Stau auf der Autobahn

Transkript

1 PI-Seminr Modellierungen in Geometrie und Mtemtik Mnfred Ktzenerger Stu uf der Auton Im Verkersfunk konnte mn m Freitg vor den Ferien um Ur folgende Meldung ören: Auf der Tuernuton in Rictung Süden git es vor dem Tunnel einen Stu von 6km. Die Wrtezeit eträgt etw 2Stunden Bemerkung: Die Auton ist in diesem Bereic zweispurig. Am näcsten Tg wr in einer Zeitung folgender Artikel zu lesen. Gestern efnden sic um Ur Menscen im Stu vor dem Tunnel uf der Tuernuton. Areitsuftrg1: Diskutiert diesen Scverlt und nemt zu oiger Aussge Stellung. Areitsuftrg2: Üerlegt, wie lnge knn es duern, dss sic eine 6 km lnge Autosclnge uflöst. Genuer: In einem Stu uf der Auton steen Frzeuge in einer Länge von 6 km. Wie viele Minuten (Stunden) nc dem Anfren des ersten Frzeuges wird sic ds letzte Frzeug zu ewegen eginnen? Versuct eine oere und eine untere Scrnke zu finden. Zustz zu 2: Ändert sic diese Zeit, wenn viele LKWs in der Kolonne steen? Regiert mit einem Artikel in einer Autofrerzeitscrift uf oige Aussge. Bereitet lle Teile für diesen Zeitscriftenrtikel vor. Begegnung der nderen Art Der Personenzug P (Länge: 50m, Gescwindigkeit v p = 54km/) färt von Knittelfeld in Rictung Klgenfurt. Zwiscen Unzmrkt und Sceifling kommt im ein Scnellzug S (Länge 90m, v s = 72km/) entgegen. Frge 1: Wie lnge duert ds direkte Aneinnderfren der Züge, eginnend eim ersten Aufeinndertreffen der Lokomotiven in L is zum Zeitpunkt ei dem die Zugenden in E sic egegnen? Frge 2: Wie lng ist die Strecke L is E? Oder fllen diese eiden Punkte zusmmen? Gestltet ein Plkt (Flipcrtltt), ds ls Unterlge für einen Kurzvortrg in der Klsse dienen soll. Begegnung m See Ds Motoroot M verlässt den Ort A zum gleicen Zeitpunkt wie ds Boot N den Hfen B; eide Boote ewegen sic mit konstnter Gescwindigkeit uf derselen gerden Verindungslinie von A nc B. Sie treffen sic ds erste Ml 500m von A entfernt. Jedes Boot dret im gegenüerliegenden Hfen one nzulten um und kert zum Strtfen zurück. Bei dieser Frt treffen sie sic 300m von B entfernt. Wie lnge ist der See und wie verlten sic die Gescwindigkeiten

2 PI-Seminr Modellierungen in Geometrie und Mtemtik Mnfred Ktzenerger Strßenüerquerung ei Regen (Prtnerreit) Üerqueren einer Strße ei Regen! Herr Gnzgesceit euptet in einem Vortrg folgendes: Wenn eine Person (sie stet in einem Huseingng) eine Strße ei Regen üerquert, ist es völlig egl, o sie scnell oder lngsm get; sie wird immer gleic nss! Herr Gnzgesceit projiziert zur Erläuterung folgende Bilder: Frge 1: Versuct, diese Bilder zu interpretieren und nemt zur Aussge von Herrn Gnzgesceit Stellung. Frge 2: Könnt ir einen Zusmmenng dieser Bilder zum Stz von Cvlieri erstellen? Frge 3: Screit die wictigsten Erkenntnisse scriftlic nieder. DREHKÖRPER 2 Gegeen ist eine Figur lut Skizze. Diese Figur rotiert um die gegeene Acse und erzeugt dei einen Drekörper. Gestltet ein Plkt, us dem die Ermittlung der geforderten Ergenisse klr und gut strukturiert ervorget. Mße in cm! 2 Berecnung des Volumens des Körpers Zeicnung in GAM (Viertelscnitt) Berecnung der Oerfläce. 1 1 Fertigt ein Plkt n, ds Euc eim Erklären dieses Scverltes eilflic ist

3 PI-Seminr Modellierungen in Geometrie und Mtemtik Mnfred Ktzenerger Ir set vor Euc eine größere Menge von Ojekten (Filzscreier, tricterförmige Kinderspiele, Trommelscläger, Tennisll, Tixorolle, Zwirnspindel, zylindriscer St) die uf einer eenen Fläce rollen können. Versuct diese Rollewegung mit den einzelnen Ojekten durczufüren und für die einzelnen Ojekte so gut ls möglic zu escreien zw. zu vernsculicen. Rollenspiele 1 ) Rollewegung der tricterförmigen Spielgeräte? ) Git es einen Unterscied, o ein Fserscreier mit eiden Versclusskppen oder nur einer Versclusskppe rollt? c) Wie rollen die Kegelsclegel? d) Bescreit die Rollewegung der zw. der Tixorolle. e) Tennisll? - 3 -

4 PI-Seminr Modellierungen in Geometrie und Mtemtik Mnfred Ktzenerger Rollenspiele 2 Aufge: Versuct die Rollewegung dieses tricterförmigen Kinderspielgerätes so genu ls möglic zu escreien zw. zu erecnen. Messungen können direkt m Ojekt vorgenommen werden. Anng B 11 (Beispiele zur Huptstudie) FZ und 3D Rollenspiele 3 Aufge: Versuct die Rollewegung dieses Trommelsclegels so genu ls möglic zu escreien und zu erecnen. Messungen können direkt m Ojekt vorgenommen werden

5 PI-Seminr Modellierungen in Geometrie und Mtemtik Mnfred Ktzenerger Scokoldeosterse In diesem Jr fnd ic im Grten eine Scokoldenostersenfmilie, deren Vter (m recten Bild zu seen) noc erlten lie und ls Modell vor Euc stet. Ir könnt diesen Hsen ntürlic verspeisen, wenn ir vorer die folgenden Frgen ereitet. Frge 1: Wie groß ist die Oerfläce des Hsen? Frge 2: Welce Stärke t die Scokoldenscict im Mittel, wenn die Msse des Hsen 180g usmct und Scokolde eine Dicte von 0,95g/cm³ t. Frge 3: Wie groß muss ds Stnniolppier mindestens sein, dmit dieser Hse eingewickelt werden knn? Üerlegt zw. recnet evor ir die Kontrolle durc Auswickeln durcfürt. Ausreitung: Stellt Eure Gednken in Form eines Plktes zusmmen

6 PI-Seminr Modellierungen in Geometrie und Mtemtik Mnfred Ktzenerger Volumen und Oerfläce einer Pyrmide 1 (Einzelreit) Areitsuftrg 1: Betrcte ufmerksm die Eineiten Volumen einer Pyrmide und Oerfläce einer Pyrmide, mce dir entsprecend sinnvolle Aufzeicnungen. Betrcte uc die Verenung einer Pyrmide unter Körperdrstellungen/Körpernetzen/gerde Pyrmide uf der CD. Areitsuftrg 2: Erkläre Deinem Prtner ds Gelernte. Dzu steen Dir sowol Deine Aufzeicnungen, ls uc der Computer mit der CD zur Verfügung. Volumen und Oerfläce einer Pyrmide 2 (Prtnerreit) AUFGABENSTELLUNG: Bentwortet gemeinsm folgende Frgen. Als Areitsmittel steen Euc der PC, Ppier und Stifte, und lle weiteren möglicen Hilfsmittel zur Verfügung. Frge1: ) Wird ein Quder (,,c) durc die vier Rumdigonlen eenflls in 6 Pyrmiden geteilt? ) Sind diese Pyrmiden kongruent oder zumindest volumsgleic? Frge2: Auf der Pyrmide sitzt (siee Skizze, entsprict der Ceprem-Pyrmide in Gize)) eine Hyäne H und möcte uf kürzestem Weg zum As A gelngen. In welcem Punkt soll die Hyäne die Pyrmidenknte 2S üersteigen? S w = 130 A 4w 10 w 10 1 H

7 PI-Seminr Modellierungen in Geometrie und Mtemtik Mnfred Ktzenerger Volumen und Oerfläce eines Zylinders 1 (Einzelreit) Areitsuftrg 1: Betrcte ufmerksm die Eineiten Volumen eines Zylinders und Oerfläce eines Zylinders, mce dir entsprecend sinnvolle Aufzeicnungen. Suce uc den Punkt Netz eines gerden Zylinders unter Körperdrstellung/Körpernetze/gerder Zylinder uf der CD. Areitsuftrg 2: Erkläre Deinem Prtner ws dir die CD gezeigt t. Dzu steen Dir sowol Deine Aufzeicnungen, ls uc der Computer zur Verfügung. Volumen und Oerfläce eines Zylinders 2 (Prtnerreit) AUFGABENSTELLUNG: Bentwortet gemeinsm folgende Frgen. Als Hilfsmittel steen Euc der PC, Ppier und Stifte, und lle weiteren möglicen Hilfsmittel zur Verfügung. Gegeen ist eine Annsdose, wie sie im Hndel erältlic ist und wie sie vor Euc stet (vgl. A. 1) Frge 1: Wie viele Annsstücke efinden sic in dieser Dose? Ws könnte die Mximlnzl n Annsstücken sein, die in der Dose Pltz finden könnten? Üerlegt zw. recnet, evor ir die Dose öffnet und ds Ergenis kontrolliert! A. 1 Frge 2: Auf dieser Dose sitzen ußen eine Spinne S und eine tote Fliege F lut Skizze (A. 2). Die Spinne versuct so rsc wie möglic zur Fliege zu gelngen. Bescreit zw. erecnet diesen Weg so genu wie möglic. Versuct einem Lien klrzumcen, wie dieser Weg ussiet. F Fertigt ein Plkt n! M A. 2 S Anng B 15 (Beispiele zur Huptstudie) FZ und CD - 7 -

8 PI-Seminr Modellierungen in Geometrie und Mtemtik Mnfred Ktzenerger Stz von Cvlieri 1 (Einzelreit) Areitsuftrg 1: Betrcte ufmerksm die Eineiten Stz von Cvlieri und versuce ds Geseene m Bltt festzulten indem Du die Animtion zwiscendurc stoppst und die einzelnen Scritte festältst. Areitsuftrg 2: Screi in eigenen Worten einen Merkstz uf, der diesen Scverlt wiedergit und mit dem Du Deinem/er Kollegen/in den Stz von Cvlieri erklären knnst. Stz von Cvlieri 2 (Prtnerreit) Areitsuftrg 1: Vergleict Eure eiden Merksätze üer den Stz von Cvlieri, einigt Euc uf eine gemeinsme Formulierung und Screit diese ier uf. Der Stz von Cvlieri esgt folgendes:... Frge 1: Üerlegt, welces der Prismen ), ) oder c) ds gleice Volumen wie ds links gegeene Prism t. Verwendet dei vorerst nur die Aussgen des Stzes von Cvlieri. ) ) c) Frge 2: Üerlegt, welcer der Zylinder ), ) oder c) ds gleice Volumen wie der links gegeene Zylinder t. Verwendet dei vorerst nur die Aussgen des Stzes von Cvlieri. ) ) c) Anng B 16 (Beispiele zur Huptstudie) FZ und CD - 8 -

9 PI-Seminr Modellierungen in Geometrie und Mtemtik Mnfred Ktzenerger Stz von Cvlieri 3 (Prtnerreit) Frge 1: Welce der Pyrmiden ), ) oder c) t ds gleice Volumen wie die links gegeene Pyrmide. Verwendet dei vorerst nur die Aussgen des Stzes von Cvlieri. Frge 2: Knn mn von den restlicen Körpern feststellen, o die Volumin größer, kleiner oder gleic der links gegeenen Pyrmide sind? Begründet eure Aussgen durc Inskriptionen. ) ) c) 2 2 Stz von Cvlieri 4 (Prtnerreit) Frge 1: Welcer der Kegel ), ) oder c) t ds gleice Volumen wie der links gegeene Kegel. Verwendet dei vorerst nur die Aussgen des Stzes von Cvlieri. Frge 2: Knn mn von den restlicen Körpern feststellen, o die Volumin größer, kleiner oder gleic der links gegeenen Pyrmide sind? Begründet Eure Aussgen und verwendet dzu Inskriptionen. s ) ) s c) r r 9 4 r 2r 3-9 -

10 PI-Seminr Modellierungen in Geometrie und Mtemtik Mnfred Ktzenerger Volumen und Oerfläce eines Kegels 1 (Einzelreit) Areitsuftrg 1: Betrcte ufmerksm die Eineiten Volumen eines Kegels und Oerfläce eines Kegels, mce dir entsprecend sinnvolle Aufzeicnungen. Notiere nur Formeln, die von r und jedoc nict vom Durcmesser d ängig sind. Areitsuftrg 2: Erkläre Deinem Prtner ds Gelernte. Dzu knnst Du im einfc mündlice Mitteilung mcen, den Computer oder Deine scriftlicen Aufzeicnungen verwenden. Areitsuftrg 3: Üerlege Dir, welce Merkregel Du Deinem Kollegen mitgeen könntest, dmit er stets eine Hilfe findet, diese Formeln zu merken zw. sic n diese Formel zu erinnern. Volumen und Oerfläce eines Kegels 2 (Prtnerreit) AUFGABENSTELLUNG: Bentwortet gemeinsm folgende Frgen. Als Hilfsmittel steen Euc der PC, Ppier und Stifte, und lle weiteren möglicen Hilfsmittel zur Verfügung. Frge1: Versuct eine Begründung zu finden, wrum (wie in der CD geseen) genu drei Kegelvolumin in den entsprecenden Zylinder pssen? Frge2: Im Scufenster eines Juweliers e ic ein goldenes Kettcen geseen, ds sic lut Skizze um einen Kegel scmiegt. Die Linie des Kettcens ist die kürzeste Verindung vom Punkt P um den Kegel erum zurück zu P. Die Grundfläce des Kegels t einen Durcmesser von 21cm. Die Mntellinie SA S des Kegels ist 35cm lng, der Punkt P ist 30cm von S entfernt. Versuct die Länge des Kettcens so genu ls möglic zu estimmen. P A Anng B 18 (Beispiele zur Huptstudie) FZ und CD

11 PI-Seminr Modellierungen in Geometrie und Mtemtik Mnfred Ktzenerger Volumen und Oerfläce einer Kugel 1 (Einzelreit) Areitsuftrg 1: Betrcte ufmerksm die Eineiten Volumen einer Kugel und Oerfläce einer Kugel, mce dir entsprecend sinnvolle Aufzeicnungen. Notiere nur Formeln, die von r jedoc nict vom Durcmesser d ängig sind. Areitsuftrg 2: Erkläre Deinem Prtner ds Gelernte. Dzu knnst Du im einfc mündlice Mitteilung mcen, den Computer oder Deine scriftlicen Aufzeicnungen verwenden. Areitsuftrg 3: Üerlege Dir, welce Merkregel Du Deinem Kollegen mitgeen könntest, dmit er stets eine Hilfe findet, diese Formeln zu merken zw. sic n diese Formel zu erinnern. Volumen und Oerfläce einer Kugel 2 (Prtnerreit) AUFGABENSTELLUNG: Bentwortet gemeinsm folgende Frgen. Als Hilfsmittel steen Euc der PC, Ppier und Stifte, und lle weiteren möglicen Hilfsmittel zur Verfügung. Frge 1: Auf der CD wurde gezeigt, dss die Kugeloerfläce in ein Recteck verenet und dss einzelne Recteckstreifen uf die Kugel ufgeklet wurden. Diskutiert, o dies üerupt möglic ist und nemt dzu scriftlic Stellung. Frge 2: Ein Tennisll estet us zwei kongruenten Kugelteilen. Ein Spielwürfel ist, wenn mn es genu nimmt, ein Teil einer Kugel. Könnt ir Zusmmenänge zwiscen den Kurven des Tennislles und jenen eines Spielwürfels finden? Könntet ir die Kurve uf dem Tennisll skizzieren oder sogr mit dem PC konstruieren?