Einführung in die Vektor- und Mtrizenrechnung Vektoren
Sklr und Vektor Größen, deren Werte durch reelle Zhlen usgedrückt werden können, heißen Sklre. Beispiele: Msse, Ldung, Tempertur, etc. Größen, die durch eine Zhlennge und zusätzlich eine Richtung im Rum chrkterisiert sind, nennt mn Vektoren. Beispiele: Geschwindigkeit, Krft, Beschleunigung, elektrische und mgnetische Feldstärke, etc. 2
Vektor Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke im Rum (P 1 P 2,,,c, ; Anfngspunkt: P 1 ; Endpunkt P 2 ). Länge der Strecke: Betrg des Vektors ; Bezeichnung: Unter dem Betrg oder der Norm eines Vektors versteht mn die nicht-negtive reelle Zhl =, Ein Vektor mit dem Betrg 1 heißt Einheitsvektor oder normierter Vektor; für jeden Vektor 0 ist / ein Einheitsvektor. 3
Vektor Nullvektor: Anfngs- und Endpunkt fllen zusmmen (Betrg null, Richtung unestimmt). Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie gleiche Länge und gleiche Richtung hen. 4
Vektor Die Menge ller Vektoren, die us einem vorgegeenen Vektor durch Prllelverschieung hervorgehen, ezeichnet mn ls den zu freien Vektor. Vektoren, die us durch Prllelverschieung hervorgehen und uf der durch gehenden Gerden liegen, ezeichnet mn ls linienflüchtige Vektoren. Ht ein Vektor einen festen Angriffspunkt, dnn spricht mn von einem geundenen Vektor (Physik; z.b. Krft uf strren Körper). Dreidimensionler Vektorrum mit krtesischen Koordinten 5
Rechenopertionen mit Vektoren Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr : Vektor der Länge > 0 : ht gleiche Richtung wie < 0 : ht entgegengesetzte Richtung wie = 0 : 0 = 0 Vektorddition 6
Rechenopertionen mit Vektoren Unter einer Linerkomintion der Vektoren,,,z mit den reellen Koeffizienten,,,z versteht mn einen Vektor der Form e = + + + dz Zwei Vektoren heißen kolliner, wenn es reelle Zhlen, git mit + = o. Geometrische Bedeutung: für, o sind die durch und gehenden Gerden prllel. 7
Rechenopertionen mit Vektoren Unter einer Linerkomintion der Vektoren,,,z mit den reellen Koeffizienten,,,z versteht mn einen Vektor der Form e = + + + dz Zwei Vektoren heißen kolliner, wenn es reelle Zhlen, git mit + = o. Geometrische Bedeutung: für, o sind die durch und gehenden Gerden prllel. Drei Vektoren heißen komplnr, wenn es reelle Zhlen,,c git mit + + cc = o. Geometrische Bedeutung: für,,c o sind,,c einer Eene prllel. Sind, nicht kolliner zw.,,c nicht komplnr, so heißen sie liner unhängig. 8
Rechenopertionen mit Vektoren Unter einer Linerkomintion der Vektoren,,,z mit den reellen Koeffizienten,,,z versteht mn einen Vektor der Form e = + + + dz Zwei Vektoren heißen kolliner, wenn es reelle Zhlen, git mit + = o. Geometrische Bedeutung: für, o sind die durch und gehenden Gerden prllel. Drei Vektoren heißen komplnr, wenn es reelle Zhlen,,c git mit + + cc = o. Geometrische Bedeutung: für,,c o sind,,c einer Eene prllel. 9 Zwei Vektoren sind orthogonl zueinnder, wenn sie ufeinnder senkrecht stehen. Derrtige Vektoren sind im Flle, o liner unhängig. Eenso sind drei Vektoren, die prweise orthogonl und o sind, liner unhängig. orthogonle Vektoren orthonormle Vektoren (Vektoren sind zueinnder orthogonl und esitzen die Norm eins) 1 0 0 1
Rechenopertionen mit Vektoren: Sklrprodukt Sklrprodukt, Inneres Produkt Unter dem Sklrprodukt der Vektoren und versteht mn die Zhl =, = cosφ woei φ der von und eingeschlossene Winkel ist. Eigenschften des Sklrprodukts Kommuttivität: erfüllt Assozitivität: Distriutivität: erfüllt erfüllt 10
Rechenopertionen mit Vektoren: Sklrprodukt A mulitpliziert mit der Projektion von B uf A B mulitpliziert mit der Projektion von A uf B 11
Astrktion des Vektoregriffs Verllgemeinerung des Vektoregriffs üer die Eene oder den dreidimensionlen Rum hinus. Beides lässt sich strkt, er vergleichsweise einfch ewerkstelligen: Wir erklären ds Ojekt 1 2 3 4... n mit den n Komponenten 1, 2, n ls einen n-dimensionlen Vektorrum. Für n 4 verliert dieses Ojekt zwr seinen geometrischen Bezug, doch kommt es uns hier nur uf die formlen Vektoropertionen n. Eine ndere Drstellungsweise des Sklrprodukts ist demnch: n =, = i= 1 i i = 1 1 + 2 2 + L n n 12
Anwendung des inneren Produkts Mß für die Ähnlichkeit zw. Gleichheit zweier Signle 13 Inneres Produkt <x,z> = 8 (eide Signle stimmen nicht gut üerein)
Anwendung des inneren Produkts 14 Inneres Produkt <x,y> = +22 (eide Signle stimmen reltiv gut üerein)
Anwendung des inneren Produkts 15 Inneres Produkt <x,y> = +22 (eide Signle stimmen reltiv gut üerein)
Anwendung des inneren Produkts <x,z> = 8 <x,c> = + 22 <x,y> = + 22 16
Anwendung des inneren Produkts Betrg oder Norm eines Vektors : nicht-negtive reelle Zhl =, = n i= 1 2 i Für lle, us V und lle reellen Zhlen c gilt: 1) 0; = 0 genu dnn, wenn = 0 2) c = c 3) + + 17
Anwendung des inneren Produkts Betrg oder Norm eines Vektors : nicht-negtive reelle Zhl =, = n i= 1 2 i Für unsere Beispiele gilt: c c y y x x x = 28 = 5.29 y = 19 = 4.36 c = 59 = 7.68 18
Anwendung des inneren Produkts Inneres Produkt <x,y/ y > = 4,77 <x,c/ c > = 2,68 19
Anwendung des inneren Produkts Phseneziehung zweier Signle Sind zwei Signle in Phse, wird ds innere Produkt groß sein. 20 Quelle: Durk: Mtching Pursuit nd unifiction in EEG nlysis. Artec House, 2007.
Anwendung des inneren Produkts Phseneziehung zweier Signle Sind zwei Signle phsenverschoen / in entgegengesetzter Phse, wird ds innere Produkt deutlich kleiner sein. 21 Quelle: Durk: Mtching Pursuit nd unifiction in EEG nlysis. Artec House, 2007.
Anwendung des inneren Produkts Orthogonlität zweier Signle Signle, deren inneres Produkt null ist, sind orthogonl zueinnder. 22 Quelle: Durk: Mtching Pursuit nd unifiction in EEG nlysis. Artec House, 2007.
Anwendung des inneren Produkts Orthogonlität zweier Signle: Ein Beispiel Sinusförmige Signle, deren Frequenzen gnzzhlige Vielfche einer gemeinsmen Grundfrequenz sind, sind zueinnder orthogonl. = sin(x) = sin(7x) <,> = 0 23 Quelle: Durk: Mtching Pursuit nd unifiction in EEG nlysis. Artec House, 2007.
Ein Beispiel zur Anwendung des inneren Produkts Hochuflösende Frequenz-Zeit-Anlyse von Zeitreihen Fourier-Trnsformtion: Wvelet-Trnsformtion: Sinus-/Kosinus-Funktion Wvelet-Funktion Welche Funktion liefert eine optimle Repräsenttion des Signls? 24 Figure y courtesy of Piotr J. Durk http://durk.info
Ein Beispiel zur Anwendung des inneren Produkts Typische EEG / MEG - Signle Können wir einen Pool von Funktionen ( Dictionry ) generieren, der (ds) umfngreich genug ist, um lle möglichen Strukturen in einem Signl drzustellen? 25
Adptive Approximtion des Signls Dictionry us Gor-Funktionen Gor-Funktionen erhält mn durch die Multipliktion einer Guss schen Einhüllenden unterschiedlicher Ausdehnung ( time support ) mit Oszilltionen unterschiedlicher Frequenz und Phse. 26 Figure y courtesy of Piotr J. Durk http://durk.info
Adptive Approximtion mit Mtching Pursuit (MP) 27 Figure y courtesy of Piotr J. Durk http://durk.info
Adptive Approximtion mit Mtching Pursuit (MP) Der Mtching-Pursuit Algorithmus 1. Finde unter einer Vielzhl von Gor-Funktionen genu diejenige, die dem Signl m esten entspricht, d.h. die ds größte innere Produkt mit dem Signl ergit. Signl Funktion 28 Figure y courtesy of Piotr J. Durk http://durk.info
Adptive Approximtion mit Mtching Pursuit (MP) Der Mtching-Pursuit Algorithmus 2. Nchdem die Amplitude ngepsst wurde, wird die Funktion von dem zu untersuchenden Signl sutrhiert. Signl Funktion ngepsst Residuum 29 Figure y courtesy of Piotr J. Durk http://durk.info
Adptive Approximtion mit Mtching Pursuit (MP) Der Mtching-Pursuit Algorithmus 3. Wiederhole die Schritte 1 und 2, is (nhezu) ds gesmte Signl erklärt ist (d.h. is nur noch Ruschen ürig leit). 30 Figure y courtesy of Piotr J. Durk http://durk.info
Rechenopertionen mit Vektoren: Vektorprodukt Vektorprodukt (Äußeres Produkt, Kreuzprodukt) Unter dem Vektorprodukt x der Vektoren und versteht mn einen Vektor der Länge = sinφ der uf und senkrecht steht, und zwr so, ds,, und x ein rechtshändiges System ilden. Der Betrg des Kreuzprodukts entspricht dem Flächeninhlt des von und ufgespnnten Prllelogrmms. 31 Eigenschften des Vektorprodukts Kommuttivität: nicht erfüllt Assozitivität: erfüllt Distriutivität: erfüllt
Rechenopertionen mit Vektoren: Vektorprodukt Vektorprodukt (Äußeres Produkt, Kreuzprodukt) Unter dem Vektorprodukt x der Vektoren und versteht mn einen Vektor der Länge = sinφ der uf und senkrecht steht, und zwr so, ds,, und x ein rechtshändiges System ilden. 32 Quelle: Tipler, Physik
Rechenopertionen mit Vektoren: Vektorprodukt Drehimpuls eines Teilchens ls Vektorprodukt des Ortsvektors und des lineren Impulses L = r x p L: Drehimpuls r: Ortsvektor p: linerer Impuls = mv m: Msse 33 Quelle: Tipler, Physik
Rechenopertionen mit Vektoren: Vektorprodukt Berechnung des Vektorprodukts in rechtwinkligen krtesischen Koordinten z y x z y x x y y x z x x z y z z y z y x z y x z y x z y x z y x z y x e e e e e e e e e e e e = = + + = + + = + + = ) ( ) ( ) ( 34