KAPITEL 11. Determinanten

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1 KAPITEL Determinnten Determinnten 8 echenregeln für Determinnten 86 Prktische Determintenerechnung 9 4 Vektorprodukte 5 Sklrprodukt für Vektoren im n 4 6 Vektorprodukt 8 7 Sptprodukt 5 Lernziele Definition der Determinnte für Mtrizen egel von Srrus für Determinnten Entwicklungsstz von Lplce echenregel (Summe, Produkt mit Zhlen) Multipliktionsstz Invertierrkeitstest Sklrprodukt im und im n Orthogonle Vektoren, orthonormle Vektoren 8

2 Determinnten Vektorprodukt (Kreuzprodukt), echtssystem, Prllelitätstest Sptprodukt, Sptvolumen Determinnten Mn estimmt Determinnten nur von qudrtischen Mtrizen Wir werden die Berechnung von Determinnten rekursiv durchführen, dh wir definieren wie mn eine Determinnte erechnet und führen dnn die Berechnung von (n + ) (n + )Determinnten uf die Berechnung von n ndeterminnten zurück Für ist A det () Betrchten wir nun Mtrizen: Definition Die Determinnte einer Mtrix A wird mit det A oder A ezeichnet und wird erechnet ls 4 det Nun zur Definition und Berechnung von n ndeterminnten: Definition Es sei A eine qudrtische n nmtrix Die (n ) (n )Mtrix, die us der Mtrix A entsteht, wenn mn die ite Zeile und die jte Splte streicht, sei mit U ij ezeichnet Dnn erechnet mn die Determinnte der 8

3 Determinnten n nmtrix A us den Determinnten der (n ) (n )Mtrizen U ij : det A : nÿ i ( ) +i i det U i nÿ i ( ) +i i U i Mtrizen Es sei A Dnn ist A + ( ) ( )+ ( ) Schreien wir die Berechnung der Determinnte noch einml us, so ist A + + ) Dnn sieht mn, dss die Determinnte wie folgt erechnet werden knn: Ds ist die Srrusche egel Die Srrussche egel ist uf Determinnten höherer Ordnung nichtüertrgr 84

4 Determinnten Beispiel Mn erechne die Determinnte von A 4 dnn ist A + 4+( ) 4 ( ) Stz 4 Für eine oere Dreiecksmtrix gilt det c ú ú ú d nn nn Beweis: Mn entwickle jede entstehende Determinnte nch der ersten Splte, d n der Spitze der jeweilige Splte immer ein Element der Huptdigonle steht und lle Elemente unterhl der Huptdigonle gleich Null sind, ergit sich die Behuptung 85

5 echenregeln für Determinnten Beispiel 5 A echenregeln für Determinnten Stz 6 (echenregeln für Determinnten (ei Zeilenumformungen)) Die Mtrix A sei in Zeilenform gegeen: A c ą ą ą n d Dnn gilt Ein gemeinsmer Fktor einer Zeile knn us det A herusgezogen werden, dh für œ gilt det c ą ą ą i det d c ą ą ą i d ą n ą n 86

6 echenregeln für Determinnten Besteht eine Zeile von A us der Summe i i + c i, dnn esitzt det A die entsprechende Summenzerlegung, dh det c ą ą i + c i d det c ą ą i d + det c ą ą c i d ą n ą n ą n Ensteht die Mtrix à us der Mtrix A durch vertuschen zweier Zeilen, so ist det à det A 4 Symmetrie in Zeilen und Splten: det A T det A Beweis: Der Beweis lässt sich mittels vollständiger Induktion führen, dh wenn er für Determinnten einer k kmtrix gilt, dnn muss mn zeigen, dss die Eigenschft dnn uch für Determinnten von (k + ) (k + )Mtrizen gilt Dzu verwendet mn den Entwicklung der Determinnte nch der ersten Splte Dmit mn uf diese Weise keinen Unfug schliesst, muss die sogennnte Induktionsvorussetzung erfüllt sein In unserem Fll genügt es zu zeigen, dss lle Eigenschften für Determinnten von Mtrizen gelten Folgerung 7 us (): Sind zwei Zeilen einer Mtrix A gleich, so ist ihre Determinnte gleich Null us der Symmetrie: Die Formeln von Stz 6 gelten nlog für die entsprechenden Spltenumformungen Indem mn Vielfche einer Zeile zu einer nderen Zeile (zw Vielfche einer Splte zu einer nderen Splte) ddiert knn mn Nullen erzeugen, die die Berechnung der Determinnte vereinfchen 87

7 echenregeln für Determinnten 4 Mn knn Determinnten mit Hilfe des Guß Algorithmus erechnen (ohne Vertuschen von Zeilen!), indem mn eine Zeilenstufenform oere Dreiecksmtrix erzeugt, d mn ds Vielfche einer Zeile zu einer nderen ddieren drf Anloges gilt für Splten Beispiel 8 Wir werden die folgende Determinnte zunächst nch der Srrusschen egel erechnen: det Wir hätten dieses Ergenis er uch nders erkennen können Es gilt nämlich z (,, 4) (,, ) + (,, ) z + z Drus können wir sofort schließen, dss die Determinnte gleich Null ist Weitere Eigenschften: Stz 9 (echenregeln für Determinnten): Für lle n nmtrizen A und B gilt: Multipliktionsstz det (AB) det A det B Invertierrkeitstest A ist invertierr det A () ohne Beweis Beweis zu (): Ist A invertierr, dnn git es eine Mtrix C mit AC CA E und nch () ist det AC det Adet C det E Folglich ist det A Die Umkehrung ist gerde die Crmersche egel (siehe später) 88

8 echenregeln für Determinnten Definition Eine n nmtrix A heißt regulär, wenn det A ist, gilt dgegen det A, so heißt die Mtrix singulär Folgerungen us dem Multipliktionsstz: det (AB) det (BA) det (A k ) (det A) k det (A ) (det A), flls A invertierr ist 4 det (C AC) det A, für lle invertierren n nmtrizen C Beweis zu () det (AB) det A det B det B det A det (BA) zu () det (A k ) det A (det (A k ) (det A) k zu () det (AA ) det A det (A ) det E und dmit ist det (A ) det A zu (4) det (C AC) det (C ) det A det C det A Wegen det A T det A knn mn eenso die Determinnte durchentwicklung von det A nch der iten Splte erechnen Dzu üerlegt mn sich, dss die Mtrix à (ą j ą ą ą j ą j+ ą n ) us der Mtrix A (ą ą ą j ą j ą j+ ą n ) durch j sukzessive Vertuschungen enchrter Splten entsteht Also gilt det à ( ) j det A Entwickelt mn nun erneut det à nch der ersten Splte, so ergit sich der sogennnte 89

9 echenregeln für Determinnten Stz (Entwicklungsstz von Lplce) det A nÿ i nÿ j ( ) i+j ij det U ij, ( ) i+j ij det U ij, Entwicklung nch der jten Splte Entwicklung nch der iten Zeile woei U ij die (n ) (n )Mtrix ezeichnet, die us A durch Streichen der iten Zeile und der jten Splte entsteht Vorzeichen nch der Schchrettregel: c d Unterdeterminnte durch Streichen der iten Zeile und jten Splte: 9

10 Prktische Determintenerechnung U ij c,j j,j+ n,j j,j+ n i, i, i,j i,j i,j+ i,n i i i,j ij i,j+ in i+, i+, i+,j i+,j i+,j+ i+,n n n n,j nj n,j+ nn d Beispiel Mn erechne die folgende Determinnte: ( ) +4 ( ) 5 z + z ( )( ) + ( ) ( ) 7 ( )( 7 8) 5 s + s Entwickl nch 4 Splte Entwickl nch Zeile Prktische Determintenerechnung Für die prktische Determinntenerechnung verwende mn für Determinten und Determinnten, die Spezilregeln 9

11 Prktische Determintenerechnung (Srrussche egel) Determinnten und höhere n ndeterminnten knn mn vorteilhft mittels GußAlgorithmus erechnen Dei echte mn, dss ds Vertuschen von Zeilen/Splten ds Vorzeichen der Determinnte ändert, dgegen knn mn Vielfche einer Zeile prolemlos zu einer nderen Zeile ddieren, der Wert der Determinnte ändert sich nicht Ist die Determinnte in Dreiecks zw Zeilenstufenform, dnn ergit sich us dem Entwicklungsstz, dss die Determinnte gleich dem Produkt der Huptdigonlelemente ist Mn knn den GußAlgorithmus uch nur teilweise usführen und dnn is zu einer Determinnte oder Determinte entwickeln Wir wollen die Determinnte von A c d erechnen Vrinte : GußAlgorithmus mit vorherigem Zeilenvertuschen Es ist sinnvoll die und 4 Zeile ls und Zeile zu hen, d hier die führenden Einsen schon d sind Deshl werden die und die Zeile sowie die und die 4 Zeile vertuscht, ddurch ändert sich ds Vorzeichen der Determinnte zweiml und die zugehörige Determinnte ist gleich der Ausgngsdeterminnte A

12 Prktische Determintenerechnung Nchdem die Zeilen vertuscht wren, wurde der GußAlgorithmus usgeführt und m Ende der Wert der Determinnte ls Produkt der Huptdigonlelemente erechnet (entspricht dem Entwickeln der Determinnte der oeren Dreiecksmtrix jeweils nch der Splte) Vrinte : Es werden nur die und die Zeile vertuscht, ddurch ändert sich ds Vorzeichen der Determinnte Anschliessend wird der GußAlgorithmus usgeführt A Jetzt vertuschen wir die und die 4 Zeile, ddurch ändert sich wiederum ds Vorzeichen der Determinnte und wir setzen den GußAlgorithmus fort: Anschliessend wurde jeweils nch der ersten Splte entwickelt Entweder mn führt noch einen GußSchritt us oder mn erechnet die Determinnte direkt und es ergit sich A ( ) ( ) + 9

13 Prktische Determintenerechnung Vrinte : Wir versuchen in einer Zeile oder Splte möglichst viele Nullen zu erzeugen, dss mcht mn indem mn Vielfche einer Zeile zw Splte zu einer nderen Zeile zw Splte ddiert Dei leit der Wert der Determinnte unverändert Schritt: Wir erzeugen eine weitere Null in der ersten Splte Dzu ddieren wir ds ( )fche der Zeile zur Zeile det A Schritt: Entwickeln nch der Splte: (+) Addieren ds ( 4)fche der Zeile zur Zeile dzu: Addieren ds ( )fche der Zeile zur Zeile dzu: 94

14 Prktische Determintenerechnung Schritt: Entwickeln nch der Splte: ( ) ( ) Vrinte 4: Entwickeln nch der Splte (günstig, d zwei Nullen) det A + Nun nch der Splte zw der Zeile entwickeln: +( ) +( )( ) + + +( ) ((( ) ( 4)) + + (( 4) ( ))) + ( ) + (( ) + ) + ( )( 4) ( ) Crmersche egel Wir werden die Crmersche egel nicht weiter verwenden Sie wird er enötigt um zu zeigen, dss jede reguläre n nmtrix invertierr ist Stz (Crmersche egel) Gilt für die Determinnte der Mtrix A (ą ą ą n ) die Beziehung det A, so ht ds Gleichungssystem A x mit einer rechten Seite 95

15 Prktische Determintenerechnung die Lösung x i det A det (ą ą i ąi+ ą n ), i,, n (Die ite Splte von A wird durch ersetzt) Ds Gleichungssystem A x ist äquivlent zu c n nn d c x x d c d n n nn x n n c x + x + + x n n x + x + + x n n d c d x n + x n + + x n nn n x ą + x ą + + x n ą n Dmit ist det ( ą ą n ) det A n ÿ x i ą i ą B ą n nÿ x i det (ą i ą ą n ) i i x det (ą ą ą n )x det A Die nderen Determinnten erechnen sich nlog D det A gilt ergit sich die Behuptung 96

16 Prktische Determintenerechnung Bemerkung 4 Mn sollte die Crmersche egel i Allg nicht zur vollständigen Auslösung eines Systems mit vielen Uneknnten verwenden (hoher echenufwnd!) Die Formel ist er gut geeignet zur Berechnung einzelner Uneknnter und insesondere zur Weiterverreitung, wenn im Gleichungssystem zusätzliche Prmeter enthlten sind Beispiel 5 Mn estimme die Lösungskomponente x des Gleichungssystems 5x + x + x 4 x + 5x + 6x 5x 4 x + x x 4 5x + x + 4x + x 4 Nch der Crmerschen egel gilt x det det c c d d Wir erechnen die einzelnen Determinnten: s + s Entwickl nch Zeile 97

17 und und dmit ist x ( 4) z + z ( ) z + z ( 6) z + z ( 4) z + z 4 Prktische Determintenerechnung ( ) z + z ( 5) z + z ( ) Entwickl nch Splte ( ) 95 E nch Splte E nch Splte ( )( 56 ) Definition 6 Es sei A eine n n Mtrix, dnn heißt die Zhl A ij : ( ) i+j,j,j+ n i, i, i,j i,j+ i,n i+, i+, i+,j i+,j+ i+,n n n n,j n,j+ nn Adjunkte des Elements ij 98

18 Prktische Determintenerechnung Bemerkung 7 Die Adjunkte des Elements ij ist gleich ( ) i+j ml die Determinnte der (n ) (n ) Mtrix, die mn us A erhält, wenn mn die ite Zeile und die jte Splte streicht,dh A ij ( ) i+j det U ij Dmit erhält mn us der Crmerschen egel: Stz 8 Ist die n n Mtrix A invertierr, so ist A det A c A A A n A A A n A n A n A nn d det A c A A A n A A A n A n A n A nn d T In Worten: Die Inverse von A ist Adjunktenmtrix von A det A ml die Trnsponierte der 99

19 4 Vektorprodukte 4 Vektorprodukte Sklrprodukt im Definition 9 Ds Sklrprodukt ą Èą, Í der Vektoren ą und ist definiert durch ą Èą, Í : ; ą cos ^(ą, ), flls ą und,, flls ą oder Ds Sklrprodukt, uch inneres Produkt gennnt, ist eine Zhl (Sklr) Folgerung Für ą, œ gilt ą Æ ą, dei gilt die Gleichheit wenn ą ein Vielfches des Vektors ist, dh ą, œ Dies liegt drn, dss cos ^(ą, ) Æ und die Gleichheit gilt, wenn der Winkel ein Vielfches von fi ist

20 4 Vektorprodukte Beispiel Wegen ę i gilt für einen elieigen Vektor ą ę + ę + ę stets ą ę i ą ę i cos ^(ą, ę i ) ą cos ^(ą, ę i ) i, i,, D sich us den Beziehungen m rechtwinkligen Dreieck cos ^(ą, ę ) ą und cos ^(ą, ę ) ą lesen lässt Im ergit sich nlog Dmit erhält mn ą (ą ę )ę +(ą ę )ę +(ą ę )ę Die Fktoren cos ^(ą, ę i ) nennt mn ichtungskosinus von ą echenregeln für ds Sklrprodukt: ą ą, gilt weil der Winkel zwischen ą und der gleiche Winkel wie zwischen und ą ist ( ą) ą ( ) (ą ), œ Es gilt ( ą) ą cos ^( ą, ) ą cos ^( ą, ) Für Ø gilt und der Winkel zwischen ą und ist gleich dem Winkel zwischen ą und Ist dgegen <, wie in der Skizze gezeigt, so ist und der Winkel zwischen ą und, lso fi, woei der Winkel zwischen ą und ist, dh cos ^( ą, ) cos ^(ą, ) Dmit ist die Gleichheit uch in diesem Fll gezeigt

21 4 Vektorprodukte (ą + ) c ą c + c Für den Beweis legen wir die xachse zw den Einheitsvektor ę in die ichtung des Vektors c, dnn ist c c ę c ę Dmit gilt ą c + c ą (c ę )+ (c ę )c (ą ę )+c ( ę )c ( + )c (ą+ ) ę (ą+ ) c Orthogonlitätstest: ą der Vektor ą orthogonl zum Vektor ist Flls die Vektoren orthogonl zu einnder sind, ist der von den Vektoren eingeschlossene Winkel gleich fi und dmit der Kosinus des eingeschlossenen Winkels gleich Null Ist umgekeht ą, dnn ist entweder einer der Vektoren der Nullvektor oder der Kosinus des eingeschlossenen Winkels gleich Null Der Nullvektor ist zu llen Vektoren orthogonl Der Kosinus ist Null für Winkel der Größe (l+)fi, l œ Z, in diesen Fällen ist der von den Vektoren eingeschlossenen Winkel gerde fi und die Vektoren stehen senkrecht ufeinnder, sind lso orthogonl Bemerkung Die Koordintendrstellung ą q i i ę i, q i i ę i ezüglich einer krtesischen Bsis (ę, ę, ę ) ermöglicht eine einfche Berechnung des Sklrprodukts und des ichtungskosinus: ą + +, ą cos ^(ą, ) ą ą pple + +, + + pple + pple + + +, flls ą,, und für den ichtungskosinus cos ^(ą, ę i ) mit den Bsisvektoren ę, ę pple i + +, i,,,, ę

22 4 Vektorprodukte Orthogonle Projektion Für Anwendungen in der Physik zw Mechnik, wo eine Areit ei konstnter Krft erechnet werden soll, ist es erforderlich die Projektion eines Vektors uf einen nderen zu erechnen Wir wolen die Projektion des Vektors ą uf den Vektor erechnen Die Projektion werde mit ą ezeichnet Der von ą und eingeschlossenen Winkel ist Aus geometrischen Üerlegungen m rechtwinkligen Dreieck erhlten wir für die Länge der Projektion ą ą cos Weiterhin ist die Projektion prllel zum Vektor und ht deshl die ichtung (ichtungsvektoren hen immer die Länge ): Dmit ergit sich us Länge und ichtung für die Projektion: ą ą cos Èą, Í ą Èą, Í ą (Dei ezeichnet Èą, Í ds Sklrprodukt) Aus der Skizze ergit sich, dss diese Formel eigentlich isher nur für spitze Winkel ( Æ Æ fi ) gilt Für Æ Æ fi ist cos negtiv und die oige Formel ist uch in diesem Fll gültig fi

23 5 Sklrprodukt für Vektoren im n 5 Sklrprodukt für Vektoren im n Im n ist unklr, ws der Winkel zwischen Vektoren sein soll, in diesem Fll definiert mn in völliger Anlogie zum Fll n deshl: Definition Ds Sklrprodukt zweier Vektoren ą ę + ę + + n ę n und ę + ę + + n ę n ist definiert ls ą Èą, Í + + n n und der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren ist (per Definition) cos ^(ą, ) : ą ą Èą, Í ą Folglich sind zwei Vektoren orthogonl, wenn ihr Sklrprodukt gleich Null ist Wie mn leicht nchrechnet gelten dmit die folgenden Stz 4 (echenregeln für ds Sklrprodukt) Seien ą,, c œ n, dnn gilt Èą, Í È, ąí (Kommuttivität) È ą, Í Èą, Í Èą, Í für lle œ Èą +, cí Èą, cí + È, cí (Distriutivität) 4

24 5 Sklrprodukt für Vektoren im n Bemerkung 5 Ds dreifche Sklrprodukt dreier Vektoren ist nicht definiert, d ds Sklrprodukt zweier Vektoren eine Zhl ist und ds Produkt einer Zhl mit einem Vektor wieder einen Vektor ergit Eigenschften orthogonler Vektoren Sowohl im ls uch im n gilt deshl die folgende orthogonle Zerlegung von Vektoren: Orthogonle Zerlegung von ą längs, flls ą ą + ą mit den Komponenten ą : ą Èą, Í in ichtung und ą ą Èą, Í orthogonl zu Dies ergit sich us Èą, Í Èą Èą, Í Èą, Í È, Í, Í Èą, Í È, Í Èą, Í Èą, Í Stz 6 (Stz des Pythgors) Ist ą, so folgt ą + ą + Beweis: ą + Èą +, ą + Í Èą, ąí + Èą, Í + È, ąí + È, Í ą + 5

25 5 Sklrprodukt für Vektoren im n Folgerung 7 Für die Länge der Projektion von ą uf den Vektor gilt: ą Æ ą Stz 8 (CuchySchwrzsche Ungleichung) Für elieige Vektoren ą, œ n gilt Èą, Í Æ ą, dei gilt die Gleicheit, wenn ą und prllel sind, dh wenn ą, œ Beweis: Für die Projektion des Vektors ą uf den Vektor gilt: ą Èą, Í Èą, Í und dmit wegen des Stzes von Pythgors: ą Èą, Í Æ ą Èą, Í Æ ą Flls ą ist, ergit sich sofort Èą, Í ą Aus der Üerlegung, dss die Projektion des Vektors ą uf den Vektor nur dnn in ichtung (oder entgegen) von ą zeigt, wenn der Vektor ą prllel zum Vektor ist und die Länge der Projektion mximl wird, d der Kosinus des eingeschlossenen Winkels gerde ist, ergit sich die Umkehrung 6

26 5 Sklrprodukt für Vektoren im n Vektorrumsierte Informtionssuche Die Idee der esten Approximtion knn mn zb uch ei der Dokumentensuche verwenden Nehmen wir n, wir wollen eine Suchmschine konstruieren, die uf Weprogrmmierung spezilisiert ist Sie durchsucht die Weseiten nch einigen wenigen Stichworten wie Einführung, Schnellkurs, eferenz, HTML, XML, PHP, Jv, und erstellt für jedes Dokument einen Vektor, dessen jte Komponente ngit, o und wo ds Dokument ds jte Stichwort enthält Zum Beispiel: Stichwort kommt im Titel vor, Stichwort ist im Dokument hervorgehoen (Fettdruck, Üerschrift, ), Stichwort kommt im Text vor, Stichwort kommt nicht vor Die Vektoren einiger Weseiten könnten dnn wie folgt ussehen: ą (,,,,,, ) ą (,,,,,, ) ą (,,,,,, ) Sucht ein Benutzer nun nch den Stichworten HTML eferenz, so ordnen wir dieser Suchnfrge den Vektor q (,,,,,, ) zu und erechnen den Winkel zwischen dem Dokumentenvektoren und dem Suchvektor cos j Èą j, qí, j,, 7 ą q Die Üereinstimmung ist umso esser, je näher der Winkel ei Null liegt und dmit je größer cos j ist Bemerkung 9 Dieses Verfhren ist noch viel llgemeiner nwendr D die CuchySchwrzsche Ungleichung in einem elieigem Vektorrum mit Sklrprodukt gilt und die Gleichheit genu ei prllelen Vektoren eintritt, 7

27 6 Vektorprodukt ruchen wir nur nch dem Mximum von Èą j, qí ą q zu suchen So knn mn zb uf dem Vektorrum der reellen Funktionen ein Sklrprodukt mit Hilfe des Integrls erklären und diese Idee verwenden, um in einem Audiosignl nch einem estimmten Teilstück zu suchen Oder mn knn dmit ein vorgegeenes Ojekt in einem Bild suchen Dieses Verfhren ist ls MtchedFilter eknnt 6 Vektorprodukt Ds Vektorprodukt ist wiederum nur für Vektoren des erklärt Definition Ds Vektorprodukt ą zweier Vektoren ą, œ ist der Vektor mit den Eigenschften: ą, flls ą oder oder ą prllel zu ist In llen nderen Fällen ist ą derjenige Vektor, der der senkrecht uf ą und steht, mit dem (ą,, ą ) ein echtssystem drstellt und dessen Betrg gleich dem Flächeninhlt F des von ą und ufgespnnten Prllelogrmms ist ą ą sin ^(ą, ) Ein rechtshändiges System zw echtssystem ergit sich us der 8

28 6 Vektorprodukt x echtehndegel Beispiel Für die Vektoren ę, ę, ę einer krtesischen Bsis gilt ę i ę i, ę ę ę ę ę, ę ę ę ę ę, ę ę ę ę ę Die Multiplittion ist folglich nicht kommuttiv, sie ist er uch nicht ssozitiv, d ę ę ę ę (ę ę ) (ę ę ) ę! Stz (echenregeln) Seien ą,, c œ, dnn gilt ą ą, ą ą (nicht kommuttiv), Die Multipliktion ist nicht ssozitiv, 4 ą ( + c) ą + ą, (ą + ) c ą c + c (Distriutivgesetze), 9

29 6 Vektorprodukt 5 Prllelitätstest: ą flls ą oder oder ą prllel zu 6 ą ą (ą ) Bemerkung Mn muss zwei Distriutivgesetze formulieren, d ds Vektorprodukt nicht kommuttiv ist Aufgrund der Distriutivität lssen sich Produkte in gewohnter Weise usmultiplizieren Insesondere erhält mn in einer krtesischen Bsis ę, ę, ę für ą ę + ę + ę und ę + ę + ę : ą ( )ę +( )ę +( )ę In nderer Schreiweise Ds Vektorprodukt zweier Vektoren knn mn deshl uch ls formle Determinnte ufschreien: ę ę ę ę ę ę Hierus ergeen sich uch die echenregeln für ds Vektorprodukt Bemerkung 4 Zwei nützliche Beziehungen sind ą ( c) (ą c) (ą ) c (Grssmnn)

30 6 Vektorprodukt (ą ) ( c d) (ą c)( d) ( c)(ą d) (Lgrnge) Insesondere erhält mn, dss ą ą (ą ) (ą ) T Mn knn dies umschreien zu: ą ą (ą ) (ą ) ą 4 Beispiel 5 Mn erechne den Flächeninhlt des von den Vektoren ą Es gilt 4 8 ufgespnnten Prlellogrmms ą ę ę ę (5 8 )ę x + ( 4 8 )ę y + ( 4 5)ę z Dmit eträgt der Flächeninhlt 5 ę ę ę und ą pple9 +( ) +( 7) Ô Ô 47,

31 6 Vektorprodukt Beispiel 6 Gesucht ist ein Vektor ą ( x, y, z ) T mit 4 5 x y z 9 8 D ds Vektorprodukt zweier Vektoren uf jedem der Vektoren senkrecht steht, git es keine Lösung, d der Vektor 4 nicht senkrecht uf dem Vektor steht, wie mn mit Hilfe des Sklrprodukts leicht usrechnet: ! Wir modifizieren nun die Aufge Gesucht ist ein Vektor ą ( x, y, z ) T mit In diesem Fll ist x y z Vektoren stehen senktrecht ufeinnder Wir erechnen nun ds Vektorprodukt: ( 8) + 8 4, dh die x y z ę x ę y ę z 4 5 x y z 4 z 5 y 5 x z y 4 x

32 6 Vektorprodukt Gleichsetzen mit dem gegeenen Vektor 4 z 5 y 5 x z y 4 x ergit ds linere Gleichungssystem 4 z 5 y 4 5 x z 7 y 4 x und dmit mit der Lösung x y z t ú D ą für ą prllel zu ist, knn 4 5 prllelen Vektor estimmt werden x y z t 4 5, t œ nur is uf einen zu Ds wollen wir m folgenden (eher trivilen) Beispiel vernschulichen Gesucht

33 6 Vektorprodukt ist ein Vektor ą ( x, y, z ) T mit Offensichtlich steht der Vektor erechnen nun ds Vektorprodukt: x y z x y z senkrecht uf dem Vektor ę x ę y ę z x y z z z y x Wir Gleichsetzen mit dem gegeenen Vektor z z y x mit der Lösung x y z + t D ą für ą prllel zu ist, knn prllelen Vektor estimmt werden x y z, t œ nur is uf einen zu D lle Lösungsvektoren in der xyeene liegen sind sie offensichtlich 4

34 7 Sptprodukt orthogonl zum Vektor In der folgenden Skizze soll ußerdem vernschulicht werden, dss uch der Flächeninhlt F x y z + t + t erhlten leit 7 Sptprodukt Eine Komintion us Sklr und Vektorprodukt ist ds us je drei Vektoren geildete Definition 7 (Sptprodukt) Seien ą,, c œ, dnn ist Sptprodukt definiert ls [ą,, c] : ą ( c) 5

35 7 Sptprodukt Stz 8 Der von den Vektoren ą,, c œ ufgespnnte Spt (Prllelflch oder Prllelepiped gennnt) ht ds Volumen: V [ą,, c] Beweis: Ds Volumen ist Grundfläche ml Höhe Die Grundfläche ht den Flächeninhlt F c und die Höhe ist die Projektion von ą uf c : h ą ( c) ( c) c Unter Berücksichtigung egeln ą ą und ds ist, erhält mn für ds Volumen: V h F ą ( c) c ą ( c) œ ( c) ą ( c) c c ą ( c) c Höhe c Grundfläche 6

36 7 Sptprodukt Folgerungen: Ds Volumen des Tetreders mit dem Knten ą,, c eträgt V Tetr 6 V Spt 6 [ą,, c] Test uf linere Unhängigkeit Die Vektoren ą,, c sind liner unhängig, dh sie sind nicht prllel zu einer Eene (sie spnnen ttsächlich einen Spt uf) Test uf echtssystem [ą,, c] (ą,, c) ist ein echtssystem [ą,, c] > Wie erechnet mn ds Sptprodukt in Koordinten? Wir erinnern drn wie mn ds Vektorprodukt usrechnet, es gilt c ę x ę y ę z c c c c c c c c c Folglich ist ą ( c) ( c c )+ ( c c )+ ( c c ) c c c c + c c c c c c c c 7

37 Beispiel 9 Mn üerprüfe, o die Vektoren ą, 7 Sptprodukt einen Spt ufspnnen Flls j, erechne mn ds Volumen und entscheide, o die Vektoren ein echtssystem ilden und c Alle Frgen lssen sich durch die Berechnung des Sptprodukts entworten, es ist [ą,, c] und dmit ist ds Volumen des Spts gleich [ą,, c] und die Vektoren ilden ein Linkssystem ufgrund des negtiven Vorzeichens des Sptprodukts 8

38 7 Sptprodukt Zusmmenfssung: Produkte von Vektoren im Sklrprodukt Vektorprodukt Sptprodukt ą ą [ą,, c] ą ( c) Ergenis ist eine Zhl ein Vektor eine Zhl ds Produkt ist kommuttiv (die eihenfolge der Fktoren spielt keine olle) nicht kommuttiv (die eihenfolge der Fktoren ist wesentlich) nicht ssozitiv (mn muss Klmmern setzen) distriutiv (mn drf usmultiplizieren) distriutiv (mn drf usmultiplizieren) geometrische Interprettion ą ist der Flächeninhlt des von ą und ufgespnnten Prllelogrmms [ą,, c] ist ds Volumen des von ą, und c ufgespnnten Spts Test uf Orthogonlität Prllelität linere Ahängigkeit ą ą ą ą Î [ą,, c] ą,, c liner hängig (liegen in einer Eene) insesondere gilt ą ą und ą echtssystem [ą,, c] >, Linkssystem [ą,, c] < Berechnung in Koordinten ą + + ą ęx ęy ęz [ą,, c] c c c 9