreinsatz um eine Einheit erhöht wird. Unter vollkommener onkurrenz 12

13 werden die Produktionsfaktoren nach ihrem Grenzprodukt entlohnt. MP = dy d MP = dy d 10.3 Homogenität = f(, ) = f(, ) = αα 1 1 α = r = (1 α) α α = w Eine Funktion y = f( 1,..., n ) heißt homogen vom Grad k, k R, wenn für jedes a R f(a 1, a 2,..., a n ) = a k f( 1, 2,..., n ) gilt. Eine Steigerung aller Inputs um den Faktor a bewirkt einen Anstieg der Produktion um den Faktor a k. Für die Cobb-Dougloas Produktionsfunktion ergibt sich folgender Homogenitätsgrad f(a, a) = (a) α (a) 1 α = a α α a 1 α 1 α = a 1 α 1 α = a 1 f(, ) Es liegt für die Cobb-Douglas Produktionsfunktion Homogenität vom Grad 1 vor. Solche Funktionen werden auch linear homogen genannt. Ökonomisch interpretiert bedeudet eine linear homogene Produktionsfunktion konstante Skalenerträge. Eine Verdoppelung der Inputs (apital, Arbeit) hätte eine Verdoppelung des Outputs zur Folge Eulers Theorem - Ausschöpfungstheorem Aus dem Grad der Homogenität einer Funktion lässt sich eine weitere wichtige, ökonomisch relevante, Eigenschaft ableiten. Ist eine Funktion f(, ) homogen vom Grad k, dann gilt f(, ) + f(, ) = k f(, ) Für die hier betrachtete Produktionsfunktion vom Typ Cobb-Douglas und die eben gezeigte Eigenschaft linear homogen zu sein, ergibt sich f(, ) + f(, ) Somit wird in kompetetiven auf die Faktoren verteilt. = r + w = 1 f(, ) = Y Ökonomien das Produktionsergebnis vollständig 13

14 10.5 Substitutionselastizität Die Schwierigkeit bei einer isolierten Faktorpreisänderung (Produktivitätssteigerung) eine geeignete Substitution der Faktoren vorzunehmen, wird dimensionslos in der Substitutionselastizität ausgedrückt. Eine relative Änderung der Faktorpreise als Ursache und die daraus resultierende relative Änderung des Faktoreinsatzverhältnisses, kann geschrieben werden als σ = d( ) d( w r ) w r = d ( ) w r d ( w r ) = d ( ) d ( ) w r Mit dem Wissen aus apitel 10.2 können wir den Ausdruck w r als w r = (1 α)α α (1 α) α α 1 = 1 α α Umstellen nach w r w r = (1 α) α ergibt Den Ausdruck in (7) nach umgestellt und als linear in w r sich d ( ) d ( α ) w = (1 α) r (8) und (9) in (6) eingesetzt ergibt sich für σ σ = α (1 α) = 1 (1 α) α w r (6) auch schreiben (7) (8) interpretiert, ergibt Die Produktionsfunktion vom Typ Cobb-Douglas weist demnach eine Substituionselastizität von 1 auf. Unternehmen mit einer solchen Produktionsfunktion reagieren auf eine Änderung der apitalintensität. Änderung des ohn-zins Verhältnisses mit einer gleichen (9) 11 Ableitungen elementarer Funktionen f() onstante c 0 n ep a (a > 0; a 1) a (a > 0; a 1) ln() 1 f () n n 1 ep a ln(a) a ln(a) 14

15 References [1] A. Chiang,. Wainwright (2005), Fundamental Methods of Mathematical Economics, 4. Auflage, NewYork. [2] P. Dörsam (2005), Mathematik anschaulich dargestellt, 12. Auflage, Heidenau. [3]. Sydsaeter, P. Hammond (2006), Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, 2. Auflage, München. 15