4-4 Grungesetze er klassischen Mechanik In er Kinematik ie sin Bewegungen beschrieben woren sin, in er Dynamik weren nun ie Ursachen für ie Bewegung er Körper beschrieben. 4. Masse un Kraft Das erste Newtonsche Axiom heißt Trägheitsgesetz un sagt: Richtung un Betrag er Geschwinigkeit eines Körpers weren in einem Inertialsystem beibehalten, wenn keine äußeren Kräfte wirken. Das zweite Newtonsche Axiom heißt Aktionsprinzip un sagt: Die zeitliche Änerung es Impulses p m ist gleich er wirkenen Kraft, ie em Proukt aus Masse un Beschleunigung gleich ist, p m m a. (4.0) Das ritte Axiom heißt Wechselwirkungsgesetz un sagt: actio reactio ( ). Die Masse ist as Maß für ie Trägheit, Massensymbol m, Masseneinheit kg. Trägheit ist Wierstan eines Körpers gegen Änerung es Bewegungszustans. Massen können mit Balkenwaagen erglichen weren. Anere Eigenschaft ist ie Schwere eines Körpers im Wirkungsbereich on Graitationskräften. Die Schwere eines Körpers auf er Ere kann mit eerwaage gemessen weren, ie eigentlich eine Kraft G mg bestimmt. ((Unterschie Äquator, Pole)) Die Übereinstimmung on schwerer mit träger Masse ist eine Grunlage er Einsteinschen Relatiitätstheorie. Mit c 0 als Vakuumlichtgeschwinigkeit sagt ie Relatiitätstheorie: Eine Masse, ie sich in einem Bezugssystem mit er Geschwinigkeit bewegt, ist in iesem System um en aktor größer als ie entsprechene ruhene Masse. c 0 Die Kraft hat als SI-Einheit as Newton, es gilt N kg m s. Die Kraft ist ein Vektor. Kräfteaition un -zerlegung erfolgen nach en Regeln er Vektorrechnung bzw. analytischen Geometrie, siehe Bil -6 aus HMS unten. ür einen unbeschleunigten Körper unter em Einfluss on N Kräften gilt ie Statik-Gleichung N j 0. (4.0) j Grunlagen er Physik für Bauingenieurwesen, D. reue Version om April 004
4-4. Ausgewählte Kräfte H α G α N h s ür ie Bewegung eines Körpers auf einer schiefen Ebene, ie mit er Horizontale en Winkel α einschließt, sin ie Hangabtriebskraft H un ie senkrecht zur läche wirkene Normalkraft N H m g sinα, N m g cosα. (4.03) ϕ zp m zf Die bei Drehbewegungen wirkene Zentrifugalkraft zf wir urch ie Zentripetalkraft zp kompensiert: ((auf Zentrifuge hinweisen)) zf ω m r zp. (4.04) ür iele makroskopische Systeme (eern, elastische Verformung fester Körper) un mikroskopische Systeme (atomare Systeme, molekulare Systeme) ist ie einer Verformung entgegenwirkene Kraft bei kleinen Auslenkungen s om kräftefreien Zustan c s. (4.05) 0 s Die Proportionalitätskonstante c (hier eerkonstante) aiert sich einfach (c c + c ), wenn man zwei eern parallel schaltet. Bei Hintereinanerschaltung zweier eern gilt ie reziproke Aition (/c /c + /c ). Grunlagen er Physik für Bauingenieurwesen, D. reue Version om April 004
4-3 Reibung erzeugt eine er Bewegung on estkörpern auf estkörpern (*) oer in lüssigkeiten (**) oer in Gasen (***) entgegengerichtete Kraft. Die Reibungskraft ist proportional er Kraft N, mit em ie reibenen estkörper zusammengepresst weren (*) oer proportional zu (** laminar) oer (*** turbulent) bei Strömung in lüssigkeiten un Gasen. Der Ü- bergang zwischen laminarer un turbulenter Strömung ist nicht an flüssig/gasförmig gebunen. Grunlagen er Physik für Bauingenieurwesen, D. reue Version om April 004
4-4 4.3 Dynamik in gleichförmig rotierenen Bezugssystemen In nicht-relatiistischen Bezugssystemen, ie sich mit konstanter Geschwinigkeit gegeneinaner bewegen, sin Kräfte un Beschleunigungen gleich. Ein Beobachter in einem System, as zusätzlich gegenüber einem Inertialsystem eine Beschleunigung erfährt, muss ie Wirkung einer zusätzlichen Trägheits- bzw. Schein-Kraft annehmen, um ie Beobachtungen in seinem System mit en Gesetzen er Mechanik in Übereinklang zu bringen. ((Personen in Trommelkarussell oer abstürzenen ahrstuhl beschreiben, Inertialsysteme erläutern)) Die Dynamik in gleichförmig rotierenen Bezugssystemen kann mit Zentrifugalkraft un Coriolis-Kraft erklärt weren. Im Kapitel 3.4 (Drehbewegung) war in G (3.7) er Zusammenhang zwischen Tangentialgeschwinigkeit un Winkelgeschwinigkeit ω un Raiusektor r gezeigt woren: rot ω r. (4.06) inet im rotierenen Koorinatensystem zusätzlich zur Drehbewegung eine Bewegung mit er Geschwinigkeit ' statt, ist ie im ruhenen Koorinatensystem beobachtete Gesamtgeschwinigkeit ' + rot ' + ω r. (4.07) Betrachtet man ie Beschleunigung a / im ruhenen System, setzt sie sich aus einer Beschleunigung im rotierenen System ( /) rot un er Zentrifugalbeschleunigung ω zusammen: + ω rot G (4.07) in G (4.08) eingesetzt ergibt a a + ω r + ω +. (4.08) ( + ω r) + ω ( + ω r) rot ω + ω rot + ω ( ω r) ( ω r) a ω ω ( r ω). (4.09) Aus em letzten Term in G (4.09) wir ω r, a r stets senkrecht auf ω un (r ω) senkrecht auf ω un as Vektorproukt ω (r ω) parallel zu r stehen. Damit wir aus G (4.09) urch Umstellen a' a + ' ω + ω r. (4.0) Multiplikation mit er Masse m ergibt als Kraft im rotierenen System rot + Coriolis + zf, (4.) wobei neben zur Kraft im ruhenen System ie Coriolis-Kraft un ie Zentrifugalkraft aiert weren. Am Äquator wirkt für ' parallel zu ω keine Coriolis-Kraft, gl. nächste Abbilung. Grunlagen er Physik für Bauingenieurwesen, D. reue Version om April 004
4-5 Nebenstehene Abbilung charakterisiert ie Zentrifugalkraft zf un ie Coriolis-Kraft Coriolis mω sinε auf er nörlichen Erhalbkugel bei Bewegung entlang eines Längengras. ε ist er Winkel nörlicher Breite. Punkte bezeichnen rechte Winkel. Der punktierte Vektor ω ist eine Parallelerschiebung er Erachse. ω ω ε ' ε C cf 4.4 Arbeit un Energie Die mechanische Arbeit W wir bei Verschiebung eines Massepunktes (Schwerpunktes) urch eine Kraft um as Wegelement s geleistet: W s s cos(, s). (4.) In G (4.) ist wie bei allen weiteren Betrachtungen as mit em orgesetzten "" bezeichnete ifferentielle Element erwenet woren, as aus em mit einem orgesetzten " " bezeichneten Differenzelement urch Grenzübergang entsteht, gl. Gleichungen (3.03), (3.0), (3.). In er Mitte on G (4.) steht as Skalarproukt zweier Vektoren. ür ortsabhängige Kräfte ist bei einem Weg om Punkt nach as Integral s W W s s s s, (4.3) zu berechnen, währen für ortsunabhängige Kräfte eine einfache Beziehung gilt: W s. (4.4) Beispiele für mechanische Arbeit sin: Hub (senkrechter Hub für α 90 ) Reibung R H α G α N s s h H m g sinα W m g h R µ N µ m g W µ m g s N Beschleunigung T 0 x s m a W m a s ½m( Ene Anfang) Verformung rücktreiben rück c x W 0 x ½ c x Grunlagen er Physik für Bauingenieurwesen, D. reue Version om April 004
4-6 ür ie Leistung gilt W P s. (4.5) Der Wirkungsgra eines Leistungswanlers (0 η ) wir als Verhältnis er effekti abgegebenen zur (hineingesteckten) Nennleistung efiniert P P effekti η. (4.6) N Die Energie eines Systems wir urch Zufuhr oer Abgabe mechanischer Arbeit erhöht oer ernierigt. Als Energiesatz er Mechanik gilt ie Gleichung E W. (4.7) Die mechanische Energie eines Körpers setzt sich aus kinetischer un potentieller Energie zusammen: E E kin + E pot. (4.8) E E kin + E pot konstant gilt als Energieerhaltungssatz er Mechanik. Z. B. ist E kin ½ m, E pot Lage m g h, E pot elast. ½ cs. Allgemeine ormulierungen es Gesetzes er Erhaltung er Energie sin: Im abgeschlossenen System ist ie Energie konstant. Man kann keine Maschine bauen, ie ohne Energiezufuhr auern Arbeit errichtet. 4.5 Impulse Der Impuls ist ie Bewegungsgröße eines Körpers (Massepunktes). Es gilt p m (4.9) mit er SI-Einheit kg m s N s. Der Impuls änert sich unter em Einfluss einer Kraft t Ene p bzw. pene panfang () t. (4.0) t Anfang gl. G (4.0). Die rechte Seite on G (4.0) beschreibt einen Kraftstoß. Grunlagen er Physik für Bauingenieurwesen, D. reue Version om April 004
4-7 Wir betrachten nun ein abgeschlossenes System on n Massepunkten. Die Gesamtmasse m es Systems ist m n n m k k.ür en Ortsektor es Schwerpunkts r S ieses Systems gilt mk rk k r S m. (4.) Wirken auf as System keine äußeren Kräfte, ann ist ie Summe aller inneren Kräfte (k j ausgeschlossen) null: n k, j 0. (4.) kj In iesem all gilt er Impulserhaltungssatz: n p p k p konstant oer 0. (4.3) k t ür zwei sich stoßene Teilchen gilt z. B. m " + m " m ' + m ', wobei ie einfach bzw. zweifach gestrichenen Geschwinigkeiten jene or bzw. nach em Stoß arstellen. Unter em Einfluss einer äußeren (auf en Schwerpunkt wirkenen ) Kraft a änert sich G (4.3) in p a. (4.4) Gewöhnlich gilt für Geschwinigkeiten weit unter er Lichtgeschwinigkeit p/ m /, weil ie Masse als konstant angenommen wir. Eine Rakete bekommt ihren Schub jeoch gerae urch ausgestoßene Gase. h. urch einen Masseerlust. Es gilt wegen er Prouktenregel er Differentiation m m a p m + m relati. (4.5) Der Übergang on zu relati trägt em Sacherhalt Rechnung, ass ie mit er Geschwinigkeit relati ausgestoßenen Gase eine Geschwinigkeit entgegengesetzt zur Rakete haben. Der Rückstoß ieser Gase erzeugt en Schub für ie Rakete (beachte negaties m/): m m& Schub relati relati. (4.6) Insgesamt ergibt sich für ie Änerung er Geschwinigkeit er Rakete () a + Schub m t wobei m(t) m 0 m& t ist., (4.7) Grunlagen er Physik für Bauingenieurwesen, D. reue Version om April 004
4-8 Rechnet man mit konstanter Erbeschleunigung g un er Startgeschwinigkeit null, ergibt sich für ie Beschleunigung m () & t g relati a m0 m& t un urch Integration on G (4.8) m m m t & 0 (4.8) () t 0 relati ln g t. (4.9) Die Engeschwinigkeit nach er Brennschlusszeit t B (Ziolkowskij-Raketengleichung) erhält man aus G (4.9) urch Einsetzen on t t B un m 0 m& t m Leer. 4.6 Stöße ür Stöße gilt stets er Impulserhaltungssatz, gl. G (4.3). ür elastische Stöße (nicht aber für inelastische Stöße) gilt außerem er mechanische Energieerhaltungssatz, a keine mechanische Energie in Wärme oer Verformungsenergie umgewanelt wir. Bei einem öllig inelastischen Stoß (unelastischen Stoß) haben beie Körper nach em Stoß ie gleiche Geschwinigkeit. Wir betrachten hier nur zentrale Stöße zweier Teilchen, für ie eine einimensionale Darstellung ausreichen ist. Geschwinigkeiten or bzw. nach em Stoß sin einfach bzw. oppelt gestrichen. Der Impulserhaltungssatz ergibt m " + m " m ' + m ', (4.30) un aus em Energieerhaltungssatz folgt ½ m " + ½ m " ½ m ' + ½ m '. (4.3) Durch Umformung un ineinaner Einsetzen er Gleichungen (4.30) un (4.3) ergeben sich für ie Geschwinigkeiten nach em elastischen Stoß ( m m ) ( m m ) + m m + m + m m + m. ür en öllig unelastischen Stoß lässt sich ie gemeinsame Geschwinigkeit allein aus em Impulserhaltungssatz berechnen: (4.3) m + m,. (4.33) m + m Aus em Vergleich er Gleichungen (4.33) un (4.3) un er Definition er kinetischen Energie ½ m lässt sich er Verlust mechanischer Energie als berechnen. m m W (4.34) ( ) ( m + m ) Grunlagen er Physik für Bauingenieurwesen, D. reue Version om April 004