PDDr. S.Mertens M. Hummel Theoretische Physik II Elektrodynamik Blatt 9 SS 29.6.29. Energie und Impuls elektromagnetischer Wellen. Eine transversale elektromagnetische 4Pkt.) Welle in einem nicht leitenden, ungeladenen Medium sei linearpolarisiert, E = E sin[kz ct)] bzw. zirkularpolarisert, E = E { cos[kz ct)] ex +sin[kz tc)] e y }. In welche Richtung breitet sich die Welle aus? Berechnen Sie a) diemagnetische Induktion B r,t), b) denpoynting-vektor S r,t), c) den Strahlungsdruck auf eine um den Winkel ϑ gegen die Ausbreitungsrichtung geneigte total absorbierende Ebene. insgesamt 4 Pkt.) Lösung: Die Wellen breiten sich offensichtlich beide z-richtung aus. a) Wir setzen im Folgenden ω = ck. Die magnetische Induktion B r,t) kann bei bekanntem E r,t) aus E = B berechnet werden. Im Falle der linear polarisierten Welle erhält man E = k Ey,E x,)coskz ωt) = B. Nach Integration über die Zeit t ist die magnetische Induktion somit B = k ω E y,e x,)sinkz ωt) = ω k E). Für die zirkular polarisierte Welle folgt analog E = E kcoskz ωt),sinkz ωt,), woraus sich die magnetiche Induktion wieder aus der Integration über die Zeit ergibt. k B = Ey,E x, ) = ) k E ω ω b) Der Poyinting-Vektor bestimmt sich aus S = µ r µ E B. Mit dem Ergebnis der letzten Teilaufgabe findet man für die linear polarisierte Welle S r,t) = µ r µ ω E k E) = k E 2 ) E E k) = E µ r µ ω } {{ } cµ r µ e 2 z. = Seitevon6
Der Poynting-Vektor der zirkular polarisierten Welle ist S r,t) = εr ε µ r µ E 2 e z. c) Die Berechnung des Strahlungsdrucks soll durch die abgebildete Skizze verdeutlicht werden. Der Strahlungsdruck entspricht einem Impulsübertrag auf eine Fläche und ist des Weiteren gleich der Normalkomponente n F der auf die Ebene ausgeübten Kraft F pro Fläche. Die Dichte des Feldimpulses ds n εr, µ c dt r p Feld = D B = εr ε µ r µ S = c 2 S, wobei c die Phasengeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle ist. Alle Wellenfronten in dem schiefen Zylinder, dessen Volumen dv θ V = cdt cos θds beträgt, erreichen in der Zeit dt das Flächenelement ds. Die Ebene sei total absorbierend,d.h.,derfeldimpuls,deraufdieflächedsinderzeitdtübertragenwird, ist gleich p Feld V. Die auf die Fläche wirkende Kraft ist gleich dem Impulsübertrag pro Zeit. F = pfeld ccos θds. Der Strahlungsdruck ist somit p s = n F dt = ccos θ n p Feld = cos θ n S = c c S cos 2 θ = ε r ε E 2 cos2 θ. 2. Stehende Wellen. Gegeben seien zwei parallele, unendlich große und perfekt leitende Metallplatten mit dem Abstand L. Sie seien parallel zur x-y-ebene. Zwischen diesen Platten befinde sich eine stehende elektromagnetische Welle, die sich als Summe einer in positiver und einer in negativer z-richtung laufenden ebenen Welle darstellen lässt: E r,t) = R E e ikz ωt) + E2 e ikz+ωt)). a) b) Welche Bedingungen folgen für E, E2 und k aus den Übergangsbedingungen des E- Feldes an den Metallplatten? BerechnenSiedas zugehörigemagnetfeldineiner zum E-Feldanalogen Form. c) SkizzierenSie E r,t) und B r,t) für E = 2i E e y,e R. Seite2von6
d) BerechnenSiefür dieses E denzeitlichgemitteltenpoynting-vektor S r) = T T S r,t)dt. insgesamt 4 Pkt.) Lösung: a) An den Leiteroberflächen müssen die Tangentialkomponenten des elektrischen Feldesverschwinden.Aus Ex,y,,t) ex = folgt R E,x e i ωt) +E 2,x e iωt)) = bzw. E,x +E 2,x =. Analog giltwegen Ex,y,,t) ey = R E,y e i ωt) +E 2,y e iωt)) = bzw. E,y +E 2,y =. Das sich die stehende Welle aus zwei sich in z-richtung ausbreitende ebenen Wellen zusammensetzt, muss außerdem E,z = E 2,z = gelten. Insgesamt haben wir also die Bedingung E2 = E zu stellen und das elektrische Feld verschwindet auf derleiteroberflächebei z =. Genauso muss auch bei z = L das elektrische Feld verschwinden, daraus folgt R E e ikl ωt) E e ikl+ωt)) = [ R E e iωt e ikl e ikl)] = ) R 2 E e iωt sinkl) = Diese Bedingung kann nur für kl = πn bzw. k = πn L erfüllt werden mit n Z b) Aus der Maxwell-Gleichung rot E = B folgt E,y ik E,y ik rot E = R E,x ik e ikz ωt) + E,x ik e ikz+ωt) = B Seite3von6
bzw. nach Inegration über t E,y k E,y k B = R ω E,x k e ikz ωt) + ω E,x k B = R [ ω k E )e ikz ωt) + ω k E )e ikz+ωt) ] e ikz+ωt) Durch Umformen erhält man weiter ] E r,t) = R [2i E sinkz) cosωt) i sinkz) sinωt)) [ ] 2 B r,t) = R ω k E coskz) cosωt) i coskz) sinωt)). c) Für E = 2i E e y, E R ergibt sich für die elektrische bzw. magnetische Feldkomponente der stehenden Welle E = E sinkz) cosωt) e y B = E ω coskz) sinωt) e x. y B E x z d) Der Poynting-Vektor beträgt S = µ E B) = E2 ω sinkz) cosωt) coskz) sinωt) e y e x = E2 [ sin 2 kz + ωt) sin 2 kz ωt) ] e z 4ω = E2 8ω [cos2ωt +2kz) cos2ωt 2kz)] e z Seite4von6
Da S die halbe Periode der elektromagnetischen Welle hat und 2π cosx)dx = ist, folgt für den über eine Schwingungsperiode gemittelten Poynting-Vektor T S = E Bdt =. T µ Im zeitlichen Mittel findet zwischen den Metallplatten durch die stehende Welle also kein Energietransport statt. 3. Elektronengas. Eine elektromagnetische Welle breite sich in einem leitenden Medium σ = ) aus. a) Finden Sie das Dispersionsgesetz, d.h. den Zusammenhang zwischen der Wellenzahl k und derkreisfrequenz ω derebenenwelleinderform b) c) k 2 = fω) In einem Elektronengas mit der Teilchendichte n betrachte man die Bewegung der Elektronen in dem Feld E = E e iωt unter Vernachlässigung von Kollisionen und der vom Magnetfeld auf das Elektron ausgeübten Lorentz-Kraft. Berechnen Sie die Leitfähigkeit σ des Elektronengases. Berechnen Sie die kritische Frequenz ω p für die Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle im Elektronengas k 2 ω = ω p ) = ) sowie die Eindringtiefe für eine niederfrequentewelle ω << ω p ) insgesamt 3 Pkt.) Lösung: a) Telegraphengleichung: Ansatz: [ u 2 2 2 ) µ r µ σ ] E r,t) = E r,t) e i k r ωt) k 2 + u 2 ω 2 +iµ r µ σω = k 2 = ω2 u 2 +iµ r µ σω. b) Einzelnes Elektron: Masse m, Ladung e Bewegungsgleichung: m v = e E e iωt m vt) = e E iω e iωt +const. Hieraus ergibt sich die Stromdichte zu: j = en v = ie2 n mω E +const. Seite5von6
Ohm sches Gesetz: j = für E = const =. j = i e 2 n mω E σ = i e2 n mω. c) σ imaginär, da E komplex angesetzt wurde: ω2 k 2 = u 2 µ rµ e 2 n, m k 2 = ω p )! ω 2 p µ r µ ǫ r ǫ µ rµ e 2 n m ω 2 p = n e 2 ǫ r ǫ m. = k 2 fürω ω p, ω << ω p k 2 µ r µ e 2 n m = i < k >) 2 < k > 2 = µ r µ e 2 n m E r,t) e i<k>z iωt k z Achse). Eindringtiefe < k > δ = : m δ = µ r µ e 2 = u n ω p u : Wellengeschwindigkeit im Elektronengas. Auf diesem Übungsblatt sind maximal Punkte zu erreichen, Abgabe der ersten beiden Aufgabenerfolgtam76.29. Seite6von6