Arbiragefreie Preise Maren Schmeck 24. Okober 2006 1 Einleiung P i () Preis von Anleihe i zur Zei, i = 1,..., n x i Anzahl an Einheien der Anleihe i V () = n i=1 x ip i () Wer eines Porfolios mi x i Einheien von Anleihe i Arbirage ri auf, falls wir in der Lage sind zur Zei Null ein Porfolio zu konsruieren, das den Wer 0 ha zu einem fesen Zeipunk T in der Zukunf uns dieses Porfolio mi Sicherhei einen Gewinn ausschüen wird Formal: V (0) = n i=1 x ip i (0) = 0 P [V () 0] = 1 P [V () > 0] > 0 Das Prinzip von No-Arbirage besag, dass solche Arbiragemöglichkeien nich exisieren. Arbiragefreihei bedeue auch, dass 1
wir kein risikoloses Porfolio konsruieren können, das mehr als die risikolose Zinsrae zurückbring wenn zwei Porfolios A und B in Zukunf mi Sicherhei idenische Cashflows ausgeben, dann müssen A und B auch in der Gegenwar denselben Wer haben (Gesez des einzigen Preises) 2 Fundamenales Theorem vom Asse Pricing Sei (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeisraum, wobei P das naürliche ( die Wel abbildende ) Wahrscheinlichkeismaß is. r() sei sochasisch. Der Bankkonoprozess B () sei wie folg definier ( ) B () = B (0) exp r (s) ds 0 Definiion. Ein (cadlag) sochasischer Prozess W auf R heiß Sandard Brownsche Bewegung, falls W 0 = 0 W ha unabhängige Zuwächse W N (0, ) Ein d-dimensionaler Prozess W, wobei (W i ) unabh. Brownsche Bewegungen sind, heiß d-dimensionale Brownsche Bewegung X = µ + σw heiß (µ, σ 2 )-B.B. Diese leze Gleichung führ zu einer sochasischen DGL der Form dx() = µ (, X ()) d + σ (, X ()) dw () (vgl. Bauer S.429). Berache nun wieder den Bankkonoprozess B. Es gil db () = r()b()d Insbesondere fehl also der Brownsche dw ()-Term, was heiß, dass σ 2 = 0 is. Deswegen beschreib man den Bankkonoprozess als risikolos, obwohl r() sochasisch is. 2
Definiion. Ein Porfolio (Sraegie) is eine Menge von Werpapieren und wird fesgeleg durch einen Vekor ϕ = (ϕ 0,..., ϕ m ) mi ϕ i Aneile am Werpapier i zur Zei. Negaive Aneile ensprechen Verkäufen. Eine Sraegie, bei der kein Geld ennommen oder hinzugefüg wird, heiß selbsfinanzierend. Ein Claim h (= eine nichnegaive meßbare Zufallsgröße h) is duplizierbar, falls eine selbsfinanzierende Handelssraergie ϕ exisier, mi V T (ϕ) = h. Das Modell heiß vollsändig, wenn alle Claims duplizierbar sind. Definiion. Zwei Vereilungen P und Q heißen äquivalen, P Q, wenn für alle Ereignisse A P (A) = 0 genau dann gil, wenn Q (A) = 0. Fundamenales Theorem vom Asse Pricing. (i) Die Enwicklung von Bondpreisen is arbiragefrei genau dann, wenn ein Maß Q exisier, das zu P äquivalen is, und uner dem für alle T der diskoniere Preisprozess P (,T ) für B() alle : 0 < < T ein Maringal is. (ii) Gil (i), dann is der Mark genau dann vollsändig, wenn Q das eindeuige Maß is, uner dem P (,T ) ein Maringal is. B() Das Maß Q wird auch äquivalenes Maringal Maß genann. Korollar. Es gil ( P (, T ) = E Q [exp ) ] T r (s) ds F mi F σ-algeba erzeug vom Preisverlauf bis zur Zei und E Q Erwarungswer bzgl. des äquivalenen Maringal Maß Q. Bemerkung. Sei X eine F -meßbare Zahlung für ein Deriva, zahlbar bei T, und V () der faire Wer des Konraks. Dann is der diskoniere Preisprozess auch ein Maringal uner Q. Daher V () B() ( V () = E Q [exp ] T r (s) ds )X F 3
3 Long-Term Spo Rae Definiion. l () = lim T R(, T ) bezeichne man als Long-Term Spo Rae (falls dieser Limes exisier). Da Zero-Coupon Bonds nur Laufzeien von höchsens 30 Jahren haben, is es nich möglich l ()-Daen exak zu berachen. Die Were müssen saisisch geschäz werden. Dybvig-Ingersoll-Ross Theorem. Angenommen, die Enwicklung der Zinssrukurkurven sind arbiragefrei. Dann nimm l () fas sicher nich ab. 4 Fakoren Definiion. Ein 1-Fakor Modell is ein Modell, bei dem es nur eine einzige, eindimensionale Quelle von Zufälligkei gib. Ein Beispiel is die eindimensionale Brownsche Bewegung. In einem solchen Modell sind alle Preisveränderungen perfek (wenn auch nich linerar) mieinander korellier, dh. kennen wir die Veränderung in einer Größe (z.b. r ()), dann kennen wir die Veränderung im Preis von allen Anleihen. Definiion. In einem Muli-Fakoren Modell gib es mehr als eine Quelle der Zufälligkei. Ein Beispiel für einen Zwei-Fakor Modell is die 2-dimensionale Brownsche Bewegung (mi der Shor-Term Rae r () und ihrer Volailiä σ (r ()) Die Preisveränderungen sind nich perfek korrelier. Gib es m Fakoren, so kenn man mi den Veränderungen der Preise von m Bonds auch die Veränderungen aller anderer Bonds. 5 Ein Bond is ein Deriva Definiion. Uner einem Deriva verseh man ein Produk, dessen Preis vom Preis anderer Produke abhäng oder davon abgeleie wird. Die offensichlichse Form von Derivaen sind Opionen. Aber auch Bonds selber sind Derivae: der Preis von jedem Bond is abgeleie von dem Wissen über die Shor Rae r (), die den Basispreis beeinfluss. 4
6 Pu-Call Pariä Berache europäische Call und Pu Opionen mi demselben Ausübungsdaum T, und einen S-Bond als Underlying mi Preis P (, S) mi S > T. Sei p (), c () Preis vom Pu/Call zur Zei K Basispreis der Opionen Berache zwei Porfolios (A) Eine Call Opion und K Einheien vom T-Bond, P (, T ) (B) Eine Pu Opion und eine Einhei vom S-Bond, P (, S). A und B haben idenische Auszahlungen zur Zei T, denn: Der Wer von A is max {P (T, S) K, 0} + K = max{p (T, S), K} Der Wer von B is max {K P (T, S), 0}+P (T, S) = max{p (T, S), K} Wegen dem Gesez des einzigen Preises müssen die Were von Porfolio A und B auch zu früheren Zeipunken gleich sein. Daher muss gelen: c () + KP (, T ) = p () + P (, S) Pu-Call Pariä Die Pu-Call Pariä sag zwar nichs über den konkreen Wer von p () und c () aus, sie sell jedoch eine Beziehung dar, der jedes Modell in einem arbiragefreien Mark genügen muss. 7 Modellypen Es gib zwei Haupypen: 1.Equilibrium und Shor-Rae Modell Equilibrium Modelle bauen auf der Funkionsweise der Ökonomie auf. Sie berücksichigen die verschiedenen Risikopräferenzen der Anleger und versuchen ein Gleichgewich ( Equilibrium ) zwischen Angebo und Nachfrage herzusellen. Shor-Rae Modelle werden of als Equilibrium Modell bezeichne. Dies muss jedoch nich immer simmen und is im Allgemeinen sehr schwer nachzuweisen. 5
2. No-Arbirage Modell Der Ausgangspunk dieses Modells is die beobachee Zinssrukur zum akuellen Zeipunk. Zukünfige Preise enwickeln sich arbiragefrei und konsisen mi ihrer anfänglichen Preissrukur. 6