Strichlisten bei Laplace-Experimenten - zum Paradox der ungleichmäßigen Verteilung

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1 Strchlste be Laplace-Experete - zu Paradox der uglechäßge Vertelug DIETMAR PFEIFER, OLDENBURG Zusaefassug: Das Theegebet Zufall ud Wahrschelchet wrd auf eleetare Nveau zwsche berets der Grudschule behadelt. Dabe stehe experetelle Aufgabe we wederholtes Werfe ees Würfels oder das Zehe aus Dose t Kugel uterschedlcher Farbe Vordergrud, est Verbdug t der Erfassug der Ergebsse Strchlste. Be Laplace-Experete we de wederholte Würfelwurf herrscht dabe - otvert durch das Gesetz der große Zahle - tutv de Vorstellug, dass sch de Zählergebsse de Strchlste egeraße glechäßg vertele. Des st aber paradoxerwese cht so, we de vorlegede Betrag gezegt werde soll. 1 Das Proble ud see Heruft I de letzte Kaptel Zufall ud Wahrschelchet des eue Uterrchtswers Mathebau 4 fdet sch eführede Abschtt Zufallsexperete de folgede Aufgabe: Betrachtet a de ezele Augezahl-Lste separat, so st lar, dass de Azahl der Strche jeder solche Lste eer B(, p-boalvertelug geügt t = 100 ud p = 1/6, woraus sch ee erwartete Strch-Azahl vo p = 100/6 = 16,6 ergbt. Beatlch legt der axale Wert der zugehörge Eleetarwahrschelchete be [( + 1p] (abgerudeter Wert, we (+1p cht gazzahlg st (vgl. Barth & Haller, 1998, Satz I de her betrachtete orete Bespel legt deser Wert be 16. Es st also ahe leged, zu verute, dass sch de Strche de Augezahl-Lste u dese Wert heru epedel werde. Des st auch der Htergrud des Fragetels b. Allerdgs werde de Schüler be der Durchführug des Experets ettäuscht werde, de dese dealserte glechäßge Vertelug wrd sch be 100 vorgegebee Wurfwederholuge t sehr hoher Wahrschelchet gerade cht estelle. Rücfrage be der Lehrraft werde her verutlch ee Klarhet brge ud eher für Verwrrug auf alle Sete sorge. Stochast der Schule 26 ( S

2 Dass es sch be dese egeartge Phäoe cht u ee zufällge Erscheug, soder u ee systeatsche Effet hadelt, soll Folgede äher erläutert werde. 2 Strchlste be Laplace-Experete Wr beschrebe soglech de allgeee Stuato, de sch folgederaße darstellt: e Laplace-Experet t glechwahrschelche Ausgäge werde al uabhägg wederholt. De Zufallsvarable Z, zähle dabe, we häufg der Versuchsausgag beobachtet wrd. Da geügt jedes Z, eer B(,1/-Boalvertelug, geauer: P(Z, = = ( ( 1 für = 0,...,. De geesae Vertelug des Zufallsvetors Z = (Z,1,...,Z, st dagege etwas oplzerter; wr erhalte her ee so geate Multoalvertelug M (;1/,...,1/ t de zugehörge Elee- }{{} -al tarwahrschelchete P(Z = ( 1,..., = ( 1,..., für 1,..., {0,...,} t j =. Dabe bezechet = de so gea- (! 1,..., 1!...! te Multoaloeffzete; er gbt de Azahl der Möglchete a, we a uterschedbare Objete auf Fächer so vertele a, dass j-te Fach geau j Objete zu lege oe. Für = 2 erhält a dabe wege = de beate Boaloeffzete ( =! ( ( 1, 2 1! 2! =! 1!( 1! = = 1 2 zurüc. Ee wetere lecht zu verfzerede Darstellugsöglchet für Multoaloeffzete st ( ( j 1 = Π =0 t 0 = 0 1,..., j Des lässt sch obatorsch auch folgederaße begrüde: aus de Objete werde zuächst 1 ohe Zurüclege gezoge ud das erste Fach gelegt; das geht auf ( 1 Wese. Es verblebe 1 Objete; aus dee werde 2 ohe Zurüclege gezoge ud das zwete Fach gelegt; das geht auf Wese usw. Ee ausführlche Dsusso vo ( 1 2 Multoaloeffzete ud der zugehörge Multoalvertelug fdet a z.b. Heze (Heze, 2003, S. 149ff. Für das Ausgagsproble bedeutet des also: de geesae Strchlste Z 100 be 100-fache Würfelwurf st M (100; 1/6;..., 1/6-vertelt, d.h. es glt ( 100 P(Z 100 = ( 1,..., 6 = 1,..., für 1,..., 6 {0,...,100} t 6 j = Das Paradox der uglechäßge Vertelug Ählch we be der Zehug der Lottozahle stelle wr us u vor, dass de Azahle der ezele Auge-Strchlste der Größe ach sortert werde. De resulterede Zufallsvetor bezeche wr glech allgeeer t S = (S,1,...,S,. Mt ee Arguet ählch de obge erhalte wr da als Vertelug vo S de Ausdruc ( ( P(S = ( 1,..., = 1,..., r 1,...,r für alle ageordete -Tupel ( 1,..., t 1... ud =1 j =, wobe her och de r l agebe, we oft de Zahl l de Tupel ( 1,..., vorot (also de Velfachhete vo l agebe. Es gbt älch gerade ( r 1,...,r Möglchete, aus der sorterte Strchlste S alle öglche (usorterte Strchlste Z t deselbe Eträge zu erzeuge. Dat hat be de ursprüglche Proble de der glechäßge Vertelug a ächste legede (der Größe ach sorterte Strchlste (16,16,17,17,17,17 de Wahrschelchet = P(S 100 = (16,16,17,17,17,17 ( 6 2, = 0, , ( ,16,17,17,17,17 d.h Experetwederholuge t je 100 Würfelwürfe trtt deser deale Fall (d.h. de Strchlste ethält ur de Eträge 16 ud 17 durchschttlch etwa ur 3 al auf! Wr betrachte u zuächst de so geate Spawete D der Strchlste, d.h. de Dfferez aus de größte ud leste Etrag, also de Zufallsvarable D = ax 1 {Z,} 1 {Z,} = S, S,1. 24

3 Ihre Wahrschelchetsvertelug a explzt berechet werde, älch veröge P(D = d = ( 1,..., I (d P(S = ( 1,..., = 1 ( ( ( 1,..., I (d 1,... r 1,...,r für d = 0,..., t der vo d abhägge Idexege I (d = {( 1,..., , 1 = d, j = }. I deser Idexege sd also alle ageordete Strchlste-Ergebsse ethalte, dere Spawete gerade d beträgt. De Strutur deser Idexege st sehr oplex; a a aber t Hlfe des Coputers ee Lste t alle Eleete der jewelge Idexege sowe der Velfachhete hrer Eträge erzeuge ud aschleßed z.b. t EX- CEL de Eleetarwahrschelchete P(D = d uersch bereche, wel EXCEL de Berechug vo Multoaloeffzete über de tere Futo POLYNOMIAL erlaubt. De achfolgede Tabelle zegt e Telergebs für das Afagsbespel t = 100 ud = 6. Ma beachte, dass her P(D = 0 = 0 glt, wel ee Strchlste t lauter gleche Eträge exstert. ( 1,..., 6 d (r 1,...,r 6 P(S 100 = ( 1,..., , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ( 1,..., 6 d (r 1,...,r 6 P(S 100 = ( 1,..., , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

4 Ma seht, dass de Azahl der Eleete der jewelge Idexege rasch sehr groß wrd. Be der Berechug der r wurde der Vetor rechts t Nulle aufgefüllt. Das st für de Berechug der Multoaloeffzete aber uerheblch, wel ja beatlch 0! = 1 glt. Durch Addto der Wahrschelchete der rechte Spalte für gleches d erhält a u folgedes Ergebs. d P(D 100 = d 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Erstaulcherwese wrd de Wahrschelchet P(D = d axal be d = 10 d.h. a häufgste ergebe sch her Strchlste, be dee de Spawete 10 beträgt! Durch Addto der obge Wahrschelchete seht a och, dass P(D > 0, 55 st, d.h. durchschttlch ehr als jede zwete Experet beträgt de Spawete destes 10! De For der Wahrschelchetsvertelug vo D 100 erert star a de Noralvertelug. Se st aber cht gaz syetrsch; t ee Statst- Progra a a och ee gute Apassug a ee egatve Boalvertelug achwese. De achfolgede Graph zegt de Eleetarwahrschelchete für de exate Vertelug vo D 100 (hell Verglech zu dee eer egatve Boalvertelug N B(β, p t de Paraeter β = 87,3841 ud p = 0,8948 (duel. De Eleetarwahrschelchete eer NB(b, p- Vertelug sd dabe gegebe durch ( β+ 1 N B(β, p; = p β (1 p, = 0,1,2,... t de verallgeeerte Boaloeffzete ( β+ 1 (β+ 1 (β β =.! p 2 Dese Vertelug bestzt de Erwartugswert β 1 p p ud de Varaz β 1 p ; für β = 1 erhält a de beate geoetrsche Vertelug, de Zusaehag t Wartezetexperete auftrtt (vgl. Barth & Haller, 1998, Aufgabe 22, S Auf ählche Wese lässt sch auch de Vertelug des größte ud leste Etrags der Strchlste erttel; a uss dazu ur de obge Idexege I (d ersetze durch de Idexege J (u = {( 1,..., = u, j = } für das Maxu U = ax 1 {Z, } = S, der Strchlste t Wert u bzw. durch K (v = {( 1,..., v = 1..., j = } 26

5 für das Mu V = 1 {Z, } = S,1 der Strchlste t Wert v. De folgede Tabelle lste ege der zugehörge Ergebsse auf. u P(U 100 = u v P(V 100 = v 17 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Als axaler Wert der Strchlste ergbt sch her a häufgste 21, als aler Wert a häufgste 12. deshalb ee Betrag dazu leste, sch auch rtsch t Lehrhalte auseader zu setze, gerade da, we Schüler aufgrud hres Alters selbst och cht der Lage sd, sch de Uterschede zwsche realer Beobachtug ud tutver Vorstellug zu erläre. Be der orete Aufgabe dürfte es auch schwerg se, de Fragetel b obe rchtg zu beatworte. De achfolgede Graph zegt de eprsche Vertelug der Spawete be eer Würfelwurfzahl vo = Herfür wurde sgesat 1 Mllarde (! Würfelwürfe t de PC sulert, das etsprcht der Sulato vo 1 Mllo Strchlste. De tutv erwartete glechäßgere Vertelug der Werte der Strchlste (wege der höhere Wurfzahl vo = 1000 zegt sch t ee Modalwert vo etwa 30 für de Spawete D 1000 auch her och cht sehr deutlch. Lteratur Barth, F.; Haller, R. (1998: Stochast Lestugsurs. Oldebourg Verlag: Müche Heze, N. (2003: Stochast für Esteger. Veweg Verlag: Brauschweg Hüber, G. et al. (2004: Mathebau 4. Schroedel Verlag: Brauschweg 4 Dsusso Das agesprochee Proble zegt, dass a be eer tutve Arguetato, de be der Eführug ees eue Stoffgebets scher ageesse ud auch otwedg st, gerade der Stochast aufpasse uss, wel se her achal zu falsche Vorstelluge führe a. Der vorlegede Aufsatz soll Aschrft des Verfassers Prof. Dr. Detar Pfefer Carl vo Ossetzy Uverstät Oldeburg Isttut für Matheat Faultät V Postfach Oldeburg detar.pfefer@u-oldeburg.de 27