MATHEMATIK FÜ INFOMATIKE I WINTESEMESTE 7/8 POF. D. FIEDICH EISENBAND D. KAI GEHS Ü b u n g s b l t t 13 Orgnistorisches: Dieses Übungsbltt wir nicht mehr korrigiert. D ie Aufgben ennoch klusurrelevnt sin, wir zu gegebener Zeit eine Musterlösung zu iesem Übungsbltt uf er Webseite er Vorlesung veröffentlicht, so ss Sie Ihre Lösungen selbst überprüfen können. Ds gesmte Tem er Mthemtik für Informtiker I um Prof. Eisenbrn wünscht llen Stuierenen viel Erfolg bei en nstehenen Klusuren. Aufgbe 39: Differentition, Punkte Berechnen Sie ie Ableitung von 1 + x + x, b sinx, c cosπ x 3, sinx e x, e sin x + cos x. b c e x 1 + x + x = x + x 1 + x x + x = x + x. x sinx = cosx x. x cosπ x3 = sinπ x 3 3 x = 3 x sinx 3. x sinx e x = cosx e x x e x + x e x = x + x e x cosx e x. x sin x + cos x = sinx cosx + cosx sinx =. Dies ist verstänlich, x sin x + cos x = x 1. Aufgbe 4: Implizite Differentition, Punkte Eine ifferenzierbre Funktion = f x mit stetiger Ableitung sei ls Lösung er Gleichung efiniert. Bestimmen Sie f. 3 + x = e x
Für x = ist = f urch ie Gleichung 3 + = e = 1 efiniert, worus = f = 1 folgt. Durch Differentition er efinierenen Gleichung erhält mn: f x 3 + x f x = e x 3 f x f x + x f x + x f x = x e x. Mit x =, f = 1 ergibt sich 3 f f + f + f = e 3 f = f =. Aufgbe 41: Differentition von Umkehrfunktionen, Punkte Mn efiniert tnx := sinx cosx un bezeichnet mit rctnx ie Umkehrfunktion von tnx. Zeigen Sie: x tnx = 1 + tn x. b Berechnen Sie ie Ableitung von rctnx. c Berechnen Sie ferner ie Ableitung von rctnx + rctn1/x. x sinx cosx = cos x sinx sinx cos = cos x + sin x x cos = 1 + tn x = x b Sei f = tn, f 1 = rctn, x = tn, = rctnx. Es gilt f 1 x = 1 f = 1 1 + tn = 1 1 + tn rctnx = 1 1 + x. 1 cos x. c rctnx + rctn1/x = 1 x 1 + x + 1 1 + 1/x 1 x = 1 1 + x 1 x + 1 =. Aufgbe 4: Bestimmte Integrle, Punkte Berechnen Sie i 1 sinπ t t, ii t e t t, iii π cost e sint t. Hinweis: Sie können ie Stmmfunktionen errten un nn per Differentition eren Korrektheit verifizieren. Es sin hier keine komplizierten Integrtionstechniken nötig. Letztere können Sie weiter unten im hmen er Aufgben 44, 45, 46, 47 üben.
i Mit er Stmmfunktion sinπ t t = 1 cosπ t + c π folgt sofort 1 ii Mit er Stmmfunktion [ cosπ t sinπ t t = π ] t=1 t= = 1 π cos1 π + cos =. t e t t = 1 e t + c folgt sofort iii Mit er Stmmfunktion folgt sofort t e t t = [ 1 ] t= e t = 1 t= 1 e 4. π cost e sint t + c = e sint cost e sint t = [e sint] t=π =. t= Aufgbe 43: Zwischenwertstz un Eigenschften von Integrlen, Punkte Seien f,g : [,b] stetig. Zeigen Sie mit Hilfe es Zwischenwertstzes ohne Verwenung es Huptstzes er Differentil- un Integrlrechnung: i Es gibt ein ξ [,b] mit b f xx = f ξ b. ii Ist gx für lle x [,b], so gibt es ein ξ [,b] mit b b f xgxx = f ξ gx x. Wir setzen m := min{ f x x [,b]} sowie M := mx{ f x x [,b]}. i Mit m f x M für lle x [,b] folgt: b b b mb = mx f xx M x = Mb. Jees Element us [mb,mb ] lässt sich schreiben ls η b für ein η [m,m]. Also: b f xx = ηb
für ein geeignetes η [m,m]. D f stetig ist, nimmt f nch em Zwischenwertstz jeen Wert η [m,m] n,.h. es gibt zu η [m,m] ein ξ [,b] mit f ξ = η. Dmit folgt lso ie Behuptung. b f xx = ηb = f ξ b. ii Es gilt: mgx f xgx Mgx für lle x [, b], lso b b b m gxx f xgxx M gx x. Ist b gxx =, so folgt us ieser Ungleichung uch b f xgxx =,.h. wir können einen beliebigen Wert für ξ us [,b] wählen. Gilt b f xgxx, so setze η := b b f xgxx. gx x D η [m,m] un f stetig ist, nimmt f nch em Zwischenwertstz jeen Wert η [m,m] n,.h. es gibt zu η [m,m] ein ξ [,b] mit f ξ = η. Dmit folgt lso ie Behuptung. b b f xgxx = f ξ gx x, Aufgbe 44: Bestimmte Integrle, Punkte Sei f : [,b] stetig ifferenzierbr,.h. f ist ifferenzierbr un ie Ableitung ist eine stetige Funktion f : [,b]. Zeigen Sie, ss gilt: b lim f tsintt =. Mit prtieller Integrtion folgt: b f tsintt = f tcost t=b b + t= f tcost t. D cost beschränkt ist un un b fest vorgegebene Werte, folgt f tcost t=b t= für. D f stetig uf [,b] ist un [,b] kompkt ist un jee stetige Funktion uf einer kompkten Mengen ihr Mximum nnimmt, gilt es ein M > mit f t M für lle t [,b]. Dmit: b f tcost t M b für, lso folgt ie Behuptung.
Aufgbe 45: Integrtionstechniken I, Punkte Bestimmen Sie: x e x x, b x sinx x, c sinx cosx e sinx x. Es gilt: x f x Erneute prtielle Integrtion: e x g x x = x = x e x x e x + f x e x gx = x e x x e x x f x x e x f x e x x f x gx gx x = x e x e x x g x 1 e x f x gx x x e x x. e x x = x e x x e x + e x + c = x x + e x + c. Probe: b Es gilt: x x + e x + c = x e x + x x + e x = x e x ok. x x sinx x = x cosx 1 cosx x f x g x f x gx f x gx = x cosx + cosxx = x cosx + sinx + c. Probe: c Es gilt: x cosx + sinx + c = cosx + x sinx + cosx = x sinx ok. x sinx cosx e sinx x = sinx f x cosx e sinx x. g x Die entscheiene Beobchtung ist hier, ss wir ie Stmmfunktion es Fktors g x kennen leicht rten können bzw. urch Substitution = sinx sstemtisch bestimmen können: gx = e sinx : sinx cosx e sinx x = sinx e } sinx {{ } cosx e } sinx {{ } x. f x g x f x gx f x gx Ds verbleibene Integrl htten wir oben schon ientifiziert: cosx e sinx x = e sinx c.
Mcht zusmmen: sinx cosx e sinx x = sinx 1 e sinx + c. Probe: sinx 1 e sinx + c = cosx e sinx + sinx 1 cosx e sinx x = sinx cosx e sinx ok. Aufgbe 46: Integrtionstechniken II, Punkte Berechnen Sie e x+3 x, b cosx e sinx+3 x, c cosx lnsinx x. sinx Substituiere = x + 3 = x: e x+3 x = b Substituiere = sinx + 3 = cosx x: cosx e sinx+3 x = c Substituiere = sinx, lso = cosx x: Nächste Substitution z = ln, lso z = /: Mcht zusmmen e = e e x+3 + c = + c. e = e e sinx+3 + c = + c. cosx ln sinx lnsinx x =. ln = z z = z + c = ln + c. cosx lnsinx lnsinx x = + c. sinx Beie Schritte können zusmmengefsst weren, inem mn gleich z = lnsinx substituiert. Mit z/x = cosx/sinx: cosx sinx lnsinx x = z z = z + c = lnsinx + c.
Aufgbe 47: Integrtionstechniken III, Punkte Bestimmen Sie Beweisen Sie ferner, ss gilt: π cost e sin t t, b 1 t e 1 t t. c t e t t = e. Substitution = sint, = cost t. Trnsformtion er unteren Grenze: t = = sin =. Trnsformtion er oberen Grenze: t = π = sinπ =. Dmit ergibt sich: π cost e sin t t = e. D ie Intervllgrenzen übereinstimmen, ist s Integrl : wir bruchen ie Stmmfunktion von e gr nicht zu kennen! π cost e sin t t =. b Setze = 1 t, /t = t, t = / t. Mit t = = 1, t = 1 = : 1 c Mit = t = 1 1 t t = 1 t: e t e 1 t t = 1 = 1 1 e = 1 [e ] =1 = = e 1. t e t t = e. t Nun prtielle Integrtion hier brucht mn Augenmß, ws zu tun ist: f [ e = g Die nterme fllen bei weg: f ] = e = g 1 f e = e g [ ] = [ ] =b e = lim e = lim b e b e = = b = b enn e b fällt für b schneller ls z.b. 1/b.