Statistik. von Univ.-Prof. Dr. Karl Mosler Universität zu Köln

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1 Statstk von Unv.-Prof. Dr. Karl Mosler Unverstät zu Köln Der Begrff Statstk hat m Deutschen mehrere Bedeutungen: Erstens das Ergebns ener Datenerhebung und -auswertung, zwetens de entsprechende Aktvtät, drttens de Gesamthet der mt deser Aktvtät befassten Insttutonen, und vertens de wssenschaftlche Dszpln Statstk. Um letztere hauptsächlch geht es m Folgenden. Statstk als wssenschaftlche Dszpln st de Lehre von der methodschen Erhebung und Auswertung von Daten. Zu hren Aufgaben gehören de methodsche Erhebung und Berengung der Daten, de graphsche Darstellung, das Charakterseren durch Kennzahlen, das Schätzen unbekannter Parameter, das Testen von Hypothesen, de Prognose künftger Entwcklungen. Se gledert sch n zwe große Bereche, de beschrebende Statstk und de schleßende Statstk. De letzten dre Aufgaben und Tele der ersten werden der schleßenden Statstk, de übrgen der beschrebenden Statstk zugerechnet. De betrebswrtschaftlche Theore macht Aussagen über ökonomsche Größen und hre Bezehungen unterenander. Dese Aussagen bezehen sch auf reale Sachverhalte. Ihre Gültgket kann anhand von Beobachtungen des wrtschaftlchen Geschehens überprüft und quantfzert werden. Beobachtungen müssen zunächst enmal beschreben und gemessen werden. De Beobachtung und Messung des wrtschaftlchen Geschehens und de Sammlung der so gewonnenen Daten snd de Aufgaben der Wrtschaftsstatstk. De beschrebende Statstk, auch deskrptve Statstk genannt, dent dazu, de Daten unter bestmmten Aspekten zu beschreben und de n den Daten enthaltene Informaton auf hren für ene gegebene Fragestellung wesentlchen Kern zu reduzeren. De schleßende Statstk stellt darüber hnaus Methoden beret, um Aussagen der Theore anhand von Beobachtungsdaten als Hypothesen zu wderlegen oder zu bestätgen. Außerdem umfasst se Methoden, um unbekannte Modellparameter zu schätzen und um künftge Entwcklungen zu prognostzeren. Ene Grundaufgabe der beschrebenden Statstk st de Charakterserung der Daten durch Kennzahlen. De wchtgsten Kennzahlen snd Maße der Lage, der Streuung, und der Schefe sowe, be mehreren Merkmalen, des Zusammenhangs. Ene wetere Grundaufgabe der beschrebenden Statstk besteht darn, de Daten n Graphken überschtlch und anschaulch darzustellen. Der Datenerhebung voraus geht de snnvolle Auswahl der Beobachtungsenheten. De Erkennung und etwage Elmnaton von extremen oder untypschen Beobachtungen, so genannten Ausreßern, st ebenfalls ene Aufgabe der Statstk. Be Zetrehendaten st ggf. de Sasonfgur zu bestmmen und de Zetrehe um de Enflüsse der Sason zu berengen. De schleßende Statstk nennt man auch nduktve Statstk oder statstsche Inferenz. Se betet ene spezelle Art von Logk, de es erlaubt, aus Beobachtungsdaten Schlüsse zu zehen.

2 2 Allerdngs gelten de betreffenden Folgerungen ncht mt Scherhet, sondern nur mt großer Wahrschenlchket und unter bestmmten Annahmen über de Entstehung der Daten. In der statstschen Inferenz werden de beobachteten Daten als Ergebnsse von Zufallsvorgängen angesehen und m Rahmen von Wahrschenlchketsmodellen analysert. De Wahrschenlchketsrechnung bldet deshalb de Grundlage der statstschen Inferenz. Ausgangspunkt jeder statstschen Untersuchung st de Festlegung ener Grundgesamthet (Bespel: Börsentage enes Jahres, Betrebe ener Branche) und enes oder mehrerer beobachtbarer Merkmale, über de etwas ausgesagt werden soll. Grundlegend für de Auswertung st das Skalennveau der Merkmalswerte (=Daten). Man sprcht von metrsch skalerten Daten, wenn de Merkmalswerte Zahlen snd und hre Dfferenzen snnvoll verglchen werden können (Bespel: Temperatur, Beschäftgtenzahl), von ordnal skalerten Daten, wenn de Merkmalswerte snnvoll der Größe nach geordnet werden können; ansonsten von nomnal skalerten Daten. Be ener Totalerhebung werden de Daten aller Enheten der Grundgesamthet beobachtet, be ener Telerhebung nur ene Stchprobe davon. Ene solche Stchprobe muss nach allgemenen Prnzpen ausgewählt werden: Be der renen Zufallsauswahl hat jede Enhet der Grundgesamthet de gleche Chance, n de Stchprobe zu kommen. Be der geschchteten Zufallsauswahl wrd de Grundgesamthet zunächst n Schchten (bspw. de Wohnbevölkerung n In- und Ausländer) zerlegt und dann n jeder Schcht ene Zufallsauswahl durchgeführt. De Quotenauswahl st ene nchtzufällge, systematsche Auswahl, be der bestmmte vorgegebene Antele (bspw. an Männern und Frauen und an Altersgruppen) engehalten werden. Wenn de Daten egens für de Untersuchung erhoben werden, legt ene Prmärerhebung vor, ansonsten ene Sekundärerhebung. Längsschnttdaten bezehen sch auf enen Merkmalsträger zu verschedenen Zeten, Querschnttsdaten auf mehrere Merkmalsträger zu enem Zetpunkt; Paneldaten stellen ene Kombnaton von Längsschntt- und Querschnttdaten dar. En erster Schrtt der Auswertung st de Häufgketstabelle; se enthält alle möglchen Werte enes Merkmals und de absoluten (oder relatven) Häufgketen, mt denen se n den Daten vorkommen; se heßt auch dskrete Klasserung und lässt sch graphsch auf velerle Wese (etwa als Säulendagramm) veranschaulchen. Wenn ledglch de Häufgketen gezählt werden, mt denen de Merkmalswerte n bestmmte Intervalle fallen, sprcht man von stetger Klasserung; se st mt enem Informatonsverlust gegenüber den ursprünglchen Daten verbunden. En Lageparameter spegelt Verschebungen der Daten sowe Änderungen der Maßenhet weder. Wchtgster Lageparameter für metrsche Daten st das arthmetsche Mttel ( Mttelwerte), für ordnale Daten der Medan, für nomnale der Modus. En Skalenparameter ändert sch ncht be ener Verschebung der Daten, jedoch be ener Änderung der Maßenhet. Wchtgste Skalenparameter für metrsche Daten snd Standardabwechung und Spannwete, für ordnale Daten der Quartlsabstand ( Medan). Wetere Kennzahlen der Vertelung enes Merkmals snd Schefeparameter, de de Asymmetre, sowe Wölbungsparameter, de de Masse auf den äußeren Flanken der Vertelung messen ( emprsche Momente). Werden zwe Merkmale zuglech betrachtet, bldet man zuerst ene (zwedmensonale) Tabelle der gemensamen Häufgketen, auch Kontngenztafel genannt. Ihre Zelen- bzw. Spaltensummen blden de Randhäufgketen, das snd de gewöhnlchen Häufgketen der enzelnen Merkmale. Der Zusammenhang zweer Merkmale wrd durch den Korrelatonskoeffzenten gemäß Bravas-Pearson (be metrschen Daten), den

3 3 Rangkorrelatonskoeffzenten gemäß Spearman (be ordnalen Daten) und den Kontngenzkoeffzenten (be nomnalen Daten) gemessen. Dabe st zu beachten, dass der Korrelatonskoeffzent nur etwage lneare Zusammenhänge der Merkmale msst; en nchtlnearer, etwa quadratscher Zusammenhang blebt unbeachtet. Wchtgste Methode, den Zusammenhang zweer Merkmale zu quantfzeren, st de Regresson. De lneare Regresson unterstellt enen lnearen Zusammenhang zwschen dem Merkmal Y (der erklärten Varablen ) und dem Merkmal X (der erklärenden Varablen ), was graphsch ener Geraden n der XY-Ebene entsprcht. In der multplen lnearen Regresson wrd en Merkmal Y n entsprechender Wese durch mehrere Merkmale X,..., X m erklärt. Im Untersched zur beschrebenden Statstk bezeht de schleßende Statstk Begrffe und Modelle der Wahrschenlchketsrechnung n hre Methoden en. Man unterstellt, dass de erhobenen Daten Ergebnsse enes Zufallsvorgangs, das heßt, Realsatonen von Zufallsvarablen snd. Dabe werden Annahmen über desen Zufallsvorgang etwa, dass es sch um ene enfache Zufallsstchprobe handelt und über de n Frage kommenden Wahrschenlchketsvertelungen der Zufallsvarablen getroffen. Aus den beobachteten Daten zeht man dann mt Hlfe der Wahrschenlchketsrechnung Folgerungen über de konkret vorlegende Vertelung, nsbesondere über Erwartungswert, Varanz und anderen Parametern deser Vertelung. Weterhn st es möglch, Wahrschenlchketsaussagen über de Genaugket von Schätzern und de Gültgket von Hypothesen zu treffen. Etwa m Fall der lnearen Regresson unterstellt man, dass de Abwechungen zwschen dem beobachteten Y und dem erklärten lnearen Zusammenhang normalvertelt snd. Dann lässt sch mt Hlfe enes Sgnfkanztests entscheden, ob de Hypothese, dass de Stegung der Geraden von ull verscheden st, statstsch geschert werden kann. Ebenso lässt sch für jeden der beden Parameter der Regresson, Stegung und Ordnatenachsenabschntt, en Konfdenzntervall angeben, durch das der unbekannte Parameter mt ener vorgegebenen Wahrschenlchket (z.b. von 95%) überdeckt wrd. Statstsche Methoden snd unversell; se hängen grundsätzlch ncht vom Gebet hrer Anwendung ab. Enge Spezalgebete der Statstk snd jedoch von besonderer Bedeutung für de Betrebswrtschaftslehre: Zetrehenanalyse, Prognoseverfahren, Regressons- und Korrelatonsanalyse, Clusteranalyse, Eregnsanalyse, Statstsche Qualtätskontrolle; s.u. ene Auswahl aus der Lteratur. Sehe auch statstsche Software, Ausbldung n Statstk, Insttutonen der Statstk, Deutsche Statstsche Gesellschaft, Allgemene Enführungen n de Statstk für Betrebswrte (Auswahl): Bamberg, G., Baur, F. (2002): Statstk. Oldenbourg, München, 2. Auflage. Lppe, P. von der (996): Wrtschaftsstatstk. Amtlche Statstk und Volkswrtschaftlche Gesamtrechnungen. Lucus & Lucus, Stuttgart, 5. Auflage. Mosler, K., Schmd, F. (2005): Beschrebende Statstk und Wrtschaftsstatstk. Sprnger, Berln, 2. Auflage. Mosler, K., Schmd, F. (2005): Wahrschenlchketsrechnung und schleßende Statstk. Sprnger, Berln, 2. Auflage.

4 4 Rnne, H., (996): Wrtschafts- und Bevölkerungsstatstk: Erläuterungen, Erhebungen, Ergebnsse. Oldenbourg, München, 2. Auflage. Schra, J.(2005): Statstsche Methoden der VWL und BWL. Pearson Studum, München, 2. Auflage. Enführungen n relevante Spezalgebete (Auswahl): Blossfeld, H.-P., Hamerle, A., Meyer, K.U. (986): Eregnsanalyse. Campus, Frankfurt. Fahrmer, L., Hamerle, A. Tutz, G. (996): Multvarate statstsche Verfahren, DeGruyter, Berln, 2. Auflage. Pokropp, F. (996): Stchproben: Theore und Verfahren. Oldenbourg, München. Rnne, H. Mttag, H.-J. (99): Statstsche Methoden der Qualtätsscherung, Hanser, München. Internetsete des Autors:

5 5 ERKLÄRUGSSTICHWÖRTER Ausbldung n Statstk Im Rahmen des Studums der Betrebswrtschaftslehre an den deutschsprachgen Unverstäten und Fachhochschulen gehört ene Grundausbldung n Statstk zum Pflchtprogramm. Se umfasst n der Regel sowohl beschrebende als auch schleßende Methoden. Grundständge Studengänge des Fachs Statstk beten de Unverstäten Dortmund und München sowe de Berlner Free Unverstät gemensam mt der Humboldt- Unverstät Berln. An den mesten Hochschulen st nnerhalb des Studums der Mathematk ene Vertefung n statstschen Methoden möglch. Insttutonen der Statstk Zur amtlchen Statstk n Deutschland gehört das Statstsche Bundesamt ( de statstschen Ämter der Länder und Kommunen sowe de statstschen Abtelungen weterer Behörden, etwa der Deutschen Bundesbank ( der Bundesagentur für Arbet ( und des Bundesmnsterums der Fnanzen ( Zur nchtamtlchen Statstk zählt man de unabhänggen Wrtschaftswssenschaftlchen Insttute: Das Insttut für Weltwrtschaft n Kel ( das Deutsche Insttut für Wrtschaftsforschung n Berln ( das Hamburger Weltwrtschaftlche Archv ( das IFO-Insttut für Wrtschaftsforschung ( das Rhensch-Westfälsche- Insttut für Wrtschaftsforschung ( und das Insttut für Wrtschaftsforschung Halle ( Zur nchtamtlchen Statstk gehören auch de Wrtschaftsforschungsnsttute von Interessenverbänden sowe unabhängge Insttutonen we der Sachverständgenrat zur Begutachtung der gesamtwrtschaftlchen Entwcklung ( de Monopolkommsson ( und Umfragensttute we IFAS ( und das Insttut für Demoskope Allensbach ( Wetere nützlche Datenquellen beten de nternatonalen Insttutonen, nsbesondere EUROSTAT ( de OECD ( und de Verenten atonen ( Statstsche Software Vele enfache statstsche Berechnungen lassen sch berets mt enem Tabellenkalkulatonsprogramm we EXCEL durchführen; ene Enführung dazu betet das Lehrbuch Mosler/Schmd, Beschrebende Statstk und Wrtschaftsstatstk, Berln De kommerzellen Programmsysteme SPSS ( und S-Plus ( enthalten ene Velzahl von über Menüs zugänglchen höheren

6 6 statstschen Verfahren; hr snnvoller Ensatz setzt bem Benutzer allerdngs ene genaue Kenntns der verwendeten Methoden und hrer spezfschen Voraussetzungen voraus. Das Gleche glt für de Programmsysteme Stata ( und SAS ( de wetere flexble Möglchketen der statstschen Analyse beten. Spezell für de Analyse von Zetrehen und ökonometrschen Problemen wurde das Programmsystem Evews ( entwckelt. Ene nchtkommerzelle, kostenlose Alternatve zu S-Plus betet das Projekt R ( Deutsche Statstsche Gesellschaft De Deutsche Statstsche Gesellschaft ( wurde 9 von Georg von Mayr gegründet. Se umfasst etwa 800 Statstker aller Fachrchtungen als Mtgleder. Ihr Zel st de Förderung der statstschen Wssenschaften n Theore und Praxs. Se versteht sch dabe als Bndegled zwschen den Produzenten und den utzern statstscher Methoden. Wssenschaftlche Zetschrft der Gesellschaft st das verteljährlch erschenende Allgemene Statstsche Archv. Wahrschenlchketsrechnung De Wahrschenlchketsrechnung dent der Quantfzerung des möglchen Auftretens von Eregnssen. Grundmodell st der Zufallsvorgang, das st en Vorgang, dessen Ergebns m Voraus ncht feststeht. Jedem von endlch velen möglchen Ergebnssen wrd ene Zahl zwschen ull und Ens, sene Wahrschenlchket, zugeordnet; de Wahrschenlchketen aller Ergebnsse adderen sch zu Ens. Im Rahmen der Wahrschenlchketsrechnung werden abhängge und unabhängge Zufallsvorgänge, Folgen von Zufallsvorgängen und numersche Ergebnsse von Zufallsvorgängen ( Zufallsvarable) untersucht. Es werden Wahrschenlchketen abgeleteter Eregnsse berechnet und Wahrschenlchketsvertelungen von Zufallsvarablen durch geegnete Parameter charaktersert. De Wahrschenlchketsrechnung erstreckt sch auch auf Zufallsvarable mt unendlch velen Ergebnssen. Er erlaubt approxmatve Berechnungen von Wahrschenlchketen m Rahmen von sogenannten Grenzwertsätzen. Enführende Lteratur zur Wahrschenlchketsrechung für Betrebswrte: Bamberg, G., Baur, F. (2002): Statstk. Oldenbourg, München, 2. Auflage. Mosler, K., Schmd, F. (2005): Wahrschenlchketsrechnung und schleßende Statstk. Sprnger, Berln, 2. Auflage. Zufallsvarable Ene Zufallsvarable X st das numersche Ergebns enes Zufallsvorgangs ( Wahrschenlchketsrechnung). Se kann endlch oder unendlch vele Werte auf der Zahlengeraden annehmen. De Vertelungsfunkton F(x) ener Zufallsvarablen X gbt für jede Zahl x de Wahrschenlchket an, mt der X den Wert x ncht überstegt. Wchtgste

7 7 Parameter ener Zufallsvarablen X snd hr Erwartungswert und hre Varanz. Falls X nur endlch vele Werte x,..., x k mt Wahrschenlchketen p,..., p k annmmt, st sen k Erwartungswert E[ X ] = = x p, also das mt den Wahrschenlchketen gewchtete Mttel der Zufallsvarablen. De Varanz V [ X ] st de - ebenfalls mt den Wahrschenlchketen gewchtete - quadrerte Abwechung der Zufallsvarablen von hrem Erwartungswert: k 2 V [ X ] = = ( x [ ]) E X p. Der Erwartungswert charaktersert de Lage, de Varanz de Streuung ener Zufallsvarablen. De Quadratwurzel aus der Varanz heßt σ X = V X. Standardabwechung, [ ] [ ] Mttelwerte In der beschrebenden Statstk bezechnen Mttelwerte de allgemene Lage von metrsch skalerten ( Statstk) Daten x, x 2,..., x. Der am wetesten verbretete Mttelwert st das arthmetsche Mttel x = x ( ) = x + x + + x = 2 K. Es wrd auch kurz als Mttelwert oder Durchschntt der Daten bezechnet. Ene Verallgemenerung des arthmetschen Mttels bldet das gewchtete Mttel. Es hat de Form x w = = w x mt Gewchten w 0 für alle und = w =. Man nennt w x gewchtetes Mttel zum Gewchtsvektor w ( w w,..., ), 2 w n =. De Gewchte snd für de jewelge Anwendung geegnet zu wählen. Spezell, wenn alle Gewchte glech snd, erhält man das arthmetsche Mttel. Wenn man besonders große und besonders klene Werte weglässt, und zwar sowohl oben we unten enen Antelα der Daten ( 0 < 0,5) < α, und das arthmetsche Mttel aus den verblebenden Daten berechnet, erhält man das α -getrmmte Mttel x α. Das harmonsche Mttel x H st der Kehrwert des arthmetschen Mttels der Kehrwerte der Daten, = x =. Das geometrsche Mttel H x x G wrd vor allem zur Berechnung von durchschnttlchen Wachstumsfaktoren und Wachstumsraten benötgt (Voraussetzung: alle > 0 x = x x K. x ), es glt ( ) G 2 x Medan Falls de Daten x,..., x ordnal skalert ( Statstk) snd, wrd hre Lage durch den Medan beschreben. Um hn zu berechnen, ordnet man zunächst de Werte n aufstegender Wese. Falls ungerade st, st er der an de Stelle ( + ) / 2 geordnete Wert, falls gerade st, st er der an de Stelle / 2 geordnete Wert. Offenbar legt rechts und lnks vom Medan jewels etwa de Hälfe der Daten. In ähnlcher Wese werden wetere Quantle berechnet. Das untere Quartl telt de Daten m Verhältns 4 zu 3 4, das obere Quartl m Verhältns 3 4 zu 4. Quntle untertelen de Daten n Fünftel, Perzentle n Hundertstel.

8 8 Grundgesamthet De Grundgesamthet st de Gesamthet der Enheten, über de ene statstsche Untersuchung etwas aussagen soll. Se st ene Menge m Snne der Mengenlehre. Ihre Elemente heßen Untersuchungsenheten, statstsche Enheten oder Merkmalsträger. De Grundgesamthet ener statstschen Untersuchung muss n sachlcher, räumlcher und zetlcher Hnscht genau abgegrenzt sen. (Bespele: Personen mt deutscher Staatsangehörgket am , n Deutschland m Jahre 2004 produzerte Personenkraftwagen). Ene Grundgesamthet (oder enen Tel davon) bezechnet man auch als statstsche Masse. Man sprcht von ener Bestandsmasse, wenn se durch Angabe enes Zetpunkts abgegrenzt wrd, und von ener Bewegungsmasse, wenn se durch Angabe enes Zetraums bestmmt st. Unter enem Merkmal versteht man ene Egenschaft der Merkmalsträger, de statstsch untersucht wrd. En Merkmal hat verschedene möglche Merkmalswerte. Grundgesamthet und Merkmale müssen zu Begnn ener jeden statstschen Untersuchung präzse festgelegt werden. De zu untersuchenden ökonomschen Größen snd zu operatonalseren, d.h. um ene Vorschrft zu ergänzen, de hre konkrete numersche Beobachtung be den Merkmalsträgern ermöglcht. De beobachteten Werte enes Merkmals n ener Grundgesamthet werden n ener Datenmatrx zusammengefasst: deren Zelen entsprechen den Untersuchungsenheten, de Spalten den ggf. mehreren erhobenen Merkmalen. Indexzahlen De zetlche Veränderung ener enzelnen ökonomschen Größe (Bespel: Pres enes Markenprodukts) von enem Zetpunkt auf enen anderen wrd durch ene Messzahl, den Quotenten der Größe zu den beden Zetpunkten, dargestellt. Um de zetlche Änderung mehrerer Größen mt ener Zahl zu messen, muss man deren enzelne Messzahlen geegnet aggregeren. Ene Indexzahl st en gewchtetes Mttel ( Mttelwerte) von Messzahlen. Des se am Bespel enes Presndexes für Konsumgüter verdeutlcht: Her werden de Gewchte nach den wertmäßgen Antelen der enzelnen Güter am Konsum bemessen. Man betrachtet enen Warenkorb (das st ene Kollekton von bestmmten Gütern) zu zwe verschedenen Zeten, der Basszet und der Berchtszet. En Presndex st en gewchtetes Mttel von Presmesszahlen, d.h. der Presverhältnsse zwschen Bass- und Berchtszet der enzelnen Güter. Als Gewchte werden de Antele der Umsätze (Pres mal Menge) der enzelnen Güter am Gesamtumsatz verwendet. Der Presndex vom Typ Laspeyres st en gewchtetes arthmetsches Mttel, gewchtet mt den Umsätzen der Basszet. Der Presndex vom Typ Paasche st en gewchtetes harmonsches Mttel, gewchtet mt den relatven Umsätzen der Berchtszet. In entsprechender Wese werden Mengenndzes und Wertndzes gebldet. Das Statstsche Bundesamt ( Insttutonen der Statstk) berechnet und veröffentlcht regelmäßg Presndzes und andere Indexzahlen für de verschedenen Sektoren der Wrtschaft. Emprsche Momente

9 9 Betrachtet werden Daten x,..., x enes Merkmals. Als erstes emprsches Moment der Daten bezechnet man das arthmetsche Mttel x ( Mttelwerte) als zwetes emprsches Moment = 2 de emprsche Varanz σ = ( x x) X 2. De Wurzel aus der emprschen Varanz heßt 2 emprsche Standardabwechung. Während x en Lageparameter st, st σ X = σ X en 3 3 X / σ beschrebt Abwechungen der Daten von der Symmetre; be Symmetre glt g X = 0. Das verte emprsche Moment st de Wölbung oder Kurtoss; se st analog der Schefe mt der verten statt der drtten Potenz defnert. De Wölbung ener symmetrschen Vertelung von Daten st en Maß für de Stärke der Flanken der Vertelung, d.h. des relatven Auftretens extremer Werte. Skalenparameter. Das drtte emprsche Moment, de Schefe g = = ( x x) KURZSTICHWÖRTER Varanz.n der beschrebenden Statstk: sehe Emprsche Momente, 2. n der Wahrschenlchketsrechnung: sehe Zufallsvarable. Modus. (=Modalwert) von Daten: en am häufgsten vorkommender Merkmalswert ( Grundgesamthet), 2. ener stetgen Zufallsvarablen: Stelle des stelsten Anstegs der Vertelungsfunkton. Spannwete von Daten st de Dfferenz aus dem größten und dem klensten vorkommenden Wert ( Statstk).