Fhhohshule Nordwestshweiz (FHNW) Hohshule für Tehnik Institut für Geistes- und Nturwissenshft reitsltt Geometrie / Trigonometrie Dozent: Roger urkhrdt Klsse: rükenkurs 2010 Winkeleziehugen 1. ufge üro: 4.613 Semester: - Modul: Mthemtik Dtum: 2010 () estimmen Sie die Winkel α und β: () estimmen Sie im gegeenen Trpez den Winkel α in hängigkeit der Winkel δ und ɛ:
2. ufge estimmen Sie in den nhfolgenden Figuren den Winkel β in hängigkeit des Winkels α.?? Strhlenstz und Pythgors 3. ufge Gegeen sei ds llgemeine Dreiek mit den Seiten = 9m, = 5m und = 11m. Weiter sei ds Dreiek, welhes durh Prllelvershieung der Seite entsteht, so dss der Umfng U = 10m eträgt. estimmen Sie die Seitenlängen des Dreieks und ds Verhältnis der Fläheninhlte der eiden Dreieke. ' ' 4. ufge In der untenstehenden Skizze kennt mn ds Verhältnis der prllelen shnitte D = 2x 3x = 2 3 und die Streken D = 20m und = 15m. estimmen Sie die Entfernung des Shnittpunkts S von den Punkten,, und D. Seite 2 / 11
5. ufge In einem rehtwinkligen Dreiek mit dem Hypotenusenshnitt-Verhältnis p q = k, teilt die Höhe ds Dreiek in zwei weitere rehtwinklige Dreieke. estimmen Sie ds Flähen-Verhältnis der eiden neuen Dreieke zu dem ursprünglihen Dreiek: p h q 6. ufge estimmen Sie in den nhfolgenden Figuren die Grösse x in hängigkeit des Rdius R. R x x R 7. ufge estimmen Sie in untenstehender Figur den Rdius x des kleinen Kreises in hängigkeit des Seitenlänge des Qudrtes. Seite 3 / 11
8. ufge estimmen Sie y in hängigkeit von r. y 3 2 r r 9. ufge estimmen Sie in einem gleihshenkligen, rehtwinkligen Dreiek mit der Hypothenuse = 10m die Längen der Seitenhlierenden und den Rdius des Inkreises. 10. ufge estimmen Sie den Rdius des kleinen Kreises (x) in hängigkeit der Seitenlänge des Qudrtes (s). s s x 11. ufge estimmen Sie x in hängigkeit von R. x R Seite 4 / 11
12. ufge estimmen Sie in einem gleihshenkligen, rehtwinkligen Dreiek mit Kthetenlänge s, die Rdien des In- und des Umkreises. 13. ufge estimmen Sie x in hängigkeit von r: x r Trigonometrie 14. ufge Von einem rehtwinkligen Dreiek (Hypothenuse ), kennt mn die Kthete = 12m und die Seitenhlierende s = 6.5m. estimmen Sie lle Seiten und Winkel dieses Dreieks. 15. ufge Von einem rehtwinkligen Dreiek, kennt mn die Kthete = 5m und die Höhe h = 3m. estimmen Sie lle Seiten und Winkel dieses Dreieks. 16. ufge erehnen Sie in einem llgemeinen Dreiek us den gegeenen Grössen die fehlenden Seitenlängen und Winkel. s h () = 5m, = 7m und α = 40. Seite 5 / 11
() = 7km, = 4km und F = 10km 2. () s = 6m, h = 5m und β = 70. (d) = 6m, = 10m und α = 25. (e) = 4m, β = 40 und s = 6m (Seitenhlierende von ). 17. ufge Einem Kreis mit Rdius R = 10m ist ein Trpez D eineshrieen. Vom Trpez kennt mn die prllelen Trpezseiten = = 16m und = D = 12m. estimmen Sie den Fläheninhlt und die Längen der Digonlen. 18. ufge Eine Lst F = 5kN ist n der nhfolgenden ufhängung ngerht ( = 2m, = 1m). estimmen Sie die Kräfte in den eiden Stäen (die Krft wirkt in Strihtung). α F 19. ufge estimmen Sie die fehlenden Seiten und Winkel des Dreieks mit = 11m, h = 3m und α = 70. D h α 20. ufge Zwei Shiffe und liegen vor der Küste vor nker. Wie weit sind die eiden Shiffe voneinnder entfernt? α β γ δ D Seite 6 / 11
Dten: = 50m α = 41.5 β = 16.3 γ = 75.2 δ = 27.9 21. ufge erehnen Sie von den eiden nhfolgenden Figuren die fehlenden Grössen: q h p d e h f () Rehtwinkliges Dreiek: Gegeen h = 12m und q = 15m. () Trpez: Gegeen = 20m, = 4m, = 12m und h = 6m. 22. ufge estimmen Sie den eingezeihneten Winkel: 23. ufge erehnen Sie in einem llgemeinen Dreiek us den gegeenen Grössen die fehlenden Seitenlängen und Winkel. Seite 7 / 11
s h () = 4m, = 10m und h = 3m. () α = 30, = 5m und s = 3m. 24. ufge Wieviele Kilometer eträgt die Länge des reitenkreises, uf dem erlin liegt (ϕ = 52 30, r E = 6370km). estimmen Sie zudem die Geshwindigkeit mit welher sih erlin um die Erdhse dreht. M ϕ r E 25. ufge Von einem Trpez kennt mn = 69.3m, = 13.4m, h = 41.9m und β = 48.5. erehnen Sie die restlihen Seiten und Winkel, die Digonlen und den Fläheninhlt. δ γ d e f α h β Seite 8 / 11
Trigonometrishe Funktionen 26. ufge Skizzieren Sie die Grphen der folgenden Funktionen: () ( f 1 (x) = y = 2 sin 4x π ) 4 () f 2 (x) = y = 1 os (2x) 3 () (d) ( 1 f 3 (x) = y = 4 sin 2 x + 2π 3 ) f 4 (x) = y = sin (3x) + 2 os (3x) (e) f 5 (x) = y = 1 (1 os (2x)) 2 (f) ( f 6 (x) = y = sin (5x) + sin 5x + π ) ( + sin 5x + 2π 3 3 ) 27. ufge enutzen Sie die Formel os(α 2 α 1 ) = os(α 1 ) os(α 2 ) + sin(α 1 ) sin(α 2 ) um einen nlytishen usdruk für os(15 ) zu finden. 28. ufge enutzen Sie die Formel os(α + β) = os(α) os(β) sin(α) sin(β) um die Doppelwinkelformel für den osinus herzuleiten: os(2γ) =? 29. ufge enutzen Sie die folgenden eiden Formeln os (2α) = os 2 (α) sin 2 (α) sin 2 (α) + sin 2 (α) = 1 um die Doppelwinkelformel für den Sinus herzuleiten: sin(2γ) =? 30. ufge estimmen Sie die Üerlgerung der folgenden hrmonishen Shwingungen: Seite 9 / 11
() () () 3 sin (x) + 4 os (x) =? 5 sin (3x) 12 os (3x) =? ( x ) ( x ) 2 sin + 2 os =? 4 4 31. ufge Vereinfhen Sie: () () () (d) (e) (f) (g) (h) (i) sin (α) tn (α) =? 1 sin (α) tn (α) =? os (α) 1 os 2 (α) 1 =? sin (α) 1 + 1 tn 2 (α) =? sin (α) 1 + os (α) + os (α) + 1 sin (α) 1 os 2 (α) 1 sin 2 (α) =? =? sin (x) sin (x y) os (x) os (x y) =? os 2 (x) sin 2 (y) os (x + y) os (x y) =? 1 tn 2 (x) tn 2 (x) + 1 + sin2 (x) =? 32. ufge () estimmen Sie lle Winkel α [0, 360 ], die die folgende Gleihung erfüllen: os(2α) + sin(α) = 0 Seite 10 / 11
() estimmen Sie lle x [0, 2π], die die folgende Gleihung erfüllen: ( os x π ) + os (x) = 0 3 () estimmen Sie lle x [0, 2π], die die folgende Gleihung erfüllen: ( sin (2x) + os x + π ) = 0 2 (d) estimmen Sie lle x [0, π], die die folgende Gleihung erfüllen: os (2x) = 1 2 (e) estimmen Sie lle x [0, 2π], die die folgende Gleihung erfüllen: sin (x) + sin 2 (x) = 0 (f) estimmen Sie lle x [0, 2π], die die folgende Gleihung erfüllen: os (x) + os (2x) = 0 (g) estimme Sie lle x [0, 2π], die die folgende Gleihung erfüllen: sin (x) os (2x) = 0 (h) estimme Sie lle reellen Zhlen x, die die folgende Gleihung erfüllen: os (2x) = 1 2 (i) Lösen Sie die folgende Gleihung (geen Sie lle Lösungen im Intervll [0, 360 ] n): 2 sin (α) + 1 2 = 0 (j) Lösen Sie die folgende Gleihung (geen Sie lle Lösungen im Intervll [0, 360 ] n): sin 2 (α) os 2 (α) = 1 (k) Lösen Sie die folgende Gleihung (geen Sie lle Lösungen im Intervll [0, 2π] n): sin (x) + os (2x) = 0 (l) Welhe Zhlen x [0, 2π] erfüllen die Gleihung: sin (x) + tn (x) = 0 (m) estimme Sie lle reellen Zhlen x, die die folgende Gleihung erfüllen: 2 sin (x) 3 os (x) = 3 2 (n) estimme Sie lle reellen Zhlen x, die die folgende Gleihung erfüllen: 4 sin (3x) + 3 os (3x) = 5 2 Seite 11 / 11