4 Numerische Integration

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 78 4 Numerische Integrtion Ziel numerischer Integrtion (Qudrtur): Näherungswerte für b f(t) dt. Wozu? Ein Beispiel: Eine Apprtur liefert Messwerte x i = x i + ε i. Angenommen, die Messfehler ε i sind stndrdnormlverteilt (wähle Einheiten entsprechend!): Wie groß ist die Whrscheinlichkeit P, dss ein spezifischer Messwert den wirklichen Wert um weniger ls zwei Einheiten überschätzt? P = 1 2π 2 0 exp ( t2 2 ) dt = Φ(2) Φ(0) (.477). Numerische Integrtion TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 79 1 1 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 (2π) 1/2 exp( t 2 /2) 0.7 Φ(x) 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 4 3 2 1 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Aber: Es gibt keine geschlossene Formel für den Wert von Φ(x) = 1 x ( ) exp t2 dt 2π 2 (und vieler nderer Integrle). Selbst wenn geschlossenene Formeln beknnt sind, ist eine numerische Approximtion oft ökonomischer. Numerische Integrtion TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 80 4.1 Newton-Cotes-Formeln Gesucht: Wert von I := b f(x) dx. Idee der interpoltorischen Qudrturformeln: Wähle (n + 1) Knoten x 0 < x 1 < < x n 1 < x n b, bestimme ds zugehörige Interpoltionspolynom p n P n für f p n (x) = n f(x j )l j (x) mit l j (x) = j=0 n i=0 i j x x i x j x i (Lgrnge-Form) und betrchte ls Näherung für I b p n (x)dx = n f(x j ) j=0 b l j (x)dx } {{ } =:γ j = n γ j f(x j ). j=0 γ j bzw. x j heißen Gewichte bzw. Knoten der Integrtionsformel. Numerische Integrtion Newton-Cotes-Formeln TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 81 Newton-Cotes-Formeln I n j=0 γ (n) j f(x j ) sind interpoltorische Qudrturformeln mit äquidistnten Knoten x j = + jh (j = 0, 1,..., n), wobei h = (b )/n. Bestimmung der Gewichte. Mit der Substitution x = + ht, t [0, n]: γ (n) j = b n i=0 i j x x i x j x i dx = h n 0 n i=0 i j t i dt =: hα(n) j j i (α (n) j sind unbhängig von f, und b). Für jedes n gelten und α (n) 0 + α (n) 1 + + α n (n) α (n) j = n = α (n) n j, j = 0, 1,..., n. Numerische Integrtion Newton-Cotes-Formeln TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 82 Tbelle der Newton-Cotes-Gewichte: I b n n j=0 α (n) j f( + jh) n Nme α (n) j (j = 0, 1,..., n) 1 Trpezregel 1 2 2 Simpson-Regel 1 3 3 3/8-Regel 3 8 4 Milne-Regel 14 45 5 95 288 6 Weddle-Regel 41 140 1 2 4 3 9 8 64 45 375 288 216 140 1 3 9 8 24 45 250 288 27 140 3 8 64 45 250 288 272 140 14 45 375 288 27 140 95 288 216 140 41 140 Für größere n treten negtive Gewichte uf, die Newton-Cotes-Formeln werden numerisch unbruchbr. Numerische Integrtion Newton-Cotes-Formeln TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 83 Fehler der Newton-Cotes-Formeln: Ist f C (n+1) [, b], so folgt us der Fehlerformel für Interpoltionspolynome E n (f) = b f(x)dx h n j=0 α (n) j f( + jh) = b ω n+1 (x) (n + 1)! f (n+1) (ζ(x))dx. Insbesondere werden Polynome vom Grd n durch die n-te Newton-Cotes-Formel exkt integriert. Mn knn zeigen: Ist n gerde, so werden sogr Polynome vom Grd n + 1 exkt integriert. Exktheitsgrd der n-ten Newton-Cotes-Formel = { n, flls n ungerde, n + 1, flls n gerde. Numerische Integrtion Newton-Cotes-Formeln TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 84 Fehlerschrnken E n (f) = b f(x)dx h n j=0 α (n) j f( + jh) S n(f) n Nme S n (f) 1 Trpezregel h 3 1 12 M 2 2 Simpson-Regel h 5 1 90 M 4 3 3/8-Regel h 5 3 80 M 4 4 Milne-Regel h 7 8 945 M 6 5 h 7 275 12096 M 6 6 Weddle-Regel h 9 9 1400 M 8 mit M k := mx x b f (k) (x) und h = (b )/n. Numerische Integrtion Newton-Cotes-Formeln TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 85 Beispiel. 1 0 exp(x) dx = e 1 1.7183 n Nme E n (f) S n (f) 1 Trpezregel 1.409 10 1 2.265 10 1 2 Simpson-Regel 5.793 10 4 9.438 10 4 3 3/8-Regel 2.583 10 4 4.195 10 4 4 Milne-Regel 8.595 10 7 1.405 10 6 5 4.845 10 7 7.910 10 7 6 Weddle-Regel 1.059 10 9 1.734 10 9 Numerische Integrtion Newton-Cotes-Formeln TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 86 4.2 Zusmmengesetzte Integrtionsformeln Idee: Unterteile ds Integrtionsintervll [, b] in N Teilintervlle der Länge H := (b )/N und wende uf jedes Teilintervll [ + jh, + (j + 1)H] (j = 0, 1, 2,..., N 1), d.h. zur näherungsweisen Berechnung von +(j+1)h +jh Newton-Cotes-Formel (mit Schrittweite h = H/n) n: f(x) dx, die n-te b f(x) dx = = N 1 j=0 N 1 j=0 (j+1)h h jh n k=0 f(x) dx N 1 j=0 h n k=0 α (n) k f( + (jn + k)h). α (n) k f( + jh + kh) Numerische Integrtion Zusmmengesetzte Integrtionsformeln TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 87 Beispiel für n = 1: zusmmengesetzte Trpezregel. Hier H = (b )/N = h, lso N + 1 Stützstellen: x j = + jh, j = 0, 1,..., N: b f(x) dx h 2 [ N 1 f(x 0 ) + 2 j=1 ] f(x j ) + f(x N ) =: T (h). (4.1) Fehler: b f(x) dx T (h) b 12 M 2 h 2 mit M 2 := mx f (x). x b Aufwnd zur Berechnung von T (h): N + 1 Funktionsuswertungen. Numerische Integrtion Zusmmengesetzte Integrtionsformeln TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 88 Beispiel für n = 2: zusmmengesetzte Simpson-Regel. Hier H = (b )/N = 2h, d.h. h = (b )/(2N), lso 2N + 1 Stützstellen: x j = + jh, j = 0, 1,..., 2N: b f(x) dx h 3 [ N 1 f(x 0 ) + 4 j=0 f(x 2j+1 ) + 2 N 1 j=1 ] f(x 2j ) + f(x 2N ) =: S(h). Fehler: b f(x) dx S(h) b 180 M 4 h 4 = b 2880 M 4 H 4 mit M 4 := mx x b f (iv) (x). Aufwnd zur Berechnung von S(h): 2N + 1 Funktionsuswertungen. Numerische Integrtion Zusmmengesetzte Integrtionsformeln TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 89 4.3 Adptive Integrtionsverfhren Wendet mn eine zusmmengesetzte Qudrturformel uf I = b f(x) dx n, so ist es nicht immer sinnvoll, ds Integrtionsintervll [, b] in gleich lnge Teilintervlle der Länge H zu unterteilen: Der Qudrturfehler hängt von einer (höheren) Ableitung von f b, und diese knn in [, b] strk vriieren. Für f(x) = x/(x 2 1), x [1.001, 10], bewegt sich die vierte Ableitung (die den Fehler bei der zusmmengesetzten Simpson-Regel kontrolliert) zwischen 1.2 10 8 (m linken Rnd) und 2.7 10 4 (m rechten Rnd). Mn erwrtet, dss mn m rechten Ende des Intervlls mit wesentlich weniger Stützstellen (d.h. wesentlich geringerem Rechenufwnd) eine kzeptble Näherung des Integrls bestimmen knn ls in der Umgebung von 1.001. Numerische Integrtion Adptive Integrtionsverfhren TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 90 Gegeben ist eine Qudrturformel, z.b. die Simpson-Regel S(H), mit einer Fehlerbschätzung, hier: I S(H) = c H 4 + O(H 5 ). Gesucht ist eine Näherung für I, die sich zusmmensetzt us Näherungen I (j) 0 für x j+1 x j f(x) dx über Teilintervlle unterschiedlicher Länge H j = x j+1 x j, so dss N I j=0 I (j) 0 b ε := tol f(x) dx gilt. Weder die Anzhl (N + 1) der Teilintervlle noch die Unterteilungspunkte x j+1 := x j + H j (j = 0,..., N 1) sind beknnt. Numerische Integrtion Adptive Integrtionsverfhren TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 91 Wir wollen den Fehler gleichmäßig uf die Teilintervlle verteilen, d.h. H j soll so gewählt werden, dss xj +H j f(x) dx I (j) 0 H j b ε erfüllt ist. x j Wichtige Beobchtung: Aus folgt I S(H) = c H 4 + O(H 5 ) und I S(H/2) = c (H/2) 4 + O(H 5 ) S(H/2) S(H) = c (1 2 4 ) H 4 + O(H 5 ) lso, flls H genügend klein ist, I S(H) S(H/2) S(H) 1 2 4. ( ) Numerische Integrtion Adptive Integrtionsverfhren TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 92 Strtegie zur Schrittweitenwhl (Schrittweitensteuerung): Angenommen H 0,..., H j 1 (dh. x 0,... x j ) sind bereits bestimmt. Außerdem ist eine Vorschlgsschrittweite H j gegeben. 1. Setze H j = H j. Bestimme mit I (j) 0 = S(H j ) eine Näherung für xj +H j f(x) dx. x j 2. Bestimme mit I (j) 1 = S(H j /2) eine bessere Näherung für xj +H j f(x) dx. x j 3. Überprüfe, ob I (j) 1 I (j) 0 (1 2 4 ) H j b ε erfüllt ist (vgl. ( )). Flls j: Akzeptiere I (j) 1 ls Näherung. Flls nein: Setze H j = H j /2, I (j) 0 = I (j) 1 und gehe zu 2. Numerische Integrtion Adptive Integrtionsverfhren TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 93 4. Überprüfe, ob I (j) 1 I (j) 0 (2.5) 4 (1 2 4 ) H j b ε erfüllt ist (2.5 = Sicherheitsfktor). Flls j: Neue Vorschlgsschrittweite: H j+1 = 2H j. Flls nein: Neue Vorschlgsschrittweite: H j+1 = H j. Prxis: Unter- und Oberschrnken für H j (zu kleine Schrittweiten führen zu verstärktem Rundungsfehlereinfluss, zu große Schrittweiten können dzu führen, dss Bereiche, in denen f strk vriiert, übersprungen werden). Numerische Integrtion Adptive Integrtionsverfhren TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 94 Beispiel: f(x) = 1 (x.3) 2 +.01 + 1 (x.9) 2 +.04 6, = 0, b = 1. 100 90 80 70 Integrl = 29.8583 60 50 40 30 20 10 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Numerische Integrtion Adptive Integrtionsverfhren TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 95 4.4 Guß-Qudrtur Die Guß-Qudrtur wird llgemein ngewndt uf Integrle der Form I = b f(x)w(x) dx. Die Gewichtsfunktion w(x) muß dbei gewisse Bedingungen erfüllen (z.b. w(x) 0 für lle x [, b]). = bzw. b = ist usdrücklich zugelssen. [, b] w(x) Bezeichnung [ 1, 1] 1 Guß-Legendre [ 1, 1] (1 x 2 ) 1/2 Guß-Tschebyscheff [ 1, 1] (1 x) α (1 + x) β, α, β > 1 Guß-Jcobi [0, ] exp( x) Guß-Lguerre [, ] exp( x 2 ) Guß-Hermite Numerische Integrtion Guß-Qudrtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 96 Prinzip: Guß-Formeln sind interpoltorische Qudrturformeln b f(x) w(x)dx = n η j f(ξ j ) + R n (f). (4.2) j=1 R n (f) bezeichnet den Qudrturfehler. Im Gegenstz zu den Newton-Cotes-Formeln wählt mn die Knoten ξ j nicht äquidistnt, sondern bestimmt Knoten ξ j und Gewichte η j so, dss sich ein möglichst hoher Exktheitsgrd ergibt. Heuristik: b xk w(x)dx = n j=1 η jξj k ist für jedes k = 0, 1,... eine nichtlinere Gleichung mit 2n freien Prmetern ξ j, η j (j = 1,..., n). Es scheint möglich, diese Gleichung für k = 0,..., 2n 1 zu erfüllen (Exktheitsgrd 2n 1). Mn knn beweisen: Der mximle Exktheitsgrd ist ttsächlich d = 2n 1. Numerische Integrtion Guß-Qudrtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 97 Zur Konstruktion der Guß-Knoten und Gewichte Es bezeichne P den Rum ller Polynome (beliebigen Grdes). (p, q) = b p(x)q(x) w(x)dx, p, q P (4.3) ist ein Innenprodukt uf P. Mit dem Orthogonlisierungsverfhren nch Schmidt knn mn ein System {p k } k=0,1,2,... von monischen Orthogonlpolynomen bez. (4.3) konstruieren, d.h. () p k besitzt Grd k, (b) p k besitzt Höchstkoeffizienten 1 (monisch), (c) p j und p k sind zueinnder senkrecht (orthogonl): (p j, p k ) = b p j (x)p k (x) w(x)dx = 0 für lle k j. Numerische Integrtion Guß-Qudrtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 98 Die monische Orthogonlpolynome {p k } sind durch ds Innenprodukt (4.3) eindeutig bestimmt. Die n Nullstellen des n-ten monischen Orthogonlpolynoms p n (n 1) sind reell, einfch und liegen in (, b). Sie sind die Knoten ξ j der n-ten Guß-Formel (4.2). Ttsächlich werden die Knoten ξ j ber uf eine ndere Art bestimmt: Die monischen Orthogonlpolynome genügen einer dreistufigen Rekursionsformel: p 1 = 0, p 0 (x) = 1, p k (x) = (x α k )p k 1 (x) β k p k 2 (x) mit α k = (xp k 1, p k 1 ) (p k 1, p k 1 ), k 1, und β k = (p k 1, p k 1 ) (p k 2, p k 2 ) > 0, k 2. Numerische Integrtion Guß-Qudrtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 99 Stz 4.1 Seien α k, k 1) und β k, k 2 die Rekursionskoeffizienten der monischen Orthogonlpolynome bez. (4.3) und sei α 1 β2. β2 α.. 2 J n =...... R n n. βn βn α n () Die Knoten ξ j der n-ten Guß-Qudrturformel (4.2) sind die Eigenwerte von J n. (b) Sind u j die normierten Eigenvektoren von J n zu den Eigenwerten ξ j, d.h. J n u j = ξ j u j, u j 2 = 1 (j = 1,..., n) so sind die Gewichte η j von (4.2) gegeben durch η j = β 0 [u j ] 2 1 (j = 1,..., n), β 0 = b w(x)dx. Numerische Integrtion Guß-Qudrtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 100 Beispiel 4.2 Für die Gewichtsfunktion w(x) = (1 x 2 ) 1/2 erhält mn Knoten: ξ j = cos (2j 1)π 2n, Gewichte: η j = π/n, j = 1, 2,..., n. (Dss die Gewichte unbhängig von j sind, trifft uf ndere Guß-Formeln nicht zu!) Guß-Tschebyscheff-Qudrturformel: 1 1 f(x) (1 x 2 ) 1/2 dx = π n n f j=1 ( cos (2j 1)π 2n Stz 4.3 Ist f C 2n [, b] und bezeichnen {p n } die monischen Orthogonlpolynome zu (4.3), so besitzt ds Restglied der Guß-Qudrturforml (4.2) die Abschätzung ) + R n (f). R n (f) (n!) 4 ((2n)!) 3 (2n + 1) (b )2n+1 M 2n mit M 2n := mx x b f (2n) (x). Numerische Integrtion Guß-Qudrtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 101 Beispiel 4.4 I = π/2 0 (x cos(x) + exp(x)) dx = π 2 + exp ( π 2 ) 2 = 4.38127370776025... Zusmmengesetzte Simpson-Regel S(h) mit N Teilintervllen (2N + 1 Funktionsuswertungen): N S(h) I S(h) Fehlerschrnke 4 4.38134302240142 6.9e 05 1.1e 04 8 4.38127803491002 4.3e 06 7.1e 06 16 4.38127397813005 2.7e 07 4.65e 07 32 4.38127372465716 1.7e 08 2.8e 08 (M 4 = mx 0 x π/2 f (4) (x) = f (4) (π/2) = 8.81047738096535... ) Numerische Integrtion Guß-Qudrtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 102 Guß-Legendre-Qudrturformeln Q(N) mit N Knoten/Gewichten (N Funktionsuswertungen): Bechte (Substitutionsregel) N Q(N) I Q(N) 2 4.369064319644488 1.2e 02 4 4.381273435207492 2.7e 07 6 4.381273707759505 7.4e 13 8 4.381273707760246 1.8e 15 10 4.381273707760248 < eps = 2.2e 16 b f(x) dx = b 2 1 1 f ( b 2 x + ) +b 2 dx. Numerische Integrtion Guß-Qudrtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 103 4.5 Kubtur Unter Kubtur versteht mn Näherungsverfhren für mehrdimensionle Integrle, d.h. mit Teilgebieten des R m, m > 1 ls Integrtionsbereichen. Diese hben wie im Eindimensionlen die Form n I = f(x ) w(x )dx = γ i f(x i ) + R n (f). (4.4) Ω i=1 mit Knoten x i und Gewichten γ i, i = 1,..., n. Erwünschte Eigenschften: 1. x i Ω, i = 1,..., n. 2. γ i > 0, i = 1,..., n. Numerische Integrtion Kubtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 104 Die Theorie der numerischen Kubtur ist nicht nnähernd so vollständig wie die der Qudrturverfhren. Dies ht im Wesentlichen zwei Urschen: (i) Die Geometrie des R 1 ist entscheidend einfcher ls die mehrdimensionler Räume. (ii) Die im Eindimensionlen so hilfreiche Theorie der Orthogonlpolynome ist im Mehrdimensionlen komplizierter (eigentlich nicht existent). Wir beschränken uns hier einfchheitshlber uf den Fll m = 2. Eine Kubturformel (4.4) besitzt den Exktheitsgrd d, wenn sie für lle Polynome p(x, { y) vom Grd d, d.h. für lle } p Pd 2 := i+j d α i,jx i y j : α i.j R (z.b. P 2 1 = {α 0,0 + α 1,0 x + α 0,1 y}, P 2 2 = {α 0,0 + α 1,0 x + α 0,1 y + α 2,0 x 2 + α 1,1 xy + α 0,2 y}), den exkten Integrlwert liefert. Numerische Integrtion Kubtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 105 Produktformeln Ist es möglich eventuell nch geeigneter Substitution Integrle über Monome x i y j, i, j N 0, so umzuformen, dss 1 ( 1 ) x i y j w(x, y)dxdy = ξ i w 1 (ξ) η j w 2 (η)dη dξ, Ω so knn mn uf die eindimensionlen Integrle jeweils eine Qudrturformel 1 1 g(ζ) w s(ζ)dζ n s i=1 γ(s) i f(ζ (s) i ) (s = 1, 2) mit Exktheitsgrd d s nwenden und erhält mit Ω 1 f(x, y) w(x, y)dxdy 1 n 1 n 2 γ (1) i γ (2) j i=1 j=1 f ( ) ζ (1) i, ζ (2) j eine Kubturformel mit n 1 n 2 Knoten {(ζ (1) i, ζ (2) j )} und Gewichten {γ (1) i γ (2) j }, 1 i n 1, 1 j n 2 sowie Exktheitsgrd d = min{d 1, d 2 }. Numerische Integrtion Kubtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 106 Beispiel 4.5 Die Guß-Legendre Formel (w(x) 1) mit zwei Knoten 1 1 f(ζ) dζ f(ζ 1 ) + f(ζ 2 ), ζ 1,2 = ±1 3, (γ 1 = γ 2 = 1), besitzt Exktheitsgrd d = 3. Mittels der Substitution [ ] ([ ] [ ] [ ]) x(ξ, η) = 1 1 1 0 ξ +, ξ, η [ 1, 1], y(ξ, η) 2 1 0 1 η pproximieren wir dmit ds Integrl 1.135... = 1 4 1 1 0 0 2 i,j=1 exp(x 2 y 2 ) dxdy = 1 4 1 1 1 1 exp ( x(ζ i, ζ j ) 2 y(ζ i, ζ j ) 2) = 1.133... exp(x(ξ, η) 2 y(ξ, η) 2 ) dξdη Numerische Integrtion Kubtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 107 Beispiel 4.6 Ds Integrl I = f(x, y) dxdy, = {(x, y) : 0 x 1, 0 y x} über ds Dreieck geht durch die Substitution x = u, y = uv über in I = 1 0 1 0 f(u, uv) udvdu, ws wie in Beispiel 1 durch eine Produktformel für ein Qudrt pproximiert werden knn. Für die 3-Punkt Guß-Legendre Formel erhlten wir rechtsstehende Knoten im Dreieck. Numerische Integrtion Kubtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 108 Zusmmengesetzte Kubturformeln Ht mn ein beschränktes Gebiet Ω R 2 vollständig oder näherungsweise in Dreiecke oder Rechtecke {K i } N i=1 zerlegt, so knn mn gemäß I = Ω f(x, y) dxdy = N i=1 K i f(x, y) dxdy mit Hilfe einer Kubturformel für Dreiecke bzw. Rechtecke I beliebig genu pproximieren, sofern die Zerlegung nur hinreichend fein gewählt ist. Von einer zulässigen Zerlegung verlngt mn, dss Ω = N i=1 K i und dss K i K j für i j entweder leer ist oder nur us gemeinsmen Rndpunkten besteht. Folgende Bilder zeigen Beispiele für Tringulierungen, d.h. Zerlegungen in Dreiecke. Numerische Integrtion Kubtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 109 Tringulierung eines Polygons: Numerische Integrtion Kubtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 110 Tringulierung des Außengebiets eines Trgflächenquerschnitts. Numerische Integrtion Kubtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 111 Durch die ffine Trnsformtion [ ] [ ] ξ x(ξ, η) [ x1 ] [ x2 x 1 x 3 x 1 ] [ ξ ] ϕ : η y(ξ, η) = y 1 + y 2 y 1 y 3 y 1 η wird ds gleichschenklig rechtwinklige Referenzdreieck K bijektiv uf ein bel. Dreieck K Ω bgebildet mit (0, 0) P 1 = (x 1, y 1 ), (1, 0) P 2 = (x 2, y 2 ), (0, 1) P 3 = (x 3, y 3 ). η 1 K ξ 0 1 ϕ y P 3 K P 1 x P 2 Numerische Integrtion Kubtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 112 Mit Hilfe der Substitutionsregel f(x, y) dxdy = f(ϕ(ξ, η)) det ϕ dξdη = D K K K f(ϕ(ξ, η)) dξdη, wobei D = det ϕ := det [ x2 x 1 x 3 x 1 y 2 y 1 y 3 y 1 die Funktionldeterminnte von ϕ ist, lssen sich lle Einzelintegrle K i f(x, y) dxdy uf Integrle über K zurückführen. Es genügt dher, Integrle der Burt g(ξ, η) dξdη zu pproximieren. K ] Numerische Integrtion Kubtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 113 Wir betrchten einige Kubturformeln g(ξ, η) dξdη K n γ i g(ξ i, η i ) i=1 für ds Referenzdreieck K. Beispiel 4.7 Die Schwerpunktregel g(ξ, η) dξdη 1 2 g( 1 3, ) 1 3 besitzt den Exktheitsgrd 1. K Numerische Integrtion Kubtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 114 Beispiel 4.8 Die Formel g(ξ, η) dξdη 1 6 K [ g(0, 1 2 ) + g( 1 2, 1 2 ) + g(0, 1 2 )], kompkter: i ξ i η i γ i 1 1/2 0 1/6 2 0 1/2 1/6 3 1/2 1/2 1/6, besitzt den Exktheitsgrd 2. Symbolisch: 1/6 1/6 1/6 Numerische Integrtion Kubtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 115 Beispiel 4.9 Die Formel K g(ξ, η) dξdη 7 k=1 γ ig(ξ i, η i ) mit i ξ i η i γ i 1 0 0 1/40 2 1 0 1/40 3 0 1 1/40 4 1/2 0 1/15 5 1/2 1/2 1/15 6 0 1/2 1/15 7 1/3 1/3 27/120 besitzt den Exktheitsgrd 3. Numerische Integrtion Kubtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 116 Die Monte-Crlo Methode Bei der Approximtion sehr hochdimensionler mehrfcher Integrle sind die bisher beschriebenen Methoden zu ufwendig. Hier ht sich ein stochstisches Simultionsverfhren, die sog. Monte-Crlo Methode, ls letztes Mittel bewährt. Hierbei wird der Integrnd n einer großen Zhl N Stützstellen mit konstntem Gewicht 1/Volumen(Ω) usgewertet, wobei die Stützstellen durch einen Zufllsgenertor erzeugt werden. Mn knn Aussgen beweisen über die Whrscheinlichkeit, dss der Wert des Integrls innerhlb einer vorgegebenen Schrnke von der so berechneten Approximtion liegt. Typisches Verhlten des Fehlers ist, unbhängig von der Rumdimension, eine Konvergenzrte von I N I = O(N 1/2 ). Numerische Integrtion Kubtur TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010

Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 117 Ziele von Kpitel 4 Sie sollten einfche Newton-Cotes-Formeln und die zugehörigen zusmmengesetzten Integrtionsregeln nwenden können. Außerdem sollten Sie die Qulität dieser Qudrturformeln in konkreten Anwendungen bschätzen können. Sie sollten die wesentlichen Unterschiede zwischen Newton-Cotesund Guß-Formeln kennen. Sie sollten verstnden hben, ws mn unter einer zusmmengesetzten Kubturformel versteht und wie eine solche Formel bei gegebener Tringulierung eingesetzt wird. Numerische Integrtion Ziele TU Bergkdemie Freiberg, SS 2010