Michael Buhlmann Mathematikaufgaben > Vektoechnung > Kugeln Aufgabe: Gegeben ist eine Kugel K im deidimensionalen katesischen x 1 -x -x 3 -Koodinatensystem mit dem Uspung als Mittelpunkt und dem Radius = 3 LE (Längeneinheiten). a) Wie lauten Vekto- und Koodinatengleichung de Kugel K? b) Wo schneidet die Kugel die Achsen des Koodinatensystems? Wie lauten die Tangentialebenen zu Kugel K in den Achsenschnittpunkten? c) Zeige, dass de Punkt P(1 - ) auf de Kugel K liegt. Wie lautet die dazugehöige Tangentialebene? d) Die Geade g: 1 1 x = 3 + t schneidet die Kugel K in zwei Punkten. Beechne diese! 0 e) Bestimme die Schnittkeise de Kugel K mit den Gundebenen des x 1 -x -x 3 -Koodinatensystems. f) Bestimme Mittelpunkt und Radius des Schnittkeises k zwischen de Kugel K und de Ebene E: x 1 + x + x 3 = 3. g) Eine zweite Kugel besitze die Koodinatengleichung: K*: x 1 + (x ) + (x 3 1) = 4. Gib den Mittelpunkt und den Radius de Kugel K* an. Zeige, dass sich die Kugeln K und K* schneiden. Bestimme den Mittelpunkt und Radius des Keises k, de die Schnittmenge de beiden Kugeln dastellt. Lösung: I. Eine Kugel K im deidimensionalen katesischen x 1 -x -x 3 -Koodinatensystem enthält alle Punkte X(x 1 x x 3 ), die denselben Abstand zum vogegebenen Kugelmittelpunkt M(m 1 m m 3 ) haben. Die Vektogleichung de Kugel mit Mittelpunkt M und positivem Radius lautet (als Skalapodukt mit dem Diffeenzvekto zwischen Kugelpunkt X und Kugelmittelpunkt): die Koodinatengleichung:, K: x > OM = K: (x 1 m 1 ) + (x m ) + (x 3 m 3 ) =. II. Es gelten die folgenden Lagebeziehungen zwischen Kugeln, Punkten, Geaden und Ebenen: Ein Punkt P(p 1 p p 3 ) liegt auf de Kugel, wenn die Gleichung (p 1 m 1 ) + (p m ) + (p 3 m 3 ) = efüllt ist; e liegt innehalb de Kugel, wenn (p 1 m 1 ) + (p m ) + (p 3 m 3 ) <, außehalb, wenn (p 1 m 1 ) + (p m ) + (p 3 m 3 ) > gilt. Liegt de Punkt P außehalb de Kugel, so lässt sich de Abstand zwischen Punkt und Kugel beechnen als: d(p, K) = MP. x = a + t u mit Stützvekto a und Richtungsvekto u lassen sich die eventuellen Fü eine Geade g: (maximal zwei) Schnittpunkte eechnen duch Einsetzen de Geadenkomponenten x 1 = a 1 +tu 1, x = a +tu, x 3 = a 3 +tu 3 in die Koodinatengleichung de Kugel K: (x 1 m 1 ) + (x m ) + (x m ) =, Auflösen de entstehenden quadatischen Gleichung (a 1 +tu 1 m 1 ) + (a +tu m ) + (a 3 +tu 3 m 3 ) = (*) nach t = t 1, (keine, eine ode zwei Lösungen; abc-, pq-fomel zum Lösen de quadatischen Gleichung) und Einsetzen von t 1, in die Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Vektoechnung > Kugeln 1
OS. = a + t1, u Geadengleichung von g als: 1. Gibt es keine Schnittpunkte, hat also die quadatische Gleichung (*) keine Lösung, so bestimmt sich de Abstand zwischen Geade und Kugel als: d(g, K) = MF, wobei F de Lotfußpunkt des Kugelmittelpunkt M auf de Geaden g ist (Lotfußpunktvefahen mit Othogonalitätsbedingung, Hilfsebenenvefahen). Eine Ebene besitze die Koodinatengleichung E: ax 1 +bx +cx 3 = d. Ist F(f 1 f f 3 ) de Lotfußpunkt bzgl. des Kugelmittelpunkts M auf de Ebene E, so schneiden sich Ebene E und Kugel K in eine Keisfläche k mit dem Lotfußpunkt F als Keismittelpunkt, wenn (f 1 m 1 ) + (f m ) + (f 3 m 3 ) < gilt; sie beühen sich im Lotfußpunkt F, wenn (f 1 m 1 ) + (f m ) + (f 3 m 3 ) = efüllt ist; sie schneiden sich nicht, wenn (f 1 m 1 ) + (f m ) + (f 3 m 3 ) > gilt. Im Fall, dass Ebene und Kugel sich in eine Keisfläche schneiden, liegt die Keisfläche auf de Ebene und ist de Lotfußpunkt F de Mittelpunkt des Keises k; de Keisadius k bestimmt sich vemöge de Beziehung: k = MF. Liegt die Ebene außehalb de Kugel, so beechnet sich de Abstand zwischen Ebene und Kugel als: d(e, K) = MF. Fü zwei Kugeln K: (x 1 m 1 ) + (x m ) + (x m ) = und K*: (x 1 n 1 ) + (x n ) + (x n ) = 1 mit den Mittelpunkten M(m 1 m m 3 ) und N(n 1 n n 3 ) sowie den Radien und 1 gilt hinsichtlich ihe Lage zueinande: Die Kugeln schneiden sich, wenn MN < + 1 gilt; sie beühen sich, wenn MN = + 1 gilt; sie schneiden sich nicht, wenn MN > + 1 gilt. Im Fall, dass sich die Kugeln beühen, egibt sich de Beühpunkt B auf de 1 Stecke zwischen den Mittelpunkten M und N gemäß: OB = OM + MN = OM + ON. Im + 1 + 1 + 1 Fall, dass sich die zwei Kugeln schneiden, egibt sich ein Keis k, de auf beiden Kugeln liegt. De Keis k ist Teilmenge eine Schnittebene E, die sich als Diffeenz de Koodinatengleichungen de Kugeln egibt, also: E: [(x 1 m 1 ) + (x m ) + (x m ) ] [(x 1 n 1 ) + (x n ) + (x n ) ] = 1. De Keismittelpunkt ist de Lotfußpunkt F etwa des Kugelmittelpunkts M auf de Ebene E. De Keisadius k bestimmt sich als: k = MF. III. Ist P(p 1 p p 3 ) ein Punkt auf eine Kugel K: x > OM = (VF, M(m 1 m m 3 ) als Kugelmittelpunkt, als Kugeladius) bzw. K: (x 1 m 1 ) + (x m ) + (x 3 m 3 ) = (KF), so egibt sich mit: E: MP x OM = (NF) bzw. E: (p 1 m 1 ) (x 1 m 1 ) + (p m ) (x m ) + (p 3 m 3 ) (x 3 m 3 ) = die Tangentialebene de Kugel K im Punkt P, also die Ebene E, die die Kugel im Punkt P beüht. a) Mit dem Kugelmittelpunkt O(0 0 0) und dem Kugeladius = 3 egeben sich sofot: 0 K: x 0 = 3 K: x = 9 (VF) bzw. 0 K: (x 1 0) + (x 0) + (x 3 0) = 3 K: x 1 + x + x 3 = 9 (KF) als Vekto- und Koodinatengleichung. b) Achsenschnittpunkte und dazugehöige Tangentialebenen zu Kugel K sind: x 1 -Achse: S 11 (3 0 0), E 11 : x 1 = 3; S 1 (-3 0 0), E 1 : x 1 = -3; x -Achse: S 1 (0 3 0), E 1 : x = 3; S (0-3 0), E : x = -3; x 3 -Achse: S 31 (0 0 3), E 31 : x 3 = 3; S 3 (0 0-3), E 3 : x 3 = -3. Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Vektoechnung > Kugeln
c) I. Punktpobe mit dem Punkt P(1 - ) und de Koodinatengleichung: K: x 1 + x + x 3 = 9 egibt: 1 +(-) + = 1+4+4 = 9 und damit den Nachweis, dass de Punkt P auf de Kugel K liegt. II. Die Tangentialebene im Punkt P zu Kugel K hat den Vekto 1 n = OP = als Nomalenvekto und den Punkt P(1 - ) als Stützvekto, so dass wegen E: n x = n OP folgt: 1 1 1 E: x = E: x 1 x + x 3 = 1 1+(-) (-)+ E: x 1 x + x 3 = 9. 1 1 d) Fü die Geade g: x = 3 + t und die Kugel K: x 1 + x + x 3 = 9 egibt das Einsetzen 0 de Geadenkomponenten x 1 = 1+t, x = 3 4t, x 3 = - in die Koodinatenfom de Kugel: (1+t) + (3-4t) + (-) = 9. Umfomungen fühen auf eine quadatische Gleichung in t: (1+t) + (3-4t) + (-) = 9 (Klammen auflösen, binomische Fomeln) 1+t+t + 9 4t+16t + 4 = 9 (Zusammenfassen) 17t t+14 = 9-9 17t t+5 = 0 (abc-fomel) ± 4 17 5 ± 144 ± 1 t 1, = = = 17 34 34 1 10 5 + 1 34 t 1 = = =, t = = = 1. 34 34 17 34 34 Als Schnittpunkte P, Q zwischen Geade und Kugel egeben sich damit: 1 1 5 1 OP = 3 + = 31 => P(/17 31/17 -) 17 17 0 3 1 1 OQ = 3 + 1 = 1 => Q( -1 -). 0 e) Die Gundebenen des x 1 -x -x 3 -Koodinatensystems enthalten den Koodinatenuspung und damit den Mittelpunkt O(0 0 0) de Kugel K, de gleichzeitig Mittelpunkt de dei Schnittkeise ist (Kugelmittelpunkt als Lotfußpunkt auf de jeweiligen Gundebene). Es egeben sich als Schnittkeise: x 1 -x -Gundebene (E 1 : x 3 = 0): x 1 + x = 9; x 1 -x 3 -Gundebene (E 13 : x = 0): x 1 + x 3 = 9; x -x 3 -Gundebene (E 3 : x 1 = 0): x + x 3 = 9. f) I. Wi bestimmen zunächst den Lotfußpunkt F auf de Ebene E: x 1 + x + x 3 = 3 zum Kugelmittelpunkt O(0 0 0) und ehalten mit dem Nomalenvekto n = 1 de Ebene E zunächst die zu Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Vektoechnung > Kugeln 3
Ebene senkechte Lotgeade h duch den Kugelmittelpunkt O als: h: 0 x = 0 + t1 = t1. 0 De Schnittpunkt von de Lotgeaden h und de Ebene E ist de Lotfußpunkt F gemäß: Geade h -> Geadenkomponenten: x 1 = t, x = t, x 3 = t -> Einsetzen in Ebene E -> Gleichung: t + t + t = 3 9t = 3 t = 1/3 1 und: OF = 1, also: F(/3 1/3 /3). 3 II. De Lotfußpunkt F liegt wegen: (/3) + (1/3) + (/3) = 9/9 = 1 < 9 innehalb de Kugel K, so dass sich Kugel K und Ebene E schneiden. Mittelpunkt von Schnittkeis k und Schnittfläche ist de Lotfußpunkt F(/3 1/3 /3). De Schnittkeisadius beechnet sich auf de Gundlage de Abstandes zwischen Lotfußpunkt und Uspung: 1 3 ( ) ( 1 ) ( ) 1 1 3 3 3 3 OF = = + + = = LE als: 3 k = 3 1 = 8 = LE. g) I. Aus de Koodinatengleichung K*: x 1 + (x ) + (x 3 1) = 4 = ist sofot de Kugelmittelpunkt N(0 1) und de Kugeladius 1 = abzulesen. 0 II. Wegen = 3, 1 = und ON = = 0 + 1 + = 5 ist: 5 < 3 + = 5, so dass sich die 1 zwei Kugeln K und K* schneiden (Schnittkeis k). III. Die Schnittebene E, auf de sich de Schnittkeis k befindet, ehalten wi duch Diffeenzbildung im (nicht lineaen) Gleichungssystem: (1) x 1 + x + x 3 = 9 () x 1 + (x ) + (x 3 1) = 4 x 1 + x 4x + 4 + x 3 x 3 + 1= 4 x 1 + x + x 3 4x x 3 = -1, so dass (1) () egibt: E: 4x + x 3 = 10 E: x + x 3 = 5. IV. De Mittelpunkt des Schnittkeises k eechnet sich als Lotfußpunkt F auf de Ebene E zum Mittelpunkt O(0 0 0) de Kugel K. Die senkecht auf de Ebene stehende, duch den Koodinatenuspung O laufende Lotgeade h: x = 0 + t = t schneidet die Ebene E auf Gund von: 0 0 0 0 1 1 Geade h -> Geadenkomponenten: x 1 = 0, x = t, x 3 = t -> Einsetzen in Ebene E -> Gleichung: t + t = 5 5t = 5 t = 1 0 im Lotfußpunkt: OF = bzw. F(0 1), de damit gleichzeitig de Mittelpunkt N de Kugel K* ist. 1 Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Vektoechnung > Kugeln 4
0 De Radius des Schnittkeises k ist wegen = 5 1 k = 3 5 = 9 5 = 4 = und damit identisch mit dem Radius de Kugel K*. Die Fläche des Schnittkeises k halbiet damit die Kugel K*. Kugel: K: x 1 + x + x 3 = 9 Kugel K, Tangentialebenen Kugel K, Geade g, Schnittpunkte P, Q Kugeln K, K*, Schnittebene E Abküzungen: KF = Koodinatenfom, NF = Nomalenfom, VF = Vektofom. www.michael-buhlmann.de / 07.018 / Aufgabe 617 Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Vektoechnung > Kugeln 5