Vorbereitungshilfe zum Versuch Vierpole und Leitungen

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1 Vorberetngshlfe zm Versch Verpole nd etngen Phasengeschwndgket: d d ösngen der Wellenglechng (Beschränkng af ene Ramrchtng) haben de Form dx dt π (x,t) (x ± t ), zb ( x, t) ˆ cos ( x ± t) ˆ cos( kx ± t) für ene harmonsche Welle λ λ st de Wellenlänge, de änge jener Strecke, nach der sch z ener festen et t n Asbretngsrchtng x der gleche Schwngngszstand wederholt De rämlche Perode der Welle k π λ wrd - ncht ganz enschtg - als Wellenzahl bezechnet nd πλ als Kresfreqenz De zetlche Perode, de Freqenz f π gbt de Anzahl zetlcher Schwngngsperoden pro Enhetszet an enem festen Ort an f λ k st de Phasengeschwndgket, jene eschwndgket n Asbretngsrchtng, de en Beobachter haben müßte, m konstante Ampltde (x ± t const, konstante Phase) z beobachten De Phasengeschwndgket st je nach Medm nterschedlch Für elektromagnetsche Wellen m Vakm st es de chtgeschwndgket c De Phasengeschwndgket kann freqenzabhängg sen Be der Asbretng m Vakm st das ncht der Fall rppengeschwndgket, Dsperson: De addte Überlagerng zweer Wellen mt glecher Asbretngsrchtng, glecher Ampltde $, jedoch erschedener Kresfreqenz ( nd Δ ) nd erschedener Phasengeschwndgket ( k nd ( Δ) ( k Δk) ) ergbt ( x, t) ˆ cos( t ± kx) ˆ cos{ ( Δ) t ± ( k Δk)} x ( Δ) t± ( k Δk) x Δt ±Δ k x ˆ cos cos Für gerngen Kresfreqenzntersched ( Δ << ) nd damt ach gerngen Wellenzahlntersched (Δk << k ) folgt: ( x, t) ˆ cos( t ± kx) cos( Δ t ± Δk x) De Enhüllende deser Schwebng bewegt sch mt der sogenannten rppengeschwndgket Δ Δk Deses Ergebns fndet man ach für Sperpostonen on mehr als zwe harmonschen Wellen erschedener Ampltden be gerngen Freqenznterscheden En äqalenter Asdrck für de rppengeschwndgket st d d dk d ( π λ) d λ ( π λ) dλ Er zegt, daß de rppengeschwndgket mmer dann on der Phasengeschwndgket abwecht, wenn de Phasengeschwndgket on der Wellenlänge abhängg st (bzw on der Freqenz ), dh be 'Dsperson' Werden drch das Asbretngsmedm Sgnale übertragen, zb Implse nterschedlcher Höhe (Spannng), änge (etdaer) oder Folge (etpnkte des Aftretens), so können dese als Sperposton on harmonschen Wellen sehr nterschedlcher Freqenz (Forersmme) beschreben werden Ist de Asbretng dspers, haben also de Antele nterschedlcher Freqenz nterschedlche Phasengeschwndgketen, so 'zerfleßen' de Sgnale Se ändern hre Form, werden erzerrt Bespele: De Asbretng elektromagnetscher Wellen längs nhomogener etngen (zb Verpolkette) st dspers, desglechen ach de Asbretng on Oberflächenwellen af Flüssgketen Besonders bekannt st de Dsperson enes lasprsmas für das schtbare cht De Asbretng elektromagnetscher Wellen m Vakm st dagegen dspersonsfre Ach de Asbretng on Kompressonswellen längs langer, dünner Stäbe nd de Asbretng elektromagnetscher Wellen längs homogener, erlstfreer etngen (z B deales Koaxalkabel) st dspersonsfre

2 - - Verpole, Verpolkette (spezell Drosselkette): anz allgemen nennt man en Netzwerk elektrscher Baelemente mt enem Engangs- nd enem Asgangsklemmenpaar elektrscher Verpol Der her betrachtete Verpol se en Element ener dealen Drosselkette, also en π-led mt ener ängsndkttät (Impedanz ) nd zwe glechgroßen Qerkapaztäten (Impedanz jewels () - ) De Verlstwderstände realer Splen nd Kondensatoren bleben nberückschtgt An den Asgang se ene astmpedanz A (Arbetswderstand, Abschlßwderstand; ncht notwendgerwese en ohmscher Wderstand) angeschlossen, nd gefragt se nach dem sammenhang zwschen den Asgangsgrößen nd nd den Engangsgrößen nd As nd (Knotenregel) nd (Maschenregel) folgt De Engangsmpedanz hängt on der röße der angeschlossenen astmpedanz A ab Be ener spezellen astmpedanz, der charakterstschen Impedanz des Verpols, glt Man fndet drch Ensetzen n obge Formeln mt De charakterstsche Impedanz (ach Wellenwderstand) st demnach freqenzabhängg Nr m Berech << glt: Das st bem Expermenteren mt nterschedlchen Freqenzen z beachten Mt kann man für den sammenhang zwschen Engangs- nd Asgangsgrößen des Verpols schreben: Oder afgelöst nach, nd n Matrxschrebwese: In den Vektoren wrden de Ströme mt dem Faktor ersehen, wel dann de Vektoren dmensonsgleche rößen enthalten, de reslterende Übertragngsmatrx symmetrsch st, de Determnante den Wert hat nd sch de Sbsttton γ cosh ( ) γ γ e e nd snhγ e γ e γ ( ) anbetet Das Argment γ st ene komplexe röße β α γ De Bldng ener Matrxpotenz, für de es m allgemenen Fall kene geschlossene Formel gbt, de aber m nächsten Schrtt erforderlch st, wrd damt sehr enfach Be der Freqenz (später 'renzfreqenz') ergbt sch de Übertragngsmatrx De Asgangsgrößen wesen also be gegenüber den Engangsgrößen de Phasenerschebng π af

3 Ene Verpolkette - n nserem Fall ene deale Drosselkette - entsteht, wenn mehrere gleche Verpole hnterenandergeschaltet werden: n n coshγ snhγ coshnγ snhnγ n snhγ coshγ snhnγ coshnγ Als Spannngsübertragng ergbt sch n cosh nγ snh nγ n Mt der spezellen astmpedanz A folgt: n n coshnγ snhnγ e t e n t Demnach st nα de Dämpfngskonstante nd nß de Phasenkonstante der Verpolkette De Übertragngsegenschaften der Drosselkette: t ( tnβ ) nα egt am Engang ene snsförmge Spannng, ( ) ˆ, so ergbt sch () As der Sbstton cosh γ folgt Anderersets glt nγ e nα e nβ γ snh γ α β α β α β snh snh snh cos cosh sn α β Also snd de beden lechngen snh cos nd Für < st de ösng α nd für > st de ösng ˆ e e α β cosh sn smltan z erfüllen β arcsn, α arccosh ndβ π Das bedetet, daß de Drosselkette de Egenschaft enes Tefpasses hat De deale Drosselkette (deren Kondensatoren nd Splen erlstfre snd) st für Freqenzen nterhalb der renzfreqenz erlstfre, e -nα Oberhalb der renzfreqenz zegt se ene mt der Freqenz stel anstegende Dämpfng Bespel: n ;,; e -nα,6-3 De Verpolkette kann man als ene sehr nhomogene etng affassen Hat de Kette as n ledern de nβ änge l nd schrebt man t nβ t l t kl, so folgt als Phasengeschwndgket l l k nβ - 3 -

4 Im Drchlaßberech ( < ) hängt de Phasengeschwndgket on der Freqenz ab: l l ( ) nβ n arcsn l, ( ), ( ) n πn Wegen der Freqenzabhänggket der Phasengeschwndgket stmmen rppen- nd Phasengeschwndgket - aßer be klensten Freqenzen - ncht überen De Drosselkette st en 'dsperses Medm' Für de rppengeschwndgket ergbt sch: ( ) d dk ( ) dk d l n d ( nβ l) d( (n l) arcsn( )) d l n d, ( ), ( ) Da de änge l der sehr nhomogenen etng, Verpolkette, on der Anordnng der dskreten Baelemente nd der recht wllkürlchen änge der Verbndngsdrähte abhängt, mag es zwefelhaft sen, ob Phasengeschwndgket nd rppengeschwndgket ener solchen Kette releante rößen snd wefellos aber st das Verhältns on Phasen- nd rppengeschwndgket, das de änge l ncht enthält, ene releante röße ( ) ( ) arcsn De reale Drosselkette: De nermedlchen Verlste der realen Drosselkette können pro π-led drch enen Wderstand R n Rehe mt der Indkttät nd zwe etwerte, jewels parallel z den Kapaztäten, n den Ansätzen berückschtgt werden De reslterenden Formeln werden her ncht angegeben De Verlste be den m Praktkm erwendeten realen Drosselketten snd ncht sonderlch groß, nd de Formeln für de deale Drosselkette snd gte Näherngen De homogene etng: Be ener üblchen homogenen etng snd Indkttät nd Kapaztät homogen über de etngslänge ertelt Man gbt de Indkttät ' pro ängenenhet nd de Kapaztät ' pro ängenenhet an Bem Koaxalkabel glt: μμ ra ra ln ; πεε ln π r r mt dem Innenrads r nd dem Aßenrads r a Wenn man l n nd l n n m Asdrck für de Phasengeschwndgket der Drosselkette ensetzt, so folgt l ( ) l n arcsn n Bem renzübergang zr homogenen etng (n ) ergbt sch ( ) c Demnach st de εμ erlstfree homogene etng dspersonsfre Es gbt aber kene ganz erlstfree etng De eter haben ohmschen Wderstand, das Delektrkm solert ncht perfekt nd bewrkt Umpolarserngserlste (delektrsche Verlste) Be der homogenen etng werden dese Verlste drch enen af de änge bezogenen Wderstand R' n Sere mt ' nd drch enen af de änge bezogenen etwert ' parallel z ' berückschtgt Für ncht z große Dämpfng glt l - 4 -

5 dann: α ( R ) für de Dämpfngskonstante, für de R R Phasengeschwndgket, für de rppengeschwndgket nd ( ) für de α charakterstsche Impedanz De erlstbehaftete homogene etng st dspers, dh Sgnale werden ncht öllg nerzerrt übertragen Reflexonen: Im Asdrck für de Spannngsübertragng der Drosselkette trtt de Smme t - nβ af, ncht aber t nβ Es gbt nr ene hnlafende (om Kettenanfang zm Kettenende) aber kene rücklafende Welle Das legt daran, daß be der Herletng als Abschlßwderstand de charakterstsche Impedanz der Kette gewählt wrde ( A, 'Anpassngsfall') Im allgemenen Fall treten am Kettenende (am Ende jeder Übertragngsletng) Reflexonen af Dort st das Ampltdenerhältns on reflekterter z ankommender Welle der sogenannte Reflexonsfaktor A ρ A Vollständge Reflexon erfolgt demnach mt Vorzechenmkehr (ρ -) m Krzschlßfall ( A ) nd ohne Vorzechenmkehr (ρ ) be offenem Kettenende ( A ) Dazwschen gbt es je nach Wahl on A alle Fälle mt - < ρ < Reflexonen be der Afnahme der Drchlaßkre: Wrd be der Afnahme der Drchlaßkre ( a e n über afgetragen) ener Drosselkette der astwderstand konstant gelassen, zb A (), nd der engangssetge Abschlß der Kette möglcherwese gar ncht beachtet, so treten wegen der Freqenzabhänggket der charakterstschen Impedanz Velfachreflexonen zwschen Kettenanfang nd Kettenende af Je nach relater Phasenlage überlagern sch de Wellen am Kettenende mehr oder wenger destrkt Das führt z ener 'wellgen' Drchlaßkre anstelle des be Reflexonsfrehet m ganzen Drchlaßberech konstant ( a e ) erwarteten Verlafs Für engangs- nd asgangssetgen Abschlß der erlstfreen Drosselkette mt jewels () wrde on h Weddgen de Sperposton der reflekterten Wellen am Kettenende berechnet Das Ergebns für ene 6- gledrge Kette st m folgenden Dagramm ( n über ) dargestellt: - 5 -

6 De expermentell ermttelte Drchlaßkre mt A () wrd etwas anders assehen, wel dabe engangssetg wahrschenlch der eneratornnenwderstand ( ()) als Abschlßwderstand wrkt nd wel be der realen Kette de Verlstwderstände znehmende Abschwächng der elfach reflekterten Wellen bewrken nd ach de Phasenlagen modfzeren Drosselketten-Bespel: l n,cm; n 6; 96 μh;, nf; 8,5 3 S ; R 3, 9 Ω (ohne Wechselstromerlste) 4,35 6 s ; f 693kHz 9Ω ; (,5 ) 4Ω ; (,95 ) 668Ω Dagramme: () () 435 ms ; (,5 ),3 ; ( ) 775ms (, 95 ),48 Folgende Freqenz-Abhänggketen on Egenschaften ener Drosselkette snd - nabhängg on der spezellen Dmensonerng - m obgen Dagramm über dargestellt: Kre : Kre : ( ) () Kre : Kre β: ( ) () ( ) () β ( ) arcsn arcsn - 6 -

7 Das obge Dagramm stellt - nabhängg on der spezellen Dmensonerng - das Dspersonsdagramm ener Drosselkette dar: afgetragen über k ( ) k( ) arcsn π (WJüngst, pdate PBlem) Verson: Ag 9-7 -