Prüfung Finanzmahemaik und Invesmenmanagemen 08 Aufgabe : (4 Minuen) (a) (b) Gegeben seien zwei Akien mi zugehörigen Einperiodenrendien R und R. Für den Korrelaionskoeffizienen gele - < ρ(r, R ) <. i) Besimmen ie zunächs die Größe MVP, wobei ( MVP, - MVP ) die Invesmengewiche des global varianzminimalen Porfolios bezeichnen! ii) Begründen ie, warum der erhalene Ausdruck für MVP wohldefinier is! iii) Welchen Wer muss ρ(r, R ) annehmen, dami MVP einen vorgegebenen Wer 0 annimm, d.h. MVP = 0 gil? iv) Für welchen Wer von 0 besiz die Aufgabensellung iii) keine wohldefiniere Lösung? (8 min ) Auf der Grundlage einer Lagrange-Opimierung ergib sich die folgende funkionale Form für die Koordinaen des effizienen Rands: μ 0.05 0.6 (σ 0.00). Als horfallresrikion sei die Bedingung R 0 0. P P geforder, wobei R P die einperiodige Porfoliorendie bezeichne. R P folge einer Normalvereilung. (, ) -Posiion des opimalen Porfo- Besimmen ie uner diesen Voraussezungen die lios mi maimaler erwareer Rendie! (6 min) Hinweis: N0.90 =.8 (c) Gehen ie nun davon aus, dass in der iuaion der Teilaufgabe (b) zusäzlich ein risikoloses Invesmen eisier. Wie hoch muss der zugehörige risikolose Zins sein, dami das in Aufgabeneil (b) ermiele Porfolio unveränder das opimale Porfolio is? (0 min) Hinweis: ollen ie Teilaufgabe (b) nich gelös haben, so gehen ie davon aus, dass die horfallgerade die Kurve der Minimum-Varianz-Porfolios in den Punken σ 0.03 und σ 0.09 schneide. eie von 0
Lösungshinweis Aufgabe a: Es bezeichne R = R + ( - )R die Rendie eines beliebigen Porfolios aus den beiden Akien. Es bezeichnen ferner σ = Var(R), σ = Var(R ), σ = Var(R ), ρ = ρ(r, R ). Es gil dami: σ = σ () = σ + ( - ) σ + ρ( - )σ σ. i) Besimmung der varianzminimalen Posiion: 0 = dσ d = σ - ( - )σ + ρσ σ - 4ρσ σ. Es folg: σ + σ - 4ρσ σ = σ - ρσ σ und dami MVP = σ - ρσ σ σ + σ - ρσ σ. ii) Es gil Var(R - R) = σ + σ - ρσ σ. Es gil Var(R - R) > 0, wenn R - R eine nich-degeneriere Zufallsgröße is, d.h. es gil nich R - R = c bzw. R = R + c. Der leze Ausdruck implizier, dass R und R linear abhängig sind. Dies is ausgeschlossen, da nach Voraussezung ρ < gil. iii) Aus MVP = 0 folg σ - ρσ σ = 0 (σ + σ - ρσ σ ) bzw. ρ 0 σ σ - ρσ σ = 0 σ + 0 σ - σ. Dami gil insgesam ρ = 0 σ - ( - 0 )σ ( 0 - )σ σ iv) Offenbar für 0 = /. eie von 0
Lösungshinweis b: Die horfallresrikion μ z laue in diesem Falle N μ =.8 σ. Gleichsezen mi Funkion des effizienen Rands lau Aufgabensellung resulier in 0.6 (σ 0.00).8 σ 0.05. Quadraur dieses Ausdrucks führ auf quadraische Gleichung.0435 σ 0.8 σ 0.003 0. Lösung der quadraischen Gleichung führ auf: σ 0.039, σ 0.0899. Das opimale Porfolio is gegeben durch die höhere σ -Posiion, d.h. σ = 0.0899. Die zugehörige -Posiion laue: μ =.8 0.0899 = 0.53. Lösungshinweis c: Die neue Effizienzgerade is gegeben durch die Tangene von (0, r0) an den bisherigen effizienen Rand. Die ensprechende eigung laue μ dσ 0.6(σ 0.00) (0.6 σ) d Auswerung in σ = 0.0899 ergib: d μ d σ 0.0899 0.875 Dies ensprich zugleich der eigung a der Effizienzgeraden μ r 0 aσ. Dami das Porfolio aus a) opimal bleib, d.h. dem Tangenialporfolio ensprich, folg hieraus die Bedingung 0.53 r 0 Insgesam resulier dami r 0 0.875 0.0899 0.53 0.0744 0.0409 4.09 %. eie 3 von 0
Aufgabe : (6 Minuen) (a) Berachen ie den sochasischen Prozess ( 0, n ) wobei einer geomerischen Brownschen Bewegung folg. V Wie laue die sochasische Differenialgleichung dieses Prozesses in kanonischer Form (Darsellung von Drif und Diffusion als Funkionen von V )? (8 min) n, (b) Gegeben sei die sochasische Differenialgleichung dx = α(μ X )d + σdw. Wie laue die sochasische Differenialgleichung des Prozesses Y e α X? Verwenden ie zur Besimmung der gesuchen sochasischen Differenialgleichung das Lemma von Iô! (8 min) (c) Berachen ie den sochasischen Prozess ( 0) V e r, wobei einer geomerischen Brownschen Bewegung folg. Der Prozess V is der ensprechende diskoniere Kursprozess. Wie laue die sochasische Differenialgleichung dieses Prozesses in kanonischer Form (Darsellung von Drif und Diffusion als Funkionen von V )? Verwenden ie zur Besimmung der gesuchen sochasischen Differenialgleichung die Produkregel! Uner welcher Bedingung an die Drif μ des Prozesses is der Prozess V ein Maringal? (0 min) eie 4 von 0
Lösungshinweis Aufgabe a: Transformaionsfunkion: F() n F 0, F n n, F n(n ) n Io: V V F F F, F wobei für die Geomerische Brownsche Bewegung und gil. Hieraus resulier V V n n n n n (n ) n n(n ) n n n Korrespondierende sochasische Differenialgleichung in kanonischer Form: dv n (n ) V d n V dw Lösungshinweis Aufgabe b: Definiere F(, ) = e α. Dami gil Y = F(, X ). Es F = αe α F = e α F = 0 gil: Mi μ(, ) = α(μ ) und σ(, ) = σ folg somi aus dem Lemma von Io: μ Y = αe α + α(μ )e α = αμe α, σ Y = σe α Hieraus resulier die sochasische Differenialgleichung dy = αμe α d + σe α dw. eie 5 von 0
Lösungshinweis Aufgabe c: Definiere h r h() e. Es gil dh() r h() d bzw. dh() r h()d. Insbesondere besiz diese Differenialgleichung keinen Diffusionserm, d.h. es gil h 0. Produkregel: dv d(h ) h d dh d. Für die geomerische Brownsche Bewegung gil Insgesam gil dami: dv h (μ d σ dw ) r h d (μ r) h d h σ dw (μ r) V d σ V dw. h d d dw. Dami ergib sich für V eine Drif von null (und es lieg somi ein Maringal vor), wenn die Bedingung μ = r erfüll is. Aufgabe 3: (7 Minuen) Der Wer eines Basisobjeks (Akie) berage per 0.0.08 EUR 00.- Ein Invesor kann das Basisobjek per 0.0.08 auf der Basis eines Kredikaufs zu einem markkonformen Kredizins von 5% erwerben. (a) (b) Wie hoch is der Gewinn bzw. Verlus des Invesors am Ende des Folgejahres (3..09), wenn er das Basisobjek per Kredi erwirb und den Kredi per 3..09 inklusive akkumulierer Zinszahlung ilg? Unerscheiden ie dabei den Fall, dass das Basisobjek im beracheen Zeiraum keine Dividende abwirf und den Fall, dass das Basisobjek per 3..08 eine Dividende in Höhe von EUR 0.- abwirf, die zur eilweisen Tilgung des aufgenommenen Kredis verwende werden kann. (5 min) Berache werde nun ein Fuure auf eine Einhei des Basisobjeks mi zweijähriger Reslaufzei. Wie hoch is in beiden vorsehenden Fällen (einkommensfreies Basisobjek bzw. Basisobjek mi Einkommen) der Preis F(0,) des Fuures per 0.0.08? Unersellen ie dabei arbiragefreie Märke und vernachlässigen ie die Margin- Problemaik. ( min) eie 6 von 0
(c) (d) (e) Besimmen ie den (zufallsabhängigen) Preis F(,) des Fuures per 0.0.09 in Termen des Kurses des Basisobjeks in =! ( min) Berechnen ie den Korrelaionskoeffizienen zwischen F(,) und dem (zufallsabhängigen) Kurs K des Basisobjeks per 0.0.09! (3 min) Berechnen ie für den Fall des einkommensfreien Basisobjeks die Anzahl der zu verkaufenden Fuures-Konrake, die in = 0 (0.0.08) benöig werden, dami in = (0.0.09) eine varianzminimale Hedge-Posiion enseh (eplizie Überlegung!). (6 min) Lösungshinweis Aufgabe 3: K0 = 00, r = 0.05, D = 0 (a) Gewinn/Verlus G der Posiion zum 3..09? Es sei K der Wer des Basisobjeks zum 3..09. i) Einkommensfreies Basisobjek G = K K0 (.05) = K 0.5 ii) Basisobjek mi Einkommen Krediverlauf: = 0 00 = 00(.05) 0 = 85 = 85(.05) = 89.5 G = K 89.5 (b) Gewinn/Verlus-Posiion in = bei Erwerb Basis-Objek über Fuure: G = K F(0,), wobei F(0,) der Preis des Fuures mi Reslaufzei Jahre in = 0 sei. Folgerung: (Ideniä der Posiionen bei arbiragefreien Märken) i) F(0,) = 0.5 ii) F(0,) = 89.5 (c) F(.) =.05 K (d) [F(,), K] = Cov[F(,), K ] [F(,)] (K ) eie 7 von 0
= Cov[.05K, K ] (.05K ) (K ) =.05Cov(K, K ).05(K ) (K ) = Var(K ) Var(K ) (e) Hedge-Posiion in = : G = = (K - K0) [F(,) F(0,)], wobei die Anzahl der zu verkaufenden Fuures-Konrake sei. G = (K-00) [F(,) 0.5], = K F(,) + 0.5-00, da F(,) =.05K gil weier: G = K(.05) + 0.5-00 Var(G) = (.05) Var(K) = 0 =.05 = 0.954 Aufgabe 4: (3 Minuen) a) Gegeben sei eine einfache DAX-Bullanleihe (ohne Kuponzahlungen) mi einer Laufzei von Jahren und einem Nennwer von 00 000. Die Parizipaionsrae an der nichannualisieren posiiven DAX-Rendie berage 0%. Der DAX sehe bei Emission der Anleihe bei 5000. i) Welches Rückzahlungsprofil weis diese Bullanleihe in = auf? ii) Zerlegen ie dieses Rückzahlungsprofil so, dass ein Besandeil dieser Zerlegung eine Puopion is. Wie läss sich der zweie Besandeil dieser Zerlegung repräsenieren? (8 min) (b) Ein Invesor habe ein Budge von EUR 500.-. Der Invesor möche ein Porfolio aus in = fälligen Einheis-Zerobonds sowie Long Calls auf die XY-Akie bilden, das in = ein idenisches Rückzahlungsprofil wie ein (voll invesieres) : Pu Hedge besiz. Die zur Verfügung sehenden Opionen weisen dabei folgende Aussaungsmerkmale auf. Die Pus laufen Jahr, haben einen Ausübungspreis von EUR 30.- und einen Markwer von EUR 38.8. Der Call auf die XY-Akie laufe ebenfalls Jahr, habe einen Ausübungspreis von EUR 30.- und einen Markwer von EUR 5.-. Unersellen ie, dass sämliche eingegangenen Opionsposiionen auf Kredi finanzier werden. Der einheiliche Markzins für eine Kapialanlage bzw. Kapialaufnahme berage 5%. Die XY-Akie besiz in = 0 einen Markpreis von EUR 00. Wie lauen die Posiionsaneile, die für eine Duplikaion nowendig sind? (0 min) eie 8 von 0
(c) Ein Invesor besiz ein anfängliches Vermögen W 0, das er benuz, um einerseis Zerobonds der Laufzei T = 5 zu erwerben und andererseis Pus auf die Dorin-Akie. Welches Mindes-Endvermögen W min kann der Invesor auf diese Weise erreichen? Unersellen ie dabei, dass die fünfjährige po Rae r 5 beräg. Besimmen ie die korrespondierende annualisiere Mindesrendie r min bezogen auf das anfängliche Vermögen W 0 und vergleichen ie diese mi r 5! Welche Konsequenz ha die Konsellaion r min = r 5? (5 min) Lösungshinweis Aufgabe 4 a: i) Das Rückzahlungsprofil is gegeben durch B DAX() 5 000 ma 00 000, 00 000 0. 5 000 ma 00 000, 00 000 4[DAX() 5 000]. ii) Zerlegung des Rückzahlungsprofils uner i) durch Herausziehen der zweien Komponene. B 00 000 4[DAX() 5 000] ma 00 000 00 000 4[DAX() 5 000],0 80 000 4DAX() 4ma{5 000 DAX(),0}. Die zweie Komponene dieser Zerlegung beseh aus 4 zweijährigen Pus auf den DAX mi Ausübungspreis X = 5 000. Die erse Komponene beseh aus einem zweijährigen Zerobond mi Rückzahlung 80 000 sowie dem Wer von 4 DAX-Aneilen (in = ). Lösungshinweis Aufgabe 4b: Bezeichne den Wer der XY-Akie in =. In = 0 können 5 Akien erworben werden. Dami is auch eine Long-Posiion in 5 Pus zu eablieren. i) Posiion V des Pu Hedge in = : ii) V 5[ ma (30,0)] 5P (.05) 5ma (,30) 94.05 (.05) 5ma (,30) 03.75. Der Einheiszerobond kose in = 0 (.05) Geldeinheien. Der Invesor kann sein gesames Budge zum Erwerb von Einheiszerobonds einsezen, da die Einnahmen aus 0 eie 9 von 0
der Long Call-Posiion auf Kredi finanzier werden. In = 0 gil somi beim Erwerb von Einheiszerobonds und einem sicheren Zins von 5%: (.05) 500, d. h. 500(.05) 55. Duplikaionsgleichung in = bei Vorliegen von y Long Calls: yma ( 30,0) yc (.05) 5ma (,30) 03.75. 0 Mi = 55, C0 = 5 und bei einer Wahl von = 30 resulier hieraus: 55 5.75y 650 03.75 bzw. 5.75y 78. 75 und dami y 5. Es sind somi insgesam 55 Einheiszerobonds zu erwerben und 5 Calls zu kaufen, um die voll invesiere Pu Hedge-Posiion zu duplizieren. Lösungshinweis Aufgabe 4c: Der Invesor erwerbe n Pus zum Preis P0. Dami kann er W0 - n P0 in Zerobonds anlegen. Korrespondierende Werenwicklung: W5 = (W0 - n P0)( + r5) 5 + n ma(x - 5, 0), wobei {} die Werenwicklung der M-Akie und X den Ausübungspreis des Pu bezeichne. Da ma(x T, 0) 0 folg: W5 (W0 - n P0)( + r5) 5 =: Wmin Besimmung der Mindesrendie: W0 ( + rmin) 5 = Wmin = (W0 - n P0)( + r5) 5. Hieraus folg: + rmin = 5 n(p0 / W0 ) ( + r5) Es muss gelen rmin r5. Im Falle rmin = r5 werden keine Pus erworben (n = 0) und das gesame anfängliche Vermögen wird in den Zerobond invesier. eie 0 von 0