Über die Zahlen der Form (n) - n und n - (n)

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1 Über die Zahle der Form () - ud - () Autor(e): Erdös, P. Objekttyp: Article Zeitschrift: Elemete der Mathematik Bad (Jahr): 28 (1973) Heft 4 PDF erstellt am: Persisteter Lik: Nutzugsbediguge Die ETH-Bibliothek ist Abieteri der digitalisierte Zeitschrifte. Sie besitzt keie Urheberrechte a de Ihalte der Zeitschrifte. Die Rechte liege i der Regel bei de Herausgeber. Die auf der Plattform e-periodica veröffetlichte Dokumete stehe für icht-kommerzielle Zwecke i Lehre ud Forschug sowie für die private Nutzug frei zur Verfügug. Eizele Dateie oder Ausdrucke aus diesem Agebot köe zusamme mit diese Nutzugsbediguge ud de korrekte Herkuftsbezeichuge weitergegebe werde. Das Veröffetliche vo Bilder i Prit- ud Olie-Publikatioe ist ur mit vorheriger Geehmigug der Rechteihaber erlaubt. Die systematische Speicherug vo Teile des elektroische Agebots auf adere Server bedarf ebefalls des schriftliche Eiverstädisses der Rechteihaber. Haftugsausschluss Alle Agabe erfolge ohe Gewähr für Vollstädigkeit oder Richtigkeit. Es wird keie Haftug überomme für Schäde durch die Verwedug vo Iformatioe aus diesem Olie-Agebot oder durch das Fehle vo Iformatioe. Dies gilt auch für Ihalte Dritter, die über dieses Agebot zugäglich sid. Ei Diest der ETH-Bibliothek ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz,

2 P Erdos Über die Zahle der Form a() ud (p() 83 übertrage, wo er uber alle Greze hiweg Kotakte forder kote Die hohe Wertschätzug, die ihm vo alle Seite etgegegebracht wurde, kam sehr deutlich zum Ausdruck, als eimal a eier Topologie-Tagug im Mathematische Forschugs istitut m Oberwolfach m eier Art Gesellschaftsspiel der bedeutedste lebede Mathematiker ermittelt werde sollte, die Wahl fiel eimütig auf Heiz Hopf We ma sich fragt, wori das Wese dieses grosse Maes bestad, so wird ma a seie warme Meschlichkeit deke, a seie Offeheit adere gegeüber, gepaart mit vorehmer Zurückhaltug, a seie humorvoll-pfiffige Art, mit der er sich uber gute Losuge freue kote, a seie überlegee Persölichkeit, mit der er die Dmge ms richtige Verhältis brachte Aber irgedwo etzieht sich dies alles eier Beschreibug Wir stosse auf das Geheimis eies Mesche, bei dem der volle Eisatz fur die Wisseschaft icht mit eier Deformatio erkauft war, bei dem die Mathematik de richtige Platz i eiem harmoische Gaze hatte, das Geheimis eies Maes, der icht ur m der Mathematik, soder als gazer Mesch schöpfechs war Die Impulse, die vo ihm auf die Wisseschaft ausgegage smd, werde weiter wirke, aber darüber hiaus hat er seie Freude ud Schuler em mesch liches Vorbild gegebe, a dem sich zu messe ud das weiterzutrage Herausforde Korad Voss rug ud Aufgabe bleibt Über die Zahle der Form a() ud q() Dem Adeke vo Waclaw Sierpiski gewidmet Ich traf Professor Sierpiski zuerst im August 1955 bei eier mathematische Tagug m Prag Sierpiski war damals scho mehr a der elemetare Zahletheorie iteressiert als a der Megelehre Wir diskutierte uber die Eulersche «^-Fuktio ud vermutete, dass fur uedlich viele m die Gleichug (1) m p() ulösbar ist Diese Vermutug ist och immer uetschiede, ich werde aber zeige, dass fur uedlich viele Werte vo m a() (2) m ulösbar ist Wir beweise eie etwas stärkere Satz I. Die utere Dichte1) der Zahle m, fur welche (2) ulösbar ist, ist positiv Bevor wir usere Satz beweise, wolle wir eiige Besoderheite userer Ver mutug bespreche Es sei p q, wo p ud q verschiedee ugerade Primzahle smd Offebar ist x) (p() Ist ax a2 p +q a3 at, so ist für der Folge Ist d 1 eme uedliche Folge atürlicher Zahle ud A () die Azahl der lim A()j die utere ud d hm A()f die obere Dichte ~ oo d d d, so wird d die (asymptotische) Dichte der Folge geat

3 P. Erdös: Über die Zahle der Form a() 84 ud - p(ri) We die (leicht modifizierte2)) Goldbachsche Vermutug wahr ist, so ist jede ugerade Zahl i der Form (1) darstellbar, ud jede ugerade Zahl 4= 5 ist i der Form (2) darstellbar. Va der Corput, Esterma ud Tchudakoff zeigte, dass die gerade Zahle, die icht Summe zweier Primzahle sid, die Dichte 0 habe, daher sid fast alle ugerade Zahle i der Form (1) ud (2) darstellbar. Die kleiste gerade Zahl, die icht i der Form p() darstellbar ist, ist ud 4 sid icht i der Form a() darstellbar. Ma köte ohe grosse Mühe alle Zahle bis 106 bestim me, die icht i dei Form (1) ud (2) darstellbar sid. I. Ruzsa vermutete, dass die Dichte der Zahle, die icht i der Form (1) darstellbar sid, 0 ist, es ist aber icht eimal bekat, ob die obere Dichte dieser Zahle grösser als 1/2 ist oder ob die Dichte der i der Form (1) ud (2) darstellbare Zahle überhaupt existiert. Die Zahle der Form op() ud o() sid viel leichter zu studiere. Av(x) sei die Azahl der Zahle m x, die sich i der Form cp() darstelle lasse, ud Aa(x) sei o(x) ist, ud ich zeigte, dass für aalog für a() defiiert. Pillai zeigte, dass A^(x) jedes s ud x x0 (e) Av{x) ^{\ogxy log X (3) (P. Erdös, Quarterly Joural of Math. 1935). ich, dass gilt Ap{x) x ilog X exp c(loglog x) Kürzlich zeigte R.R. Hall ud '5 (4) ist; user Beweis ist och icht veröffetlicht. Weiter zeigte ich (Bull. Amer. Math. Soc. 1945) A9(x) (5) lässt sich c x loglog x. j--^ log X (5) wohl och auf A^x) (c #/log x) (loglog x)k für jedes k ud x xq(k) verschärfe. Weiter zeigte ich (Quarterly Joural 1935), dass ei c 0 existiert, so dass für uedlich viele m die Gleichug qj() m mehr als mc Lösuge hat. Sicherlich gilt dies für jedes c 1, aber wir sid weit etfert davo, dies zeige zu köe. Die hier erwähte Sätze gelte alle auch für a(). Ich weiss aber icht, ob Atp(x) Aa(x) uedlich viele Zeiche Wechsel hat ud ob lim Ap(x)/Aa(x) existiert ud 1 ist; diese Frage sid wahrscheilich recht schwierig. Ich weiss auch icht, ob p() o(m) uedlich viele Lösuge hat. Nu beweise wir usere Satz. Es sei Pk 2.3 pk das Produkt der erste k Primzahle. Wir beweise de folgede stärkere II. Zu jedem e 0 gibt es ei k, so dass für alle x A (k, x) der Zahle 4= p, für welche Satz a() gilt, kleier 2) x als e a() xq(e, k) 0 (mod Ph) x/pk ist. Jede gerade Zahl 6 ist die Summe zweier verschiedeer Primzahle. die Azahl (6)

4 P. Erdös: Über die Zahle der Form a() - ud - q() 85 Aus Satz II folgt, dass die obere Dichte der Zahle m 0 (mod Pk) vo der Form (2) höchstes e/pk 1/Pk ist. Wäre die utere Dichte der icht i der Form (2) darstellbare Zahle 0, so wäre die obere Dichte der Zahle der Form (2) 1 ud die obere Dichte der durch Pk teilbare uter ihe 1/Pk. Daher folgt Satz I aus Satz II. Offebar gilt Ax(k, x) + A2(k, x) A(k, x) + Az{k, x) (7) 1 (mod 2), A2(k, x) die Azahl wo Ax(k, x) die Azahl der Lösuge vo (6) mit der Lösuge vo (6) mit 0 (mod 2), 0 (mod Pk) ud A3(k, x) die Azahl der Lösuge vo (6) mit 0 (mod PÄ) bedeutet. Zuerst zeige wir ^ Ax(k, x) o(x) (8) A2(k, x) o(*) (9) ud l -^O 1 (mod 2). Daher ist w Aus *2. (mod 2), o() (mod 2), folgt a() We t Primzahl ist, folgt a() )/w, also wege o() x, x2, t x. We icht Primzahl ist, gilt a() w3/4 (da der kleiste Primfaktor eies quadratische icht grösser als 1^ ist ud daher p~x 3/4 gilt). Daher folgt aus x, dass x^z x3'2 ud t xz^. Also Ax(k, x) (x) + ^3/4 o(x), a() womit (8) bewiese ist. 0 (mod 2), also ist a() 3 /2. Jetzt wolle wir (9) beweise. Hier gilt Daher folgt aus a() x, dass 2 x. Wir beötige u folgedes: - Lemma. Es sei p eie beliebige Primzahl. Die Dichte der Zahle mit a() = 0 (mod p) ist 0. Das Lemma ist wohlbekat. Der Vollstädigkeit wege werde wir es aber im Ahag beweise. Aus userem Lemma folgt sofort, dass die Azahl der Zahle 2 x mit a() = 0 (mod Pk) o(x) ist. Wege (6) ud _ 0 (mod Pk) folgt aber a() _ 0 (mod Pk), daher folgt (9) sofort aus 2 x. Schliesslich wolle wir Az(k, x) abschätze. Wege 0 (mod Pk) folgt,(«)./7 (_+ )(! + _)» für ^ k0(e), da 2J^/Pi z=i ^ - Daher folgt aus a(w) ^#'x) "isatz x, dass e x/2, also (10) II folgt sofort aus (8), icht auf (9) ud (10). Leider lässt sich diese eifache Methode awede. Folgede Frage kote ich weder für p() och für a() beatworte. Ist es wahr, dass für jedes c 1 ud t 1 Zahle mx ud m2 existiere mit o(m^) c mlf p(m2) m2/c, so dass die Gleichuge a() p() mxi q)() midestes t Lösuge habe. m2

5 M Jeger Irreduzible Polyome als kombiatorische Figure 86 1 die Primzahle mit qt Ahag (Beweis des Lemmas). Es seie qlt q2, oo. Somit divergiert die Reihe (mod p). Nach dem Dirichletsche Satz gilt y]q~x 2Jvt mit vt (qt 1) q~2. Das uedliche Produkt (1 vt) strebt daher gege Null. Ma ka also rj 0 beliebig ud r so gross wähle, dass II fl t~l (1 - r,ß (11) We für irged ei iqt ud q2f gilt, so folgt a() \ r 0 (mod ^). Nu sei Br= JJ qx* We für ei u i 1 u i i r qt\ u ud #f -f w gilt, da folgt aus (mod p). Für die Azahl der Restklasse u (mod B2), B2 ud ei 0 (mod B2), dass a() die diese Eigeschaft m'c/^ habe, erhält ma sofort aus dem Sieb des Eratosthees de Ausdruck w w " A(l-Lir)der ach (11) 0,5 rj B2Y ist. Daher ist für x mit o() = 0 (mod p) kleier als 0,5 r]b2r-x B;2 + 0,5 Da (12) für jedes rj x0 (rj, r) die Azahl der Zahle x r\b2r\x. 0 gilt, ist der Beweis fertig. (12) P. Erdös Irreduzible Polyome als kombiatorische Figure Der folgede Beitrag behadelt ei Abzählproblem aus der klassische Algebra, das erstmals vo Gauss gelöst worde ist. Gelegetlich taucht es auch i der euere Literatur wieder auf (Vgl. [1] ud [2]). Mit der Darlegug der folgede Lösug soll ei Eiblick i die modere Methode der abzählede Kombiatorik vermittelt werde. 1. Die Problemstellug Die edliche Körper oder Galois-Felder werde i der algebraische Literatur meist damit abgeta, dass a eier geeigete Stelle ei kurzer ud elegater Existez beweis eigeflochte wird. Die euere Etwickluge i der sogeate fiite Mathematik1) brige es mit sich, dass die Galois-Felder mehr ud mehr explizit beötigt werde. So ka zum Beispiel auf Grud eier Darstellug des GaloisFeldes GF(p)2) die edliche Desarguessche affie Ebee vo der Ordug s p leicht kostruiert werde. Damit im Zusammehag steht die Aufgabe, orthogoale lateiische Quadrate vo der Ordug s p zu fide. A lateiische Verteiluge x) Im agelsächsische Raum treffeder als Combmatorial Mathematics bezeichet. 2) p ist eie Primzahl, eie beliebige atürliche Zahl.