Edior: Deparmen of Business Adminisraion Faculy of Business Adminisraion and Economics Passau Universiy Germany Jochen Wilhelm Series in Business Adminisraion ISSN 435-3539 Address: Professor Dr. Jochen Wilhelm Chair of Finance Faculy of Business Adminisraion and Economics Passau Universiy D-94030 Passau Germany Phone: +49 85/509 50 Fax: +49 85/509 5 Email: Jochen.Wilhelm@uni passau.de Disclaimer: The edior is no responsible of he conen of he discussion paper. For suggesions or criique, please conac he auhor.
DAS GAUßSCHE ZINSSTRUKTURMODELL - EINE ANALYSE AUF DER BASIS VON WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN von Jochen Wilhelm I. Einführung Die sei den Arbeien von Ross (978), Harrison/Kreps (979) und Harrison/Pliska (98) dominierende Mehode zur simulanen Arbirage-freien Bewerung komplexer Finanziel beseh in der Transformierung der sochasischen Preis- und Zinsprozesse aus ihrem empirischen Wahrscheinlichkeismaß in ein so genannes äquivalenes Maringalmaß durch Einführung von Pseudowahrscheinlichkeien. Die Exisenz eines solchen Maßes is nowendige Folge der Annahme von Arbirage-freien Finanzielmärken. In lezer Zei zunehmend, ri daneben die Analyse des ebenfalls aus Gründen der Arbirage-Freihei exisierenden sochasischen Diskonierungfakors (besonders auch in Zusammenhang mi empirischen Fragesellungen; vgl. Cochrane (996), Ahn/Gao (999), Franke/Sapleon/Subrahmanyam (999), Kan/Zhou (999), Wilhelm (999)). Vereinfach gesag, ransformier der Maringalansaz die Finanzielmärke in risikoneural bewerende Märke, während der sochasische Diskonierungsfakor es erlaub, heuige Preise durch Diskonierung zukünfiger Zahlungen zu gewinnen. Zwar sind beide Ansäze, wie unen kurz skizzier wird, mahemaisch äquivalen, doch kann sich die Anwendung des einen in einzelnen Fragesellungen als geeigneer erweisen als die des anderen. Insbesondere dann, wenn es um Eigenschafen der empirischen Wahrscheinlichkeien der Preisprozesse geh, ha die Verwendung des sochasischen Diskonierungsfakors den Vorzug, sie ungeänder zu verwenden. Allein auf Arbirageargumene gesüze Aussagen zur korreken Bewerung von Finanzieln sind im Kern Aussagen über Zusammenhänge von Preisen, der Preis eines Finanziels wird als Funkion der Preise anderer Finanziel erkann ("relaives" Bewerungsmodell). Präferenzgesüze Aussagen zur Bewerung von Finanzieln, wie z. B. das CAPM, liefern hingegen "Erklärungen" für den empirischen Markpreis ("absolues" Bewerungsmodell). Der Ansaz eines sochasischen Diskonierungsfakors ha nun den zweien Vorzug, eine plausible Brücke zwischen relaiven und absoluen Bewerungsmodellen zu bieen: Sie beseh in der Präferenzbesimmhei des zu verwendenden Diskonierungsfakors: während Arbirageorieniere Modelle mi der Annahme der Exisenz eines solchen Fakors auskommen, liefern
Präferenz-gesüze Ansäze Argumene für die konkree Ausgesalung des sochasischen Diskonierungsfakors. Der vorliegende Beirag versuch an Hand eines vergleichsweise einfachen Modells für den sochasischen Diskonierungsfakor, das sich noch vollsändig analyisch handhaben läss, die Leisungsfähigkei der Mehode am Beispiel der Modellierung der Zinssrukur zu verdeulichen. Da der sochasische Diskonierungsfakor im Prinzip nich direk beobache werden kann, wird hier die umgekehre Frage gesell, welche Beschränkungen man diesem Konsruk auferlegen muss, dami besimme beobachbare Größen, in unserem Fall die Zinssrukurenwicklung und die anfängliche Zinssrukur, sowohl Arbiragefrei sind als auch gewisse empirische Eigenschafen aufweisen (zur Bedeuung der Zinsarbirage für die relaive Absimmung der Zinssäze in der hisorischen Perspekive vgl. auch Süzel (978: 47-49)). Dabei wird der Schwerpunk der Ausführungen weniger in der Darsellung formaler Zusammenhänge liegen, als vielmehr in dem Versuch der Aufdeckung des ökonomischen Kerns der Konsruke. Das wird durch die mehodische Vorgehensweise erleicher, die im Unerschied zu den meisen Lieraurbeirägen nich die Pfaddarsellung von Prozessen durch sochasische Inegrale verwende, sondern alle Aussagen auf die Wahrscheinlichkeisvereilungen süz, wobei Korrelaionen und Sandardabweichungen die wichigsen Rollen spielen. Die Arbei is wie folg aufgebau: Nach einem einführenden Abschni, der in allgemeiner Form das Konsruk des sochasischen Diskonierungsfakors und seine Bedeuung für die Preise an Finanzielmärken erläuer und den Zusammenhang mi der Pseudowahrscheinlichkei der Maringalansäze skizzier, werden in den folgenden Abschnien Varianen des Gaußschen Modells unersuch. Dieses Modell sell jenen Fall in den Mielpunk, in dem gewisse Normalvereilungsannahmen gülig sind; dieser Fall ha den Voreil, dass mi rech einfachen mahemaischen Mieln analyische Lösungen gewonnen werden können, die einen besonderen Einblick in die ökonomischen Zusammenhänge erlauben. Dabei werden zunächs in Abschni II.. die Grundlagen geleg, woran sich in Abschni III. der allgemeine Gaußsche Fall der Zinssrukurenwicklung anschließ, der dann wiederum in Kapiel IV in Spezialfällen mi Lieraurbezug näher unersuch wird. Kapiel V biee einige zusammenfassende Bemerkungen.
II. Der sochasische Diskonierungsfakor bei gegebener Zinssrukur. Die allgemeine Formulierung Wir legen ein Arbirage-freies Finanzmarksegmen mi gegebener anfänglicher Frisigkeissrukur der Zinssäze (kurz: Zinssrukur) zu Grunde. Zu ihrer Kennzeichnung verwenden wir die folgende Symbolik: θr, is der (konforme) Zinssaz, der im Zeipunk θ für die Kapialüberlassungsperiode [, ], d.h. für eine zukünfige Laufzei der Länge -, die im Zeipunk beginn, (explizi oder implizi) vereinbar wird; is größer als θ, handel es sich also um einen Terminzinssaz, bei = θ lieg ein Spozinssaz vor, den wir kurz mi r, bezeichnen. Schließlich lieg immer dann ein zukünfiger Zinssaz vor, wenn θ größer als null is. Einen weieren Spezialfall sell der Grenzerminzinssaz dar, der sich im Grenzübergang einer gegen null srebenden Kapialüberlassungsperiode - ergib; auch seine Bezeichnung vereinfachen wir durch die Vereinbarung θr = lim θr,. Die anfängliche Zinssrukur is nun durch die anfänglichen Spozinssäze r 0, oder, dazu bekannlich äquivalen, durch die anfänglichen Grenzerminzinssäze 0 r gegeben, aus denen sich die Informaionen über die übrigen Zinssäze jeweils mahemaisch herleien lassen. Für alle Zins- und Preisprozesse im beracheen Marksegmen wird nun angenommen, dass sie ex ane als sochasische Prozesse zu berachen seien; speziell is also θrθ+ bei konsanem der sochasische Prozess eines Grenzerminzinssazes, der jeweils in θ für die infiniesimale Periode nach θ + vereinbar wird. Wenn der Preisprozess für einen beliebigen repräsenaiven Finanziel, auf den im gesamen Berachungszeiraum mi Sicherhei keine Ausschüungen enfallen, mi p bezeichne wird, dann sell der nun zu charakerisierende sochasische Diskonierungsfakor Q eine Beziehung zwischen den zukünfigen unsicheren Preisrealisaionen p und dem heuigen Preis p 0 her. Diese Beziehung laue p = E(Q p ) (.) 0 oder allgemeiner Q p = E p (.) Q wobei E die ensprechende bedinge Erwarung darsell. Aus Gründen der Arbiragefreihei kann Q ses nich-negaiv gewähl werden. 3
Auch für die Zinssrukur gelen Arbirageresrikionen; da die risikofreie Kapialanlage ses mi der Kassenhalung konkurrier, müssen alle Zinssäze nich-negaiv sein. Für den sochasischen Diskonierungsfakor ha das Konsequenzen, da Zinssäze definiorisch mi den Preisen besimmer Finanziel, den Zero-Bonds, verknüpf sind (auf den Unerschied, aber auch den Zusammenhang zwischen dem Kaufpreis eines Zero-Bonds und dem Zinssaz als Preis für seine Besandhalung, weis Süzel (978: 60-6) hin, wobei wie in (.3) der Charaker des Besandhalepreises als Ableiung des Kaufpreises nach der Zei je Einhei des Kaufpreises deulich wird); aus (.) folg ( ) r, Q e = E (.3) Q wenn p = der "Preis" eines Zero-Bonds im Rückzahlungszeipunk, d. h. die Tilgungsleisung, is. Da die linke Seie in (.3) zwangsläufig (nich-negaiver Zinssaz!) kleiner oder gleich eins sein muss, folg aus (.3) E(Q) Q (.4) d. h. die so genanne Supermaringaleigenschaf des sochasischen Dskonierungsfakors. Wir verknüpfen nun den sochasischen Diskonierungsfakor mi der anfänglichen, empirisch beobachbaren Zinssrukur; dabei ergib sich zwangsläufig die Beziehung oder r 0, e = E(Q ) r ( 0, ) E e Q = (.5) Ein sich anbieender Weg, den sochasischen Diskonierungsfakor mi der anfänglich herrschenden Zinssrukur kompaibel zu gesalen, beseh in einem Rückgriff auf (.5): Sez r 0, o, man nämlich h = e Q, so ergib sich Q = e h ; für h is lediglich (.5), d. h. sicher zu sellen. Die Gleichung (.3) wird dann zu r E(h ) = (.6) woraus unmielbar r0, ( )r e h, e = E, r 0, e h ( )(r, 0r, ) h e = E h (.7) 4
folg. Gleichung (.7) sell einen Zusammenhang zwischen den Schwankungen des zukünfigen Spozinssazes und dem anfänglichen Terminzinssaz für dieselbe Kapialüberlassungsperiode einerseis und dem Prozess h andererseis dar. (.7) kann als Ausgangspunk für das Sudium der Anforderungen an den Prozess h dienen, die verschiedene Formen der so genannen Erwarungshypohese der Zinssrukur an ihn sellen (vgl. zu diesem Problemkreis Ingersoll (987: 387-409), wir kommen weier unen darauf zurück). Der Prozess h ha einen weieren heoreisch ineressanen Aspek: Er sell eine Beziehung zwischen dem sochasischen Diskonierungsfakor und den in der Einleiung angesprochenen Pseudowahrscheinlichkeien und Maringalmaßen her. Wegen der Eigenschaf (.6) und der Nich-Negaiviä des Prozesses läss sich durch µ (A) = E(h ) für beliebige Ereignisse A (mi der charakerisischen Funkion A ) eine Pseudowahrscheinlichkei, das so genanne "Forward-Maß", definieren (dabei is T der Horizon des Gesammodells). Dann gil ( ) Tr 0,T Tr 0,T Tr o,t 0 T T T T T T T p = E(Q p ) = E e h p = e E(h p ) = e E (p ) d. h. T A Tr 0,T 0 T p e = E (p ) (.8) was sich wie folg inerpreieren läss: Die linke Seie von (.8) is der durch Cash-und-Carry Arbirage erzwungene Terminpreis ("Forward"-Preis) im Zeipunk 0 für Lieferung des Finanziels im Zeipunk T, während das Argumen in der rechen Seie den bereffenden "Terminpreis" im Zeipunk T darsell; der heuige Terminpreis is also gemäß (.8) der erwaree zukünfige Terminpreis, Terminpreise bilden uner dem Forward-Maß µ* ein Maringal (zur genauen Argumenaion vgl. Wilhelm (999: 5)). r e Schließlich ha der Prozess h eine wichige ökonomische Bedeuung: Durch seine Einführung wird die Ermilung eines Markpreises in zwei Komponenen zerleg, in die Diskonierung mi dem bekannen risikofreien Zinssaz (reine Zeidiskonierung) und in die Ermilung eines Sicherheisäquivalens in Gesal von E(h p ); h dien also der spezifischen Risikobewerung durch den Mark. Das kann wie folg verdeulich werden; zerleg man den Rücksrom p (im Zeipunk ) einer Invesiion von p 0 (im Zeipunk 0) in einen risikofrei zu erzielenden Rück- 0, srom p und eine durch Risikoübernahme zu erzielende "Überrendie" z, so gil 0 r 0, z p = p0 e + 5
Arbirage-freie Bewerung erzwing z p0 E(Q p ) p0 E(h e ) = = bzw. z E(h e ) =. Die Risikobewerung durch h sorg dafür, dass im Arbirage-Gleichgewich der Markwer aller Überrendien gleich is und ihr Wer vollsändig im Markpreis des bereffenden Finanziels zum Ausdruck komm. Für die risikofrei erzielbare Rendie sorg die Diskonierung mi dem risikofreien Zinssaz für denselben Effek. Bezüglich der Funkion des Prozesses h sprechen wir daher im Folgenden auch von Risikodiskonierung. Wir können, wie folg, zusammenfassen: Ein mi der anfänglich herrschenden Zinssrukur verräglicher Diskonierungsfakor läss sich durch die Angabe eines posiiven Prozesses h, des Risikobewerungsprozesses, mi den Eigenschafen (vgl. (.6)) E(h ) = und (vgl. (.3) und r, 0) ( ) 0r, e E (h ) h (.9) erzeugen. Die Beziehung (.9) zeig, dass man den Risikobewerungsprozess im Prinzip nich unabhängig von der anfänglichen Zinssrukur wählen kann, will man alle Arbirage- Möglichkeien ausschließen. Die nachfolgende spezielle Konsrukion des Risikobewerungsprozesses basier auf der Annahme logarihmischer Normalvereilungen, die negaive Zinssäze (in Grenzen) zuläss, daher die Bedingung (.9) verlez. Da analyisch formulierbare Aussagen angesreb werden und mi diesem Ansaz möglich sind, wird die Verlezung von (.9) hier olerier.. Der Gaußsche Fall Wir gehen davon aus, dass alle Preis- und Zinsprozesse im beracheen Finanzmarksegmen lezlich von einem k-dimensionalen Vekor w Gaußscher Prozesse angerieben werden, wir sprechen von "laenen Fakoren". Ohne Beschränkung der Allgemeinhei normieren wir die Prozesse auf Erwarungswere von null (E(w ) = 0) und Kovarianzmarices γ(,) = γ(, ) mi Haupdiagonalelemenen und Einheismarices für = (γ(,) = id; die Realisaion der k Prozesse sind in dem selben Zeipunk unkorrelier). Die Marices γ(,) repräsenieren also zugleich die Auokovarianz- und die Auokorrelaionsfunkionen der laenen Fakoren. 6
Für das Weiere sind die bedingen Erwarungswere und Kovarianzen der laenen Fakoren von Bedeuung; es gil (vgl. Feller (Vol II, 97: 86); das Superskrip T bedeue die Transposiionsoperaion von Vekoren und Marices): wobei fesgehalen werden kann, dass E(w): = E(w w) = γ(,) w (.0) T T w γ(,) w und w unabhängig sind (ebenda). Für die bedinge Kovarianzsrukur der laenen Fakoren gil mihin nach kurzer Rechnung COV(w,w) id (,) (,) T = γ γ (.) Insbesondere sind die bedingen Kovarianzen und Varianzen deerminisisch, ein für die Normalvereilung charakerisischer Sachverhal. Der oben eingeführe Risikobewerungsprozess h wird nun wie folg angenommen; wir sezen an v() T v() v() T w h = e (.) wobei v() ein k-vekor von Funkionen der Zei is; gelegenlich verwenden wir die Abkürzung q q = v() v() + v() w, so dass h = e gil. Die Bedingung (.6) is erfüll, da T T z für normal vereiles z ses gil E(e ) exp{ E(z) var(z) } = + ; die Bedingung (.9) is allerdings nich zu garanieren, da die reche Seie in Einzelfällen beliebig nahe bei null liegen kann. Es is wichig zu versehen, welche Wirkung die Funkion v() enfale: Sie besimm die spezifische Risikodiskonierung, denn sie leg das Gewich, mi dem Zahlungen im Zeipunk aus Risikogründen diskonier werden, fes, die Zeidiskonierung unberühr (s. oben). Is zum Beispiel ω ein besimmer (in einreender) Umwelzusand und liefer ein Finanziel bei ω in eine Geldeinhei, dann is diese Geldeinhei im Zeipunk 0 (von der zeilichen Diskonierung abgesehen) v() T v() v() T w ( ) e ω Geldeinheien wer. v() seuer also die aus Risikogründen erforderliche unerschiedliche Bewerung sowohl differenzier nach Risikoquellen (v is im allgemeinen Fall mehrdimensional) als auch nach dem Zeipunk der Realisaion. Wir wollen das, wie schon oben angedeue, mi dem Begriff der Risikodiskonierung ansprechen. Gleichung (.7) ha gezeig, dass das Verhalen zukünfiger Zinssäze eng mi den bedingen Erwarungsweren E(h) zusammenhäng, die wir hier schon einmal angeben. Es gil 7
mi und so dass folg: { } E (h ) = exp E (q ) + var (q ) (.3) E(q) v( ) v( ) v( ) (,)w T T = + γ (.4) T { } T var(q ) v( ) id (,) (,) v( ) = γ γ (.5) T T T { } E(h) = exp v() γ(,) γ(,) v() v() γ(,)w (.6) Zur Anpassung des Modells an empirische Sachverhale sehen drei Kaegorien von Gesalungsparameern zur Verfügung: Die Anzahl der laenen Fakoren, die Auokorrelaionssrukur des Vekorprozesses der laenen Fakoren und die Gewichung der Fakoren in ihrer relaiven Bedeuung für die Risikodiskonierung. Im Folgenden seh die Beziehung dieser Gesalungsparameer zu empirischen Größen, hier der Zins- bzw. Zinssrukurenwicklung im Mielpunk. Dabei is es vielfach sinnvoll, die Funkion T T φ (,) = v( ) γ (,) ( φ (,) = v()) (.7) zu verwenden, mi Hilfe derer sich (.6) und der euklidischen Vekornorm des k wie folg umnoieren läss: { } T E (h ) = exp φ(,) φ(,) w (.8) Die Funkion φ amalgamier in gewissem Sinne "objekive" Eigenschafen der Risikoquellen (die Auokorrelaionen derselben) und die Risikodiskonierung durch den Mark. Sie wird sich als für die Zinssrukurenwicklung enscheidende Größe heraussellen. III. Die Zinssrukurenwicklung im allgemeinen Gaußschen Fall Aus (.7) kann in Verbindung mi (.), (.7) und (.8) unmielbar eine Gleichung gefolger werden, die Aufschluss über den Zusammenhang zwischen Zinssrukurenwicklung und den oben aufgezählen Gesalungsparameern gib: r r =, 0, T [ φ (,) φ(,) ] w + { φ (,) φ(,) } (3.) 8
Gleichung (3.) beschreib die zufälligen Abweichungen der zukünfigen Spozinssäze von den anfänglichen Terminzinssäzen der gleichen Kapialüberlassungsperiode. Diese Abweichungen sind normal vereil mi einem Erwarungswer in Höhe von φ (,) φ(,) (3.) und der Sandardabweichung φ (,) φ(,) (3.3) (3.) sell zugleich die Abweichung des Modells von der naiven Erwarungshypohese dar (vgl. dazu spezieller Abschni IV..). Für den Momenanzinssaz r, der sich aus (3.) durch Grenzübergang ergib, finde man folglich φ T φ r 0r = (,) w + (,) (3.4) wobei die Ableiungen auf der rechen Seie jeweils als rechsseiige Ableiungen zu versehen sind. Gemäß (3.4) besimm die Ableiung φ die Sandardabweichung des Momenanzinssazes, seine Volailiä, und gemäß (3.) seuer φ die Volailiä der längerfrisigen Säze; daher wird φ im Folgenden als "Volailiäsfunkion" bezeichne. Auf der anderen Seie erweis sich, dass bei dem Rückschluss von der Volailiä des Momenanzinssazes auf die Volailiäsfunkion Inegraionskonsanen eine Rolle spielen werden. Das wird uns im Folgenden noch beschäfigen. Schließlich wird deulich, dass die Volailiäsfunkion sowohl die Volailiäen der Zinssäze als auch deren Erwarungswere (in ihrer Abweichung von den anfänglichen Terminzinssäzen) fixier, dass also beide Größen uner Arbiragefreihei nich gänzlich unabhängig voneinander sein können. Anders ausgedrück: Man kann nich davon ausgehen, dass man einen Zinsprozess durch Angabe von beliebiger Volailiä und beliebigem Trend beliebig im Einklang mi Arbiragefreihei spezifizieren kann. 9
IV. Die Zinssrukurenwicklung im speziellen Gaußschen Fall. Der allgemeine Gaußsche Ein-Fakor-Fall Ein insbesondere in der früheren Lieraur zur sochasischen Zinssrukurmodellierung dominierender Fall is der, in dem nur ein Fakor (k = ) die relevanen Preis- und Zinsprozesse anreib. In diesem Fall wird die Gleichung (3.4) für den Momenanzins besonders einfach; es gil r 0r φ φ = (,) w + (,) (4.) Aus (4.) is sofor ersichlich, dass die Auokorrelaionsfunkion des Momenanzinssazes mi der des einzigen laenen Fakors übereinsimmen muss, γ(,) also durch das empirische Verhalen des Momenanzinssazes fesgeleg is (vorausgesez, dass der Momenanzinssaz nich deerminisisch is). Definier man den rechsseiigen Grenzwer γ g() = lim (4.) so ergib sich φ (,) = v'() + v() g() (4.3) Man ha also hier die Möglichkei, durch Vorgabe der Auokorrelaionsfunkion und der Volailiä σ() des Momenanzinssazes die Volailiäsfunkion φ für die gesame Zinssrukur aus einer Differenialgleichung zu besimmen; es muss nämlich gelen σ () = v'() + v() g() (4.4) mi (4.). Für das Gewich v(), mi dem der laene Fakor in die Risikodiskonierung eingeh, ergib sich daher als allgemeine Lösung der Differenialgleichung (4.4) der Ausdruck G() σθ ( ) v() = e c + dθ G( θ) (4.5) e mi der Inegraionskonsanen c und einer Sammfunkion G() = g( θ) dθ die aus der Auokorrelaionsfunkion des Momenanzinssazes gemäß (4.) abzuleien is. Eine weiere kurze Rechnung uner Verwendung von (4.), (4.3) und (4.4) zeig, dass der Momenanzins durch das Modell 0
r 0r = σ() w + v() σ () (4.6) mi v() gemäß (4.5), also eindeuig bis auf die Wahl einer Inegraionskonsanen vollsändig beschrieben wird. Auf die maerielle Bedeuung der Inegraionskonsanen wird im Folgenden näher eingegangen. Jedenfalls kann schon soviel gesag werden, dass sie offensichlich Einfluss auf die Ar der Risikodiskonierung und den Erwarungswer des Momenanzinssazes nimm. In (4.6) wird deulich, dass mi der Vorgabe einer anfänglichen Zinssrukur und der Vorgabe einer besimmen Volailiä der Erwarungswer bei Arbiragefreihei nich mehr (oder nur noch beschränk durch die Wahl der Inegraionskonsanen) gesonder modellier werden kann, er ergib sich zwingend durch den Term v() σ() auf der rechen Seie, der durch die Volailiä und die Risikodiskonierung vollsändig besimm wird. Die Risikodiskonierung wiederum wird durch die Volailiä und die Auokorrelaionssrukur des Momenanzinssazes bis auf die Wahl einer Inegraionskonsanen eindeuig besimm. Der Term v() σ() sell übrigens die Abweichung des Modells gegenüber der naiven Erwarungshypohese dar: Die naive Erwarungshypohese ("Die erwareen zukünfigen Zinssäze ensprechen den aus heuiger Sich gelenden Terminzinssäzen") riff genau dann zu, wenn (mi σ() 0) ein deerminisischer Zinsprozess vorlieg. Berachen wir nun das zu (4.6) gehörende Zinssrukurmodell, so erhalen wir zunächs aus (3.) für k = (nur ein Fakor) die Beziehung: φ (,) v() φ (,) v() r, 0r, = w + (4.7) wodurch im Prinzip die Zinssrukurenwicklung (uner Berücksichigung von (4.5)) fesgeleg is. Sowohl (4.6) wie (4.7) erklären die jeweiligen Zinssäze als Funkion des laenen Fakors (absolue Modelle). Auf Grund der besonderen Srukur läss sich aber nun das Verhalen der Zinssäze für längere Laufzeien durch das des Momenanzinssazes erklären, indem man (4.6) nach dem laenen Fakor w auflös und in (4.7) einsez; man erhäl das relaive Modell r [ φ (,) v() ] [ r r ] [ φ (,) v() ] r = + σ() 0, 0, Mi (4.5), (4.6) und (4.7) is das allgemeine Gaußsche Ein-Fakor-Zinssrukurmodell enwickel, das zu einer anfänglich gegebenen Zinssrukur kompaibel is und für das Volailiä und Auokorrelaionsfunkion bekann sind. Alle Zinssäze sind normal vereil und vollsän- (4.8)
dig mieinander korrelier, die Terminsrukur der Volailiäen, d. h. die Abhängigkei der Volailiä von der Laufzei des jeweiligen Kredigeschäfs wird durch φ (,) v() (4.9) für die Laufzei [,] beschrieben. In den absoluen Bewerungsmodellen (4.6) und (4.7) spiel augenscheinlich die Wahl der Inegraionskonsanen definiiv eine Rolle; das lieg daran, dass diese Konsane Einfluss auf die Risikodiskonierung nimm. Von gewissem Ineresse is die Frage, ob die Inegraionskonsane auch im relaiven Modell (4.8) eine explizie Rolle spiel, könne man doch vermuen, dass die Risikodiskonierung schon in (4.6) ausreichend zum Ausdruck komme und daher in (4.8) nich mehr eigens in Erscheinung reen müsse, da sie keinen spezifischen Einfluss auf den Zusammenhang zwischen kurz- und langfrisigen Zinssäzen habe. Das is aber nich der Fall: Nowendig dafür, dass die Inegraionskonsane in (4.8) nich explizi erschein, is, wie man schnell erkenn, die Bedingung: G( ) G() e γ(,) = e (4.0) für alle, was nich generell anzunehmen is. Das allgemeinere Gaußsche Ein-Fakor-Modell wird nachfolgend in unerschiedlicher Weise spezifizier.. Ein Sonderfall: Die Black-Scholes-Wel In ihrer bahnbrechenden Arbei zur Opionspreisheorie nahmen Black/Scholes (973) an, der Momenanzinssaz sei deerminisisch (und konsan) und der Akienkurs enwickle sich als geomerische Brownsche Bewegung. Somi is zunächs einmal in (4.4) σ() = 0 zu spezifizieren, woraus für v() folg: v() = c e G() An dieser Selle kann bereis ein erser Blick auf die Bedeuung der Inegraionskonsanen geriche werden; wird sie mi c = 0 gewähl, folg v() = 0, h und in (.) bzw. (.) erhäl man 0 r 0, p = e E(p ) bzw. ( ) r, = p e E (p ) Es finde keine eigenliche Risikodiskonierung sa, alle Finanziel werden risikoneural bewere; die Inegraionskonsane seh offenbar in einem gewissen Zusammenhang mi der
Risikoaversion des Markes. Dieser Zusammenhang is allerdings zeilich differenzier zu sehen, wie sich gleich heraussellen wird. Für die geomerische Brownsche Bewegung gil als Auokorrelaionsfunkion: { } min, γ(, ) = d.h. γ(, ) = für woraus g() =, G() = log und daher abschließend v() = c mi c c w h = e folg; für die Zinssrukur ergib sich sofor r, = 0 r, für alle Laufzeien (Bedingung (4.0) is rivialerweise erfüll). Der Ausdruck für die Risikodiskonierung h weis auf eine weiere Eigenschaf der Inegraionskonsanen hin; wenn c > 0 gil, is der Wer eines posiiv mi w korrelieren Risikos s sc + sw E(e h ) = e. Dieser Wer sink (fas) exponeniell, je späer das Risiko realisier wird, die Risikoaversion des Markes nimm mi wachsendem zeilichen Absand der Realisierung des Risikos zu. Um Arbirage-frei bepreis zu sein, muss die erwaree Überschuss-Rendie m des Risikos gemäß m = s c s (4.) mi zeilichem Absand wachsen; die reine Zeidiskonierung is nach wie vor unberühr. Berachen wir nun einen Finanziel (Akie), dessen Preis sich wie im Black-Scholes-Modell gemäß m r0, s w S = S e + + (4.) 0 enwickel. Soll S 0 der Arbirage-freie Preis im Zeipunk 0 sein, muss gelen S e E S e e r 0, m r c c w 0, s w 0 = + + 0 woraus sich nach kurzer Rechnung die Bedingung m = c s s (4.3) für die erwaree Überschussrendie des beracheen Finanziels ergib. Auch hier zeig sich, dass im Arbirage-Gleichgewich die Volailiä s des Finanziels seine Risikoprämie deerminier, wobei die absolue Höhe der Risikoprämie durch die Risikoaversionskonsane c fesgeleg wird. Dieser Sachverhal seh im Einklang mi der ensprechenden Beobachung oben, den Erwarungswer des Momenanzinssazes bereffend. Dass die erwaree Überschussrendie nach (4.3) särker als nach (4.) seig, is darauf zurückzuführen, dass das 3
Risiko in (4.) seig, während als Grundlage von (4.) zeilich konsanes Risiko unersell wird. 3. Das saionäre Gaußsche Ein-Fakor-Modell Verlang man vom Prozess des Momenanzinssazes Saionariä der Volailiä und der Auokorrelaionsfunkion, so muss man σ() = σ konsan und γ(,) = ρ( - ) als nur von der Zeidifferenz zwischen und abhängig annehmen. Die Funkion g() wird dann ebenfalls konsan zu g() = ρ'(0) (rechsseiige Ableiung; man überleg sich leich, dass ρ'(0) 0 gelen muss, da ρ eine Auokorrelaionsfunkion is) und man finde als Lösung für v() aus (4.5) nun was gemäß (4.6) zum Momenanzins σ v() = + c e ρ (0) ρ (0) σ r 0r = σ w + + c σ e ρ (0) ρ (0) (4.4) (4.5) führ. Ein auch im Erwarungswer saionärer Momenanzinssaz (bzw. seiner Abweichung vom Terminzinssaz) erforder eine Inegraionskonsane c = 0 (oder naürlich einen deerminisischen Zinsverlauf). Sons seig (bei c > 0) der Erwarungswer zwangsläufig exponeniell an. Späere Risiken unerliegen einer exponeniell särkeren Risikodiskonierung als frühere Risiken. Das wird besonders deulich, wenn man für den laenen Fakor einen auoregressiven Prozess erser Ordnung mi ρ ( ) = e κ annimm, dann gil σ r 0r = σ w + c σ e κ (4.6) κ mi einem exponeniell seigenden Erwarungswer. Für die Risikodiskonierung gil h ce κ σ ce κ σ w κ κ = e ; daraus folgen analoge Überlegungen zur Abhängigkei der Risikoaversion vom Zeipunk der Risikorealisaion. Der zeilich sarke Ansieg der Risikodiskonierung bei posiiver Inegraionskonsanen führ dazu, dass der erwaree Zinssaz seigen muss, obwohl das Risiko wegen der Saionariäsannahme konsan bleib. Saionariä des Zinsprozesses is nur möglich, wenn v() nich zeiabhängig is, d. h. wenn der Mark keine zeispezifische Risikodiskonierung vornimm. Wenn die Inegraionskonsane c größer als null is, werden späer einreende Risiken (exponeniell) särker diskonier, d. h. belasender, als frühere Risiken 4
Für die Zinssrukurenwicklung is die oben eingeführe Volailiäsfunkion φ(,) enscheidend; sie laue im saionären Modell des auoregressiven Prozesses erser Ordnung: σ φ = κ κ κ (,) e c e Offenbar is auch hier wieder die Bedingung (4.0) erfüll. Aus (4.8) folg dami e σ ( e ) r r (r r ) κ κ κ( ) κ( ), 0, = 0 + (4.7) (4.8) Dieser Zusammenhang is wegen der Güligkei von (4.0) unabhängig von der Höhe der Inegraionskonsanen gülig, also unabhängig davon, ob der Prozess des Momenanzinssazes im Erwarungswer saionär is oder nich. Die Volailiäen der Zinssäze längerer Laufzeien sind c. p. niedriger als die kürzerer Laufzeien, ein empirisch qualiaiv besäiges Phänomen; mi längeren Laufzeien schwanken die Zinssäze immer weniger sark um die anfänglichen Terminzinssäze. Es sind in Abhängigkei von der Realisaion des Momenanzinssazes unerschiedliche Verläufe (zukünfiger) Zinssrukur denkbar: seigende, fallende oder "bucklige"; flache Zinssrukuren sind (prakisch) ausgeschlossen. Abbildung zeig drei verschiedene Verlaufsformen für die Zinssrukur, Abbildung gib die Frisigkeissrukur der Volailiäen wieder. Abbildung : Formen der Zinssrukur im saionären Ein-Fakor-Modell 5
Abbildung : Frisigkeissrukur der Volailiä im saionären Ein-Fakor-Modell 4. Das Vasicek-Modell Das erse publiziere Modell, das aus dem Prozess des Momenanzinssazes ein Zinssrukurmodell enwickel, wurde von Vasicek (977) veröffenlich. Der Momenanzins wird dor als so genanner Ohrnsein-Uhlenbeck-Prozess modellier, dessen (nich saionäre) Auokorrelaionsfunkion durch κ e κ( ) sinh( κ ) e κ γ (,) = = e sinh( κ ) (4.9) gegeben is (für κ>0 und ). Die Volailiä des Momenanzinssazes is σ σ () = e κ κ (4.0) Für große lieg bei näherem Hinsehen allerdings (fas) Saionariä vor, so dass das saionäre Modell des vorangegangenen Abschnies als langfrisiger Grenzfall dienen kann. Nach einigen Berechnungsschrien komm man zu sowie σ v() = c e e 3/ κ κ κ (4.) und schließlich σ φ = κ κ κ (,) e c e 3/ 6 (4.)
mi dem Momenanzinssaz κ( ) κ( ) e e κ σ r, 0r, = (r 0r ) + ( e ) 3 κ 4 κ (4.3) σ σ σ r r = e w + ( e ) c e κ κ κ κ κ κ 0 3/ (4.4) Eine posiive Inegraionskonsane c führ aus den gleichen Gründen wie im saionären Fall auch hier zu exponeniell seigender zeilicher Risikodiskonierung und daher zu exponeniell seigenden erwareen Momenanzinssäzen. Um einen Zinsprozess zu modellieren, der langfrisig in eine saionäre Vereilung übergeh, is also als Inegraionskonsane wiederum c = 0 zu wählen. Auffällig is, dass ausweislich (4.3) das relaive Zinssrukurmodell bis auf die Drifkomponene idenisch is mi der des saionären Modells; insbesondere sind die abgebildeen Volailiässrukuren beider Modelle idenisch. Lediglich der Prozess des Momenanzinssazes unerscheide, wobei das saionäre Modell als asympoische Version des Vasicek-Modells angesehen werden kann. 5. Das Ho-Lee-Modell in der Grenzwerversion: Die Ein-Fakor-Version Das Zinssrukurmodell von Ho/Lee (986) war das erse (Binomial-)Modell, das direk die sochasische Enwicklung der Zinssrukur als Ganzes modelliere und dabei die anfängliche empirische Srukur als Anfangsbedingung einbezog. Heah/Jarrow/Moron (990) haben eine Grenzwerversion angegeben, die in Wilhelm (999) auf ewas anderem Wege und zugleich verallgemeinernd reproduzier wird. Die Korrelaionssrukur des Prozesses des an- Momenanzinssazes wird (analog zur Black-Scholes-Wel) durch gegeben, die Volailiä is σ () = σ. Es folg: γ(,) = für v() = (c +σ ) (4.5) und φ (,) = (c +σ ) (4.6) woraus für die Zinssrukur r r = r r + σ ( ) (4.7), 0, 0 7
die bekanne "Parallelverschiebungseigenschaf" dieses Modells folg: Alle zu ein und dem selben Zeipunk möglichen Zinssrukuren sind durch Realisaion des Momenanzinssazes besimme Parallelverschiebungen einer Grundform. Alle Zinssrukurkurven sind (relaiv zur anfänglichen Kurve der Terminzinssäze) linear seigend, die Volailiässrukur is hingegen flach. Der Prozess des Momenanzinssazes verläuf gemäß r r w c 0 = σ + σ +σ (4.8) was bis auf einen Fakor des quadraischen Terms dem Grenzwer des Ho-Lee-Modells ensprich (vgl. dazu näher Wilhelm (999), wo eine Zwei-Fakor-Version enwickel wird). 6. Zwei-Fakor-Modelle a) Das allgemeine Zwei-Fakor-Modell Ein-Fakor-Modell sind zwar relaiv einfach zu handhaben, weisen jedoch die unbefriedigende Eigenschaf auf, dass Zinssäze aller Laufzeien vollsändig korrelier sein müssen. Daher soll im Folgenden das allgemeine Zwei-Fakor-Modell als mögliche Weierenwicklung skizzier werden. Gemäß (3.) is der Koeffizien des i-en Fakors zur Besimmung der Zinssrukur durch φ [ γ γ ] + [ γ γ ] i(,) φi(,) v ( ) i(,) v () i(,) v ( ) i(,) v () i(,) = gegeben. Im Grenzübergang ergib sich mi g() = lim ij γ (,) γ (,) ij ij der Ausdruck v () γ (,) + v ()g () + v () γ (,) + v () g () i i i i für den isolieren Volailiäsbeirag des i-en Fakors zum Momenanzinssaz. Wenn man ohne Beschränkung der Allgemeinhei den Momenanzinssaz vollsändig durch den ersen Fakor erklären will, so ergib sich mi der Volailiä σ() des Momenanzinssazes folgendes Sysem von Differenialgleichungen: v () + v () g () + v () g () = σ () (4.9) v () g () + v () + v () g () = 0 (4.30) 8
Das Sysem (4.9), (4.30) läss sich sukzessive lösen. Man lös zunächs (4.30) für v (als "Funkion" von v ) und sez in (4.9) ein, um v zu ermieln; dabei reen naürlich zwei Inegraionskonsanen in Erscheinung; die dabei aufreenden Differenialgleichungen ensprechen jeweils der Grundform (4.4) mi der allgemeinen Lösung (4.5). Im folgenden Unerabschni soll das Modell mi zwei unabhängigen laenen Fakoren, bei denen γ ses Diagonalmarix is, näher sudier werden. b) Modelle mi zwei unabhängigen laenen Fakoren Sind die beiden Fakoren durchgängig (also nich nur für zeigleiche Realisaionen) unabhängig, vereinfach sich das Sysem (4.9), (4.30) zu: mi der allgemeinen Lösung v() + v() g () = σ () (4.3) v() + v()g () = 0 (4.3) G() σθ ( ) v() = e c + dθ G( θ) v() = e c G () wobei G() i = g ii( θ)dθ für i =, ensprechende Sammfunkionen und c und c.inegraionskonsanen sind. Dass mehrere laene Fakoren asächlich variierende Korrelaionen zwischen Zinssäzen unerschiedlicher Laufzeien erklären können, wollen wir abschließend am Fall saionärer Fakoren demonsrieren; hinreichend dafür is, dass die beiden Fakoren in unerschiedlicher Weise auf Zinssäze unerschiedlicher Laufzeien einwirken. Die Lösung des Sysems (4.3), (4.3) ergib sich in diesem Fall zu (0) c e ρ σ + v() = ρ (0) ρ (0) c e wodurch die Volailiäsfunkion φ(,) zu (0) ( ) c e ρ σ ρ + φ (,) = ρ (0) ρ (0) ρ( ) c e (4.33) (4.34) 9
wird. Einen spezifischen Einfluss auf die Zinssäze unerschiedlicher Laufzeien üb der zweie laene Fakor nur uner zwei gleichzeiig zu erfüllenden Bedingungen aus: Die Inegraionskonsane c muss ungleich null sein und der Ausdruck ρ ( ) e ρ (0) muss asächlich von abhängen. Ein rech einfaches Beispiel liefer die Konsellaion κ κ ( ) e und ( ) e ρ = ρ = woraus mi c =0 (saionärer Momenanzins) folg v() σ κ c = (4.35) also zeilich konsane Risikodiskonierung. Zeilich konsane Risikodiskonierung mi Bezug auf den ersen Fakor - den Momenanzins - erreich man auch hier nur durch Wahl der Inegraionskonsane c = 0 und erzwing dami in der Folge auch Saionariä im Erwarungswer. In Bezug auf den zweien Fakor ergib sich diese Eigenschaf hingegen modellendogen bei beliebiger Inegraionskonsanen c. Für die Volailiäsfunkion ergib sich aus (4.34) jez speziell zu: (,) σ e κ κ( ) φ = κ( ) c e Der zweie laene Fakor geh bei diesem Modell mi dem Gewich (4.36) c κ ( ) e der zweie mi dem Gewich σ κ e κ ( ) in die Besimmung des Zinssazes r, ein; der zweie spiel also, wie posulier, für den Momenanzinssaz keine Rolle. Der Vergleich der Gewiche, mi denen die beiden Fakoren in die Besimmung der Frisen-bezogenen Zinssäze eingehen, ergib folgendes Bild: Das relaive Gewich (von Fakor zu Fakor ) is von der Größenordnung κ( ) e ε ( ) = (4.37) κ( ) e 0
Dieses Gewich is - naürlich auch in Abhängigkei von den einzelnen Parameern - für sehr kurze Laufzeien nahe bei null, hier dominier also der Einfluss des Momenanzinssazes; ε seig dann sark an, so dass in mileren Laufzeien der Einfluss des zweien Fakors deulich überwieg, für sehr lange Laufzeien gil ε( )=, da beide Fakoren über den gleichen, nämlich nahezu gar keinen Einfluss verfügen (Abbildung 3 zeig den Verlauf von ε). Es wird dem Modell also keine Gewal angean, wenn der zweie Fakor als primär das längere Ende der Zinssrukur besimmend angenommen wird. Abbildung 3: Verhälnis der Gewiche im saionären Ein-Fakor-Modell Zusammenfassend kann man das Modell in zwei Gleichungen präsenieren: wie in (4.6) für den Momenanzins und 0, σ r r = σ w (4.38) κ κ( ) κ( ) σ ( e ) e, 0, =,, κ r r w c w σ ( e ) ( e ) + κ κ( ) κ( ) c (4.39) für die längerfrisigen Säze; Abbildung 4 gib einen Eindruck von möglichen Verläufen der Zinssrukur, wobei außer im Fall der inversen Zinssrukur alle Srukuren von demselben Momenanzins ausgehen. Ganz ersichlich seig die Variabiliä der Verlaufsformen im Zwei- Fakor-Modell deulich an.
Abbildung 4: Formen der Zinssrukur im saionären Zwei-Fakor-Modell V. Schlussbemerkungen Der vorliegende Beirag ha das Konzep der Arbirage-Freihei in Gesal des Ansazes eines sochasischen Diskonierungsfakors am Beispiel einer Arbirage-freien Zinssrukurenwicklung unersuch. Dabei ging es vor allem um ökonomisch inerpreierbare Sachverhale. Zu dem hier unersuchen Fall des Gaußschen Zinssrukurmodells sind einfach abzuleiende analyisch formulierbare Zusammenhänge möglich. Es is insbesondere deulich geworden, dass neben die aus der zu einem besimmen Zeipunk gelenden Zinssrukur sich ergebende rein zeiliche Diskonierung eine, wie wir es genann haben, Risikodiskonierung ri, die, gegebenenfalls abhängig vom Zeipunk des Einris des Risikos, dieses in markgerecher Form bewere. Dabei zeig sich, dass zum Einen Erwarungswer und Volailiä von Finanzieln im Arbirage-Gleichgewich nich unabhängig voneinander modellier werden können und zum Anderen der Zusammenhang zwischen ihnen durch die Ar der Risikodiskonierung des Markes fixier wird. Versuch man, wie es in der Lieraur durchaus üblich is, Eigenschafen der Zinssrukur mi Hilfe von Arbirage-Argumenen aus Eigenschafen des Prozesses des Momenanzinssazes zu enwickeln, so ensehen zwangsläufig Freiheisgrade, die in unserem Zusammenhang als Inegraionskonsanen bei der Lösung von Differenialgleichungen in Erscheinung reen. Da diese Konsanen wesenlichen Einfluss auf die Ar der Risikodiskonierung des Markes haben, seh ihre Wahl keineswegs der Beliebigkei offen, wenn auch in
manchen Modellen der wichige funkionale Zusammenhang zwischen längerfrisigen Zinssäzen und dem Momenanzins von der Wahl der Konsanen unberühr is. Dies ergab sich im saionären Fall, im Ho-Lee-Modell und im Vasicek-Modell, is aber keineswegs zwingend; eine hinreichende Bedingung für diese Unabhängigkei konne aufgedeck werden. Unbeache dieser Unabhängigkei erwies sich hingegen die Wahl der Inegraionskonsanen als besimmend für Eigenschafen des Momenanzinssazes selbs, so konne Saionariä des Prozesses im Erwarungswer nur durch eine Inegraionskonsane von null gewährleise werden, was dann zu zeilicher Konsanz der Risikodiskonierung führe, die wiederum naürlich die eigenliche Ursache für die Saionariäseigenschaf is. Die behandele Mehode konne auch auf den Fall mehrerer Fakoren erweier werden, die Grundsrukur der ökonomischen Zusammenhänge bleib dabei erhalen. In einem Zwei-Fakor-Modell konne verdeulich werden, dass Mehr-Fakor-Modelle eine größere Vielfal von Zinssrukurverläufen und eine differenziere Korrelaionssrukur zwischen Zinssäzen unerschiedlicher Laufzeien erklären können. Wenn der Gaußsche Modellansaz, gerade im Mehr-Fakor-Fall, auch durchaus noch Enwicklungspoenial besiz, so muss doch eingeräum werden, dass seine Möglichkeien begrenz sind: Insbesondere das wohl empirisch nich zu leugnende Phänomen der sochasischen Volailiä der Zinssäze kann in ihn nich inegrier werden. In der weieren Enwicklung wird es also darauf ankommen, Modellsrukuren für den sochasischen Diskonierungsfakor zu enwickeln, die solche Phänomene abbilden können. Grundlegende Einsichen in die ökonomischen Zusammenhänge, wie sie das Gaußsche Modell ermöglichen, werden dabei aber erhalen bleiben. 3
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