5 Integralrechnung in einer Variablen

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1 5 Integrlrechnung in einer Vriblen 5. Der Riemnnsche Integrlbegriff Die Integrlrechnung bildet ds Gegenstück zur Differentilrechnung. Sie wurde prllel zu dieser von I. Newton und G. W. v. Leibniz entwickelt und später von A. L. Cuchy präzise gefsst. Der hier vorgestellte Integrlbegriff geht (zumindest sinngemäß) uf den deutschen Mthemtiker Bernhrd Riemnn ( ) zurück. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 299 Motivierende Problemstellung Gesucht ist der Flächeninhlt zwischen dem Grphen einer beschränkten Funktion f : [, b] R und der x Achse: f b Im Allgemeinen ist die Fläche krummlinig begrenzt; Formeln für elementre geometrische Objekte scheiden lso zur Lösung us. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 300 Lösungsstrtegie Ds Problem ist einfch für stückweise konstnte Funktionen, d sich dnn der Flächeninhlt us Rechtecken zusmmensetzt. Dher schchtelt mn die Fläche unter dem Grphen von f von oben und unten mit Rechteckflächen ein und gewinnt so obere und untere Schrnken. Können sich die gruen und grünen Rechteckflächen von oben und unten beliebig weit derselben Schrnke nähern, so ist diese die gesuchte Fläche. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 30

2 Wir beschreiben diesen Zugng nun mthemtisch exkt. Definition 5.. Wir nennen t : [, b] R eine Treppenfunktion, wenn es eine Zerlegung = x 0 < x < x 2 < < x n = b des Intervlls [, b] gibt, so dss t uf jedem der (offenen) Teilintervlle (x i, x i+ ) konstnt ist, d. h. t(x) = ξ i für lle x mit x i < x < x i+. Für eine solche Treppenfunktion t setzt mn n t(x) dx := ξ i (x i+ x i ). i=0 Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 302 Geometrische Interprettion x 0 x x 4 x 2 x 3 x 5 x 6 ξ 0 ξ ξ 2 ξ t(x) dx entspricht dem gewichteten Flächeninhlt zwischen dem Grph von t und der x Achse. Dbei werden Flächen oberhlb der x Achse positiv, Flächen unterhlb der x Achse negtiv gezählt. ξ 4 ξ 5 + Berechnen Sie 2 sgn(x) dx (vgl. S. 75). Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 303 Ober- und Unterintegrl Zu jeder beschränkten Funktion f : [, b] R können wir nun zwei Zhlen definieren, nämlich ds Oberintegrl { } Ī f := inf t(x) dx : t Treppenfunktion uf [, b] mit t f und ds Unterintegrl { } I f := sup t(x) dx : t Treppenfunktion uf [, b] mit t f. Diese beiden Größen helfen uns, die Einschchtelung der Fläche unter dem Grphen von f mit Rechteckflächen mthemtisch zu erfssen. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 304

3 Definition 5.2 (Riemnn-Integrl). Eine uf [, b] beschränkte Funktion f heißt uf [, b] Riemnn-integrierbr, flls ds Ober- und ds Unterintegrl übereinstimmen, d. h. flls Īf = I f =: I. Der gemeinsme Wert wird bestimmtes Riemnn-Integrl von f über [, b] gennnt und mit f(x) dx bezeichnet. heißt untere und b obere Integrtionsgrenze, und [, b] wird Integrtionsintervll gennnt. x heißt Integrtionsvrible und f(x) Integrnd. Konventionen f(x) dx := 0 und b f(x) dx := f(x) dx (flls < b). Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 305 Definition 5.2 liefert zwr kum Anhltspunkte für die konkrete Berechnung von Integrlen, ber bereits einige Rechenregeln: Stz 5.3 (Rechenregeln für die Integrtion I). Sind f, g : [, b] R integrierbr, so uch mx{f, g}, min{f, g}, f, f ± g und fg. Es gelten die folgenden Integrtionsregeln: (f ± g)(x) dx = (λf)(x) dx = λ f(x) dx ± g(x) dx, f(x) dx für lle λ R. Mchen Sie sich eine der Formeln zumindest für Treppen- funktionen klr. (Die Vererbung der Eigenschften n integrierbre Funktionen soll hier nicht diskutiert werden.) Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 306 Stz 5.4 (Rechenregeln für die Integrtion II). Sind f, g : [, b] R integrierbr. Dnn gilt f(x) dx = c f(x) dx + Flls f g uf (, b) gilt, so folgt f(x) dx c f(x) dx g(x) dx. für lle c (, b). Insbesondere folgt us c f(x) bzw. f(x) C für lle x (, b) : c(b ) Außerdem gilt f(x) dx bzw. f(x)dx f(x) dx. f(x) dx C(b ). Interpretieren Sie einige dieser Aussgen geometrisch. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 307

4 Klssen integrierbrer Funktionen Stz 5.5. Ist f uf [, b] stetig oder monoton, so ist f uch integrierbr uf [, b]. Ntürlich gehört ber bei weitem nicht jede uf [, b] integrierbre Funktion in eine dieser beiden Klssen. Aus dem Zwischenwertstz für stetige Funktionen folgt desweiteren: Stz 5.6 (Mittelwertstz der Integrlrechnung). Ist f : [, b] R stetig, dnn gibt es ein ξ [, b] mit f(x) dx = f(ξ) (b ). Interpretieren Sie diese Aussge geometrisch. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg Stmmfunktionen und der HDI Bislng hben sind wir noch gr nicht druf eingegngen, wie mn denn Integrle konkret berechnet. Dzu benötigen wir den Begriff der Stmmfunktion sowie den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung. Letzterer besgt, dss ds Integrieren unter gewissen Vorussetzungen und sehr grob gesprochen die Umkehrung des Differenzierens ist. Ds Ergebnis ist so berühmt und wichtig, dss es sogr eine Vertonung ls Kntte gibt (F. Wille, ). Eine schöne Aufführung von Würzburger Gymnsisten inclusive nimierter Skizzen finden Sie unter Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 309 Stmmfunktionen Definition 5.7. Sei f : [, b] R eine reelle Funktion. Mn nennt eine differenzierbre Funktion F : [, b] R eine Stmmfunktion von f, wenn F (x) = f(x) für lle x [, b]. Beispiel: F (x) = x 2 ist Stmmfunktion von f(x) = 2x, denn F = f. Können Sie Stmmfunktionen zu f(x) = e x und g(x) = cos x finden? Vielleicht sogr mehrere? Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 30

5 Integrtionskonstnten und unbestimmtes Integrl Sind F und F 2 Stmmfunktionen von f, dnn gibt es eine Konstnte c R mit F (x) = F 2 (x) + c für lle x [, b]. (Wrum?) Stmmfunktionen sind lso bis uf Konstnten eindeutig bestimmt. Stmmfunktionen werden uch unbestimmte Integrle gennnt und häufig in der Form F (x) = f(x) dx + c geschrieben. Die Konstnte c heißt Integrtionskonstnte. Ws verstehen wir lso unter den unbestimmten Integrlen e x dx und cos x dx? Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 3 Zu stetigen Funktionen erhält mn eine Stmmfunktion wie folgt: Stz 5.8 (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung, Teil I). Sei f : [, b] R stetig, dnn ist die durch F : [, b] R, x x f(s) ds definierte Funktion F in [, b] differenzierbr, und es gilt F (x) = d ( x ) f(s) ds = f(x). dx Sämtliche Stmmfunktionen einer stetigen Funktionen sind konsequenterweise von der Burt F (x) = x f(s) ds + c. () Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 32 Grphische Drstellung f(x) f F (x) x b Drgestellt ist eine stetige Funktion f und ihre Stmmfunktion F ls Mß der schrffierten Fläche gemäß Stz 5.8. Errbeiten Sie sich die Beweisidee nhnd der Skizze selbst. Nutzen Sie ggf. uch die Litertur oder die Huptstzkntte. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 33

6 Stmmfunktionen spezieller Funktionen Wegen der Beziehung F = f liegt für die Bestimmung von Stmmfunktionen zunächst ds Rückwärtslesen der Tbellen für Ableitungen (S. 255 f.) nhe. Lernen Sie m besten folgende Stmmfunktionen elementrer Funktionen uswendig: f F Bemerkungen x n x n+ /(n + ) n /x ln x x 0 e x e x / 0 ln x x ln x x x > 0 sin x cos x cos x sin x Prüfen Sie die Beispiele uf ihre Richtigkeit. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 34 Aus den Regeln für Ableitungen ergeben sich schließlich folgende Regeln für Stmmfunktionen (bis uf Integrtionskonstnten): λf(x) dx = λ f(x) dx (λ R), (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx. Es ist nzumerken, dss die Berechnung von Stmmfunktionen im Allgemeinen viel schwieriger ist ls Differenzieren. Dher gibt es z. T. Hunderte Seiten dicke Integrltfeln. Deren Bedeutung ht sich llerdings in den letzten Jhrzehnten mit der Verfügbrkeit von PC und numerischen Verfhren deutlich reltiviert. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 35 Kommen wir nun zur konkreten Berechnung der Integrle mittels Stmmfunktionen: Stz 5.9 (HDI, Teil II). Sei f : [, b] R stetig und F eine (beliebige) Stmmfunktion von f, dnn gilt: f(x) dx = F (x) b := F (b) F (). Mn mche sich klr, wrum Stz 5.9 us () und Stz 5.8 folgt. Mn berechne 2 Mn berechne d x dx te2t dt. x dx mit Hilfe von Stz 5.9. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 36

7 5.3 Integrtionstechniken Wir nennen eine Funktion f : D f R stetig differenzierbr, wenn sie uf D f differenzierbr, und die Ableitung f stetig ist. Wir wollen wir wenigstens einige elementre Techniken zur Bestimmung von Integrlen/Stmmfunktionen behndeln. Der folgende Stz entsteht z. B. durch Integrieren der Produktregel: Stz 5.0 (Prtielle Integrtion). Seien f, g : [, b] R stetig differenzierbr. Dnn gelten: f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx (2) und f (x)g(x) dx = f(x)g(x) b b f(x)g (x) dx. (3) Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 37 Beispiel: xe x dx = xe x e x dx = (x )e x + c. Hierbei wurde in (2) f (x) = e x und g(x) = x gewählt, d. h. f(x) = e x und g (x) =. Ds Beispiel ist typisch: Bei Produkten von Polynomen mit trigonometrischen Funktionen (sin, cos, exp) ist die prtielle Integrtion Mittel der Whl. Mn berechne folgende Integrle mittels prtieller Integrtion: π 0 x sin x dx, ln x dx, cos 2 x dx. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 38 Durch Integrieren der Kettenregel entsteht folgender Stz: Stz 5. (Substitutionsregel). Sei I R ein Intervll, f : I R stetig und ϕ : [, b] I stetig differenzierbr. Dnn gelten: f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = f(x) dx (4) und f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = ϕ(b) ϕ() f(x) dx. (5) Die Formeln (4) und (5) merken sich besonders gut in Leibniz-Nottion, wenn mn x = ϕ(t) und dx = ϕ (t) dt setzt. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 39

8 Beispiele Substituiert mn in 2 x = ϕ(t) = ln t, so gilt ϕ (t) = t 2 cos(ln t) t dt = ln 2 0 cos(ln(t)) t dt und dher mit (5): cos x dx = sin x ln 2 0 = sin(ln 2) In Leibniz-Nottion würde mn x = ln t schreiben und dx dt = t in dt = t dx umformen. Einsetzen ins Integrl liefert dnn ebenso 2 cos(ln t) t dt = ln 2 0 cos x t t dx =... = sin(ln 2). Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 320 Entscheidend ist ds Erkennen der Struktur f(ϕ(t))ϕ (t). Hben Sie diese Struktur einml erfsst, führt die Substitution uch zum Ziel. Zusätzliche Konstnten im Integrnden sind wegen der Linerität des Integrls unproblemtisch. Besonders einfch sind Integrnden der Form f(t + b). Kennt mn eine Stmmfunktion von f, führt die Substitution x = t + b zum Ziel. Berechnen Sie te t2 + dt und 0 3t+ dt. Welche Substitutionen sind in folgenden Integrlen zweckmäßig: sin(2t 5) dt, t 7 cos(t2 +4) dt, e + t t dt, dt t 2 + 2t + 2? Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 32 Für eine invertierbre Funktion ϕ liefert (5) desweiteren f(x) dx = ϕ (b) ϕ () f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. Auch dies lässt sich geschickt nutzen. Mit x = ϕ(t) = sin t erhält mn für < b zum Beispiel x 2 dx = rcsin b rcsin sin 2 t cos t dt = rcsin b rcsin cos 2 t dt. Ds letztere Integrl htten wir bereits uf S. 38 usgewertet. Es ergibt sich x 2 dx = 2 (x + sin x cos x) rcsin b. rcsin Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 322

9 Weitere nützliche Regeln Seien f : [, b] R stetig differenzierbr, r R (r ) und f r uf [, b] definiert. Dnn gilt f (x)(f(x)) r dx = r + (f(x))r+ + c. Sei f : [, b] R stetig differenzierbr mit f(x) 0 für lle x [, b]. Dnn gilt f (x) dx = ln( f(x) ) + c. f(x) Mchen Sie sich die beiden Aussgen mit Hilfe geeigneter Substitutionen klr. Berechnen Sie sin 3 (x) cos(x) dx und 3 2 dx x ln(x). Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 323 Integrtion rtionler Funktionen Erinnerung: Rtionle Funktionen sind von der Form f(x) = p(x) q(x), wobei p und q Polynome sind. Flls grd(p) grd(q) erhält mn mittels Polynomdivision eine Zerlegung f(x) = p(x) t(x) = s(x) + q(x) q(x), mit Polynomen s und t, wobei grd(t) < grd(q). Somit gilt f(x) dx = p(x) q(x) dx = s(x) dx + t(x) q(x) dx. Die Integrtion von s ist einfch, dher konzentrieren wir uns uf den echt gebrochen rtionlen Anteil t q. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 324 Für die Integrtion des echt gebrochen rtionlen Anteils benötigt mn eine sogennnte Prtilbruchzerlegung. Dfür beschfft mn sich zunächst die Fktorisierung des Nennerpolynoms q(x) = 0 + x n x n k m = n (x λ j ) µ ( j x 2 ) νj + p j x + q j, (6) j= (wobei n =grd(q) und k j= µ j + 2 m j= ν j = n, λ j und (p j, q j ) prweise verschieden, vgl. Stz.29 und Abschnitt 3.4., S. 200). j= Für die Integrtion noch günstiger schreibt mn (6) mittels qudrtischer Ergänzung ls: k m q(x) = n (x λ j ) µ ( j (x αj ) 2 ) νj + β j j= Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 325 j=

10 Der folgende Stz hilft uns nun, g(x) := t(x) q(x) in eine für die Integrtion geeignete Struktur zu bringen: Stz 5.2. Unter diesen Vorussetzungen und mit diesen Bezeichnungen gibt es eindeutig bestimmte reelle Zhlen η j,t (j =, 2,..., k, t =, 2,..., µ j ) σ j,s (j =, 2,..., l, s =, 2,..., ν j ) τ j,s (j =, 2,..., l, s =, 2,..., ν j ), so dss g die folgende Prtilbruchzerlegung besitzt: g(x) = µ k j j= t= η j,t l (x λ j ) t + ν j j= s= σ j,s + τ j,s x ((x α j ) 2 + βj 2. (7) )s Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 326 Möglicherweise finden Sie folgende Nottion von (7) übersichtlicher: g(x) = η, η,2 + x λ (x λ η,µ ) 2 (x λ ) µ ηk, η k,2 + x λ k (x λ η k,µk k) 2 (x λ k) µ k σ, + τ,x σ,2 + τ,2x + + (x α ) 2 + β 2 ((x α ) 2 + β σ,ν + τ,ν x 2)2 ((x α ) 2 + β 2)ν +... σl, + τl,x σ l,2 + τ l,2x + + (x α l) 2 + βl 2 ((x α l) 2 + β σl,ν + l τl,ν x l l 2)2 ((x α l) 2 + βl 2)ν l Im konkreten Beispiel knn mn uf die Doppelindizierung verzichten und für die Unbeknnten η j,t, σ j,s und τ j,s eingängigere Bezeichnungen (z. B. A, B, C,...) wählen. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 327 Bei der Erzeugung einer Prtilbruchzerlegung wählt mn lso den pssenden Anstz nch Stz 5.2 und muss dnn die Koeffizienten η j,t, σ j,s und τ j,s (bzw. A, B, C,...) bestimmen. Dfür multipliziert mn beide Seiten von (7) mit q(x) und gleicht dnn die Koeffizienten der links und rechts stehenden Polynome b. Eine noch günstigere Vrinte ist häufig, nch Multipliktion mit q(x) genu n verschiedene Werte für x einzusetzen und ds entstehende linere Gleichungssystem zu lösen. Eine besonders günstige Whl für die einzusetzenden Werte sind dbei die Nullstellen λ j von q. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 328

11 Am leichtesten erlernt mn die Prtilbruchzerlegung nhnd von Beispielen: Mn bestimme eine Prtilbruchzerlegung von f(x) = 5x2 37x + 54 x 3 6x 2 + 9x. Welche Ansätze sind für die Prtilbruchzerlegungen folgender Funktionen zu wählen? g(x) = 42 x 3 (x + ) 2, h(x) = (x + ) 2 (x 2 + ). Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 329 Die Funktionen us (7) besitzen folgende Stmmfunktionen: f(x) F (x) = f(x) dx x λ ln( x λ ) λ R (x λ) t t t N, t > (x λ) ( t ) (x α) 2 +β 2 β rctn x α β α, β R, β 0 x (x α) 2 +β 2 2 ln ( (x α) 2 +β 2) + α x α β rctn β Die verbleibenden Integrle müssen rekursiv berechnet werden: x dx ((x α) 2 +β 2 ) = s 2(s ) ((x α) 2 +β 2 ) s + α dx ((x α) 2 +β 2 ), s dx ((x α) 2 +β 2 ) = x α 2s 3 dx s 2(s )β 2 ((x α) 2 +β 2 s + ) 2(s )β 2 ((x α) 2 +β 2 ) s für s N, s >. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 330 Wir fssen die Schritte zur Integrtion einer rtionlen Funktion f(x) = p(x) q(x) noch einml zusmmen: Splte mittels Polynomdivision den echt gebrochen rtionlen Anteil b: f(x) = s(x) + t(x) mit grd(t) < grd(q) q(x) Berechne für g(x) = t(x) q(x) eine Prtilbruchzerlegung und integriere die entstehenden Summnden mit Hilfe der Formeln und Tbellen uf Seite 330. Ds verbleibende Integrl über s(x) ist einfch. Mn bestimme uf diese Weise 2x 4 2x x 2 37x + 54 x 3 6x 2 dx. + 9x Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 33

12 5.4 Uneigentliche Integrle Bisher können wir nur beschränkte Funktionen und beschränkte Intervlle behndeln. Wir erweitern den Integrlbegriff dher ein wenig. Definition 5.3 (Uneigentliches Integrl). Sei b R { } und f : [, b) R uf jedem Intervll [, r] mit < r < b, Riemnn-integrierbr. Flls r lim r b f(x) dx =: f(x) dx existiert, so heißt f uf [, b) uneigentlich Riemnn-integrierbr. Mn sgt uch, f(x) dx ist konvergent. Anlog für f(, b] R oder f : (, b) R mit R { }. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 332 Von besonderem Interesse sind häufig folgende Fälle: der Integrnd ist bei Annäherung n eine der Integrtionsgrenzen unbeschränkt (links), ds Integrtionsintervll ist unbeschränkt (rechts). f f r b r Bestimmen Sie x 2 dx sowie 42 0 x dx. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 333 Weitere Beispiele Für r > und > 0 gilt dx x r = (r ) r. Dgegen existiert dx x r für r nicht. In der Stochstik benötigt mn häufig exp( x 2 ) dx = π. Zu welchem Ergebnis us dem Kpitel Reihen erkennen Sie im ersten Beispiel Prllelen? Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 334

13 5.5 Volumenberechnung bei Rottionskörpern Für die Berechnung krummflächig begrenzter Volumin benötigt mn eigentlich mehrdimensionle Integrle. Bei Körpern, die durch Rottion eines Funktionsgrphen um die x Achse entstehen, reichen jedoch eindimensionle Integrle us. Mn nennt solche Körper Rottionskörper. f dx b x Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 335 Herleitung der Volumenformel in Leibniz-Nottion Die Größe dx wird ls infinitesiml kleine Zhl interpretiert; ds Integrl ls Summe (bechte stilistische Ähnlichkeit von und S ). Für ds Volumen der gru mrkierte Scheibe gilt für sehr kleine dx V Scheibe π(f(x)) 2 dx. Dmit ergibt sich für ds Volumen V K des Rottionskörpers V K = π (f(x)) 2 dx (Ntürlich steckt hinter dieser Herleitung eigentlich wieder ein Grenzwertprozess.) Welches Volumen ht der Körper, der durch Rottion des Grphen von f : [, r] R, f(x) = x, um die x-achse entsteht? Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg Qudrturformeln ein erster Einblick Nur die wenigsten Integrle knn mn geschlossen uswerten; in den llermeisten Fällen ist mn uf numerische Näherungsverfhren sogennnte Qudrturverfhren ngewiesen. Prominente Integrle, die sich nchweislich nicht durch elementre Stmmfunktionen bestimmen lssen, sind zum Beispiel Φ(x) := 2 x e s2 ds π 0 (x R). Die entstehende Funktion x Φ(x) heißt Fehlerfunktion. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 337

14 Als Vorbetrchtung ersetzen wir eine stetige Funktion f : [, b] R näherungsweise durch ihre Seknte s durch (, f()) und (b, f(b)). s f b Dmit erhlten wir die Näherungsformel f(x) dx (b )(f() + f(b)). (8) 2 Schon nschulich wird klr, dss diese Formel im Allgemeinen nur sehr grobe Näherungen liefern knn. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 338 Wesentlich bessere Ergebnisse erhält mn ber, wenn mn [, b] in N gleichlnge Teilintervlle [x i, x i+ ] unterteilt mit x i = + ih (i = 0,,..., N) mit h = (b )/N. und die einfche Trpezregel (8) über jedem Teilintervll nwendet: f(x) dx = h N 2 h (f(x i) + f(x i+ )) (9) [ 2 f(x 0)+f(x )+f(x 2 )+...+f(x N )+ ] 2 f(x N). i=0 Wir bezeichnen den Ausdruck uf der rechten Seite ls Trpezsumme T f (h) und die Formel (9) ls zusmmengesetzte Trpezregel. Gute Visulisierungen finden Sie uf der Übungshomepge unter Mthemtic-Demonstrtionen. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 339 Alterntiv knn mn f lokl uch durch qudrtische Polynome ersetzen, und ddurch eine noch bessere Approximtion erreichen: Dieser Anstz führt letztlich uf die zusmmengesetzte Simpsonregel: f(x) dx h [f(x0)+4f(x)+2f(x2)+4f(x3)+2f(x4)+...+4f(xn )+f(xn )]. 3 Dbei ist N gerde zu wählen. Den Term uf der rechten Seite bezeichnen wir mit S f (h). Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 340

15 Ntürlich will mn wissen, wie groß der resultierende Fehler bei Verwendung einer Qudrturformel ist. Dbei hilft uns: Stz 5.4 (Qudrturfehler Trpez- und Simpsonregel). Ist f uf [, b] zweiml stetig differenzierbr, dnn gilt f(x) dx T f (h) b h 2 mx 2 f (x). x b Ist f uf [, b] vierml stetig differenzierbr, dnn gilt f(x) dx S f (h) b 80 h4 mx f (4) (x). x b Welche der beiden Regeln ist für genügend kleine h genuer? Approximieren Sie ein beknntes Integrl Ihrer Whl mit beiden Qudrturformeln für mehrere geeignete Werte von h. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 34 Ziele erreicht? Sie sollten nun (bzw. nch Abschluss der Übungen/Tutorien): den Begriff des Riemnn-Integrierbrkeit tiefgreifend verstnden hben, den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung beherrschen und Integrle mit Hilfe der Stmmfunktion berechnen können, die Stmmfunktionen zu den gängigen elementren Funktionen kennen (m besten uswendig), einige Integrtionstechniken sicher nwenden können (prt. Integrtion, Substitution, einfche Fälle der PBZ), uneigentliche Integrle und ds Volumen von Rottionskörpern sicher berechnen können, über Qudrturformeln grob bescheidwissen. Sie sind sich nicht sicher oder meinen nein? Hben Sie schon gute Vorsätze fürs neue Jhr...? Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 342