34 Adreas Gathma Grudlage der Mathemati 1: Aalysis 4. Weitere Eigeschafte der reelle Zahle Wir habe us u das elemetare Hadwerszeug für diese Vorlesug erarbeitet ud begie jetzt mit dem Studium der eidimesioale Aalysis. Wer sich auch (bzw. zurzeit ur für die lieare Algebra iteressiert, a ab diesem Zeitput auch zusätzlich (bzw. ausschließlich de Teil Grudlage der Mathemati 1: Lieare Algebra i de Kapitel 13 bis?? durcharbeite. Hier i diesem Kapitel wolle wir zuächst ach de gerade behadelte elemetare Eigeschafte der reelle Zahle och ei paar weitere utersuche, die vor allem i der Aalysis ützlich sid. Uter aderem wird sich daraus am Ede dieses Kapitels auch eie vollstädige Charaterisierug der reelle Zahle ergebe. 4.A Poteze i Körper Wir begie mit zwei weitere oft vorommede Formel zu Poteze, die sich allei aus de Eigeschafte aus Abschitt 3.A herleite lasse ud somit icht ur i de reelle Zahle, soder sogar i beliebige Körper gelte. Die erste die sogeate (edliche geometrische Reihe ermöglicht es, de Wert eier Summe fortlaufeder Poteze eies Körperelemets explizit zu bereche. Satz 4.1 (Edliche geometrische Reihe. Es seie K ei Körper, q K\{1} ud N. Da gilt 0 q 1 q+1 1 q. Beweis. Der Beweis ist sehr eifach ud hilft auch dabei, sich die Formel zu mere: Multipliziere wir die gesuchte Summe 0 q 1+q+q 2 + +q mit 1 q, so hebe sich fast alle Terme weg ud wir erhalte sofort das gewüschte Ergebis: Es ist ud damit für q 1 wie behauptet Beispiel 4.2. I R ist z. B. (1 + q + q 2 + + q (1 q 1 + q + q 2 + + q 0 1 + 2 + 4 + 8 + 16 q q 2 q q +1 1 q +1, q 1 q+1 1 q. 4 0 2 4.1 1 25 1 2 31 1 31. Die zweite Formel, die wir hier behadel wolle, ist die sogeate biomische Formel, die eie Verallgemeierug der aus der Schule beate Formel (x + y 2 x 2 + 2xy + y 2 auf höhere Expoete darstellt. Dazu beötige wir zuächst die folgede Defiitio. Defiitio 4.3 (Faultät ud Biomialoeffiziete. Für N setze wir! : i1 i 1 2 N (gesproche -Faultät,
4. Weitere Eigeschafte der reelle Zahle 35 wobei 0! gemäß Notatio 3.9 (c als 1 zu verstehe ist. Für, N mit defiiert ma ferer die Biomialoeffiziete (! : (gesproche über,!(! die so geat werde, weil sie i der biomische Formel i Satz 4.7 auftrete. Sie sid aufgrud der Defiitio zuächst ratioale Zahle; wir werde aber i Bemerug 4.6 sehe, dass sie sogar atürliche Zahle sid. Bemerug 4.4. (a Offesichtlich ist ( ( 0 ( 1 ud ( für alle, N mit. (b Ma a im defiierede Ausdruc für ( die Fatore vo 1 bis ürze ud erhält damit die alterative Darstellug der Biomialoeffiziete (! 1 ( ( + 1 ( + 1,!(! (1 (1 ( 1 d. h. ( ist ei Bruch mit Zahle im Zähler ud Zahle im Neer, wobei ( ma im Zähler vo ach ute ud im Neer vo 1 ach obe zählt. So ist z. B. 1 1 ud ( 2 ( 1 1 2 ( 1 2. Die wichtigste Idetität zwische de Biomialoeffiziete ist die folgede: Lemma 4.5. Für alle, N mit 1 gilt ( ( + ( 1 +1. Beweis. Dies ergibt sich durch eifaches Nachreche mit der Darstellug aus Bemerug 4.4 (b: ( ( ( + 1( + 2 ( + 2 + + 1 1 1 ( 1 ( + 1( + 2 + ( + 2 1 ( + 1 ( + 2 ( + 1 1. Bemerug 4.6 (Pascalsches Dreiec. Ma a die Biomialoeffiziete ( wie folgt i eiem dreiecige Schema, dem sogeate Pascalsche Dreiec, aorde. ( 0 0 1 ( 1 ( 1 0 1 ( 2 ( 2 ( 2 0 1 2 ( ( 1 + ( +1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 + 1 4 6 4 1 Nach Bemerug 4.4 (a stehe auf de Scheel dieses Dreiecs ur Eise, ud ach Lemma 4.5 ergibt sich jede adere Zahl i diesem Diagramm als die Summe der beide darüber stehede. Isbesodere folgt daraus, dass alle Biomialoeffiziete atürliche Zahle sid was aus der Defiitio aufgrud des Bruches ja icht offesichtlich ist. Wir öe sie damit für jede Körper K gemäß Notatio 3.9 (d als Elemete vo K auffasse (was wir gleich i Satz 4.7 auch tu werde.
36 Adreas Gathma Mit dieser Vorarbeit öe wir u die sehr wichtige biomische Formel beweise. Ihr Name ommt übriges vo der lateiische Vorsilbe bi für zwei : Ei Biom ist eie Summe, die aus zwei Terme besteht, ud die biomische Formel berechet die Poteze eies solche Bioms. Satz 4.7 (Biomische Formel. Es seie K ei Körper, x,y K ud N. Da gilt (x + y ( x y. 0 Beweis. Wir beweise die Formel mit Idutio über. Für 0 sid beide Seite der Gleichug 1; die Aussage ist i diesem Fall also richtig. Für de Idutiosschritt ehme wir u a, dass die Gleichug für ei gegebees N richtig ist, ud folger daraus zuächst (x + y +1 (x + y (x + y ( (x + y x y 0 ( x +1 y + 0 0 ( x y +1 + 1 +1 1 ( x y +1 0 ( x y +1 (ach Idutiosvoraussetzug (durch Ausmultipliziere (Idexverschiebug 1 i der erste Summe, siehe Notatio 3.9 (c. Löse wir hier u aus der erste Summe de Term für + 1 ud aus der zweite de für 0 heraus, so öe wir diese Ausdruc auch schreibe als (x + y +1 [( ( ] ( ( + x y +1 + x +1 y 0 + x 0 y +1 1 1 0 ( + 1 x y +1 + x +1 + y +1 (ach Lemma 4.5. 1 Die letzte beide Summade x +1 ud y +1 sid hier aber geau diejeige, die sich i der vordere Summe ergebe, we ma + 1 bzw. 0 setzt. Also öe wir die Summe über gleich über alle Werte vo 0 bis + 1 laufe lasse ud erhalte (x + y +1 +1 0 ( + 1 x y +1, also geau die zu zeigede Gleichug für die Potez + 1. Die biomische Formel ist damit durch Idutio bewiese. Bemerug 4.8 (Kombiatorische Deutug der Biomialoeffiziete. Ma a sich die biomische Formel atürlich auch so etstade dee, dass ma de Ausdruc (x + y (x + y (x + y }{{} -mal ach dem Distributivgesetz ausmultipliziert. Im Fall 3 erhalte wir z. B. zuächst ohe Verwedug der Kommutativität der Multipliatio (x + y 3 (x + y (x + y (x + y (x + y (xx + xy + yx + yy xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy. ( Isgesamt beomme wir also eie Summe aus Produte mit jeweils Fatore x oder y. Jede Möglicheit, alle diese Fatore separat als x oder y zu wähle, ommt dabei geau eimal vor. Fasse wir u mit der Kommutativität der Multipliatio gleiche Terme zusamme, so erhalte wir de Term x y also geau so oft, wie wir Möglicheite habe, aus de Fatore die auszuwähle, die gleich x sei solle. I ( obe beomme wir z. B. de Term xy 2 dreimal, ämlich
4. Weitere Eigeschafte der reelle Zahle 37 aus xyy, yxy ud yyx. Nach der biomische Formel ist der Vorfator vo x y i (x + y aber gerade (. Daher ist dieser Biomialoeffiziet geau die Azahl der Möglicheite, aus Objete (hier: Fatore auszuwähle (hier: diejeige, bei dee wir x gewählt habe. Ma a sich die biomische Formel also als algebraische Formulierug dieser ombiatorische Aussage vorstelle. Aufgabe 4.9. (a Beweise für alle, N mit die Gleichug ( m m (b Zeige mit Idutio über, dass die Gleichug ( + 1 + 1 x 1 + + x d für gegebees N >0 ud d N geau ( +d 1 1 Lösuge (x1,...,x i atürliche Zahle x 1,...,x besitzt. Aufgabe 4.10. Es sei f : N R ei Polyom vom Grad d N. (a Zeige, dass es ei Polyom g: N R vo leierem Grad (oder das Nullpolyom ud ei c R\{0} gibt, so dass ( + d f ( c + g( für alle N. d (b Zeige, dass die Summefutio F : N R, 0 f ( ei Polyom vom Grad d + 1 ist. (c Nach (b ist N R, 0 7 ei Polyom vom Grad 8. Was ist sei Leitoeffiziet? Aufgabe 4.11. Es sei N. Zeige, dass das reelle Polyom x x + x 1 + + x + 1 geau da eie Nullstelle besitzt, we ugerade ist. Was ist i diesem Fall ihre Vielfachheit?. 4.B Geordete Körper Wir habe bisher vo de reelle Zahle ur die Körpereigeschafte, also die Eigeschafte der vier Grudrechearte ausgeutzt ud dabei z. B. i Beispiel 3.6 (b gesehe, dass es außer de reelle Zahle auch och gaz adere (ud i der Tat sogar sehr viele Körper gibt. Wir müsse also och weitere Eigeschafte aufliste, um die reelle Zahle eideutig zu charaterisiere. Dies wolle wir im Rest dieses Kapitels tu. Eie Eigeschaft der reelle Zahle, die wir bisher völlig verachlässigt habe, ist, dass ma sie orde a, also dass ma zwei Zahle der Größe ach vergleiche a. Die Eigeschafte dieser Ordugsrelatio werde im Begriff des sogeate geordete Körpers formalisiert. Defiitio 4.12 (Geordete Körper. Ei Körper K heißt geordeter oder ageordeter Körper, we i ihm eie Mege P K (die Mege der positive Zahle ausgezeichet ist, so dass die folgede drei Eigeschafte gelte: (a Für alle x K gilt geau eie der drei Eigeschafte x 0, x P oder x P. (Im zweite Fall et ma x eie positive Zahl, im dritte eie egative Zahl. (b Für alle x,y P ist x + y P ( die Summe zweier positiver Zahle ist positiv. (c Für alle x,y P ist xy P ( das Produt zweier positiver Zahle ist positiv. I diesem Fall schreibt ma x < y oder y > x falls y x P, ud x y oder y x falls y x P oder y x. (Isbesodere ist also x > 0 geau da we x P, ud x < 0 geau da we x P; außerdem gilt ach (a für x,y K stets geau eie der Aussage x y, x < y oder y < x.
38 Adreas Gathma 06 Beispiel 4.13. (a R ist ei geordeter Körper (was wir hier wiederum axiomatisch voraussetze wolle. Net ma i der Teilmege Q vo R geau die Zahle positiv, die es auch i R sid, so ist damit auch Q ei geordeter Körper. (b Der Körper Z 2 aus Beispiel 3.6 (b a icht zu eiem geordete Körper gemacht werde: Das Elemet 1 u ist icht gleich 0, also müsste ach Defiitio 4.12 (a geau eie der beide Eigeschafte 1 P ud 1 P gelte. Dies ist aber umöglich, da wege 1+1 0 i Z 2 die Gleichug 1 1 gilt. Bemerug 4.14 (Partielle ud totale Orduge. Ist K ei geordeter Körper, so ist wie i Defiitio 4.12 atürlich eie Relatio auf K im Sie vo Defiitio 2.1. Sie besitzt die folgede Eigeschafte für alle x, y, z K: (a Reflexivität: Es gilt x x. (b Atisymmetrie: Ist x y ud y x, so folgt x y. (c Trasitivität: Gilt x y ud y z, so folgt auch x z. (d Totalität: Es gilt (midestes eie der Aussage x y ud y x. (Mit adere Worte: Zwei beliebige Elemete vo K sid stets miteiader vergleichbar. I der Tat folgt (a umittelbar aus Defiitio 4.12. Da x y ach Defiitio äquivalet zu y x P oder y x 0 ist, ud y x zu (y x P oder y x 0, ergebe sich (b ud (d außerdem aus Defiitio 4.12 (a. Die Aussage (c schließlich ist trivial falls x y oder y z; aderfalls gilt y x P oder z y P, ud damit z x (y x+(z y P, also x < z, ach Defiitio 4.12 (b. Auf eier beliebige Mege K (die also icht otwedig ei Körper ist et ma eie Relatio mit de Eigeschafte (a, (b ud (c eie partielle Ordug. Gilt zusätzlich och (d, so heißt eie (totale Ordug auf K. Jeder geordete Körper K liefert also eie totale Ordug auf K. Das Stadardbeispiel für eie partielle Ordug auf eier Mege ist die Teilmegerelatio auf der Potezmege P(M eier beliebige Mege M: Sid A, B,C P(M Teilmege vo M, so gilt atürlich A A; aus A B ud B A folgt A B; ud aus A B ud B C folgt A C. Diese partielle Ordug ist aber i der Regel icht total: Für M N sid die Teilmege A {0} ud B {1} icht vergleichbar, de es gilt weder A B och B A. Wie scho bei de Körper wolle wir u auch hier für eie geordete Körper urz die wichtigste Eigeschafte ableite, die aus der Defiitio folge (ud die euch für die reelle Zahle sicher beat sid. Wir werde sie im Folgede verwede, ohe jedesmal darauf hizuweise. Lemma 4.15. Für alle x,y,z i eiem geordete Körper K gilt: (a Ist x < y, so folgt x + z < y + z. (b Ist x < y ud z > 0, so gilt auch xz < yz. Ist dagege x < y ud z < 0, so folgt xz > yz. (Ugleichuge drehe sich also bei der Multipliatio mit eier egative Zahl um. (c Gilt x 0, so ist x 2 > 0. Isbesodere ist also 1 > 0. (d We 0 < x < y, da folgt 0 < y 1 < x 1. Etsprechede Aussage gelte atürlich auch für die icht-strite Ugleichuge bzw.. Beweis. (a Ist x < y, also y x P, so ist auch (y + z (x + z y x P, also x + z < y + z. (b Gilt wieder y x P ud z P, so folgt aus Defiitio 4.12 (c auch (y xz yz xz P, also xz < yz. Ist higege z < 0, also z P, so gilt diesmal (y x( z xz yz P, also yz < xz. (c Ist x P, so ist atürlich auch x 2 P ach Defiitio 4.12 (c. Ist x P, so folgt geauso x 2 ( x 2 P. Also ist für x 0 i jedem Fall x 2 > 0. Isbesodere ist damit 1 1 1 > 0.
4. Weitere Eigeschafte der reelle Zahle 39 (d Gilt x P, so folgt aus (c ud Defiitio 4.12 (c zuächst x 1 x (x 1 2 P, also x 1 > 0. Geauso ergibt sich y 1 > 0. Ist u x < y, so folgt aus (b durch Multipliatio mit der positive Zahl x 1 y 1 die Ugleichug xx 1 y 1 < yx 1 y 1, also y 1 < x 1, was zu zeige war. Notatio 4.16 (Itervalle ud Betrag. Die folgede Notatioe verwedet ma häufig i eiem geordete Körper K. (a Sid a,b K mit a b, so defiiert ma die folgede Teilmege vo K: [a,b] : {x K : a x b} (abgeschlossee bzw. ompate Itervalle; (a,b : {x K : a < x < b} (offee Itervalle; [a,b : {x K : a x < b} (halboffee Itervalle; [a, : {x K : a x} (ueigetliche Itervalle; ud aalog atürlich (a,b], (a,, (,b] ud (,b. We wir derartige Itervalle im Fall K R graphisch darstelle, deute wir wie im Bild ute meistes durch Ruduge a de Itervallgreze a, ob die Radpute mit dazugehöre solle oder icht. (b Für x K defiiere wir de Betrag vo x als { x falls x 0, x : x falls x 0. Im Fall K R sieht die Betragsfutio atürlich wie im folgede Bild rechts aus. x a (a,b b R a [a, R 1 1 x Die wichtigste beide Eigeschafte der Betragsfutio sid ihre Verträglicheit mit Additio ud Multipliatio: Lemma 4.17 (Eigeschafte der Betragsfutio. Für alle x, y i eiem geordete Körper K gilt: (a xy x y. (b x x. (c x + y x + y. Diese Ugleichug bezeichet ma als Dreiecsugleichug wir werde i Bemerug???? sehe, warum. Beweis. (a Wir mache eie Falluterscheidug je ach Vorzeiche vo x ud y. Ist z. B. x 0 ud y 0, so ist xy 0 ud damit ach Defiitio des Betrages x x, y y ud xy xy. Zusammesetze dieser Gleichuge ergibt die Behauptug xy xy x ( y x y. Die adere Fälle der mögliche Vorzeicheverteiluge beweist ma geauso. (b Für x 0 ist x 0 x ; für x 0 ist x x. (c Nach (b, agewedet auf x ud y, gilt (mit Lemma 4.15 (a Wede wir (b higege auf x ud y a, so folgt auch x + y x + y. (1 x y x + y x + y. (2 Aber x + y ist i jedem Fall eie der beide Zahle x + y oder x y. Damit folgt die Behauptug x + y x + y aus (1 ud (2.
40 Adreas Gathma Bemerug 4.18 (Dreiecsugleichug ach obe ud ute. Die Dreiecsugleichug aus Lemma 4.17 (c schätzt de Betrag x+y eier Summe ach obe ab. Offesichtlich gilt im Allgemeie eie Gleichheit, wie das Beispiel x 1, y 1 zeigt: Hier ist x + y 0 < 2 x + y. Eie Abschätzug ach ute a ma erhalte, idem ma Lemma 4.17 (c auf die Zahle x + y ud y awedet: Ma erhält da ämlich x (x + y y x + y + y x + y + y ud damit x + y x y. Isgesamt habe wir also für alle x, y K x y x + y x + y. Eie weitere Awedug der Eigeschafte eies geordete Körpers ist die folgede Ugleichug, die oftmals da ützlich ist, we die Größe vo Poteze x mit der vo Produte x vergliche werde soll. Satz 4.19 (Beroullische Ugleichug. Es seie K ei geordeter Körper, x K mit x 1, ud N. Da gilt (1 + x 1 + x. Beweis. Wir zeige die Aussage mit Idutio über. Das Bild rechts ute veraschaulicht die Ugleichug im Fall K R ud 2. Der Idutiosafag für 0 ist lar: da sid beide Seite gleich 1, die Ugleichug ist also erfüllt. Für de Idutiosschritt ehme wir u a, dass (1 + x 1 + x für alle x 1 ud ei gegebees N gilt. Mit Lemma 4.15 (b öe wir diese Ugleichug mit der ach Voraussetzug icht-egative Zahl 1+x multipliziere ud erhalte (1 + x +1 (1 + x(1 + x 1 + ( + 1x + x 2. 1 1 (1 + x 2 1 + 2x x Nach Lemma 4.15 (c ist u x 2 0 ud damit (1 + x +1 1 + ( + 1x, was zu zeige war. Aufgabe 4.20. Für welche x,y R bzw. N gelte die folgede Ugleichuge? 2xy (a x + y x + y 4 ( 2 ( (b 2 2 + 1 < < 4 (c! < 2 4.C Supremum ud Ifimum Wie bereits ageüdigt wolle wir i diesem Abschitt u edlich eie eideutige axiomatische Charaterisierug der reelle Zahle agebe. Bisher habe wir ur gesehe, dass R ei geordeter Körper ist. Aber auch Q ist ei geordeter Körper, ud daher müsse wir och utersuche, wie sich R vo Q uterscheidet. Um diese Uterschied zu sehe, müsse wir us aschaue, ob Teilmege eies geordete Körpers K größte bzw. leiste Elemete habe. Natürlich öe wir zuächst auf die offesichtliche Art das Maximum ud Miimum zweier Elemete x,y K defiiere, ämlich durch max(x,y : { x falls x y, y falls y x ud mi(x, y : { x falls x y, y falls y x. Aalog a ma auch das Maximum ud Miimum vo mehr als zwei Zahle defiiere, sofer es ur edlich viele sid. Betrachte wir dagege eie (uedliche Teilmege M K, so öe wir i der Regel icht mehr erwarte, dass M ei leistes bzw. größtes Elemet hat, allei scho weil die Mege da i folgedem Sie ubeschrät sei a: Defiitio 4.21 (Beschräte Mege. Es sei M eie Teilmege eies geordete Körpers K.
4. Weitere Eigeschafte der reelle Zahle 41 (a Ei Elemet s K heißt obere Schrae für M, we x s für alle x M. Existiert eie solche obere Schrae für M, so et ma M ach obe beschrät. Aalog defiiert ma de Begriff eier utere Schrae bzw. eier ach ute beschräte Mege. (b Die Mege M heißt beschrät, we sie ach obe ud ute beschrät ist, oder äquivalet dazu we die Mege ihrer Beträge beschrät ist, also we es ei s K gibt mit x s für alle x M. Beispiel 4.22. Es sei M (,1 {x R : x < 1} R. (a Die Mege M ist ach obe (aber icht ach ute beschrät, de s 1 ist eie obere Schrae für M. Geauso ist auch s 2 eie obere Schrae für M, auch we ma aschaulich vielleicht sage würde, dass diese Schrae icht so gut ist, weil x 2 für alle x M eie schwächere Aussage ist als x 1 für alle x M. (b Ist s M, also s < 1, so gilt für de Mittelput x : s+1 2 zwische s ud 1 wie im Bild rechts atürlich x s + 1 > s + s s ud x s + 1 < 1 + 1 1. 2 2 2 2 Hieraus ergebe sich sofort zwei eifache Folgeruge: M 1 Es gibt eie größte Zahl i M (de zu s M liegt die größere Zahl x wege x < 1 ebefalls och i M. Die leiste obere Schrae für M ist 1 (de s < 1 a eie obere Schrae sei, da x > s ebefalls och i M liegt. Die Zahl 1 a damit als Obergreze der Zahle i M agesehe werde, auch we sie ei Elemet vo M ud daher eie größte Zahl i M ist. Dieses Kozept wolle wir jetzt exat defiiere. Defiitio 4.23 (Supremum ud Ifimum. Es sei M eie Teilmege eies geordete Körpers K. (a Eie Zahl s K heißt Supremum vo M, we s eie leiste obere Schrae für M ist, d. h. we gilt: s ist eie obere Schrae für M; ud für jede obere Schrae s für M gilt s s. (b Eie Zahl s K heißt Maximum vo M, we s eie obere Schrae für M i M ist, d. h. we gilt: s ist eie obere Schrae für M; ud s M. Aalog heißt s K ei Ifimum vo M, we s eie größte utere Schrae für M ist, ud Miimum, we s eie utere Schrae für M i M ist. Bemerug ud Notatio 4.24 (supm, maxm, ifm, mim. (a Jedes Maximum s eier Mege M ist auch ei Supremum vo M: Ist da ämlich s K eie weitere obere Schrae, so folgt wege s M atürlich sofort s s. (b We die Mege M ei Supremum besitzt, da ist es eideutig bestimmt: Sid ämlich s 1 ud s 2 zwei leiste obere Schrae, so folgt ach Defiitio 4.23 (a sofort s 1 s 2 (weil s 1 eie leiste obere Schrae ud s 2 auch eie obere Schrae ist ud s 2 s 1 (weil s 2 Supremum ud s 1 auch eie obere Schrae ist, also s 1 s 2. Nach (a ist damit auch ei Maximum vo M eideutig bestimmt, falls es existiert. We ei Supremum oder Maximum vo M existiert, öe wir also vo dem Supremum bzw. dem Maximum vo M rede. Wir bezeiche es da mit supm bzw. maxm. (c Aalog sid atürlich auch Ifimum ud Miimum vo M eideutig bestimmt, sofer sie existiere; wir bezeiche sie da mit ifm bzw. mim. s x R
42 Adreas Gathma Beispiel 4.25. (a Die Mege M (,1] R hat offesichtlich das Maximum 1. Nach Bemerug 4.24 (a ist 1 damit auch das Supremum vo M, d. h. es ist supm maxm 1. (b Das Itervall M (,1 R hat ach Beispiel 4.22 (b ei Maximum, aber es gilt supm 1. (c Das Itervall M (1, besitzt ei Supremum (ud damit auch ei Maximum, da M ach obe ubeschrät ist, also icht eimal irgedeie obere Schrae für M existiert isbesodere also eie leiste. Auch die leere Mege hat ei Supremum, weil für sie jede reelle Zahl eie obere Schrae ist ud damit eie leiste obere Schrae existiert. Aalog ergebe sich atürlich Supremum, Maximum, Ifimum ud Miimum vo alle Itervalle aus Beispiel 4.16 (a. Aufgabe 4.26. Es seie A ud B zwei Teilmege eies geordete Körpers K, die ei Supremum supa bzw. supb besitze. Setze wir A+B : {x+y : x A,y B} ud A : { x : x A}, so zeige ma, dass auch die folgede Suprema ud Ifima existiere ud die behauptete Werte habe: (a sup(a B max(supa,supb. (b if( A supa. (c sup(a + B supa + supb. Usere bisherige Fälle vo Mege ohe Supremum i Beispiel 4.25 (c ware letztlich trivial also die leere Mege sowie Mege, die überhaupt eie obere Schrae besitze. Ist es auch möglich, dass eie Mege zwar icht leer ud ach obe beschrät ist, aber trotzdem eie leiste obere Schrae hat? I der Tat ist dies i R im Gegesatz zu Q icht möglich, ud wie wir sehe werde ist geau dies der wesetliche Uterschied zwische diese beide Körper. Wir defiiere daher zuächst: Defiitio 4.27 (Supremumsaxiom. Wir sage, dass ei geordeter Körper das Supremumsaxiom erfüllt, we jede icht leere, ach obe beschräte Mege ei Supremum besitzt. (Natürlich besitzt da ach Aufgabe 4.26 (b auch jede icht leere, ach ute beschräte Mege ei Ifimum. Die reelle Zahle erfülle also dieses Supremumsaxiom das werde wir i dieser Vorlesug axiomatisch voraussetze, ud das ist u edlich auch die letzte Eigeschaft der reelle Zahle, die wir beötige. We wir dieses ud das voragegagee Kapitel zusammefasse, setze wir u also isgesamt über die reelle Zahle voraus: R ist ei geordeter Körper, der das Supremumsaxiom erfüllt. Wie scho i Notatio 1.15 gesagt, a ma die Existez der reelle Zahle auch aus de Axiome der Logi ud Megelehre herleite ud da ist es atürlich ei beweisbarer Satz, dass R ei geordeter Körper ist, der das Supremumsaxiom erfüllt. Ma a sogar och mehr zeige, ämlich dass diese Eigeschafte die reelle Zahle auch vollstädig charaterisiere: R ist i der Tat der eizige geordete Körper, der das Supremumsaxiom erfüllt. Der Beweis dieser Aussage ist jedoch sehr schwierig ud soll hier icht gegebe werde, zumal wir diese Aussage auch icht beötige werde. Wir werde lediglich i Bemerug 4.35 och sehe, dass Q das Supremumsaxiom i der Tat icht erfüllt. Für us bedeutet diese Tatsache letztlich ur, dass wir ab jetzt alles, was wir mit de reelle Zahle tu möchte, ausschließlich auf de Axiome eies geordete Körpers ud dem Supremumsaxiom aufbaue öe ud werde. Wir wolle u ei paar erste elemetare Folgeruge aus dem Supremumsaxiom ziehe. Seie wahre Stäre wird dieses Axiom jedoch erst im ächste Kapitel bei der Utersuchug vo Grezwerte vo Folge zeige.
4. Weitere Eigeschafte der reelle Zahle 43 Lemma 4.28 (R ist archimedisch geordet. Die Teilmege N {0,1,2,...} R ist ach obe ubeschrät. Beweis. Ageomme, N wäre ach obe beschrät. Da würde ach dem Supremumsaxiom s : supn R existiere. Da s die leiste obere Schrae ist, ist s 1 eie obere Schrae; es gibt also ei N mit > s 1. Da ist aber + 1 N mit + 1 > s, im Widerspruch dazu, dass s eie obere Schrae für N ist. Bemerug 4.29. Eie eifache, aber oft verwedete Folgerug aus Lemma 4.28 ist, dass es zu jeder positive Zahl x R >0 ei N >0 gibt mit 1 < x: Da N ach obe ubeschrät ist, ist isbesodere 1 x eie obere Schrae für N; also gibt es ei N mit > 1 x ud damit mit 1 < x. Aufgabe 4.30. Bestimme Supremum, Ifimum, Maximum ud Miimum (sofer sie existiere der Mege { } m + M m : m, N >0 R. Folgerug 4.31. Jede icht-leere, ach obe beschräte Teilmege vo Z hat ei Maximum. Etspreched hat jede icht-leere, ach ute beschräte Teilmege vo Z ei Miimum. Isbesodere hat also jede icht-leere Teilmege vo N ei Miimum. (Ma sagt dafür auch: N ist wohlgeordet. 07 Beweis. Es sei M Z icht-leer ud ach obe beschrät, mit oberer Schrae s. Nach Lemma 4.28 gibt es weiterhi eie atürliche Zahl b > s, die da atürlich ebefalls eie obere Schrae für M ist. Ist a M u ei beliebiges Elemet, so ist M a M {a,a + 1,...,b} eie icht-leere edliche Mege, die demzufolge atürlich ei Maximum besitzt. Alle adere Zahle vo M sid aber och leier als a, so dass dieses Maximum also auch das Maximum vo M ist. Bemerug 4.32 (Gaußlammer. Nach Folgerug 4.31 a ma für alle x R die Zahl x : max{ Z : x} defiiere, da die Mege aller Z mit x ach Lemma 4.28 icht leer ist (es gibt ja ei N mit x, wir öe da setze, ud atürlich durch x ach obe beschrät. Als die größte gaze Zahl leier oder gleich x a ma sie sich als Abrudug vo x vorstelle; es ist also z. B. 7 3 ud 2 7 4. 2 Folgerug 4.33 (Q liegt dicht i R. Jedes icht-leere offee Itervall (a, b i R ethält eie ratioale Zahl. Beweis. Nach Bemerug 4.29 gibt es ei N >0 mit 1 < b a. Weiterhi ist die Mege M : { Z : } > a { Z : > a} ach Lemma 4.28 icht-leer ud durch a ach ute beschrät, ud besitzt damit ach Folgerug 4.31 ei Miimum. Für dieses Miimum gilt also: (a M ud damit > a; (b 1 / M ud damit 1 a, d. h. 1 + 1 < a + (b a b. Also ist eie ratioale Zahl im offee Itervall (a,b.
44 Adreas Gathma Als eie Kosequez aus dieser Folgerug wolle wir wie bereits ageüdigt u sehe, dass die ratioale Zahle das Supremumsaxiom icht erfülle, dass hier also der etscheidede Uterschied zwische Q ud R liegt. Wir utersuche dazu zuächst, ob es eie Quadratwurzel aus 2 gibt, also eie (positive Zahl x mit x 2 2. Lemma 4.34 (Irratioalität vo 2. Es gibt eie ratioale Zahl x Q mit x 2 2. Beweis. Ageomme, es gäbe eie ratioale Zahl x Q mit x 2 2. Wir öe x als geürzte Bruch x p q (mit p,q Z ud q 0 schreibe ud erhalte x 2 p2 q 2 2, also p2 2q 2. ( Also muss p 2 ud damit auch p selbst eie gerade Zahl, d. h. durch 2 teilbar sei. Wir öe daher p 2r für eie gaze Zahl r Z setze. Eisetze i ( liefert (2r 2 2q 2, also q 2 2r 2. Aber da muss auch q 2 ud damit q eie gerade Zahl sei was ei Widerspruch dazu ist, dass die Darstellug vo x als Bruch p q als geürzt vorausgesetzt worde ist. Wie ihr aus der Schule wisst, gibt es aber i de reelle Zahle R eie Wurzel 2 aus 2. Da usere Axiome, dass R ei geordeter Körper ist, der das Supremumsaxiom erfüllt, die reelle Zahle ja vollstädig beschreibe, öte wir die Existez dieser Wurzel jetzt sogar aus usere Axiome beweise (die Mege {x R : x 2 < 2} ist offesichtlich eie icht-leere, ach obe beschräte Mege, die demzufolge ei Supremum s besitzt ud für dieses Supremum a ma zeige, dass s 2 2 gilt, also dass s eie Wurzel aus 2 ist. Dieser Beweis ist jedoch recht techisch, ud da wir i Folgerug?? ohehi die Existez reeller Quadratwurzel aus beliebige icht-egative Zahle aus usere Axiome beweise werde, wolle wir hier darauf verzichte ud für die folgede Bemerug der Eifachheit halber aehme, dass 2 i R existiert, zumal wir diese Bemerug im Folgede icht verwede werde. Bemerug 4.35 (Q erfüllt das Supremumsaxiom icht. Es sei M : {x Q : x < 2}. Diese Mege ist offesichtlich icht leer (de 0 M ud ach obe beschrät (z. B. mit oberer Schrae 2. Würde Q das Supremumsaxiom erfülle, müsste sie also ei Supremum s : supm Q besitze. Nach Lemma 4.34 ist damit s 2 ausgeschlosse, also a ur s < 2 oder s > 2 gelte. Aber beides führt sofort zum Widerspruch: s < 2 a eie obere Schrae für M sei, de ach Folgerug 4.33 gäbe es da eie ratioale Zahl q (s, 2, also mit q M, aber q > s. s > 2 a eie leiste obere Schrae für M sei, de wieder ach Folgerug 4.33 gäbe es u eie ratioale Zahl q ( 2,s, die leier ist als s, aber immer och eie obere Schrae für M (da aus x M, also x < 2, ja sofort auch x < q folgt. Also erfüllt Q icht das Supremumsaxiom. Bemerug 4.36 (Ueigetliche Suprema. Nach dem Supremumsaxiom existiert das Supremum supm für jede icht leere, ach obe beschräte Teilmege M R. Um diese Notatio auf beliebige icht-leere Teilmege vo R zu erweiter, schreibt ma für ach obe ubeschräte Teilmege M vo R oft formal supm ud et dies ei ueigetliches Supremum. Dies hat de Vorteil, dass viele Aussage über Suprema wie z. B. Aufgabe 4.26 (c auch für de Fall solcher Mege gelte, we ma die erwartete formale Recheregel für defiiert (wie z. B. + ud + x für alle x R. Aalog schreibt ma da atürlich ifm für ach ute ubeschräte Teilmege vo R.