Funktionentheorie I. Kurzskriptum nach einer Vorlesung von Professor Dr. K. Menke. Universität Dortmund Sommersemester 1998

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1 Futioetheorie I Kursriptum ach eier Vorlesug vo Professor Dr. K. Mee Uiversität Dortmud Sommersemester 998 Lette Äderug: 8. April 24

2 Dieses Kursript ist aus meier persöliche Mitschrift der Vorlesug Futioetheorie I bei Professor Dr. K. Mee im Sommersemester 998 etstade. Ich habe versucht alles richtig wiederugebe, a allerdigs eie Garatie darauf gebe. Es ist deshalb wahrscheilich, daß dieses Sriptum Fehler ethält. Dieses Sriptum darf ur umsost oder um Selbstostepreis weitergegebe werde. Ich utersage jede ommerielle Nutug durch Dritte. Dieses Sriptum ist weder eie offiielle och eie vo Professor Mee autorisierte Versio. Deshalb ist bei Fehler uerst davo ausugehe, daß diese vo mir stamme. Igo Mafraß

3 Ihaltsvereichis u Futioetheorie I INHALTSVERZEICHNIS ZU FUNKTIONENTHEORIE I...I I. KOMPLEXE ZAHLEN UND FUNKTIONEN..... STRUKTUR DER KOMPLEXEN ZAHLEN UND IHRE DARSTELLUNG RIEMANNSCHE ZAHLENKUGEL, CHORDALE METRIK... I EIN PUNKT KOMPAKTIFIZIERUNG VON ALEXANDROFF ZUSAMMENHANG HOLOMORPHE FUNKTIONEN... 3 P JORDANKURVE: JORDANSCHE KURVENSATZ... 4 II. EIGENSCHAFTEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN WINKELTREUE LINEARE ABBILDUNGEN... 5 I GANZE LINEARE ABBILDUNGEN... 5 II GEBROCHEN LINEARE ABBILDUNGEN KURVENINTEGRALE DER CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ FÜR STERNGEBIETE... 8 METHODE VON GOURSAT... 8 CAUCHYSCHER INTEGRALSATZ FÜR STERNGEBIETE... 8 CAUCHYSCHE INTEGRALFORMEL TAYLORENTWICKLUNG ISOLIERTE SINGULARITÄTEN... KLASSIFIZIERUNG WINDUNGSZAHL UND CAUCHY INTEGRALFROMEL ARGUMENTPRINZIP UND MAXIMUMPRINZIP... 3 MAXIMUMSPRINZIP... 4 III. ALLGEMEINER CAUCHYSCHER INTEGRALSATZ UND FOLGERUNGEN DER ALLGEMEINE CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ LAURENTENTWICKLUNG RESIDUENSATZ UND ANWENDUNGEN DAS ARGUMENTPRINZIP FÜR MEROMORPHE FUNKTIONEN... 8 HARMONISCHE FUNKTIONEN... 8 DAS DIRICHLET PROBLEM FÜR DEN KREIS... 9 IDENTITÄTSSATZ, MITTELWERTEIGENSCHAFT UND MAXIMUMSPRINZIP... 9 INDEX ZU FUNKTIONENTHEORIE I... A Seite i

4 I. Komplexe Zahle ud Futioe.. Strutur der Komplexe Zahle ud ihre Darstellug C: Mege der omplexe Zahle. Die omplexe Zahle bilde eie (vollstädige Körper Ordug: P R (i für jedes a R gilt geau eie der drei Aussage:. a P, 2. a = 3. a P (ii a P, b P => a + b P, a b P Elemete vo P heiße positiv => R ist ei ageordeter Körper (C icht.2. Riemasche Zahleugel, chordale Metri Idee: ur Mege C ei Put 2 Wege: - ei-put-kompatifiierug - stereographische Projetio I Ei Put Kompatifiierug vo Alexadroff X = loalompater topologischer Raum Y:= X {} X topologischer Raum, φ: X Y bijetive Abb. (Y irgedeie Mege heißt offe i Y φ - (O offe i X X metrischer Raum, auf Y wird Metri iduiert: d(, :=ρ (φ - (, φ - ( Durch diese Awedug auf S 2 : x 2 + y 2 + ( ½ 2 = ¼ (Radius ½ Ma ordet jedem P auf der Sphäre S 2, P N de Bildput u, de ma als Aufput der Gerade durch N ud P i der x -y -Ebee erhält. Dem Put N ordet ma de ideale Put u. φ: S² C Λ := C {} x Beute für φ(x, y, = y ϕ:= φ - ϕ( = 2 (Re, Im, ². Damit φ(,, = + Die Metri auf C: Seite

5 Sei ρ die eulidische Metri im R³ ud d: C Λ x C Λ R durch d(, = ρ(ϕ(, ϕ(, wobei ϕ die Umehrfutio der stereographische Projetio ist. d ist eie Metri ud wird chordale Metri geat. d(, 2 (da sie ur auf der Sphäre lebt Sat: C Λ ud S² sid homöomorph. Folgerug: Ĉ ist ei ompater metrischer Raum. Sat: Sei O C. Da: O ist offe bgl. C (eulidische Metri O ist offe bgl. C (chordale Metri.3. Zusammehag (X,d, (Y,ρ metrische Räume Defiitio: Eie Mege A X heißt usammehäged i X, we es eie i X offee Mege O,O 2 gibt, für die O A ud O 2 A icht leer sid ud die O O 2 A=, Α Ο O 2 erfülle. A usammehäged, A B A B usammehäged ]a,b[ usammehäged i R A X, A usammehäged ud ƒ: A Y stetig ƒ(a usammehäged Sat: Sei Λ eie beliebige Idexmege, A λ, λ Λ seie usammehägede Teilmege vo X, wobei A λ A µ für λ,µ Λ gilt. Da ist auch A : = usammehäged. U A λ λ Λ Defiitio: Sei A X. Für x A sei L(x die Vereiigug aller usammehägede Teilmege vo A, die x ethalte. Da heißt L(x Zusammehagsompoete vo A. Folgerug: Es ist L(x usammehäged ud es gilt U A = L ( x, wobei etweder L(x=L(y oder L(x L(y= für x,y A gilt. Defiitio: Sei a<b, A X beliebiger metrischer Raum. Sei p: [a,b] A eie stetige Futio, da heißt p ei Weg i A. p(a heißt Afagsput, p(b heißt Edput des Weges. p :=p([a,b] heißt der Träger (die Spur des Weges. Ei Weg heißt geschlosse, we p(a=p(b ist. Bemerug:. Der Träger eies Weges ist ompat ud usammehäged. 2. Sei A X. Da sei für x,y A erlärt x~y es gibt eie Weg p: [,] A mit p(=x ud p(=y. x ud y sid durch eie Weg i A verbidbar. Sat: ~ ist eie Äquivalerelatio. Die Äquivalelasse heiße Wegompoete vo A. Gibt es ur eie Wegompoete vo A, so heißt A wegusammehäged. Hiweis: Wege sid im allgemeie icht das, was sie aschaulich sid. (.B. 2-dim Fläche; es ist ur die Stetigeit verlagt. A wegusammehäged : je wei Pute aus A lasse sich i A durch eie Weg verbide. Sat: Jede Wegompoete ist wegusammehäged. Ab jett: X=C versehe mit eulidischer Metri x A Seite 2

6 X=Ĉ versehe mit chordaler Metri Sat: Sei A eie offee Teilmege vo X. Da sid die Wegompoete vo A auch offe. Sat: Sei A eie offee Teilmege vo X. Es ist A geau da usammehäged, we A wegusammehäged ist. Folgerug : Ist A wegusammehäged, so ist A usammehäged. Folgerug 2: Sei A offe. Da ist auch jede Zusammehagsompoete vo A offe ud die Zusammehagsompoete stimme mit de Wegompoete überei. Defiitio: Sei A C, p: [a,b] A ei Weg i A. We es eie Zerlegug {a=t,t,...,t =b} des Gruditervalls [a,b] gibt, so daß p([t i-,t i ] für i=,..., eie (achseparallele Strece i C ist, so heißt p ei (achseparalleler Polygoug i A. Hiweis: p: [a,b] x A ist ugelasse. Sat: Sei A C, A offe. Da gilt: Es ist A geau da usammehäged, we je wei beliebige Pute aus A durch eie (achseparallele Polygoug i A verbude werde öe. Defiitio: Sei G, G Ĉ offe ud usammehäged. Da heißt G ei Gebiet. Sat: Sei G. G C. Da ist G geau da ei Gebiet, we G offe ud usammehäged i C ist (bgl. eulidischer Metri G C, G ei Gebiet, da heißt G auch ei edliches Gebiet Sat: Sei A X, A offe. Da sid die Kompoete vo A Gebiete. A ist darstellbar als höchstes abählbare Vereiigug vo disjute Gebiete..4. Holomorphe Futioe C versehe mit eulidischer Metri Ĉ versehe mit chordaler Metri Defiitio: a Ĉ heißt Grewert vo f i, we u jedem ε > ei δ > existiert, ^ so daß für alle D \{ } Kδ( gilt: f( Kε ( a. ^ (, a edlich, d.h. aus C, Kδ( a ersett werde durch K δ ( werde. Defiitio: Sei G C eie offee Mege. Da heißt f: G C i omplex differeierbar, we es ei a K gibt mit lim ( f ( f = a. a heißt die Ableitug vo f im Pute ud ma schreibt f ( = a. f heißt holomorph i G, we f i jedem Put vo G omplex differeierbar ist. (es gilt wege uterschiedliche Herleituge: holomorph = aalytisch = regulär = regulär aalytisch Eigeschafte: Ist f i omplex diffbar, da ist f i stetig (cf ( = c f ( (f + g ( = f ( + g ( Beispiele: Polyome, ratioale Futioe ^ Seite 3

7 Sat: (Cauchy Riema DGL Sei G C offe. Da ist f: G C f( = u(x, y + i v(x,y ( = x + iy G i = x + iy G geau da omplex diffbar, we u ud v i (x, y reell differeierbar sid ud für die partielle Ableituge gilt: u x (x, y = v y (x, y ud v x (x, y = - u y (x, y. Die partielle DGL u x = v y ud v x = - u y heiße Cauchy Riema DGL. Defiitio: Sei G eie offee Mege im R 2 a g: G R sei weimal stetig partiell diffbar ud es sei g = ( g = g xx + g yy, da heißt g harmoisch i G. b Sei u harmoisch i G. Da heißt v: G R ojugiert harmoisch u u, falls f: G C mit f = u + iv holomorph u G ist. Beispiele Idetitätssat für Potereihe Seie f ( = a, g ( = b overget i { <r }. Sei ( eie = = Folge mit < <r lim = ud ƒ( =g( für =,,... Da gilt: a =b für =,,... ud somit ƒ(=g( für <r. Beispiele für Potereihe e =exp(= = holomorph i C.! e =e Re( 2 cos = ( (2!, 2+ si = ( (2+! = = beide holomorph i C. i i i i e + e e e wobei: cos =, si = 2 2i si: ugerade Futio cos: gerade Futio cosω= ω= + π, Z siω= ω= π, Z si ta = holomorph i C\{ cos + π Z } cot = holomorph i C\{ π Z } cos si Etwiclug des Logarithmus Umehrug vo e auf: G ={ C -π Im(<π } log(ω=log ω +i Arg(ω, -π Arg(ω<π icht stetig G :={ C (2-π Im(<(2+π } (Idee der Riema sche Fläche (aalytische Maigfaltigeit B :=exp(g =C\{} e : C B = U B =, B Blätter p Jordaurve: Jordasche Kurvesat Sat: C\ p erfällt i geau wei Gebiete, das Iegebiet ud das Außegebiet. Bemerug: ƒ holomorph, ƒ ( q=ƒ p euer Weg. q (t=ƒ (p(tp (t Seite 4

8 II. Eigeschafte holomorpher Futioe 2.. Wieltreue Defiitio: Sei p. [a,b] C ei Weg. (i p heißt ei Jordaboge, we p eie ijetive Abbildug ist. (ii p heißt ei Jordaurve, we p geschlosse ist ud p ijetiv i [a,b[ ist. (iii p heißt glatter Weg, falls p stetig differeierbar ist ud p (t für t [a,b] ist. (i der Literatur icht eideutige Begriffswahl Bemerug: Wiel wische de Wege p ud p 2 im Schittput. i j p j (t= p j (t e ψ, t<, :=ψ 2 -ψ ψ j =Arg(ƒ (p(t j p (t j, =ψ 2 -ψ Sat: Sei ƒ im Gebiet G C holomorph, G ud ƒ (. Sei der Wiel wische wei glatte Kurve p ud p 2 mit Schittput. Da gilt für de Wiel wische de Bildurve ƒ p ud ƒ p 2 i ƒ( : (mod (Wieltreue Lieare Abbilduge I gae lieare Abbilduge gae lieare Abbildug: f( = a + b Eigeschafte: a = f( = + b (Traslatio 2 b =, a > = r e iϕ ; f( = (a r e iϕ Stauchug / Strecug 3 b =, a = e iα (α R f( = r e i(ϕ+α Drehug um α Hiweis: Ma a jede gae lieare Abbildug als Kompositio vo Drehuge, Stecuge oder Stauchuge ud Traslatioe darstelle. g( = e iα h( = a r( = r + b r(h(g( = f( II gebroche lieare Abbilduge S( = a + b a, b, c, d C c + d Eigeschafte: bc ad a c => S( = + c ² + dc c Sei bc ad (sost S( = a ost. Abbildug c Wie bei gae lieare Abbilduge gilt, daß sich S darstelle läßt als Kompositio vo Abbilduge: S = t g T, wo T, t gae li. Abbilduge sid ud g( = Hiweis: g heißt auch Iversio (am Eiheitsreis, da g: Ĉ Ĉ bijetiv, stetig, Wieltreu i C \ {}. Es gilt mit D = { < }, = { C > } {} g(d =. Seite 5

9 2 c =, da S( = a + b gae li. Abb. d Fall: ad bc =, d.h. ad =, da S ostat (etweder a= : b/d oder d=: Fall: ad bc S: : Ĉ Ĉ d a Ma sett S =, S( =, da S bijetiv c c Defiitio: Abbilduge S der Form a + b mit ad bc heiße Möbius Trasformatioe (oder icht triviale gebrochee lieare Abbilduge c + d Sat: Gerade oder Kreise gege über i Gerade oder Kreise bei diese Abbilduge. Sat: Die Möbius Trasformatioe bilde bgl. der Kompositio eie Gruppe. Sat: Die Möbius Trasformatioe S( := a + b c + d sid i C\ d holomorph ud c wieltreu ud S: Ĉ Ĉ bijetive stetige Abbildug. Sat: Es gibt geau eie Möbius Trasformatio, die drei verschiedee gegebee Pute aus Ĉ i drei verschiedee Pute aus Ĉ abbildet. Sat: Eie Möbius Trasformatio mit 3 Fixpute ist die Idetität. Beispiele:. Abbilduge vom Kreis auf de Kreis 2. Abbilduge vom Kreis auf die Gerade 2.3. Kurveitegrale Sei w: [a, b] C w(t = u(t + iv(t Seie u, v itegrierbare Futioe, da sei b b wt ( dt: = ut ( dt + i vt ( dt a a a Es gilt: Liearität b HDI: Ist F (t = w(t für t [a, b] da w(dt t = F( b F( a Abschätugsregel: a b, da wt (dt wt ( dt b a b a Defiitio: Ei Weg : [a,b] C heißt stücweise stetig differeierbar, we es eie Zerlegug { a=t,t,...,t =b } vo [a,b] gibt, so daß stetig differeierbar ist i ]t ν,t ν+ [ (ν=,...,- ud lim '( t, lim '( t (ν=,..., existiere. t t ν Sei ƒ: C stetig, da sei d : = b a b a t t ν f ( ( t '( t dt : = tν + ν = tν f ( ( t '( t dt Defiitio: Sei ƒ: [α,β] [a,b] stetig mooto wachsed ud i demselbe Sie stücweise stetig differeierbar wie i der vorige Defiitio. Sei ϕ(α=a, ϕ(β=b. Da heißt ϕ eie Parametertrasformatio. Sat: Sei. [a,b] C ei stücweise stetig differeierbarer Weg ud ϕ: [α,β] [a,b] eie Parametertrasformatio. Seite 6

10 Da ist auch *: [α,β] C, *(t:=(ϕ(t ei stücweise stetig differeierbarer Weg ud es ist d d Äquivalerelatio * ~, falls *= ϕ, ϕ=parametertrasformatio C:={ * * ~ }heißt Kurve Defiitio: d : = d C Defiitio: Ist : [a,b] C ei Weg, so sett ma - : [a,b] C mit - (t=(a+b-t Seie : [a,b] C, 2 : [c,d] C wei Wege mit (b= 2 (c Da sett ma 2 : [a,b+d-c] C mit ( t, a t b 2 ( t = 2 ( t b + c, b t b + d c Sat (i d = d (ii * d = d + d ist wohldefiiert als Kurve. d = Defiitio: Sei ƒ: C stetig, da sei erlärt b d : = f ( ( t '( t dt Sat: Sei ƒ: C stetig, da sei erlärt d d Awedug: ƒ( M für d a M d 23 = l( y = l(y: Läge vo (Bogeläge Defiitio: Sei G C ei Gebiet, sei ƒ: G C eie Abbildug. Gibt es eie i G holomorphe Futio g mit g (=ƒ( für G, so heißt g Stammfutio vo ƒ. Amerug: Mit Wege sid ab jett immer stücweise stetig differeierbare Wege gemeit. Sat: Sei : [α,β] G ei Weg, sei g i G Stammfutio des i G stetige ƒ. Da gilt: d = g( ( β g( ( α Bemerug: Nur abhägig vo Afags- ud Edput, icht vom Verlauf der Kurve. Ist geschlosseer Weg, da d =. Schreibweise: d : = = r d, (t= +r e it, t Seite 7

11 Beispiele: geschlosseer Weg FUNKTIONENTHEORIE I a f ( = a, overget i <r = Somit d = i G=K r (. b G=C\{} putierte Ebee d =, =2,3,... = r c =: d = i G=C\R - aber: = r d = i positiv orietierter Kreis mit Radius r. Amerug: Stammfutioe uterscheide sich ur durch Kostate Der Cauchysche Itegralsat für Stergebiete Methode vo Goursat Sat: (Cauchyscher Itegralsat für Dreiece Sei ƒ holomorph im Gebiet G ud sei ei Weg, sei ei Dreiec, desse abgeschlossees Ieres i G liegt. Da ist d =. Defiitio: Ei Gebiet heißt Stergebiet (oder sterförmig bgl. a C, we für G auch die Verbidugsstrece [a,] G ist. Sat: Sei G ei Gebiet bgl. a. Jede i G holomorphe Futio hat da eie Stammfutio g i G ud war gilt: g ( = fs ( ds, wobei der vo a ach geradliig verlaufede Weg ist. Cauchyscher Itegralsat für Stergebiete Sat: Sei f holomoph im Stergebiet G ud sei ei geschlosseer Weg i G. Da ist f( d =. Cauchysche Itegralformel. Versio: Sei f holomorph im Gebiet G C. Sei K ( r G, da gilt für K r ( : f( = fs i ( s ds, wo ma s als de Cauchy Ker beeichet. s Seite 8

12 Bemerug: Die erste Versio der Cauchysche Itegralformel besagt: Ket ma Werte eier Futio f auf dem Rad eier Kugel, so ist f eideutig bestimmt i de Werte der gae Kugel Tayloretwiclug A Sat über Taylorreihe Sei ƒ holomorph im Gebiet G C, sei K r ( G. Da ist (# = f a = für K r (, wobei f ( ξ a = + dξ ist. (=,,2,... i ( ξ ξ = r B Bemerug : Kovergeradius der Reihe i (# midestes r. C Bemerug 2: 2 f ( x = 2 = ( x + x = Kovergeradius (reell aalytisch (Uterschied u C: Taylorreihe overgiert i jedem Put, aber Kovergeradius ist = = 2 f ( x 2 ( holomorph i C\{i,-i} + = Amerug: Kovergeradius auf C beoge! (darüber auch im reelle erlärt D Bemerug: Sei <ρ r, da auch G Es gilt = K ρ ( = a ( = = b ( für - <r b = dξ, <ρ f ( ξ i + ( ξ ξ = ρ E Folgerug : Es ist ( f ( ξ f ( a = i + dξ = für <ρ r ( ξ! ξ = ρ F Folgerug 2: Für <ρ r sei N : = max f ( ξ, da gilt: ξ =r N a ρ Cauchysche Koeffiieteabschätug G Folgerug 3: Ist ƒ holomorph im Gebiet G C, so existiert ƒ ( für jedes N ud ƒ ( ist wieder holomorph. H Idetitätssat für holomorphe Futioe Sei ƒ holomorph im Gebiet G C. Es existiere eie Folge ( aus G mit lim =, G, für N, so daß ƒ( = für N. Da gilt ƒ(= für alle G. I Bemerug : Sei ƒ im Gebiet G holomorph, ƒ. Da liege die Nullstelle vo ƒ isoliert, d.h. sie habe im Gebiet G eie Häufugsput. ( ƒ(*=, da gibt es ρ> mit ƒ( i K ρ (*\{*} J Bemerug 2: Sid ƒ ud g im Gebiet G holomorph, gilt ƒ( =g(, N Seite 9

13 für eie Folge ( G mit lim =,, N ud G, da folgt ƒ(=g( für alle G. K Beispiel: : = si holomorph i C\{} = π G, ƒ( = für N Hier: Sat icht awedbar, da G wichtig! L Bemerug 3: Nur eie Fortsetug reell aalytischer Futioe als holomorphe Futioe möglich. M Sat vo Morera: Sei f i eiem Gebiet G C stetig ud sei f( d = für jede geschlossee Weg (stücweise stetig, da hat f i G eie Stammfutio ud ist daher aalytisch i G. N Bemerug: Die Aussage bleibt richtig, falls f( d = für alle (achseparallele geschlossee Polygoüge (Jordaurve. O Defiitio: Eie i C holomorphe Futio heißt gae Futio. P Beispiele: e, cos, si, Polyome Q Sat vo Lioville: Jede beschräte, gae Futio ist ostat (auf C. R Fudametalsat der Algebra: Jedes Polyom vom Grade hat midestes eie Nullstelle i C. S Sat: Sei f aalytisch im Gebiet G C, x : f(x. Sei G, f( =. Da e- xistiert geau ei N mit der Eigeschaft f( = ( f (, wobei f aalytisch i G ist ud f ( ist. Warug: Dies geht ur für N, icht für Q, wie. B. ½.... T Awedug: Jedes Polyom erfällt läßt sich aufspalte i p( = C ( j = l. U Defiitio: Sei f aalytisch i G ud sei N. Da gilt: (i G heißt Nullstelle der Ordug vo f für G gilt: f( = ( f (, wobei f aalytisch i G ist ud f ( =. (ii Sei c C, G heißt c Stelle der Ordug ist Nullstelle der Ordug vo f c. Kürer spricht ma vo eier fache Nullstelle oder eier fache c Stelle. V Beispiele:. = ist 2 fache Stelle vo cos. 2. Alle c Stelle vo e sid eifach! W Bemerug: f( = /2 hat eie Nullstelle der Ordug ½ Isolierte Sigularitäte A Defiitio: heißt isolierte Sigularität vo f, we es ei r > gibt, so daß f i K r ( \ { } holomorph ist (d.h. midestes i eier Kreisscheibe Klassifiierug B. Fall: Sei f beschrät i K ρ ( \ { } für ei ρ, < ρ r. C Beispiel: si beschrät i K ( \ {}. Seite

14 D Defiitio: Sei isolierte Sigularität vo f heißt hebbare Sigularität vo f, we es ei ρ > gibt, sp daß f i K ρ ( \ { } beschrät ist. E Riemascher Hebbareitssat: ist hebbare Sigularität vo f lim f( ( = lim f( existiert es gibt c C, so daß f i K ρ ( aalytisch ist, falls f( = c gesett wird. F Beispiel G Defiitio: Sei eie isolierte Sigularität vo ƒ. Da heißt Polstelle (auch außerwesetliche Sigularität vo ƒ, we lim = ist - im Sie der chordale Metri. Ist weder Polstelle och hebbare Sigularität, so heißt wesetliche Sigularität. H Defiitio: Sei N. Die isolierte Sigularität heißt Polstelle der Ordug vo ƒ ist hebbare Sigularität ud -fache Nullstelle vo f. I Sat: ist -fache Polstelle vo ƒ ƒ hat eideutig bestimmte Darstellug f ( A A A = + + K + + ϕ( K δ ( \{ } = ( ( ( (δ hireiched lei wobei ƒ ud ϕ holomorph i K δ ( sid ud ƒ ( =A ist. J Beispiel K Sat vo Casorati-Weierstraß Sei ƒ i K r ( \{ } holomorph ud sei eie wesetliche Sigularität vo ƒ. Da gilt f K ρ ( { } = C ρ: <ρ r ( (=Ĉ i chordaler Metri wesetliche Sigularität jeder Put wird um ageomme L Defiitio: Eie Futio heißt meromorph im Gebiet G C, we sie dort bis auf Pole holomorph ist. M Bemerug: Eie meromorphe Futio a i G höchstes abählbar viele Pole habe. Sie liege isoliert. N Beispiele: a ist i C meromorph, Pol. Ordug. e P( ( Q( b r = ratioale Futioe sid meromorph i C, (P, Q Polyome, Q 2 2 cos c cot = 2 meromorph i C, weifache Postelle i si = π. g meromorph i G, g, da ist g meromorph i G. O Bemerug: Seie ƒ,g aalytisch im Gebiet G C, g, f da g ist meromorph i G. ƒ,g meromorph ƒ+g, ƒ g meromorph Die i G meromorphe Futioe bilde eie Körper. (Nullelemet:, Eiselemet: K R :={ C > R} (R > [i chordaler Metri: putierte Umgebug des Nord pols] P Defiitio Seite

15 a f: K R {} C heißt holomorph i K R {}, we g mit g( := f holomorph i K ( ist. R b Sei u f holomoph i K R. Da heißt isolierte Sigularität vo f. Sei wieder g( := f, K ( \{}. Geauer heißt jett hebbare Sigularität, R bw. Poststelle ter Ordug, bw. wesetl. Sigularität vo f = ist hebbare Sig., bw. Polstelle ter Ordug, bw. westetl. Sigularität vo g. c f heißt meromorph im Gebiet G C $, we f dort bis auf Pole holomorph ist. Q Beispiele a f( = e / ist holom. i K R {}, de g( = f = e ist holomorph i K (. f ist damit auch holomorph i $ C \{}. R b f( = (3 - fache Polstelle i = R Sat: Ist f holomorph i K R, da gilt a f ist i holomorph fortsetbar f( := lim f ( C. f ist i K δ beschrät (δ R b f hat i eie Pol ter Ordug f( = f (= A A + ϕ(, wobei f ud ϕ holomorph i K R {} sid ud f ( = A ist. c f hat i eie wesetliche Sigularität fk ( δ = C δ > R. S Beispiele f( = e, f gae Futio, wesetliche Sigularität i. m 2 r( = m- a + + m... a b b m > : Polstelle m: hebbare Sigularität Ratioale Futioe sid meromorph i C $. T Sat: Die i C $ meromorphe Futioe sid geau die ratioale Futioe Widugsahl ud Cauchy Itegralfromel A Sat: Sei ei geschlosseer, stücweise stetig diffbarer Weg. Sei, da ist ds i eie gae Zahl. s B Defiitio: Sei ei geschlosseer Weg aus C, sei. Da heißt ds (, : = Widugsahl vo bgl.. i s C Bemerug: Widugsahl gibt a, wie oft sich um widet Seite 2

16 D Defiitio: ist ompat, also K r ( für ei r> (r hireiched groß Diejeige Kompoete vo C\, die C\ K r ( ethält, heißt ubeschräte Kompoete vo C\ oder Außegebiet vo. (aalog: C $ \ - die Kompoete, die ethält (Begriff: Iegebiet macht eie Si! E Sat: Es gilt ( -,=-(, 2 (,=, falls K r ( ud - r ist 3 (, ist ostat i jeder Kompoete vo C\, isbesodere ist (, im Außegebiet vo. F Bemerug: (, := (stetige Ergäug G Beispiel H Cauchysche Itegralsat Sei ƒ holomorph im Stergebiet G C ud sei ei geschlosseer Weg i G. Da gilt für G\ f ( s (, = ds. (Koiide: früher Kreis, also (,= 2.8. Argumetpriip ud Maximumpriip i s A Sat: Sei ƒ aalytisch i K r (, ƒ cost, seie µ (µ=,... die verschiedee Nullstelle der Ordug µ i K r (. Sei ei geschlosseer Weg i K r (, µ ud sei T=ƒ. Da gilt ( T, = f '( s d = 2 ( (, µ πi µ f µ = B Bemerug: Die Summe ethält ur edlich viele vo verschiedee Summade. Argumetpriip Uexat f '( s 2 = πi d d arg f ( d 4243 d arg d 7 C Beispiel: f( = ² , K 3( 2 (t = 2e 4πit (t² - t +, t = : = 2 2 = 7 4 : 2 = 3 = 5 2 : 3 = D Folgerug : (Vorrauss. s. o. Sei a C, seie s µ die a Stelle der Ordug µ i K r (, s µ, so gilt etspreched: f'( (f, = µ µ i f a d = ( (, s µ = E Folgerug 2: Sei f aalytisch im Gebiet G C ud sei K δ ( G. Sei N a die Gesamtahl der a Stelle i K δ (, wobei jede a Stelle so oft geählt wird, wie ihre Ordug agibt. Sei : [, ] C, (t = + ρe it ud Seite 3

17 sei a f, da gilt (f, a = N a. F Folgerug 3: Alle Werte i derselbe Zusammehagsompoete werde gleich oft ageomme. G Sat über loale Wertaahme: (f icht ost. Sei f aalytisch im Gebiet G C, G sei eie w Stelle der Ordug. Da gibt es ei r > mit Kr ( G, so daß f( w ud f ( i Kr ( \ { } ud u jedem ε >, ε < r existiert ei δ >, so daß gilt: Jeder Wert a K δ (w \ {w } wird i K ε ( \ { } a geau verschiedee Stelle ageomme. H Defiitio: Sei G C $ ei Gebiet, f heißt i G schlicht, (oder oform, falls i G meromorph ud ijetiv ist. I Folgerug : Ist f aalytisch i G ud f ( für G, so gibt es ei δ >, so daß f i K δ ( schlicht ist. J Sat über Gebietstreue: Sei G C ei Gebiet, sei f icht ostat, f aalytisch i G, da ist f(g ei Gebiet, d.h. offee Abb. K Sat: Ist f aalytisch ud schlicht im Gebiet G C, so gilt f ( für G. Die Umehrfutio f - ist aalytisch im Gebiet f(g ud es gilt (f - (w =, w f(g. f'( f ( w f ist also Homöomorphismus ud f, f - sid oform. Maximumspriip L Sat: Sei ƒ cost, ƒ aalytisch im Gebiet G C, da immt ƒ i G ei Maximum a. oder: Nimmt ƒ i G Maximum a, so ist ƒ eie ostate Abbildug. M Bemerug: ƒ cost. ƒ immt auch ei loales Maximum a. N Folgerug: Sei ƒ aalytisch im beschräte Gebiet G ud sei ƒ stetig i G. Da gilt für alle G: max f ( s s G Steht für ei G ei Gleichheitseiche, so ist ƒ cost. O Folgerug: Ist ƒ cost, da gilt für alle G < max f ( s s G P Schwarsches Lemma Sei ƒ aalytisch i D=K (, sei ƒ(= ud sei ƒ( für alle D. Da gilt: (i ƒ( für D (ii ƒ ( Gilt dabei i (i für ei D\{}: ƒ( = oder i (ii ƒ ( =, so folgt ƒ(=e iα (α R D. Q Folgerug: Sei ƒ aalytisch i K R (, sei ƒ( = ud sei ƒ( Μ für alle K R (. Da gilt für K R ( : (i ƒ( RM - (ii ƒ ( R M Wobei wieder das Gleichheitseiche ur eitrete a, falls ƒ(= RM (- e iα (α R für K R ( ist. Seite 4

18 III. Allgemeier Cauchyscher Itegralsat ud Folgeruge 3.. Der allgemeie Cauchysche Itegralsat A Defiitio a G Ĉ ei Gebiet. Da heißt G eifach usammehäged, we Ĉ \G usammehäged ist. b Sei G C ei Gebiet ud sei ei geschlosseer Weg aus G. Da heißt ullhomolog bgl. G, we (,= für alle C\G. B Beispiele a K r ( Sei geschlosseer Weg i K r (, da ullhomolog bgl. G=K r ( b G=C\{} Ĉ \G={} { } icht eifach usammehäged c G={ C 2 < <2 } icht eifach usammehäged (t=e it, t, aus G (,= C Sat: Sei G ei Gebiet aus C. G ist geau da eifach usammehäged, we jeder geschlossee Weg aus G ullhomolog bgl. G ist. D Cauchy sche Itegralformel Sei G Gebiet aus C, sei bgl. G ullhomologer Weg, sei f holomorph i G, da gilt für G\ : fs ( (, f( = i s ds. E Cauchy scher Itegralsat Mit deselbe Voraussetuge wie i D gilt fs (ds= F Folgerug: Ist G eifach usammehäged, ei geschl. Weg aus G, f aalytisch i G, da ist fs (ds=. G Warug: G = eifach usammehäged ötig!!! H Folgerug : Es gilt u F: G eifach usammehäged f ( s ds = für alle geschlossee Wege ud alle i G aalytische Futioe ƒ. I Folgerug 2: Sei G C ei eifach usammehägedes Gebiet, da hat jede i G aalytische Futio i G eie Stammfutio. J Folgerug 3: Sei G ei eifachusammehägedes Gebiet aus C. Sei u harmoisch i G, da gibt es eie i G u u ojugiert harmoische Futio. Bemerug: log ist harmoisch i C\{}=G. K Sat: Sei G C eifach usammehäged, sei ƒ aalytisch i G ud ƒ( für G. Da existiert eie i G aalytische Futio g mit e g( f '( =ƒ(, g '( =, G ( f Seite 5

19 Bemerug Schreibweise: log ƒ:=g (Nicht als Kompositio Nicht eideutig bestimmt: Sei g =g+i ( Z Eideutigeit durch Festlegug eies Futioswertes. w g ( e = e = f ( L Folgerug: Sei G ei eifach usammehägedes Gebiet aus C\{}, da gibt es eie i G aalytische Futio log mit log e d =, log = für alle G d M Bemerug: Ist G, a log(= sete, damit log( eideutig bestimmt (Ebee jett aders geschlitt - über eie Futio a a log N Bemerug: := e 3.2. Lauretetwiclug A Sat über Lauretetwiclug Sei ƒ aalytisch i G={ C r < - <r 2 } ( r <r 2 Da gilt für G mit Amerug = = a ( f ( s i + ( s s = ρ + a ( = a = ds (r <ρ<r 2 ( Z adere Schreibweise = = a ( Lauret-Reihe ( = a ( = f Kovergeradius vo ƒ ist midestes r 2 2 ( = a ( = f overget für - >r B Bemerug: Ist f aalytisch i K R := { C R < < } da gilt für K R : f( = a. = Ma würde es auffasse, als Lauret Etwiclug um. C Defiitio: Uter dem Hauptteil eier Lauretreihe a (, die für = < < r < overgiert, versteht ma die Teilreihe = a ( = a ( = Uter dem Haupteil eier Lauret-Reihe versteht ma die Teilreihe = a = a, die für > R overgiert, (Statt > R geht auch R< < D Sat: Sei C eie isolierte Sigularität vo f. Da gibt es ei r >, so daß. Seite 6

20 f( = a ( FUNKTIONENTHEORIE I = i { < < r} gilt. Da ist (i ist hebbare Sigularität der Hauptteil der Lauretreihe verschwidet idetisch. (ii ist Polstelle der Hauptteil ethält ur edlich viele icht idetisch verschwidede Summade. (iii ist wesetliche Sigularität der Hauptteil ethält uedlich viele icht idetisch verschwidede Summade. E Folgerug: Ist f aalytisch i { > } (d.h. ist isolierte Sigularität da gilt für = auch (i, (ii, (iii aus D Residuesat ud Aweduge A Defiitio: Ist eie isolierte Sigulariät vo f ( C ud ist f( = a ( für K ( \ { } = da heißt Res f := a - = fs (ds i s = δ δ< r das Residuum vo f a der Stelle. f habe i eie höchstes eifach Pol: Res f = lim( f( B Residuesat: Sei G C ei Gebiet ud sei f aalytisch i G bis auf wesetliche Sigularitäte oder Polstelle, 2,... (isol. Sigularitäte uiteressat, de a =. Sei eie ullhomologe Kurve bgl. G,, N. Da gilt f ( d = i (, Res f (ur edliche viele (,. C Residueberechug für Polstelle Pol höchstes -ter Ordug F(:=(- ƒ( aalytisch i K r ( ( F ( d ( a = lim ( ( =! d (! D Beispiel a Seie p,q Polyome, q(x für x R ud sei grad(q-grad(p 2 p( x I = dx I = q( x p(, ( : q( l p( x q( x dx = i j= F =, seie,..., l die Polstelle vo F i der obere Res F j Halbebee H (edlich viele Polstelle, da grad< b Seie p,q Polyome, q(x für x R ud sei grad(q-grad(p, p( iλ F( : = e q( Seite 7

21 I = FUNKTIONENTHEORIE I p( x iλ p( x p( x ( e dx = ( cos λx dx + i ( si λx dx = i q x q x q x > Im Res F 3.4. Das Argumetpriip für meromorphe Futioe A Sat: Sei ƒ meromorph im Gebiet G C. Seie die Nullstelle der Ordug, ξ l die Polstelle der Ordug m l vo ƒ i G. We ei bgl. G ullhomologer Weg ist, auf dem weder Nullstelle och Pole vo ƒ liege, so gilt f '( f o, = d = (, m (, ξ ( i B Beispiel C Sat: Sei ƒ meromorph ud h holomorph im Gebiet G C. Seie die Nullstelle der Ordug, ξ l die Polstelle der Ordug m l vo ƒ i G. We ei bgl. G ullhomologer Weg ist, auf dem weder Nullstelle och Pole vo ƒ liege, so gilt f '( h d = h( (, m h( ξ (, ξ i ( Speialfall: : Jordaurve D Folgerug: Sei ƒ meromorph ud h holomorph im Gebiet G C. Sei eie positiv orietierte Jordaurve mit Iegebiet G, G G. Seie die Nullstelle der Ordug, ξ l die Polstelle der Ordug m l vo ƒ i G. Keie Nullstelle, ei Pol vo ƒ liegt auf. Da gilt: f '( h d = h( m h( ξ i ( f '( E Speialfall: ( f o, = πi f d = N 2 P (d.h.: h ( wo bei N die Gesamtahl der Nullstelle (mit Vielfachheit geählt vo ƒ i G, P die Gesamtahl der Polstelle (mit Vielfachheit geählt vo ƒ i G ist. F Sat: Sei ƒ aalytisch ud schlicht im Gebiet G C, sei eie positiv orietierte Jordaurve mit Iegebiet G, G G. Da gilt für w ƒ(g : f '( f ( w = d i w G Sat vo Roché: Sei G C ei Gebiet, eie Jordaurve mit Iegebiet G, G G. Die Futioe ƒ,g seie beide aalytisch i G ud es gelte g( < ƒ( für Da habe ƒ ud ƒ+g gleichviele Nullstelle i G (uter Berücsichtigug der Vielfachheit. H Fudametalsat der Algebra (Beweis über Roché p sei ei Polyom vom Grade. Da hat p Nullstelle. I Beispiel Harmoische Futioe J Sat: Sei u harmoisch i K R ( ud stetig auf K R (. Da gilt für alle w K R ( : l l l l l l l l l l Seite 8

22 it it 43 Futio am Rade 2 2 R w u( w = 2 u( + Re ( Re w 42 dt K Awedug K(Re K (Re it it, w,, w, dt = R w it 2 Re ( w = π Poisso-Ker ( s ( w mit,, s w K s w = π 2 > für w- < s (mit u L Schwarsche Formel: Ist f aalytisch i K R ( ud ist u = Re f stetig i KR ( da gibt es eie reelle Kostate C, so daß für K R ( gilt: s+ ds f( = us i ( + ic s s s= R M Folgerug: u i K ( R stetig i K R ( harmoisch, da it R e + v( = Im ( dt R e ur e it it ojugiert harmoisch u u. Das Dirichlet Problem für de Kreis Dirichlet Problem: Sei G ei Gebiet, U: $C G R eie vorgegebee stetige Futio. Gitbt es eie i G harmoische, i G stetige Futio u mit u(s = U(s, für s $C G? it it N Sat: Ist U: K R ( R stetig, da ist P U := K( R e,, U( R e dt Lösug des Dirichlet Problems für de Kreis. Idetitätssat, Mittelwerteigeschaft ud Maximumspriip O Idetitätssat für harmoische Futioe: Ist u harmoisch im Gebiet G C, ist H eie offee Teilmege vo G ud u( = für alle H, da folgt u( = für alle G. P Mittelwerteigeschaft (MWE u harmoisch i G, K ( r G, da gibt es ρ > r ud auch och K ρ ( G u ( = Re f(, K ρ ( fs ( it f( = i ds = f( + re dt s s u( = it u ( + Re dt MWE für R r Q Sat: Sei G C ei Gebiet ud u: G R stetig. Zu jedem G existiere ei R >, so daß für alle r < R gilt:, Seite 9

23 it u( u ( + Re dt (Mittelwertugleichug MWU. We die Futio i G ihr Maximum aimmt, so ist u eie ostate Futio. R Folgerug: Sei u icht ostat im Gebiet G C, u harmoisch i G, da immt u i G ei Maximum ud ei Miimum a. S Sat: Sei G C ei Gebiet, u: G R eie stetige Futio. Zu jedem G existiere ei R >, so daß für jedes r < R gilt: u( = it u ( + Re dt. Da ist u harmoisch i G. T Bemerug: G beschrätes Gebiet. Sei u stetig i G harmoisch i G => u immt Maximum ud Miimum am Rade a. U Sat: Sei G ei Gebiet, u harmoisch i G, µ >. Gilt da für jede gege eie Put aus $C G overgete Folge (, G lim u ( µ da gilt u( < µ für alle G oder u( = µ. Seite 2

24 A Ableitug... 3 Abschätugsregel... 6 achseparallele Strece... 3 achseparalleler Polygoug... 3 Alexadroff... aalytisch... 3 aalytische Maigfaltigeit... 4 Afagsput... 2, 7 ageordeter Körper... Aufput... Außegebiet... 4 Ä Äquivalelasse... 2 Äquivalerelatio... 2, 7 B bijetiv... 5 Bildurve... 5 Blatt... 4 Bogeläge... 7 C Cauchy-Ker... 8 Cauchy-Riema DGL... 4 Cauchysche Itegralformel... 8 Cauchysche Koeffiieteabschätug... 9 Cauchyscher Itegralsat für Dreiece... 8 Cauchyscher Itegralsat für Stergebiete... 8 chordale Metri..., 2 D DGL... 4 differeierbar... 3, 4, 5 Drehug... 5 Dreiec... 8 E Ei-Put-Kompatifiierug... Edput... 2, 7 eulidische Metri... 2 Idex u Futioetheorie I F Fixput...6 Fortsetug... G gae lieare Abbildug...5 Gebiet...3 gebroche lieare Abbildug...5 Gerade...6 geschlosse...2, 5, 7 glatt...5 Goursat...8 Grewert...3 Gruppe...6 H harmoisch...4 Häufugsput...9 HDI...6 holomorph...3, 4 homöomorph...2 I idealer Put... Idetitätssat für holomorphe Futioe...9 Idetitätssat für Potereihe...4 Iegebiet...4 Iere...8 Itegralformel...8 Itegralsat...8 Iversio am Eiheitsreis...5 isoliert...9 J Jordaboge...5 Jordaurve...4, 5 Jordasche Kurvesat...4 K L(x...2 Ker...8 Koeffiieteabschätug...9 ompat...2 Kompatifiierug... omplex...3 omplex differeierbar...3 omplexe Zahle... Kompoete...3 ojugiert harmoisch... 4 ostat... 6 Kovergeradius... 9 Körper... Kreis... 6 Kugel... 9 Kurve... 7 Kurveitegral... 6 Kurvesat... 4 L Lieare Abbildug... 5 Liearität... 6 Literatur... 5 Logarithmus... 4 loalompat... M Maigfaltigeit... 4 Metri... Möbius-Trasformatio... 6 N icht triviale gebrochee lieare Abbildug... 6 Nullstelle... 9 O Ordug... P Parametertrasformatio... 6 partielle Ableitug... 4 Polygoug... 3 Polyom... 3 positiv... positiv orietiert... 8 Potereihe... 4 Projetio... Put... putierte Ebee... 8 R Rad... 9 ratioale Futio... 3 reell aalytisch... 9 reell differeierbar... 4 regulär... 3 regulär aalytisch... 3 Reihe... 9 Seite A

25 Riema... 4 Riema sche Fläche... 4 Riemasche Zahleugel... S Schittput... 5 Sphäre... Spur... 2 Stammfutio... 7 Stauchug... 5 stereographische Projetio..., 2 sterförmig... 8 Stergebiet... 8 stetig... 3, 5 Strece... 3 FUNKTIONENTHEORIE I Strecug...5 stücweise stetig differeierbar.6, 7 T Tayloretwiclug...9 Taylorreihe...9 Träger...2 Traslatio...5 V Verbidugsstrece...8 vollstädig... W Weg... 2 Wegompoete... 2 wegusammehäged... 2 Wiel... 5 Wieltreue... 5 Z Zahleugel... Zerlegug... 3, 6 Zusammehag... 2 usammehäged... 2, 3 Zusammehagsompoete.. 2, 3 Seite B