Posten: Fraktale. Georg Christoph Lichtenberg, Mathematiker und Physiker, , Lichtenbergsche Figuren 2
|
|
- Peter Ackermann
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Katosschule Solothur Werkstatt zu Folge & Reihe Poste: Fraktale Fraktale Eileitug Die Realität ist vielleicht das reiste Chaos. 95 erkate ich, dass die gerade Liie zum Utergag der Meschheit führt. Aber die gerade Liie ist zur absolute Tyraei geworde. Die gerade Liie ist der Fluch userer Zivilisatio. Heute erlebe wir de Triumph der ratioale Techik, ud währeddesse befide wir us gleichzeitig vor dem Nichts. Das Wort Fraktal wurde vo Madelbrot erfude, um eie umfagreiche Klasse vo Objekte uter eiem Begriff zu vereie, die i der Etwicklug der reie Mathematik eie historische Rolle gespielt habe... Eie grosse Revolutio der Idee tret die klassische Mathematik des 9. Jahrhuderts vo der modere Mathematik des 0. Jahrhuderts. Die Wurzel der klassische Mathematik liege i de reguläre geometrische Strukture vo Euklid ud de strege Dyamike vo Newto. Mit der Megetheorie vo Cator ud de raumfüllede Kurve vo Peao bega dagege die modere Mathematik. Historisch wurde die Revolutio vo der Etdeckug mathematischer Strukture erzwuge, die icht i die Muster vo Euklid ud Newto passte. Diese eue Strukture betrachtete ma... als pathologisch,... als eie Galerie vo Moster dem Kubismus 5 ud der aatole Musik 6 verwadt, welche etwa zur selbe Zeit die etablierte Geschmacksmassstäbe i der Kust umstiesse. Die Mathematiker beutzte die vo ihe geschaffee Moster zum Nachweis, dass der Variatereichtum der reie Mathematik weit über die eifache, i der Natur sichtbare Strukture hiausgeht, ud die Mathematik des 0. Jahrhuderts lebte im Glaube, die vo ihre atürliche Ursprüge abgestreckte Greze vollstädig überschritte zu habe. Doch... die Natur hat wie Madelbrot herausarbeitet mit de Mathematiker ihre Spass getriebe. Vielleicht fehlte es de Mathematiker des vorige Jahrhuderts a Vorstellugskraft, der Natur jedefalls icht. Vo de gleiche pathologische Strukture, die die Mathematiker erfade, um sich vom Naturalismus des 9. Jahrhuderts zu löse, erweist sich u, dass die vertraute, us umgebede Objekte iewohe. 7 Die fraktale Geometrie stelle keie direkte Awedug der Mathematik des 0. Jahrhuderts dar. Sie ist ei euer Zweig, der verspätet ach der Krise der Mathematik 8 gebore wurde. Diese Krise bega 875 ud dauerte bis ca. 95. Ihre Hauptakteure ware Cator, Peao, Lebesque ud Hausdorff. Georg Christoph Lichteberg, Mathematiker ud Physiker, 7 -, Lichtebergsche Figure Friedesreich Hudertwasser, Küstler, fragere (lat.): zerbreche, uregelmässige Bruchstücke erzeuge Beoit B. Madelbrot, Vater der fraktale Geometrie, 5 Richtug der modere Kust: Cézae, Braque, Picasso 6 icht toale Musik; A. Schöberg 7 F.J. Dyso 8 Reymo du Bois etdeckte eie vo Weierstrass kostruierte stetige aber ichtdifferezierbare Fuktio
2 Grudbegriffe Iteratio Es wird eie bestimmte Operatio ausgeführt, mit dem erhaltee Resultat wird da wieder dieselbe Operatio ausgeführt, usw. Eie solche Operatio et ma Iteratio. Selbstählichkeit Ei Gebilde heisst selbstählich (skaleivariat), we es ählich eiem Teil vo sich selbst ist. Klassische Fraktale Cator Mege Je le vois, mais je e le crois pas! 9 Iteratio: Wir starte mit eier Strecke, eiem abgeschlossee Itervall, bsp. [0,]. Diese wird i drei gleiche Teile geteilt ud da das mittlere offee Itervall herausgewischt. Es verbleibe also ach der erste Wischug die Itervalle [0,/] ud [/,]. Mit diese verfahre wir geau gleich. Nach Wischuge habe wir abgeschlossee Itervalle der Läge. Wird die Zahl der Wischuge uedlich oft wiederholt ( ), so bleibt schliesslich eie Mege disjukter Staubkörer übrig. Die Strecke ist zerbröselt. Wir spreche vo eier Limesmege, vom Cator-Drittelstaub. Eigeschafte: Die Cator-Drittelmege ist selbstählich. Die Cator-Drittelmege ist uabzählbar. Die Mächtigkeit der Cator-Mege etspricht der Mächtigkeit des Itervall [0,], d.h. der Mächtigkeit des Kotiuums. Bei userem Wischvorgag wird alles herausgewischt, trotzdem hat die übrigbleibede Mege die Mächtigkeit des Kotiuums. ( Alles wird herausgewischt ud es bleibt Nichts übrig. Trotzdem ist dieses Nichts so mächtig wie Alles. ) 9 Georg Cator, 85-98
3 Katosschule Solothur Werkstatt zu Folge & Reihe Poste: Fraktale Übuge. Die Kochkurve Erzeugug: Ma ehme eie abgeschlossee Strecke, teile sie i drei kogruete Teile, errichte über der mittlere Strecke ei gleichseitiges Dreieck ud wische da die Grudliie dieses Dreiecks weg (K). Mit de verbleibede Strecke verfahre ma auf dieselbe Weise, dies führt zu K, K,... Wird diese Iteratio uedlich oft wiederholt, ergibt sich eie Limesmege, die Kochkurve.. Utersuche die Azahl Strecke A der K.. Utersuche die Läge S der Strecke.. Bestimme die Läge L der K.. Für welches ist die Läge erstmals grösser als der Aequator? 5. Bestimme die Gesamtläge der Kochkurve. 6. Was ka ma vo der Fläche uter der Kochkurve sage? Bereche sie. Stufe Azahl der Teilstrecke A Läge eier Teilstrecke S Gesamtläge L Flächeihalt uter der Kurve 0
4 . Das Sierpiski Dreieck a) Bestimme de Iitiator ud de Geerator. b) Bestimme die Azahl Dreiecke (D, D,...,D 5) so wie die Läge der dazugehörige Dreiecksseite. c) Gib eie explizite Defiitio des Flächeihaltes D a. d) Bereche u de Gesamtumfag ud de Flächeihalt des Sierpiski Dreiecks. Ist das icht erstaulich?. Verschachtelte Quadrate: Im erste Bild wehe wir eie Schar vo kleier werdede Quadrate. Zu jedem Quadrat existiert dabei ei eibeschriebees Folgequadrat. Die Eckpukte der eibeschriebee Quadrate liege jeweils auf de Seitemittelpukte ihrer Vorgäger. I Gedake köe wir de Vorgag beliebig oft wiederhole. Schraffiere die vier grösste Teildreiecke rot ud bestimme die Gesamtfläche s dieser Dreiecke. (Kateläge des grösste Quadrates sei Lägeeiheit). Bestimme ebeso die Fläche s, s, s, Bereche die Summe s + s + s +. Wie gross wird der maximale Wert dieser Summe? Im zweite Bild liege die Eckpukte des eibeschriebee Quadrates so, dass die Seite des grosse Quadrates mit ¼ zu ¾ uterteilt sid. Zeiche weitere Nachfolgequadrate. Bereche die Koordiate der Eckpukte der eibeschriebee Quadrate. Alterative: Nimm statt eies Quadrates ei Rechteck ud erzeuge zeicherisch ei Fraktal.
5 Katosschule Solothur Werkstatt zu Folge & Reihe Poste: Fraktale Lösuge Kochkurve Stufe Azahl der Teilstrecke A Läge eier Teilstrecke S Gesamtläge L Flächeihalt uter der Kurve 0 0 / / 6 /9 6/8 /7 6/7 6 /8 /. A =. S =. L =. = 6.78*0 8 = 0.5, d.h. ab = 0 5. Die Läge wird uedlich gross a = = q 0 Das Sierpiski Dreieck b) D =, D =, D =,..., D = + L =, L = ½, L = ¼,..., L = c) F =, F = * *F, F = * *F,..., F = d) F = 0 ud U Verschachtelte Quadrate s + s + s + = = 5
Quadratfraktal. Abbildung 1 Abbildung 2 Abbildung 3
Nimm ei quadratisches Blatt Papier. Scheide lägs eier Diagoale eimal die Hälfte ab. Zerlege die zweite Hälfte i vier rechtwiklige gleichscheklige Dreiecke (Abb. ). Zwei dieser vier Dreiecke kast du u abscheide
MehrKlausur 1 über Folgen
www.mathe-aufgabe.com Klausur über Folge Hiweis: Der GTR darf für alle Aufgabe eigesetzt werde. Aufgabe : Bestimme eie explizite ud eie rekursive Darstellug! a) für eie arithmetische Folge mit a = 6, ;
MehrSPIRALE AUS RECHTECKEN
SPIRALE AUS RECHTECKEN Die Rechtecke sid aus eiem Papierblatt im Format DIN A4 durch sukzessives Halbiere herausgeschitte ud da "über Eck" eu ageordet worde. Welche Folge bilde die Flächeihalte der Rechtecke
Mehr2.4 Ausgesuchte Fraktale und ihre Selbstähnlichkeitsdimension
4.4 Ausgesuchte Fraktale ud ihre Selbstählichkeitsdimesio.4. Das Sierpiski-Dreieck Als Sierpiski-Dreieck bezeichet ma das Grezbild, welches sich bei uedlicher Wiederholug des folgede Prozesses ergibt:.
MehrLösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015
Lösuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 04/05 Fabia Hafer, Thomas Baldauf I Richtig oder Falsch Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche Aussage. Gebe Sie
MehrRotationsvolumina Auf den Spuren von Pappus und Guldin
Rotatiosvolumia Auf de Spure vo Pappus ud Guldi Gegebe sei ei Kreis mit Radius r, desse Mittelpukt um a aus dem Ursprug eies kartesische Koordiatesystems i Richtug der Ordiate verschobe sei. Die Kreisfläche
MehrZusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele
Mehr( 1) n a n. a n 10. n=1 a n konvergiert, dann gilt lim a n = 0. ( 1) n+1
Kapitel 8 Aufgabe Verstädisfrage Aufgabe 8. Ist es möglich, eie divergete Reihe der Form a zu kostruiere, wobei alle a > 0 sid ud a 0 gilt. Beispiel oder Gegebeweis agebe. Aufgabe 8. Gegebe ist eie Folge
MehrTutorial zum Grenzwert reeller Zahlenfolgen
MAE Mathematik: Aalysis für Igeieure Herbstsemester 206 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Witerthur Tutorial zum Grezwert reeller Zahlefolge I diesem Tutorial lere Sie, die logische Aussage i der Defiitio des
MehrAufgaben zu Kapitel 8
Aufgabe zu Kapitel 8 Aufgabe zu Kapitel 8 Verstädisfrage Aufgabe 8. Ist es möglich, eie divergete Reihe der Form a zu kostruiere, wobei alle a > 0 sid ud a 0 gilt. Beispiel oder Gegebeweis agebe. Aufgabe
MehrÜbungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2
F. Hafer, T. Baldauf c Techische Uiversität Müche Übuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 06/07. Richtig oder Falsch? Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche
Mehr5.7. Aufgaben zu Folgen
5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004) Aufgabe 7. Ubeschräktes
MehrNachtrag. Alternatives Buch zum Satz von Fermat 1999 bei amazon nur noch gebraucht
Nachtrag Alteratives Buch zum Satz vo Fermat 1999 bei amazo ur och gebraucht 1 Uedliche (Zahle-) Mege 2 Wiederholug Steuer Bei eiem Eikomme vo ud eiem Steuersatz vo 33% müsse Sie Steuer zahle. Da werde
Mehr4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa
20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle
MehrAufgabe G 1.1. [Vollständige Induktion, Teleskopsumme] n k 3 = n N : k(k + 1) = 1 1
Istitut für Aalysis ud Algebra Mathematik I für Studierede der E-Techik Prof Dr Volker Bach WiSe 06/7 M Sc Birgit Komader M Sc Christoph Brauer Theme: Groe Übug - Lösuge Vollstädige Iduktio - Teleskopsumme
MehrFolgen und Reihen. 23. Mai 2002
Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge 2 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge.................. 2 1.1.1 Rekursive Defiitio eier Folge......................... 3 1.2
MehrAnalysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:
Mehrn=0 f(x) = log(1 + x) = n=1
Potez - Reihe Machmal ist es praktisch eie Fuktio f() mir Hilfe ihrer Potezreihe auszudrücke. Eie Potezreihe um de Etwicklugspukt 0 sieht im Allgemeie so aus a ( 0 ) Fuktioe, für die eie Potezreihe eistiert,
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Von Kurven und Flächen. Das komplette Material finden Sie hier:
Uterrichtsmaterialie i digitaler ud i gedruckter Form Auszug aus: Vo Kurve ud Fläche Das komplette Material fide Sie hier: School-Scout.de Das bestimmte Itegral ach Riema Eizelstude 69 Klasse 11 ud 12
MehrNennenswertes zur Stetigkeit
Neeswertes zur Stetigkeit.) Puktweise Stetigkeit: Vo Floria Modler Defiitio der pukteweise Stetigkeit: Eie Fuktio f : D R ist geau da i x D stetig, we gilt: ε > δ >, so dass f ( x) f ( x ) < ε x D mit
Mehr1. Mathematikschulaufgabe
.0 Die Pukte P(0/-7) ud Q(5/-) liege auf eier ach ute geöffete Normalparabel p. G< x. Bereche die Gleichug der Parabel p. (Ergebis: y = - x + 6x - 7 ). Bestimme die Koordiate des Parabel-Scheitels. Gib
MehrNachklausur - Analysis 1 - Lösungen
Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:
MehrÜbungen zur Analysis I WS 2008/2009
Mathematisches Istitut der Uiversität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorste Heidersdorf Übuge zur Aalysis I WS 008/009 Blatt 3, Lösugshiweise Die folgede Hiweise sollte auf keie Fall als Musterlösuge
MehrBeispiellösungen zu Blatt 105
µ κ Mathematisches Istitut Georg-August-Uiversität Göttige Aufgabe 1 Beispiellösuge zu Blatt 105 Alva liebt Advetskaleder. Aber sie hat keie Lust, die Türe vo 1 bis i der ormale Reihefolge zu öffe. Daher
MehrFormelnfürdieAnzahlmöglicherQuadrateaufn*nSpielfeldern
Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 1 FormelfürdieAzahlmöglicherQuadrateauf*Spielfelder Mit Erläuteruge zur Ableitug der Formel vo Dr. Volker Bagert Berli, 11.03.010 Ihaltsverzeichis
Mehr3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.
3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.000, 1 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Defiitio: Eie
MehrReelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37
Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw.
MehrVorkurs Mathematik für Informatiker Folgen
Vorkurs Mathematik ür Iormatiker -- 8 Folge -- 11.10.2015 1 Folge: Deiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reiheolge wichtig,
MehrD-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 2
D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler Musterlösug 2 1. a) Per Defiitio ist A = {x : x berührt A}. I der Vorlesug wurde die Formel (X A) = ( A ) c gezeigt, also A = ( X A ) c. Daher ist A = A A = A (A ) c
MehrDas Erstellen von Folgen mit der Last Answer Funktion
Schülerarbeitsblatt Wisseschaftlicher Recher EL-W5 WriteView Das Erstelle vo Folge mit der Last Aswer Fuktio 5 9 Die obige Folge wird ach eier eifache Regel gebildet: Zu jedem Glied wird addiert. Über
MehrZahlenfolgen. Zahlenfolgen
Zahlefolge Eie Zahlefolge a besteht aus Zahle a,a,a 3,a 4,a 5,... Die eizele Zahle eier Folge heiße Glieder oder Terme. Beispiele für Zahlefolge sid die atürliche Zahle: 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5..., die gerade
MehrAbschlussprüfung 200X Wahlteil Mathematik I Aufgabe A 1
Abschlussprüfug 200X Wahlteil Mathematik I Aufgabe A 1 Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / A 1.0 A 1.1 Gegebe ist die Fuktio f mit der Gleichug 0,5 y 2 ( 3) 4,5 ( GI IR IR ). Begrüde Sie, warum ma bei
MehrA 2. Abb. 1: Analogon zum rechtwinkligen Dreieck
Has Walser, [0076], [0080] Verallgemeierug des Satzes vo Pythagoras Hiweis: H. Sch., W. Im Raum. Aalogo zum rechtwiklige Dreieck Wir ersetze de zweidimesioale rechte Wikel durch eie Raumecke, wie sie bei
MehrKombinatorik und Polynommultiplikation
Kombiatorik ud Polyommultiplikatio 3 Vorträge für Schüler SS 2004 W Pleske RWTH Aache, Lehrstuhl B für Mathematik 3 Eiige Zählprizipie ud Ausblicke Wir habe bislag gesehe, was die Multiomialkoeffiziete
Mehrsfg Quadratwurzeln a ist diejenige nichtnegative Zahl (a 0), die quadriert a ergibt: Die Zahl a unter der Wurzel heißt Radikand:
M 9.1 Quadratwurzel a ist diejeige ichtegative Zahl (a 0), die quadriert a ergibt: a 2 = a Die Zahl a uter der Wurzel heißt Radikad: a Quadratwurzel sid ur für ichtegative Zahle defiiert: a 0 25 = 5; 81
MehrGrenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen
. Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.
Mehr6. Übung - Differenzengleichungen
6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf
Mehr4. Reihen Definitionen
4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a 3 +... := Σ a
MehrZahlenfolgen und Konvergenzkriterien
www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit
MehrDer Durchschnitt einer Familie von σ-algebren auf M ist ebenfalls eine σ-algebra auf M. Ist also E M, so ist
Maßtheorie (Versio 0.3) 1. σ-algebra Ist M eie Mege, so et ma ei System vo Teilmege A M eie σ-algebra (auf M ), we gilt: A A A A c A Ist A N eie Familie vo Mege i A, so ist N A A A ist damit stabil uter
MehrMethoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln
6 Kovergete Folge Lerziele: Kozepte: Grezwertbegriff bei Folge, Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge Resultat: Mootoe beschräkte Folge sid koverget. Methode: Hero-Verfahre, Erweiterug vo Differeze vo Quadratwurzel
MehrPrüfungsaufgaben der Abschlussprüfung an Realschulen in Bayern! mit ausführlichen Musterlösungen. und Querverweise auf Theoriedateien der Mathe-CD
Vektor-Geometrie Koordiategeometrie Prüfugsaufgabe uter Verwedug vo Abbildugsgleichuge Prüfugsaufgabe der Abschlussprüfug a Realschule i Bayer! mit ausführliche Musterlösuge ud Querverweise auf Theoriedateie
Mehrn (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =
Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:
MehrABITURPRÜFUNG 2007 GRUNDFACH MATHEMATIK
ABITURPRÜFUNG 007 GRUNDFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Arbeitszeit: Hilfsmittel: 0 Miute Wörterbuch zur deutsche Rechtschreibug Tascherecher (icht programmierbar, icht grafikfähig) Tafelwerk Wähle Sie vo
MehrDie Jensensche Ungleichung
Die Jesesche Ugleichug Has-Gert Gräbe, Uiv Leipzig Februar 1998 1 Kovexe ud kokave Fuktioe Wir betrachte eie stetige Fuktio y = (x), die au eiem oee Itervall ]a, b[ deiiert sei möge Eie solche Fuktio köe
MehrKreisabbildungen. S 1 f S 1. Beispiele: (1) f = id, F = id,
Kreisabbilduge Im Folgede sehe wir us eie gaz spezielle Klasse vo dyamische Systeme a: Abbilduge auf dem Kreis. Diese sid eifach geug, so dass wir sie och recht leicht aalysiere köe, habe aber adererseits
MehrArbeitsblatt A 8-4 Polynom-& Wurzel-& Winkelfunktionen Teil 1/2
Schule Budesgymasiu um ür Berustätige Salzburg Modul Thema Mathematik 8 Arbeitsblatt A 8-4 Polyom-& Wurzel-& Wikeluktioe Teil 1/2 Polyomuktioe Eie wichtige Klasse vo Fuktioe bilde die Polyomuktioe (x =
Mehr1 Funktionen und Flächen
Fuktioe ud Fläche. Fläche Defiitio: Die Ebee R ist defiiert als Mege aller geordete Paare vo reelle Zahle: R = {(,, R} Der erste Eitrag heißt da auch Koordiate ud der zweite Koordiate. Für zwei Pukte (,,
MehrMichael Buhlmann Mathematik > Analysis > Newtonverfahren
Michael Buhlma Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre Eie Abbildug {a }: N -> R, die jeder atürliche Zahl eie reelle Zahl a zuordet, heißt (uedliche (Zahle- Folge: -> a oder {a } εn, a das -te Folgeglied.
Mehrund wird als n-dimensionaler (reeller) Vektorraum bezeichnet. heißt der von v 1,..., v k aufgespannte Unterraum des R n.
Reeller Vektorraum Kapitel Vektorräume Die Mege aller Vektore x mit Kompoete bezeiche wir mit x R =. : x i R, i x ud wird als -dimesioaler (reeller) Vektorraum bezeichet. Defiitio Ei Vektorraum V ist eie
MehrAnalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie
Aalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Mootoie Datei Nr. 40051 Friedrich Buckel Juli 005 Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt 1 Eiführugsbeispiele 1 Mootoie bei arithmetische Folge Defiitioe 3 3 Welche Beweistechik
MehrAT AB., so bezeichnet man dies als innere Teilung von
Teilverhältisse Aus der Geometrie der Dreiecke ket ma die Aussage, dass der Schwerpukt T eies Dreiecks die Seitehalbierede im Verhältis : teilt. Für die Strecke AT ud TM gilt gemäß der Abbildug AT : TM
Mehr1 Aussagenlogik und vollständige Induktion
Dr. Siegfried Echterhoff Aalysis 1 Vorlesug WS 08 09 1 Aussagelogi ud vollstädige Idutio Die Mathemati basiert auf eier Reihe vo Axiome, d.h. auf mathematische Aussage, die als (offesichtlich? wahr ageomme
MehrÜbungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx
Übuge zur Ifiitesimalrechug, H.-C. Im Hof 9. März Blatt 4 Abgabe: 6. März, Nachmittag Aufgabe. Zeige e x dx π. Beweis. Wir bemerke als erstes, dass e x dx e x dx + e x dx e x dx formal sieht ma dies per
MehrD-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Übungsblatt 8. b n := 1 n. a k. k=1
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Aalysis I HS 2017 Prof. Mafred Eisiedler Übugsblatt 8 1. Bereche Sie de Grezwert lim a für die Folge (a ) gegebe durch a) a = (2 1/ ) 10 (1 + 1/ 2 ) 10 1 1/ 2 1/, b) a = + 1, c)
MehrGeometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr
ZAHLENFOLGEN Teil Geometrische Folge Auch Wachstumsfolge Viele Aufgabe Lösuge ur auf der Mathe-CD Hier ur Ausschitte Datei Nr. 00 Friedrich Buckel März 00 Iteretbibliothek für Schulmathematik 00 Geometrische
MehrDie erste Zeile ("Nummerierung") denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen.
Folge ud Reihe (Izwische Stoff der Hochschule. ) Stad: 30.03.205. Folge Was sid Zahlefolge? Z.B. oder Das ist die vereifachte Wertetabelle eier Fuktio geschriebe wie üblich bei Fuktioe i eier Wertetabelle.
MehrZentrale Klassenarbeit unter Prüfungsbedingungen im Schuljahr 2009/2010. Mathematik (A) 26. März 2010
Miisterium für Bildug, Juged ud Sport Zetrale Klassearbeit uter Prüfugsbediguge im Schuljahr 009/00 Mathematik (A) 6. März 00 Zugelassee Hilfsmittel: - Tascherecher (icht programmierbar ud icht grafikfähig)
MehrWir weisen die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potenzmenge einer endlichen Menge A nach!
Lösug zu Übug 4 Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: grabowski@htw-saarlad.de Zu Aufgabe ) Wir weise die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potezmege eier edliche Mege A ach! ) Die leere Mege ud
MehrWir wiederholen zunächst das Majorantenkriterium aus Satz des Vorlesungsskripts Analysis von W. Kimmerle und M. Stroppel.
Uiversität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dr. D. Zimmerma MSc. J. Köller MSc. R. Marczizik FDSA 4 Höhere Mathematik II 30.04.2014 el, kyb, mecha, phys 1 Kovergezkriterie
MehrÜbungen mit dem Applet Taylor-Entwickung von Funktionen
Taylor-Etwickug vo Fuktioe Übuge mit dem Applet Taylor-Etwickug vo Fuktioe Ziele des Applets... Mathematischer Hitergrud... 3 Vorschläge für Übuge... 3 3. Siusfuktio si(...3 3. Cosiusfuktio cos(...4 3.3
MehrDie Wurzel einer Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgenommen wieder a ergibt.
Wurzel Wurzelexpoet Radikad oder auch Basis Die Wurzel eier Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgeomme wieder a ergibt. Die -te Wurzel et ma auch Quadratwurzel, dabei lässt ma die (als Wurzelexpoet)
MehrIndizieren Sie die folgenden Summen und Produkte gemäß der Vorgabe um und schreiben Sie sie einmal explizit aus: 5
FU Berli: WiSe 13-14 (Aalysis 1 - Lehr.) Übugsaufgabe Zettel 9 Aufgabe 37 Idiziere Sie die folgede Summe ud Produte gemäß der Vorgabe um ud schreibe Sie sie eimal explizit aus: 5 (a) + 1) 0( Lösug. Die
MehrÜbungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 8
Mathematisches Istitut der Uiversität Müche Prof Dr Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 8 032203 Übuge zur Aalysis für Iformatiker ud Statistiker Lösug zu Blatt 8 Aufgabe 8 [8 Pukte] (a) Für alle N sei = (+) Wir
MehrAnalysis II für M, LaG und Ph, WS07/08 Übung 2, Lösungsskizze
Gruppeübug Aalysis II für M, LaG ud Ph, WS7/8 Übug, Lösugsskizze G 4 (Zum warm werde). Begrüde die vo Physiker beliebte Näheruge si(x) x, cos(x) ud ta(x) x für kleie x R. Dies folgt direkt aus der Tayloretwicklug
MehrFolgen explizit und rekursiv Ac
Folge explizit ud rekursiv Ac 03-08 Folge sid Fuktioe, bei dee atürliche Zahle ( 0; ; ; ) reelle Zahle a() zugeordet werde. Ma schreibt dafür : a() bzw. a. Für die Folge schreibt ma auch < a >. Folge köe
MehrAufgrund der Körperaxiome ist jedoch
Hiweise: Der Doppelstrich // steht für eie Kommetarzeile. Tipp- ud Rechtschreibfehler köe trotz mehrfacher Kotrolle icht hudertprozetig vermiede werde. Die selbst erstellte Lösugsasätze orietiere sich
Mehr8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
8. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 36: Bestimme Sie alle z C, für die die folgede Potezreihe kovergiere: z z a, b! +, c z +. = = Lösug 36: Wir bezeiche de Kovergezradius mit r. a Wir wede das Quotietekriterium
MehrAufgabe 4.2. (a) lim 7 + = (b) lim. ( 2n 3 6n 2 + 3n 1. (c) lim n n 2 ( 1) n n 3) = lim. (d) n n + 1. lim. (e) n n. Aufgabe 4.3.
Folge Eie Folge ist eie Aordug vo reelle Zahle. Die eizele Zahle heiße Glieder der Folge. Kapitel 4 Folge ud Reihe Formal: Eie Folge ist eie Abbildug a : N R, a Folge werde mit a i i oder kurz a i bezeichet.
MehrComputergrafik Inhalt Achtung! Kapitel ist relevant für CG-2!
Computergrafik Ihalt Achtug! Kapitel ist relevat für CG-2! 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Historie, Überblick, Beispiele Begriffe ud Grudlage Objekttrasformatioe Objektrepräsetatio ud -Modellierug Sichttrasformatioe
MehrEinführung in die Grenzwerte
Eiführug i die Grezwerte Dieser Text folgt hauptsächlich der Notwedigkeit i sehr kurzer Zeit eie Idee ud Teile ihrer Awedug zu präsetiere, so dass relativ schell mit dieser Idee gerechet werde ka. Der
Mehr3 Grenzwerte. 3.1 Grenzwerte von Folgen
03-grezwerte.cdf 3 Grezwerte 3. Grezwerte vo Folge Kovergez Mache Folge zeige ei spezielles Verhalte, we der Idex sehr groß wird. Sie äher sich eier bestimmte Zahl. Betrachte wir zum Beispiel die Folge
Mehr18 2 Zeichen, Zahlen & Induktion *
18 2 Zeiche, Zahle & Idutio * Ma macht sich z.b. sofort lar, dass das abgeschlossee Itervall [ 3, 4] die Eigeschafte if[ 3, 4] 3 mi[ 3, 4] ud sup[ 3, 4]4max[ 3, 4] besitzt, währed das offee Itervall 3,
MehrFormulierungsvariante: Wie klein man auch immer eine Umgebung von 0 wählt, es liegen stets nur endlich viele Glieder ausserhalb dieser Umgebung.
3 8. Nichtabbrechede geom. Reihe Aufgabe: Utersuche das Verhalte der Folgeglieder q, we über alle Greze wächst! Wähle q =,.0,, 0.99, 0.5. Welche Eifluss hat das Vorzeiche vo q? Ergebis: Für - < q < ehme
Mehrc B Analytische Geometrie
KITL 9 alytische Geometrie Gerade arameterdarstellug eier Gerade ie Gerade g ist bestimmt durch eie Richtug, gegebe durch eie Vektor c, c 0, ud eie ukt, der auf der Gerade liegt Ma et de ufpukt i ukt X
Mehr4 Konvergenz von Folgen
4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder
MehrAufgaben zur Übung und Vertiefung
Aufgabe zur Übug ud Vertiefug ARITHMETISCHE ZAHLENFOLGEN Berufliches Gymasium / Uterstufe () Stelle Sie fest, welche der gegebee Folge arithmetisch sid: Bestimme Sie zuächst die erste füf Folgeglieder,
MehrResultate: Vertauschbarkeit von Grenzprozessen, Konvergenzverhalten von Potenzreihen
26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe 129 26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe Lerziele: Kozepte: Puktweise ud gleichmäßige Kovergez Resultate: Vertauschbarkeit vo Grezprozesse, Kovergezverhalte vo
Mehr1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung
Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite Lösuge zu Aalysis / 2.Übug. Eileitug Gleichmäßige Kovergez ist eie starke Eigeschaft eier Fuktioefolge. Formuliert ma sie für Netze, statt
MehrSkriptum zur ANALYSIS 1
Skriptum zur ANALYSIS 1 Güter Lettl WS 2017/2018 1. Grudbegriffe der Megelehre ud der Logik 1.1 Naive Megelehre [Sch-St 4.1] Defiitio eier Mege ach Georg Cator (1845 1918):,,Eie Mege M ist eie Zusammefassug
Mehr6 Grenzwerte von Zahlenfolgen
6 Grezwerte vo Zahlefolge Ei zetraler Begriff der Aalysis ist der des Grezwertes. Wir begie mit der Betrachtug vo Grezwerte vo Zahlefolge. 6. Zahlefolge 6.. Grudbegriffe Defiitio 6... Eie Fuktio f : Z
MehrElemente der Mathematik - Winter 2016/2017
4 Elemete der Mathemati - Witer 201/2017 Prof. Dr. Peter Koepe, Regula Krapf Übugsblatt 8 Aufgabe 33 ( Pute). Beweise Sie folgede Idetitäte durch vollstädige Idutio: (a) 0 2 (1)(21), N. (b) 2 (1 1 ) 1
MehrAbschlussprüfung 2012 an den Realschulen in Bayern
Prüfugsdauer: 150 Miute Abschlussprüfug 01 a de Realschule i Bayer Mathematik II Aufgabe B 1 Haupttermi B 1.0 Die Parabel p verläuft durch die Pukte P( 5 19) ud Q(7 5). Sie hat eie Gleichug der Form y
MehrTutoraufgabe 1 (Rekursionsgleichungen):
Prof. aa Dr. E. Ábrahám Datestrukture ud Algorithme SS4 Lösug - Übug F. Corzilius, S. Schupp, T. Ströder Tutoraufgabe (Rekursiosgleichuge): Gebe Sie die Rekursiosgleichuge für die Laufzeit der folgede
MehrÜbungen mit dem Applet Fourier-Reihen
Fourier-Reihe 1 Übuge mit dem Applet Fourier-Reihe 1 Mathematischer Hitergrud... Übuge mit dem Applet... 3.1 Eifluss der Azahl ud der Sprugstelle...3. Eifluss vo y-verschiebug ud Amplitude...4.3 Eifluss
MehrBeweistechniken Vollständige Induktion - Beispiele, Erweiterungen und Übungen
Beweistechike Vollstädige Iduktio - Beispiele, Erweiteruge ud Übuge Alex Chmelitzki 15. März 005 1 Starke Iduktio Eie etwas abgewadelte Form der Iduktio ist die sogeate starke Iduktio. Bei dieser Spielart
MehrKomplexe Zahlen. Gauss (1831) stellte eine strenge Theorie zur Begründung der komplexen Zahlen auf.
Komplexe Zahle Problem: x 2 + 1 = 0 ist i R icht lösbar. Zur Geschichte: Cardao 1501-1576: Auflösug quadratischer ud kubischer Gleichuge. Empfehlug: Reche z.b. mit 1 wie mit gewöhliche Zahle. Descartes
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Übug 6 3.03.20 Ihalt der heutige Übug Aufgabe D.7: Reche mit Zufallsvariable Erwartugswert- ud Variazoperator Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug
MehrEs werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy.
Vo der relative Häufigkeit zur Wahrscheilichkeit Es werde 20 Schüler befragt, ob sie ei Hady besitze. Das Ergebis der Umfrage lautet: Vo 20 Schüler besitze 99 ei Hady. Ereigis E: Schüler besitzt ei Hady
MehrBINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008
Stochasti ud ihre Didati Refereti: Iris Wiler 10.11.2008 Aufgabe: Führe Sie i der Seudarstufe II die Biomialoeffiziete als ombiatorisches Azahlproblem ei. Erarbeite Sie mit de Schülerie ud Schüler mithilfe
Mehrvon solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:
Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes
MehrMathematik I Nachtermin Aufgabe P 1. Name: Vorname: Klasse: Platzziffer: Punkte:
Prüfugsdauer: Abschlussprüfug 2008 150 Miute a de Realschule i Bayer R4/R6 Mathematik I Nachtermi Aufgabe P 1 Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: P 1.0 Die ebestehede Tabelle zeigt die Azahl der
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1
Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt Hausaufgabe Aufgabe. Bestimme Sie de Kovergezbereich M der folgede Reihe für
MehrHerzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2014
Herzlich Willkomme zur Vorlesug Aalysis I SoSe 2014 Prof. Dr. Berd Dreseler Lebediges Lere: Aufgabe Ich Wir 2 Reelle Zahle 2.1 Körperstruktur vo (K1) Additio ud Multiplikatio kommutativ: a b b a, ab ba.
MehrMathematik 1 für Informatik
Guter Ochs. Juli 203 Mathematik für Iformatik Probeklausur Lösugshiweise. a Bestimme Sie per NewtoIterpolatio ei Polyom px mit möglichst kleiem Grad, so dass p = p0 = p = sowie p2 = 7. i x i y i d i,i
MehrDas kollektive Risikomodell. 12. Mai 2009
Kirill Rudik Das kollektive Risikomodell 12. Mai 2009 4.1 Eileitug Wir betrachte i diesem Kapitel die Gesamtforderuge im Laufe eies Jahres. Beim Abschluss eies Versicherugsvertrages weiß der Versicherer
Mehr2 Differentialrechnung und Anwendungen
Differetialrechug ud Aweduge Differetialrechug ud Aweduge Der Begriff des Differetialquotiete hat sich i zahlreiche Aweduge ierhalb ud außerhalb der Mathematik als äußerst fruchtbar erwiese. Bestimmug
MehrLGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2017/2018
LGÖ Ks VMa Schuljahr 7/8 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Experte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
MehrKAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...
KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge.............................. 30 7.2 Grezwertbestimmug............................... 32 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug..................... 35 7.4
Mehr