2.4 Ausgesuchte Fraktale und ihre Selbstähnlichkeitsdimension

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1 4.4 Ausgesuchte Fraktale ud ihre Selbstählichkeitsdimesio.4. Das Sierpiski-Dreieck Als Sierpiski-Dreieck bezeichet ma das Grezbild, welches sich bei uedlicher Wiederholug des folgede Prozesses ergibt:. Wir wähle ei (gleichseitiges) Dreieck als Iitiator. (Abb..5, Stufe 0 oder Abb.., Stufe 0). Wir geeriere die ächste Stufe, idem wir die Figur der jeweils aktuelle Stufe mit dem Skalierugsfaktor! s = verkleier, drei Kopie erstelle ud diese da gemäß Abb..5, Stufe zusammesetze.. Der Schritt wird uedlich oft wiederholt. I Abbildug.5 ka ma achvollziehe, welches Bild sich ach drei Geerierugsprozesse ergibt. Stufe 0 Stufe Stufe Stufe Abb..5: Stufe bei der Etstehug des Sierpiski-Dreiecks Wir deke us diese Prozess uedlich fortgeführt. Zoome wir u i ei Teildreieck hiei, wird sich immer wieder das gleiche Bild ergebe. Ei passed gewählter Teil des Grezbildes stellt sich als Kopie der gaze Struktur dar. Da die Figur komplett aus verkleierte Kopie vo sich selbst zusammegesetzt werde ka, ist sie exakt selbstählich. Wir betrachte u diese Prozess geauer. Dazu bestimme wir auf jeder Stufe die Azahl der Teile, die Fläche eier verkleierte Kopie, die Gesamtfläche, die Kateläge eies Teiles ud de Gesamtumfag der Figur.

2 5 Stufe i Azahl der Teile i A eies Teiles A(i) = Kateläge eies Teiles 4 U(i) = = 7 = = = Abb..6: Etwicklug verschiedeer Größe des Sierpiksi-Dreiecks Die Fläche bildet eie geometrische Folge mit dem Faktor 4. Diese Folge kovergiert für gege Null. Damit hat das Sierpiksi- Dreieck keie Flächeihalt. Das ka dara liege, dass das Ausmesse i der. Dimesio icht passed ist, dass die Dimesio kleier als ist. Der Umfag ist eie geometrische Folge mit dem Faktor. Hier wächst der Zähler scheller als der Neer ud die Folge strebt für gege uedlich. Das bedeutet, dass das Sierpiski-Dreieck als Liieobjekt uedlich groß ist. Das ka dara liege, dass das Ausmesse i der. Dimesio icht passed ist, dass die Dimesio größer als ist. Das Sierpiski-Dreieck hat weder die Dimesio och die Dimesio. Im Folgede sid Fläche ud Umfag i Abhägigkeit der Etwicklugsstufe des Sierpiski-Dreiecks grafisch dargestellt.

3 6 Abb..7: Fläche i Abhägigkeit der Stufe Abb..8: Umfag i Abhägigkeit der Stufe Der Flächeihalt der Figur strebt gege 0, der Umfag gege. Somit ist die Figur weder Fläche och Liie. Da die Figur exakt selbstählich ist, köe wir die Selbstählichkeitsdimesio mit der im Kapitel. hergeleitete Formel bestimme. Wir habe = Teile ud s = ½. d s = log log( s ) = log log,585 Das Sierpiski-Dreieck hat also eie icht gazzahlige Selbstählichkeitsdimesio.

4 7 Wir möchte hier, mit Blick auf die Boxdimesio im Kapitel, och eie weitere Darstellug zur Selbstählichkeit des Sierpiski-Dreiecks vorehme. Je kleier die Kopie der Gesamtfigur sid, desto mehr braucht ma davo, um die Gesamtfigur zusammezusetze. Wir habe hier: Kehrwert des Skalierugsfaktors s Azahl der Kopie Wir kee dafür de mathematische Zusammehag, ämlich d s = = s d s s, wobei d s die Selbstählichkeitsdimesio ist. Solch eie Gesetzmäßigkeit ka ma liearisiere, idem ma die gaze Gleichug logarithmiert. log = d log s s, also eifach y = d! s x. I der grafische Darstellug y x erhält ma eie Ursprugsgerade (! log = 0) mit der Selbstählichkeitsdimesio d s als Steigug. Verwede wir de Zeherlogarithmus, so erhalte wir aus der obige Tabelle! log( ) s 0,00 0,600 0,90,04,505,806,07! log 0,477 0,954,44,9085,856,867,98 Abb..9: Kopieazahl i Abhägigkeit vo der Skalierug im doppel logarithmische Diagramm

5 8 Der Mathematiker ud Hochschullehrer Sierpiski hat dieses Dreieck 90 seie Studete präsetiert, um deutlich zu mache, dass die Begriffe Liie ud Fläche durchaus icht trivial sid. Waclaw Fraciszek Sierpiski war eier der berühmteste polische Mathematiker. Er lebte vo 88 bis 969 ud studierte am Istitut für Mathematik ud Physik a der Warschauer Uiversität. 908 wurde er Dozet ud 90 schließlich Professor a de Uiversitäte vo Lemberg (Lviv), Moskau ud Warschau. Er wurde bekat für seie herausragede Beiträge zur Megelehre, Zahletheorie, Fuktioetheorie ud Topologie. Drei bekate Fraktale, das Sierpiski-Dreieck, der Sierpiski-Teppich ud der Sierpiski-Tetraeder, sid ach ihm beat..4. Der Sierpiski-Teppich Als Sierpiski-Teppich bezeichet ma ma das Grezbild, welches sich bei uedlicher Wiederholug des folgede Prozesses ergibt:. Wir wähle ei Quadrat als Iitiator. (Abb..0, Stufe 0). Wir geeriere die ächste Stufe idem wir die Figur der aktuelle Stufe mit dem Skalierugsfaktor s = / verkleier, acht Kopie erstelle ud diese da gemäß Abb..0, Stufe zusammesetze.. Der Schritt wird uedlich oft wiederholt. Stufe 0 (Iitiator) Stufe (Geerator) Stufe Abb..0a: Die erste Stufe zur Erzeugug des Sierpiski- Teppichs

6 9 Stufe Stufe 4 Abb..0b: Die ächste beide Stufe Wir wolle u de Flächeihalt dieses Fraktals bereche. De Flächeihalt vo Stufe 0 setze wir. Der Geerator verdeutlicht, dass vom Iitiator Kopie mit dem Skalierugsfaktor! s = hergestellt ud 8 Kopie verwedet werde. Jede eizele Kopie hat de Flächeihalt = 9.! Zum Nachvollzug der Flächeberechug des Grezbildes ist es aschaulicher, sich die Etwicklug des Fraktals vo Stufe zu Stufe als Prozess des Etferes immer kleier werdeder Quadrate vorzustelle. Es ist sicher hilfreich, sich die eizele Schritte a Abb..0 sukzessive zu veraschauliche. Der Geerator ordet 8 auf 9 verkleierte Fläche a. I der Mitte wurde ei Quadrat mit dem Flächeihalt 9 etfert. Die i Stufe verbleibede Fläche beträgt also: 9. I Stufe fehlt u, wie ma i Abb.0a achvollziehe ka, zusätzlich jedem der 8 Quadrate aus Stufe 9 seier Fläche, also jeweils 9 vo 9, also 9 9 =. Da diese Fläche bei jedem der 8 9 kleie Quadrate fehlt, ergibt sich zur Berechug des Flächeihaltes i der Stufe folgeder Ausdruck: 9 8 9

7 0 I Stufe fehle u zusätzlich och kleiere Quadrate, die wiederum 9 der Lochgröße aus Stufe besitze, ämlich 9 vo 9, also 9 9 =. Da es davo 8 8 = 64 gibt, erhalte wir für de 9 Flächeihalt i der. Stufe de folgede Ausdruck: I der folgede Tabelle soll och eimal ei Überblick über die Flächeetwicklug i de eizele Stufe gegebe werde. Stufe Azahl Teile Fläche des herausgeschittee Stückes Teppichfläche 0 0 8! = = k = 8 k Abb..: Etwicklug der Fläche bei der Etstehug des Sierpiski- Teppichs Aalysiert ma die Flächeetwicklug vo Stufe zu Stufe, stellt ma fest, dass sich die Berechug der Restfläche aus der Differez vo ud der Summe der geometrische Folge der Fläche, die herausgeomme wurde, ergibt. Restfläche = k = 8 k Für die Summe eier geometrische Folge a k = a 0 q k 9 k 9 k mit a 0 als Afagsglied ud q als Verhältis zweier beachbarter Glieder a k + a k gilt: q s = + a 0 q k = a 0 q k =0

8 Wir forme u usere gefudee Summe für de herausgeschittee Flächeihalt auf Stufe so um, dass wir diese Formel verwede köe: 8 k = 8k 9 k 9 9 = k 9 8k = 9 k k= k= k=0 k= Für die Stufe ist die Summe s - zu bereche mit a 0 = 9 ud q = 8 9. ( ) ( ) s = = = ( 8 9 ) 9 9 Im Grezübergag für gilt: s = 0 = Die Gesamtheit der Fläche, die herausgeschittee wird, ist also im Grezwert, so dass die Fläche des Sierpiski-Teppichs im Grezfall 0 ist. Der Sierpiski-Teppich hat also keie Fläche. Das ist, wie scho beim Sierpiski-Dreieck, ei Idiz dafür, dass die (Selbstählichkeits-) Dimesio des Sierpiski-Teppichs icht ist, soder kleier. Für die Berechug der Selbstählichkeitsdimesio köe wir feststelle: Verkleiert ma de Sierpiski-Teppich mit dem Skalierugsfaktor! s =, so beötigt ma = 8 Kopie, um die Ausgagsfigur wieder herzustelle. Für seie Dimesio ergibt sich: d s = log log8 log = s log,89 Diese größere Selbstählichkeitsdimesio als die des Sierpiski- Dreiecks (,585) ka ma aschaulich so iterpretiere, dass das Dreieck löchriger ist als der Teppich ud damit der Teppich dichter a eier geschlossee Fläche liegt. k.4. Der Sierpiski-Tetraeder Ei besoders schöes ud verblüffedes Fraktal, wie wir och sehe werde, ist der Sierpiski-Tetraeder. Er ist das Grezbild, welches sich bei uedlicher Wiederholug des folgede Prozesses ergibt:. Wir wähle eie Tetraeder als Iitiator. (Abb.., Stufe 0). Wir geeriere die ächste Stufe idem wir die Figur der aktuelle Stufe mit dem Skalierugsfaktor s = / verkleier, vier Kopie erstelle ud diese da gemäß Abb.., Stufe zusammesetze.. Der Schritt wird uedlich oft wiederholt.

9 Stufe 0 Stufe Stufe Stufe Abb..: Die erste Stufe zur Erzeugug des Sierpiski-Tetraeders Die Dimesio ist auch hier leicht errechet: d s = log log4 log = s log = log log = log log = Überraschederweise ist die Selbstählichkeitsdimesio des Sierpiski-Tetraeders geau! 6 Wie ka das sei? Schaue wir us eimal die Etwicklug des Volumes, der Fläche ud der Gesamtkateläge vo Stufe zu Stufe a. Stufe Gesamtkateläge Oberfläche Volume 0 0,5 4 0,5 Abb..: Etwicklug der Gesamtkateläge, der Oberfläche ud des Volumes bei der Etstehug des Sierpiski-Tetraeders Wir sehe, dass die Katesumme sich expoetiell vergrößert ud gege Uedlich strebt. Im Eidimesioale ist das Fraktal also icht messbar ud die Dimesio offesichtlich zu klei. Das Volume higege strebt gege 0. Im dreidimesioale Raum ist das Fraktal also auch icht messbar ud die Dimesio ist offesichtlich zu groß. Die Oberfläche bleibt kostat ud bestätigt damit user recherisches Ergebis für die Dimesio..4.4 Die Cator-Mege I de drei bisher behadelte, selbstähliche Fraktale sid wir vo Fläche bzw. Körper ausgegage ud habe i eiem regelmäßige 6 Das ist ei Beispiel dafür, dass die icht gazzahlige Dimesio icht zur Defiitio des Begriffs Fraktal verwedet werde ka.

10 Prozess Teile (Puktmege) weggeomme. Eies der erste, sehr geau utersuchte Fraktale, geht vo eier eidimesioale Liie (Itervall) aus. Vo dieser wird das mittlere Drittel etfert. Dieser Prozess wird wiederholt, so dass im ächste Schritt da das mittlere Drittel der beide verbliebee Strecke etfert wird. Im Grezfall bekommt ma ei iteressates Objekt, de so geate Cator-Staub, eie total uzusammehägede Mege (auch Catorsches Diskotiuum). Abb..4: Stufe bei der Etstehug der Cator- Mege I der uedliche Grezfigur ist jeder Teil, der aus eiem verbliebee Drittel etstade ist, eie exakte, verkleierte Kopie der Gesamtfigur. Die Cator-Mege ist exakt selbstählich. Die Cator-Mege lässt sich icht ur geometrisch aschaulich behadel, soder ist so eifach, dass wir die Puktmege geauer utersuche köe. Die Ausgagsstrecke, der Iitiator, ist das Itervall [0,]. Aus diesem Itervall wird das mittlere Drittel etfert, geauer das offee Itervall,. Die Zahle! ud bleibe also erhalte.! Übrig bleibe zwei Drittel des Itervalls, die geschlossee Itervalle 0, ud,. Das ist die Stufe. Aus diese beide Itervalle wird wiederum jeweils das offee, mittlere Drittel etfert ud ma erhält u vier Itervalle: 0, 9 9, 6 9 9, , Stufe Vo diese vier Itervalle werde wiederum die offee mittlere Drittel etfert. Dieser Schritt wird uedlich oft wiederholt.

11 4 Stufe Azahl der Itervalle Läge eies eizele Itervalls Läge aller verbliebee Itervalle 0 = 4 = 8 = = 9 = = 8 7 = Abb..5: Etwicklug der Cator-Mege Nach Iteratioe existiere Itervalle, die isgesamt ursprügliche Itervalls abdecke. Je größer die Azahl der Itervalle wird, desto geriger ist die Summe ihrer Läge. Die Catormege bzw. der Catorstaub besteht u aus alle Pukte, die im Grezbild des beschriebee Prozesses übrig bleibe. Als eidimesioale Figur gemesse erhalte wir für die Läge der Grezfigur: lim x Also köte ma vermute, dass letztlich alle Pukte weggeomme werde. Das ist falsch. Zum eie ka ma gaz kokret Pukte (Zahle) agebe, die mit Sicherheit alle Wischprozesse überstehe die Räder 0 ud, aber auch die Räder der achfolgede Itervalle, also auch! ud! ud! 9,! 9,! 7 9 ud 8! 9, u.s.w. Da außerdem wege lim x = 0 des = bleibe sogar uedlich viele Pukte übrig. Es stellt sich die Frage, was diese Erketis für die Dimesio der Cator-Mege bedeutet. Eie Liie hat die Dimesio, Ei Pukt die Dimesio 0. Die Dimesio des Catorstaubes liegt also vermutlich dazwische. Wege der Selbstählichkeit der Figur köe wir die Selbstählichkeitsdimesio bereche.

12 5 d s = log log mit s = s d s = log log = 0,609 Mit der so geate Puktmege oder dem Cator Staub schuf Cator 870 die Grudlage derjeige Theorie, die später vo Beoît Madelbrot als Theorie der Fraktale bezeichet wurde. Georg Ferdiad Ludwig Philipp Cator (845 98) lehrte i Halle ud lieferte wichtige Beiträge zur modere Mathematik. Er begrüdete die Megelehre. Resumée ud Ausblick Bei de bisherige Dimesiosbetrachtuge habe wir immer die Frage gestellt, wie oft bei eiem Vergrößerugs-/Verkleierugsprozess die kleiere Figur i die größere passt. Bei gazzahlige Dimesioe kote wir die passede Mege vergleiche. Bei fraktale Strukture war dieser Vergleich möglich, we die Figur selbstählich ist. Eie Megebestimmug scheiterte hier, de der Versuch, die Mege zu messe, schlug fehl, we die Dimesio falsch gewählt war. Für die Mathematisierug des Prozesses war der Skalierugsfaktor eie bestimmede Größe. Sie führt mit der Dimesio als charakteristische Expoete zum zugrudeliegede Potezgesetz. Die fraktale Dimesio schlechthi ist die Hausdorff-Dimesio. Sie wurde vo Felix Hausdorff eigeführt ud bietet die Möglichkeit, beliebig komplizierte Puktmege, wie beispielsweise Fraktale, eie Dimesio zuzuorde. Allerdigs ist die Defiitio ur schwer hadhabbar, ud im Falle selbstählicher Figure steht i Gestalt der Ählichkeitsdimesio eie weitere ud sehr eifache Defiitio zur Verfügug. Ma ka die Ählichkeitsdimesio dazu beutze, die Hausdorff-Dimesio zu errate. Es schadet jedoch ichts, sich die fraktale Dimesio als syoym mit der Ählichkeitsdimesio zu deke. 7 7 Rafael Reiter, Die Ästhetik der Fraktale, Seite 50