Musterlösuge für die Übugsaufgabe zur Vorlesug Mathematik für Iformatioswirtschaft Markus Richter 4. September 0
Ihaltsverzeichis Norme ud Skalarprodukte. Norme....................................... Skalarprodukte.................................. 4.3 Iduzierte Norme................................ 4.4 Orthoormalbase................................ 5.5 Defiitheit symmetrischer Matrize....................... 6 Grudbegriffe der Aalysis 8. Folge ud Familie............................... 8. Algebre...................................... 9.3 Ifimum, Supremum, Miimum ud Maximum................ 0.4 Mootoie......................................5 Grezwerte vo Folge.............................. 3 Topologische Begriffe 3. Ieres, Rad ud Abschluss vo Mege................... 3. Offee ud abgeschlossee Mege....................... 3 3.3 Beschräktheit.................................. 4 3.4 Kompakte Mege................................ 4 3.5 Vollstädigkeit.................................. 4 3.6 Zusammehägede Mege.......................... 5 4 Kovergezbegriffe ud Kovergezkriterie 6 4. Kovergez reeller Zahlefolge......................... 6 4. Kovergez vo Reihe............................. 8 4.3 Absolute Kovergez vo Reihe........................ 4.4 Puktweise Kovergez vo Fuktioefolge................. 4.5 Gleichmäßige Kovergez vo Fuktioefolge................ 5 4.6 Kovergez vo Potezreihe.......................... 6
Norme ud Skalarprodukte. Norme. Für de Vektor a erhält ma a = + ( ) + 5 = 4 + + 5 = 30 a = max{,, 5 } = max{,, 5} = 5 a = + + 5 = + + 5 = 8 (euklidische Norm), (Maximumorm), (Betragssummeorm). Für die übrige Vektore ergibt sich b =, c = 3, d = 5, b =, c =, d = 4, b =, c = 3, d = 7.. Die Eiheitssphäre etspreche geau de Radkurve der offee Eiheitskugel: 3. Im folgede seie u, v, w V ud α, β 0 beliebig gewählt. Es gilt da α = α ud β = β. Die Resultate folge da aus der Tatsache, dass Norme homoge sid ud die Dreiecksugleichug erfülle. v = ( )v = v = v = v. v w = v u + u w = (v u) + (u w) v u + u w. αv + βw αv + βw = α v + β w = α v + β w. 4. Ma erhält die folgede Ergebisse: x = + = 3, x = x = + = + 4 = 5 (,36068), x 4 = 4 4 + 4 = 4 + 6 = 4 7 (,030543), x 8 = 8 8 + 8 = 8 + 56 = 8 57 (,000975), x 6 = 6 6 + 6 = 6 + 65536 = 6 65537 (,00000), x = max{, } = max{, } =. Offebar ist x p umso kleier je größer p ist. Für wachsedes p ähert sich x p dabei immer mehr dem Wert vo x a. 5. Im folgede Sei v, w V beliebig gewählt. Sid r, s > 0 zwei positive Zahle, so gilt für jede Vektor u V die Aussage u B r (v) bzw. die Aussage u B s (w) geau da, we u v < r bzw. u w < s gilt. Es gelte v w s r, also r + v w s. Wählt ma eie Vektor u B r (v), so gilt u v < r. Daraus folgt, dass u w = (u v) + (v w) u v + v w < r + v w s gilt, was wiederum u B s (w) impliziert. Etspreched gilt B r (v) B s (w).
Wir setze voraus, dass v w r + s gilt. Ageomme, es existiert ei Vektor u B r (v) B s (w). Da gilt u v < r ud u w < s. Etspreched würde v w = (v u) + (u w) v u + u w < r + s gilt, was im Widerspruch zur Voraussetzug steht. Es gilt also u B r (v) B s (w) für alle u V, ud somit B r (v) B s (w) =. 6. Die Betragsfuktio R R, a a ist durch { a falls a 0, a := a falls a < 0 für alle a R defiiert. Wir weise u die vier defiierede Eigeschafte eier Norm auf R ach. Nichtegativität: Falls a 0 gilt, erhält ma a = a 0. Gilt a < 0, so erhält ma a = a > 0. Daher gilt a 0 für alle a R. Defiitheit: Offebar gilt 0 = 0. Ma erhält also a = 0 = a = 0 für alle a R. Sei u a R eie beliebig gewählte Zahl, für die a = 0 gilt. Nimmt ma a, dass a > 0 gilt, folgt mit a = a > 0 ei Widerspruch. Nimmt ma adererseits a, dass a < 0 gilt, so folgt mit a = a > 0 ereut ei Widerspruch. Es muss also a = 0 gelte. Wir habe somit gezeigt, dass a = 0 = a = 0 für alle a R gilt. Homogeität: Es seie α, a R beliebig gewählt. Falls α 0 ud a 0 gilt, so gilt auch αa 0, ud ma erhält αa = αa = α a. Falls α < 0 ud a 0 gilt, so erhält ma αa < 0 ud folglich αa = αa = α a. Diesselbe Gleichug erhält ma für de Fall das α 0 ud a < 0 gilt. Gilt schließlich α < 0 ud a < 0, so erhält ma αa > 0, woraus αa = αa = ( α)( a) = α a folgt. Wir habe also gezeigt, dass αa = α a für alle α, a R gilt. Dreiecksugleichug: Seie a, b R beliebig gewählt. Falls a 0 ud b 0 gilt, so folgt auch dass a + b 0 gilt, ud ma erhält a + b = a + b = a + b. Falls a < 0 ud b < 0 gilt, so gilt auch a + b < 0, ud ma erhält a + b = (a + b) = a + ( b) = a + b. Falls a 0 ud b < 0 gilt, so betrachtet ma die beide Uterfälle, i dee a + b 0 bzw. a + b < 0 gilt. Im erste Fall erhält ma a + b = a + b = a ( b) = a b < a + b. Im zweite Fall erhält ma a + b = (a + b) = a + ( b) = a + b a + b. I gleicher Weise verfährt ma für de Fall, dass a < 0 ud b 0 gilt. Isgesamt hat ma da gezeigt, dass a + b a + b für alle a, b R gilt. 7. Im folgede sei N beliebig gewählt. Wir weise die vier defiierede Eigeschafte eier Norm ach, wobei wir ausutze, dass die Betragsfuktio eie Norm auf R ist. Nichtegativität: Sei x = (x, x,..., x ) T R beliebig gewählt. Da gilt offebar x i 0 für alle i =,,...,, ud daraus folgt dass x = x + x + + x 0 gilt. Defiitheit: Für de Nullvektor 0 R gilt offebar 0 = 0. Also gilt x = 0 = x = 0 für alle x R. Sei u x = (x, x,..., x ) T R ei beliebig gewählter Vektor, für de x = 0 gilt. Ageomme, es existiert ei i {,,..., }, so dass x i 0 gilt. Da folgt daraus, dass x i > 0 gilt. Dies impliziert jedoch, dass x = x + x + + x i + + x > 0 gilt, was ei Widerspruch zu x = 0 ist. Es muss also x i = 0 für alle i =,,..., gelte, was bedeutet dass x = 0 gilt. Wir habe also gezeigt, dass x = 0 = x = 0 für alle x R gilt. Homogeität: Wir utze hier aus, dass die Betragsfuktio homoge ist. Für eie beliebige Vektor x = (x, x,..., x ) T R ud eie beliebige Skalar α R erhält ma somit αx = αx + αx + + αx = α x + α x + + α x = α ( x + x + + x ) = α x. 3
Dreiecksugleichug: Die Betragsfuktio erfüllt als Norm auf R die Dreiecksugleichug. Für beliebige Vektore x = (x, x,..., x ) T R ud y = (y, y,..., y ) T R erhält ma somit. Skalarprodukte x + y = x + y + x + y + + x + y x + y + x + y + + x + y x + y + x + y + + x + y x + y + x + y + + x + y = ( x + x + + x ) + ( y + y + + y ) = x + y.. Ma berechet a b folgedermaße: Die übrige Ergebisse laute a b = ( ) + ( 5) + 3 4 = 0 + = 0. a c = 8, b c =, a a = 38, b b =, c c =.. Jede der aufgeführte Recheregel folgt direkt aus der Biliearität des Skalarprodukts. Im folgede seie v, w, x, y V sowie α, β R beliebig gewählt. αv + βw, x = αv, x + βw, x = α v, x + β w, x. v, αx + βy = v, αx + v, βy = α v, x + β v, y. v + w, x + y = v, x + y + w, x + y = v, x + v, y + w, x + w, y. Ma beachte, dass v = ( )v ud w = ( )w gilt. Daher erhält ma v, w = ( )v, ( )w = ( ) v, ( )w = ( )( ) v, w = v, w. Offebar gilt v, w = ( )v, w = ( ) v, w = v, w, wie auch v, w = v, ( )w = ( ) v, w = v, w. Sei u V ei beliebiger Vektor, so gilt 0 = 0u. Hierbei bezeichet die 0 auf der like Seite des Gleichheitszeiches das Nullelemet im Vektorraum V ud die 0 auf der rechte Seite die reelle Zahl Null. Ma erhält da v, 0 = v, 0u = 0 v, u = 0 sowie 0, w = 0u, w = 0 u, w = 0..3 Iduzierte Norme. Fasst ma x, x,..., x ud y, y,..., y als Kompoete zweier -dimesioaler Vektore x = (x, x,..., x ) T R ud y = (y, y,..., y ) T R, so gilt (x y) = (x y + x y +... + x y ), x = ( x + x +... + x ) ud y = ( y + y +... + y ). Die Cauchy Schwarzsche Ugleichug liefert (x y) = x y ( x y ) = x y ud somit (x y + x y +... + x y ) ( x + x +... + x )( y + y +... + y ).. Für eie durch ei Skalarprodukt, iduzierte Norm auf R gilt x = x, x für alle x R. Daher gilt x # = x x x + x für alle x = (x, x ) T R. Ma erhält daher a # = 4, b # = ud c # =. 3. Zur Berechug der Wikel verwedet ma die Formel x y (x, y) = arccos x y 4
für x, y R. Damit ergibt sich: (a, a) = 0 (= 0 ), (a, b) = π 4 (= 45 ), ( a, b) = 3π 4 (= 35 ), (a, c) = 3π 4 (= 35 ), (b, c) = π (= 90 ). 4. Seie v, w V \ {0} zwei Vektore ud α > 0 ud β > 0 zwei reelle Zahle. Wege der Biliearität des Skalarprodukts, gilt αv, βw = αβ v, w. Da α ud β positive Zahle sid ist, gilt ferer α = α ud β = β. Wege der Homogeität der Norm, welche vom Skalarprodukt, iduziert wird, gilt daher αv = α v = α v, sowie βw = β w = β w. Daraus folgt αv, βw αβ v, w v, w (αv, βw) = arccos = arccos = arccos = (v, w). αv βw α v β w v w.4 Orthoormalbase. Die Vektore q (), q () ud q (3) bilde eie Orthormalbasis des R 3. Daher gilt v = (q () v) q () + (q () v) q () + (q (3) v) q (3) für alle Vektore v R 3. Für de Vektor x erhält ma also x = (q () x) q () + (q () x) q () + (q (3) x) q (3) = 3 q () I gleicher Weise erhält ma y = 3 3 q() + 6 q() + 6 q(3), z = q (). 6 q() q(3). Wir defiiere die Vektore v () :=, v () := 5, v (3) :=. Die Awedug des Gram Schmidtsche Orthogoalisierugsverfahre liefert p () := v () = p () := v () p(), v () p (), p () p() = 5 9 = 4 9 p (3) := v (3) p(), v (3) p (), p () p() p(), v (3) p (), p () p() = 4 = 9 9 0 Die Vektore p (), p () ud p (3) bilde eie Orthogoalbasis des R 3. Eie Orthoormalbasis erhält ma, idem ma die Vektore ormiert. Ma erhält da die Vektore q () := p() p () =, q () := p() 4, q (3) := p(3) 0 3 p () 8 p (3) Die Vektore q (), q () ud q (3) bilde eie Orthoormalbasis des R 3. 5
I gleicher Weise erhält ma durch Awedug des Gram Schmidtsche Orthogoalisierugsverfahres auf die Vektore ṽ () :=, ṽ () :=, ṽ (3) := ud aschließeder Normalisierug die Vektore q () :=, q () :=, q () :=, 3 6 0 welche eie Orthoormalbasis des R 3 bilde. 3. Für alle Vektore x = (x, x ) T R ud y = (y, y ) T R gilt x, y # = x y x y x y + x y sowie x # = x, y # = x x x + x. Die Stadardbasis des R wird vo de Vektore e () :=, e () := 0 0 gebildet. Die Awedug des Gram Schmidtsche Orthogoalisierugsverfahres liefert p () := e () =, 0 p () := e () p(), e () # p (), p () # p () = 0 = 0 Normiert ma diese Vektore bezüglich, #, so erhält ma die Vektore q () := p() =, q () := p() =, p () # 0 p () # 6 welche eie Orthoormalbasis des R bezüglich, # bilde. 4. Die Abbildug p j : R R bildet eie Vektor x = (x, x,..., x ) T R auf seie j-te Kompoete ab. Wählt ma das Stadardskalarprodukt v pj x = j= v p j x j = v p x + v p x + + v p x, so gilt p j (x) = v pj x = x j für alle x R geau da, we v pj a der j-te Kompoete eie ud sost ur Nulle ethält. Also gilt v pj = e (j), wobei e (j) de j-te Vektor i der Stadardbasis des R bezeichet..5 Defiitheit symmetrischer Matrize. Eie Matrix A ist geau da symmetrisch, we A T = A gilt. Für die Traspositio vo Matrize gelte die Recheregel (AB) T = B T A T ud (A T ) T = A. Daraus folgt (A T A) T = A T (A T ) T = A T A, sowie (A A T ) T = (A T ) T A T = A A T. Die Matrize (A T A) ud (A A T ) T sid also symmetrisch.. : Setzt ma voraus, dass A symmetrisch ist, so gilt A T = A. Daraus folgt A + A T ) = A + A = ( A = A. : Setzt ma voraus, dass A = A + A T gilt, so folgt daraus A T = (A + AT ) T = ( A T + (A T ) T) = ( A T + A ) = A + A T = A. Also ist A symmetrisch. 6
3. Da alle drei Matrize symmetrisch sid, ka ma das Hauptmiorekriterium awede. Für die Matrix A erhält ma A [] = det ( 4 ) 4 = 4, A [] = det = 8, A 3 [3] = det 4 0 3 = 8. 0 Es gilt also A [] < 0, A [] > 0 ud A [3] > 0. Die Matrix A ist somit weder positiv defiit och egativ defiit. Für die Matrix B erhält ma B [] = det ( ) =, B [] = det =, B 3 [3] = det 3 = 7. 5 Es gilt also B [] > 0, B [] > 0 ud B [3] < 0. Die Matrix B ist somit weder positiv defiit och egativ defiit. Für die Matrix C erhält ma C [] = det ( 4 ) = 4, C [] = det ( 4 ) 4 4 = 7, C [3] = det 4 = 50. 4 Da also alle Hauptmiore vo C positiv sid, ist C positiv defiit. 4. Wir zeige, dass, A die defiierede Eigeschafte eies Skalarprodukts erfüllt. Dabei verwede wir die Eigeschafte des euklidische Skalarprodukts sowie die Beziehug v Ay = Av y, welche für symmetrische Matrize A R sym ud alle Vektore x, y R gilt. Biliearität: Für alle Vektore x, x, x, y, y, y R ud alle reelle Zahle α, β R gilt x + x, y A = (x + x ) Ay = (x Ay) + (x Ay) = x, y A + x, y A, αx, y A = (αx Ay) = α(x Ay) = α x, y A, x, y + y A = x A(y + y ) = x (Ay + Ay ) = (x Ay ) + (x Ay ) = x, y A + x, y A, x, βy A = x A(βy) = x (βay) = β(x Ay) = β x, y A. Damit ist, A liear i beide Argumete. Nichtegativität: Da die Matrix A positiv defiit ist, gilt x Ax > 0 für alle x R \ {0}. Für x = 0 gilt außerdem x Ax = 0. Es gilt somit x, x A 0 für alle x R. Defiitheit: Für x = 0 gilt offebar x, x A = 0. Sei aderseits x R ei Vektor, so dass x,x A = x Ax = 0 gilt. Wege der positive Defiitheit vo A folgt da, dass x R \{0} ud somit x = 0 gelte muss. Somit ist, A defiit. Symmetrie: Für alle x, y V gilt x, y A = x Ay = Ax y = y Ax = y, x A. Also ist, A symmetrisch. 7
Grudbegriffe der Aalysis. Folge ud Familie. Durch Awedug der Rekursiosformel erhält ma f =, f =, f 3 = f + f = + =, f 4 = f 3 + f = + = 3, f 5 = f 4 + f 3 = 3 + = 5, f 6 = f 5 + f 4 = 5 + 3 = 8, f 7 = f 6 + f 5 = 8 + 5 = 3, f 8 = f 7 + f 6 = 3 + 8 =, f 9 = f 8 + f 7 = + 3 = 34, f 0 = f 9 + f 8 = 34 + = 55.. Zuächst bereche wir eiige Folgeglieder der Folge (a ) N. Durch Awedug der Rekursiosvorschrift ergibt sich a = =, a = a + = 4 =, a 3 = a + 4 = 9 = 3. Die erste drei Folgeglieder lege die Vermutug ahe, dass gaz allgemei a = für alle N gilt. Dies muss u mittels Vollstädiger Iduktio bewiese werde. Der Iduktiosafag für = ist dabei trivial. Wie wir bereits wisse gilt ämlich a = =. Für de Iduktiosschritt vo ach ehme wir a, dass a = ( ) für ei fest gewähltes N gilt. Gemäß Rekursiosvorschrift erhält ma da a = a + IV = ( ) + = + + =. Damit ist die Vermutug bewiese. Berechet ma die erste Folgeglieder der Folge (b ) N, so erhält ma b = =, b = = 0, b 3 = / =, b 4 = /4 = b. Die Vermutug ist also, dass b = für alle N gilt. Der Beweis dieser Vermutug erfolgt wiederum mittels vollstädiger Iduktio. Der Iduktiosafag für = ist dabei trivial. Im Iduktiosschritt erhält ma b = b IV ( ) = = + = Damit ist die Vermutug bewiese. Die erste Folgeglieder der Folge (c ) N sid durch c = /, c = /3, c 3 = 3/4 gegebe. Also liegt die Vermutug ahe, dass c = + für alle N gilt. Wieder verwedet ma vollstädige Iduktio, um diese Vermutug zu beweise, wobei der Iduktiosafag für = trivial ist. Im Iduktiosschritt vo ach erhält ma IV c = = c + + = + = +. Die erste Glieder der Folge (d ) N sid die erste ugerade Zahle, 3, 5,.... Daher liegt die Vermutug ahe, dass d := für alle N gilt. Wie zuvor scho beweist ma diese Vermutug mittels vollstädiger Iduktio. 8
3. Es gilt p 0 (x) = x + ( 0 )x = x + x = f, p (x) = x + ( ( ) )x = x + ( )x = x = (x )(x + ) = f 4, p (x) = x + ( )x = x + ( )x = x = (x )(x + ) = f 4. Somit sid f ud f 4 Mitglieder der Familie (p α ) α R. Dabei kommt f geau eimal ud f 4 geau zweimal i der Familie vor. Die Fuktioe f ud f 3 sid keie Mitglieder der Familie, da weder für f och für f 3 ei α R existiert, sodass f = x + ( α )x oder f 3 = x + ( α )x für alle x R gilt.. Algebre. Zeige Sie, dass der Vektorraum R zusamme mit der Fuktio R R R, welche durch x y x y := x y x y für alle x = (x, x ) T R ud alle y = (y, y ) T R defiiert ist, eie Algebra über R ist.. Beides zusamme beweist die Biliearität der Mutliplikatio. Liearität der Abbildug x x y für festes y R achweise: (αa + b) y (αa + b) y = (αa + b) y (αa + b) y αa y = + b y αa y + b y αa y + b y αa y = αa y b y + b y αa y b y a y = α a y b y + b y a y b y = α(a y) + b y Zeige, dass x y = y x gilt: x y x y = x y x y = x y x y y x. Betrachte die Matrix A :=. A max = Es gilt A = = A max = Für Submultipliktivität müsste A A max A max A max gelte, aber es gilt A A max = > A max A max =. Somit ist A max icht submultiplikativ. 3. Wir betrachte die Mege { a b M := b a } R a, b R ud die Fuktio M : M R, welche durch A M := A + A für alle A R defiiert ist. Zeige Sie, dass M eie Algebra auf R ist. 9
Um zu zeige, dass M eie Norm auf M ist, weise wir folgede vier Eigeschafte ach (a) Nichtegativität: Für alle A R gilt A 0, da A 0 ud A 0 für alle A R. (b) Defiitheit: Für alle A R gilt A = 0 A = 0, : Aus A + A ( = 0 folgt ) (wege A 0 ud A 0), dass A = 0 0 A = 0 ud damit A =. 0 0 0 0 : Aus A = folgt A 0 0 + A = 0 + 0 = 0. (c) Homogeität: ( Für alle A) R ud alle α R gilt: αa α b αa M = = αa + α b = α ( A αb αa + A ) = α A M. (d) Für alle A, B R gilt A + B M = A + A + B + B v + w v + w. Zeige Sie, dass (M, M ) eie ormierte Algebra ist..3 Ifimum, Supremum, Miimum ud Maximum. Für x := 3/, x := π, x 3 := ud x 4 := log 0 (4) gilt 3/ x =, 3 π 4 x = 3, x = 4 x 3 =, x 3 = x = log 0 (4) 3 x 4 =, x 4 = 3. Skizziere Sie die Fuktiosgraphe der Fuktioe [ 3, 3] R, x x ud [ 3, 3] R, x x. 3. 4. 5. Skizze fertige ich a. if mi sup max M 0 M M 3 M 4 0 if mi sup max a a = 4 a = 4 b b = b = b = / b = / c c k+ = c k+ = c k = c k = (k N) d 0 d = 4 d = 4 if mi sup max f f () = 3 f () = 3 6 f f 3 f 3 (0) = 0 f 3 (0) = 0 f 4 f 4 () = f 4 () = 0
.4 Mootoie. a := ist streg mooto falled, da a = gilt. > = + = a + für alle N b := ist streg mooto steiged, da b = < = + = b + für alle N gilt. π c := cos ist weder mooto steiged och mooto falled, da c 4k 3 = cos( π ) = 0; c 4k = cos(π) = ; c 4k = cos( 3π ) = 0; c 4k = cos(π) = für alle k N. d :=, d + := + d ist streg mooto steiged, da d < d < d + = d + wege d > 0 für alle N gilt.. (a ) N : = = mod 3 a = = = 4 4 mod 3 a 4 = = 3 = 6 6 0 mod 3 a 6 = = 4 = 8 8 mod 3 a 8 = 3 = 5 = 0 0 mod 3 a 0 = (a ) N : = = mod 3 a = = = 4 4 mod 3 a 4 = = 3 = 9 9 0 mod 3 a 9 = = 4 = 6 6 mod 3 a 6 = = 5 = 5 5 mod 3 a 5 = (a 6+ ) N : = 6 + = 7 7 mod 3 a 7 = = 6 + = 3 3 mod 3 a 3 = = 3 6 + = 9 9 mod 3 a 9 = = 4 6 + = 5 5 mod 3 a 5 = = 5 6 + = 3 3 mod 3 a 3 = (a! ) N : =! = mod 3 a = =! = mod 3 a = 3 = 3! = 6 6 0 mod 3 a 6 = = 4! = 4 4 0 mod 3 a 4 = = 5! = 0 0 0 mod 3 a 0 = 3. a := ist Teilfolge vo x := /, da a = x für alle N gilt. b := /3 ist keie Teilfolge vo x. Für jedes a N gilt: Es gibt geau drei i N ud geau zwei j N, sodass gilt: b i = a ud x j = a. Da i > j ka es keie streg mooto wachsede Fuktio ϕ : N N gebe, so dass b = x ϕ() für alle N gilt. c := ist Teilfolge vo x, da c = x für alle N gilt. d := 4 ist keie Teilfolge vo x. Es gilt d = 3; d = 4; d 3 = 3. d ist somit keie mooto steigede Folge ud somit auch keie Teilfolge der mooto steigede Folge x.
.5 Grezwerte vo Folge. lim a = lim lim b = lim + 3 ++ = lim = lim + 3+ + = 0 = lim c ++ + (+) + = lim = lim = lim = lim + = lim d + = lim 3 = lim + + 3 = lim 3 = 3 lim e ( )(3 )(+) = lim (5 )(+)(3 ) = lim ( )(3 )(+ ) = 6 (5 )(+ )(3 ) 0 = 3 0 Iduktiosbeweis, dass + +... + = (+) für alle N gilt: IA: = = + = IV: + +... + = (+) gelte für ei beliebiges, aber festes N. {}}{ IS: + +... + + ( + ) IV = (+) + ( + ) = (+)+(+) = (+)(+). Sei (V, ) eie ormierte Algebra über K, sei (v ) N eie kovergete Folge i V mit Grezwert v, ud sei p : V V, x α 0 + α x + α x +... + α x ei Polyom mit Koeffiziete i α 0, α,..., α K. Begrüde Sie, weshalb die Folge (p(v )) N gege p(v) kovergiert. 3. Zeige Sie, dass die reelle Zahlefolge (a ) N, (b ) N ud (c ) N, defiiert durch für alle N, diverget sid. 3 Topologische Begriffe a := ( ), { falls ugerade ist, b := / falls gerade ist, c := 3. Ieres, Rad ud Abschluss vo Mege. (M ) = (, 0); M M = (, 0) {, 0} = (M ) = (, ); M M = [, ] {, } = {, } (M 3 ) = (, 0) (0, ); M 3 M 3 = ((, 0) (0, )) ({, 0} {0, }) = {, 0, } (M 4 ) = Z; M 4 M 4 = Z =. Es gilt S =. Wählt ma v = /m mit m N ud ( m m+ ) > ε > 0, so gilt für alle Pukte p B ε (v) dass p / S. Somit erfüllt v icht die Bediguge eies Radpuktes bzgl. S. Da S = gilt, folgt auch dass S \ S =. 3. Sei (V, ) ei ormierter Raum über K. Zeige Sie, dass für jede Teilmege M V die folgede Aussage gelte: M M = Wäre v ei Radpukt vo M, gäbe es für jede positive Zahl ε > 0 zwei Vektore v 0, v B ε (v), so dass v 0 M ud v M gilt. Wäre v ei ierer Pukt vo M, gäbe es eie positive Zahl ε > 0, so dass B ε (v) M gilt. Dies steht im Widerspruch zueiader, sodass daraus M M = folgt.
( M) = Für eie iere Pukt v M müsste ei ε > 0 existiere, sodass B ε (v) M gilt. Da gäbe es zwei Möglichkeite:. v M v / M (da M M = ).. v / M v / M. Beide Möglichkeite führe zum Widerspruch, sodass ( M) = folgt. ( M) = M ( M) M: Ist w ei Radpukt vo M, gibt es für jede positive Zahl ε > 0 zwei Vektore w 0, w B ε (w), so dass w 0 M ud w M gilt. Gilt w 0 M, gibt es zwei Möglichkeite:. w 0 M. w 0 / M ( M) M: Ist w ei Radpukt vo M, gibt es für jede positive Zahl ε > 0 zwei Vektore w 0, w B ε (w), so dass w 0 M ud w M gilt. 4. v ist Radpukt eier Mege M, we für jede positive Zahl ε > 0 zwei Vektore v 0, v B ε (v) existiere, so dass v 0 M ud v M gilt. Mithilfe dieser Defiitio ergibt sich v (A B) (v 0 (A B) v (A B)) (v 0 / A v 0 / B) (v A, v B) (v 0 / A, v A, v B) (v 0 / B, v A, v B) (v A, v B) (v A, v B) v ( A B) v (A B) v (( A B) (A B)) 3. Offee ud abgeschlossee Mege. O := (, ) \ {0} = (, 0) (0, ) ist als Vereiigug zweier offeer Mege wieder eie offee Mege. O := α [0,] (α, α + ) ist eie Familie offeer Teilmege ud als Vereiigug dieser wiederum eie offee Mege. O 3 := R \ ( [ 3, ] [, 3] ) = (, 3) (, ) (3, ) ist als Vereiigug dreier offeer Mege wieder eie offee Mege. O 4 := {/x x > 0} = (0, ) ist eie offee Mege.. Es gilt O \ A = (V \ A) O ud A \ O = (V \ O) A. A V ist eie abgeschlossee Mege, d.h. (V \ A) ist offe. Da auch O offe ist, ist O \ A = (V \ A) O als Schitt zweier offeer Mege wieder eie offee Mege. O V ist eie offee Mege, also ist (V \ O) abgeschlosse. Da auch A abgeschlosse ist, ist A \ O = (V \ O) A als Schitt zweier abgeschlosseer Mege wieder eie abgeschlossee Mege. 3. Zeige Sie mit Hilfe des Folgekriteriums für Abgeschlosseheit, dass jede ach ute beschräkte, abgeschlossee Teilmege vo R ei Miimum besitzt. Zeige Sie außerdem, dass jede ach obe beschräkte, abgeschlossee Mege ei Maximum besitzt. 4. Beutze die beide Beziehuge M offe M = M ud M abgeschlosse M = M. M := [0, ] (0, ] M = (0, ) (0, ); M = [0, ] [0, ] M M, M M M ist weder offe och abgeschlosse. 3
M := B (0) \ {0} M = B (0); M = B (0) M M, M M M ist weder offe och abgeschlosse. M 3 := { (x, x ) T R x > } = (, ) (, ) ist eie offee Mege, da beide Itervalle offe sid. M 4 := R \ Z = x,y Z ((x, x + ) (y, y + )) ist als Vereiigug eier Familie offeer Mege wieder eie offee Mege. 3.3 Beschräktheit. Für alle x B r (v) gilt: x v r. Mithilfe der umgekehrte Dreiecksugleichug erhält ma x v x v ud damit x v x v r x v + r. Somit gilt auch x B v +r (0).. a := ( ) ist beschräkt, da a i [, ] für alle i N gilt. b := 3 + ist beschräkt, da b 3 i [, 3] für alle i N gilt. c := 4 3 + 3 + = + + 3.4 Kompakte Mege + ist icht beschräkt, da lim c =. + 3 +. Verwede de Satz vo Heie-Borel zur Lösug der Aufgabe: + 3 M := [, ] [3, 4] ist kompakt, da M abgeschlosse ud beschräkt ist. 3 ud damit M := [, ] \ {0} = [, 0) (0, ] ist icht abgeschlosse, also auch icht kompakt. M 3 := {/ N} {0} ist beschräkt ud abgeschlosse (da x M 3 x [0, ]), also kompakt. M 4 := N ist icht beschräkt, also auch icht kompakt.. Nach?? ist eie kompakte Mege beschräkt ud abgeschlosse. Der Durchschitt beliebig vieler kompakter Teilmege vo K ist ebefalls kompakt: Nach?? ist der Durchschitt D eier beliebige Azahl abgeschlosseer Teilmege vo K wieder eie abgeschlossee Teilmege vo K. Nach?? ist der Durchschitt D eier beliebige Azahl beschräkter Teilmege vo K wieder eie beschräkte Teilmege vo vo K. D ist somit abgeschlosse ud beschräkt ud damit ach?? kompakt. Die Vereiigug edlich vieler kompakter Teilmege vo K ist ebefalls kompakt: Nach?? ist die Vereiigug V eier edliche Azahl abgeschlosseer Teilmege vo K wieder eie abgeschlossee Teilmege vo K. Nach?? ist die Vereiigug V eier edliche Azahl beschräkter Teilmege vo K wieder eie beschräkte Teilmege vo K. V ist somit abgeschlosse ud beschräkt ud damit ach?? kompakt. 3.5 Vollstädigkeit. Wählt ma N = ε, so gilt für a := ( ) 4
v v m = ( ) ( ) = + m ( )m m + ( )m m N = ε = ε. Wählt ma N = log 3 ( ε ), so gilt für b := 3 v v m = 3 3 m 3 + 3 m 3 N Somit erfülle beide Folge die Cauchy-Defiitio. = = ε = ε. ε. Sid (v ) N ud (w ) N zwei Cauchy Folge i V, so gibt es für jede positive Zahl ε > 0 zwei atürliche Zahle N, N N, so dass v v m < ε, w w m < ε für alle m,, m, N mit m N sowie m N. Defiiere M := max N, N, da gilt v v m < ε, w w m < ε N mit m M sowie m M. für alle m,, m, Wähle u ei M M, so dass für alle 3, m 3 N mit 3 m 3 M gilt, dass v 3 v m3 < ε/ ud w 3 w m3 < ε/. Da gilt: (v 3 + w 3 ) (v m3 + w m3 ) = v 3 v m3 + w 3 w 3 Somit ist (v + w ) N eie Cauchy-Folge. v 3 v m3 + w 3 w 3 < ε/ + ε/ = ε. Wählt ma M M, so dass für alle 3, m 3 N mit 3 m 3 M gilt, dass v 3 v m3 < ε α, so gilt für (αv ) N mit α K: αv 3 αv m3 = α v 3 v m3 < α ε α ε. Somit ist auch (αv ) N eie Cauchy-Folge. 3.6 Zusammehägede Mege. M := (, ) (, ) = (, ) ist eie ichtleere Teilmege vo R ud ei Itervall M ist zusammehäged. M := Z ist kei Itervall auf R M ist icht zusammehäged. M 3 := (, ) \ {0} = (, 0) (0, ) ist kei Itervall auf R M 3 ist icht zusammehäged. 5
M 4 := N [, ) = (0, ) ist eie ichtleere Teilmege vo R ud ei Itervall M 4 ist zusammehäged.. Die Vereiigug vo zwei zusammehägede Mege ist im Allgemeie icht zusammehäged, de [, ] R ud [3, 4] R sid jeweils zusammehägede Mege, icht jedoch (, ) (3, 4) (kei Itervall auf R). 3. Für eie eipuktige Mege {v} mit v V wäre die eizige existete Mege O = O = {v}. Da gilt jedoch icht O O =, sodass die Bedigug für Zusammehag icht erfüllt werde ka. 4. Es gelte folgede zwei Bediguge: Abgeschlosseheit: Eie Mege A R heißt abgeschlosse, we die Mege R \ A offe ist. Zusammehag: Eie ichtleere Teilmege vo R ist geau da zusammehäged, we sie ei Itervall ist. Ist A u ach obe, icht aber ach ute beschräkt, muss es ei Itervall der Form (, b] oder (, b) sei, um die Bedigug für Zusammehag zu erfülle. Da ur mit A := (, b] gilt, dass R \ A = (b, ) offe ist, folgt die Behauptug. 4 Kovergezbegriffe ud Kovergezkriterie 4. Kovergez reeller Zahlefolge. I diesem Abschitt wurde diskutiert, dass ( lim + x ) = e x für alle x R gilt. Dies wird bei de folgede Grezwertbestimmuge städig verwedet. Es gilt (( lim a = lim + )( + ) ) ( = lim + ) ( lim + = e = e, ) ( + lim b = lim = lim + ( ( = lim + ) ) = e ), (( lim c = lim + )( ( = lim + )) ( lim + ) ) = e e =. ( lim d ( ( ) = lim ) = lim = lim + ) = e. =. Da die -te Wurzelfuktioe mooto wachsed sid, gilt offebar a für alle N mit 00. Außerdem gilt Nach dem Sadwichtheorem gilt somit lim = lim =. lim a =. Die Abschätzug b gilt für alle N. Ferer gilt lim = lim =. 6
Nach dem Sadwichtheorem gilt also lim b =. Ma überlegt sich leicht, dass für alle N mit die Abschätzug 3 gilt. Etspreched gilt auch /3 c 3/ = 3/ für alle, sowie lim Nach dem Sadwichtheorem gilt somit 3 = lim 3 = 0. lim c = 0. Für jede reelle Zahl x gilt 3 x x. Daher erhält ma die Abschätzug + d für alle N. Weiterhi gilt 3 + = 3 + lim Nach dem Sadwichtheorem gilt also 3 + = lim = 0. lim d = 0. 3 = = 3. Nach Voraussetzug ist die Folge (b ) N beschräkt. Also existiert eie utere Schrake u R sowie eie obere Schrake o R für die Folgeglieder vo (b ) N. Es gilt da u b o für alle N. Ebeso gilt a u a b a o für alle N. Da die Folge (a ) N eie Nullfolge ist, gilt ( lim a u ) = u lim a = 0, sowie Etspreched erhält ma ach dem Sadwichtheorem. ( lim a o ) = o lim a = 0, lim a b = 0. 4. Es sei x = (x, x,..., x ) T K ei beliebiger Vektor. Es gilt da a p = p x p + x p + + x p für alle p N. Sei u k {,,..., } ei Idex, so dass x k := x gilt. Wir ehme also a, dass x k eie betragsgrößte Kompoete vo x ist. Ma überlegt sich leicht, dass da x = x k = p x k p a p ud gilt. Ferer gilt a p p x k p = p p x k p = p x lim x ( = lim p p x k p) = x. p p Nach dem Sadwichtheorem kovergiert die Folge (a p ) p N also gege x. 7
5. Es gilt a + a = + + + + = ( + )( + ) > 0 ud somit a + > a für alle N. Die Folge (a ) N ist also streg mooto wachsed. Ferer gilt a = + + + + + + = + für alle N. Die Folge (a ) N ist also durch die Zahl ach obe beschräkt. Damit erfüllt (a ) N die Voraussetzuge des Mootoiekriteriums. Die Folge (a ) N ist also koverget. Mittels Vollstädiger Iduktio ach ka ma beweise, dass die Glieder der Folge (b ) N durch die Zahl ach obe beschräkt sid. Der Iduktiosafag für = folgt dabei umittelbar aus der Defiitio der Folge. Für de Iduktiosschritt vo ach + immt ma a, dass b für eie beliebige Zahl N gilt. Es folgt da b + = + b I.V. + =. Für alle N gilt also b. Etspreched erhält ma die Abschätzug b + = + b b b b = b für alle N. Die Folge (b ) N ist also mooto wachsed. Sie erfüllt damit die Voraussetzuge des Mootoiekriteriums. Gemäß Defiitio der Folge (c ) N gilt offebar c > 0, sowie c + c =, woraus c + c für alle N folgt. Die Folge (c ) N ist also mooto falled ud durch die Zahl Null ach ute beschräkt. Nach dem Mootoiekriterium ist die Folge (c ) N also koverget. Offebar sid die Glieder der Folge (d ) N ichtegativ. Es gilt also d 0 für alle N. Daraus folgt d + = = d d + d + + d d + d + + d für alle N. Die Folge (d ) N ist somit mooto falled ud durch Null ach ute beschräkt. Nach dem Mootoiekriterium ist die Folge also koverget. 4. Kovergez vo Reihe. Die erste vier Partialsumme der erste Reihe sid durch =, = = + = 3, = 3 = + + 3 = 6, = 4 = + + 3 + 4 = 0 = gegebe. Für die übrige Reihe erhält ma i gleicher Weise 0 =0 = =, ( ) + =, ( ) =, = =0 = = 5 4, ( ) + = 3, ( ) =, = =0 3 = = 49 4 36, = 05 44, = ( ) + = 3 3 5, ( ) + = 76 05, 3 ( ) = 6, = =0 4 ( ) = 0. = 8
. Betrachtet ma für eie beliebige atürliche Zahl N N die N-te Partialsumme der erste Reihe, so erhält ma N ( ) ( = ) ( + + ) ( + + 3 N ) ( + N N ) N + = = N +. Dies liegt dara, dass die Brüche /, /3,..., /N i der Summe jeweils geau zweimal mit uterschiedliche Vorzeiche auftrete. Der Grezwert eier Reihe ist als der Grezwert der Folge ihrer Partialsumme defiiert. Also erhält ma ( ) = lim + = I gleicher Weise erhält ma ( + ) = lim = = 3 + = lim N ( 3 N = N ( N = N = 3 + + N ( ) ) ( = lim ) =. N N + ) ( ( + ) = lim 0 N ( = lim 3 3 ) = 3. N N + 3. Betrachtet ma die erste Reihe, so stellt ma fest, dass 4 = ( 4 4 = =0 gilt. I dieser Darstellug erket ma eie geometrische Reihe =0 q ) ) N (N + ) = 0, mit q = /4. Da hier offebar q < gilt, ist die Reihe koverget, ud ihr Grezwert ist durch q = q gegebe. Demzufolge erhält ma = =0 4 = 4 /4 = 3. We higege q gegolte hätte, so wäre die Reihe diverget gewese. Etspreched erhält ma 6 5 = 6 = 6 5 /5 = 5, da 5 = 5 <, =0 =0 6 5 = 6 ist diverget, da 6 5 5 = 6 5 >, =0 =0 = = / = +, da = <, = =0 ( + i) ist diverget, da + i = >, =0 ( + i) = = = i, da + i ( + i) + i = <. =0 =0 9
4. Sei z {0,,,..., 9} eie beliebig gewählte Ziffer. Nach Defiitio der Dezimaldarstellug gilt da 0,z = z 0 + z 00 + z 000 + = z 0 = z 0 = 5. Betrachtet ma die Summade der Reihe =, ( 0 =0 ) = z 0 /0 = z 9. so stellt ma fest, dass für alle N gilt. Daher stellt die harmoische Reihe = eie Miorate zur erste Reihe dar. Da die harmoische Reihe diverget ist, folgt aus dem Mioratekriterium, dass auch die erste Reihe diverget ist. Für die Summade der zweite Reihe gilt ( + )( ) lim = lim = lim ( ) Die Folge der Summade bildet also keie Nullfolge. Daher ka die zweite Reihe icht koverget sei. Für die Summade der dritte Reihe gilt die Ugleichug + 4 + = für alle. Da die harmoische Reihe diverget ist, ist auch die Reihe = = = =. diverget. Wir habe somit eie divergete Miorate zur dritte Reihe gefude. Die Summade der vierte Reihe erfüllte die Ugleichug für alle N. Die Reihe + + = = ist also auch für die vierte Reihe eie divergete Miorate. 6. Es gilt q = q k + q k+ + q k+ + = q k( + q + q + ) = q k =k =0 q = q k q = qk q. 0
4.3 Absolute Kovergez vo Reihe. Für die Summade der erste Reihe gilt + = + = für alle N. Also ist = 3/ eie Majorate zur erste Reihe. Die Majorate ist absolut koverget, da der Expoet vo echt größer ist als Eis. Nach dem Majoratekriterium ist die erste Reihe somit absolut koverget. Die zweite Reihe ist offebar koverget ach dem Leibizkriterium. Sie ist jedoch icht absolut koverget. Es gilt ämlich = ( ) + = =. Für die Summade der rechte Reihe gilt die Abschätzug für alle N. Also ist die Reihe eie divergete Miorate vo = = = = ( ) +. Für die Utersuchug der dritte Reihe bietet sich das Wurzelkriterium a. Bezeichet ma ämlich de -te Summade der Reihe mit a, so gilt ( ) lim a = lim = lim = <. Also ist die Reihe absolut koverget. Auch das Quotietekriterium führt zum Ziel. Es gilt ämlich lim a + a = lim ( + ) + + + = lim = <. Betrachtet ma die vierte Reihe, so stellt ma fest, dass die Summade dieser Reihe durch die Partialsumme der geometrische Reihe k k= gegebe sid. Da /3 < gilt, kovergiert die geometrische Reihe gege de Grezwert 3 /3 = 3. Die Summade der vierte Reihe bilde also keie Nullfolge. Daher ist die vierte Reihe icht koverget ud somit auch icht absolut koverget. Für die Utersuchug der füfte Reihe ka ma beispielsweise das Quotietekriterium verwede. Bezeichet ma mit a de -te Summade der Reihe, so gilt lim a + a = lim Die Reihe ist also diverget. + ( 3 + ) (( + ) 3 + ) = lim 3/ 3 + 3 + 3 + 3 + = >.
. Für die Summade der Reihe gilt die Abschätzug cos() = cos() für alle N. Also ist die Reihe = = ( eie kovergete Majorate zur ursprügliche Reihe. Nach dem Majoratekriterium ist die ursprügliche Reihe absolut koverget, weshalb ma auf sie die Dreiecksugleichug für absolut kovergete Reihe awede ka. Für de Grezwert s der Reihe gilt daher s = = cos() = cos() = =0 = ) ( =0 ) = / =. 3. Zuächst stellt ma fest, dass cos(π) für alle N gilt. Daher gilt für die Summade der Reihe die Abschätzug 4 +cos(π) 4 für alle N. Also ist die geometrische Reihe = 4 = ( 4 eie kovergete Majorate zur ursprügliche Reihe. Gemäß Majoratekriterium ist die ursprügliche Reihe also absolut koverget. Sie erfüllt damit die Voraussetzuge des Umordugssatzes. Betrachte de Cosius-Term etwas geauer, so stellt ma fest, dass cos(π) = ( ) für alle N 0 gilt. Also sid die Summade der ursprügliche Reihe durch 4 ϕ() für alle N gegebe, wobei die Abbildug ϕ : N 0 N 0 gemäß ϕ() := + ( ) für alle N defiiert ist. Die Wertetabelle =0 ) 0 3 4 5 6 7 ϕ() 0 3 5 4 7 6 legt ahe, dass die Fuktio ϕ die Mege N 0 bijektiv auf sich selbst abbildet. Tatsächlich ist die Fuktio ϕ selbstivers, d.h. es gilt ϕ = ϕ bzw. (ϕ ϕ)() = für alle N 0. Es gilt daher = 4 = cos(π) = 4 = ϕ() 4 + =0 Umordugssatz = 4 + =0 4 = ϕ() 4 + =0 4 = (ϕ ϕ)() 4 + = 4 + = 4 4 + /4 = 3. 4.4 Puktweise Kovergez vo Fuktioefolge. Die Fuktiosgraphe vo s, s, s 3 ud c, c, c 3 sehe folgedermaße aus: =0 4 ϕ() =0 4
. Die Legedre Polyome P, P 3 ud P 4 sid durch für alle x R gegebe. ( ) ( ) P (x) = x P (x) P 0 (x) = 3 x, ( 3 ) (3 ) P 3 (x) = x P (x) P (x) = 5 3 3 x3 3 x, ( 4 ) (4 ) P 4 (x) = x P 3 (x) P (x) = 35 4 4 8 x4 5 4 x + 3 8 3. Wählt ma eie beliebige Stelle x R, so gilt lim f (x) = lim x + = lim x + / = x. Also kovergiert die Fuktioefolge (f ) N auf gaz R puktweise gege die Grezfuktio f : R R, welche durch f(x) := x für alle x R defiiert ist. Der Kovergezbereich vo (f ) N ist also R. Wählt ma x 0, so gilt A der Stelle x = 0 gilt jedoch lim g (x) = lim x =. lim g (0) = lim 0 = 0. Also kovergiert die Fuktioefolge (g ) N auf gaz R puktweise gege die Grezfuktio g : R R, welche durch { 0 falls x = 0, g(x) := sost für alle x R defiiert ist. Der Kovergezbereich vo (g ) N ist also R. Aus x < / folgt offebar x <. Daher gilt lim h (x) = lim (x) + = für alle x R mit x < /. Für x = / gilt außerdem lim h = lim + =. 3
Für x > / ud x / divergiert die Folge (h (x)) N. Daher kovergiert die Fuktioefolge (h ) N auf dem Itervall ( /, /] puktweise gege die Grezfuktio h : ( /, /] R, welche durch falls x = g(x) :=, sost für alle x ( /, /] defiiert ist. Auf der Mege R \ ( /, /] ist die Fuktioefolge (h ) N diverget. Daher ist das Itervall ( /, /] der Kovergezbereich vo (h ) N. Sei x > 0 beliebig gewählt. Da existiert eie atürliche Zahl N N, so dass / < x für alle N mit N gilt. Demetspreched gilt auch x [ /, /] ud somit r (x) = 0 für alle N mit > N. Also hat ma lim r (x) = 0 für alle x > 0. I gleicher Weise zeigt ma, dass lim r (x) = 0 für alle x < 0 gilt. Als ächstes wede wir us dem Fall x = 0 zu. Offebar gilt / < 0 < / ud somit 0 [ /, /] für alle N. Demzufolge gilt lim r (0) = lim =. Die Folge (r (0)) N divergiert also bestimmt gege. Wir habe damit gezeigt, dass die Fuktioefolge (r ) N auf der Mege R \ {0} puktweise gege die Grezfuktio r : R \ {0} R kovergiert, die durch r(x) := 0 für alle x R \ {0} defiiert ist. Auf der eipuktige Mege {0} divergiert die Fuktioefolge. Daher ist die Mege R \ {0} der Kovergezbereich vo (r ) N. 4. Ma erket sehr leicht, dass die Glieder der Fuktioefolge (f ) =0 durch f (x) := + x + x + + x = für alle N 0 ud alle x R gegebe sid. Für eie fest gewählte Stelle q R etspricht die Folge der Fuktioswerte (f (q)) =0 also geau der geometrische Reihe k=0 Die geometrische Reihe ist bekatlich geau da koverget, we q < gilt. Ihr Grezwert beträgt i diesem Fall q. Die geometrische Reihe ist higege diverget, we q gilt. Also kovergiert die Fuktioefolge (f ) =0 im offee Itervall (, ) puktweise gege die Grezfuktio f : (, ) R, welche durch f(x) := x für alle x (, ) gegebe ist. Sie divergiert higege auf der Mege R \ (, ). Also ist das Itervall (, ) der Kovergezbereich vo (f ) =0. q k k=0 x k 4
4.5 Gleichmäßige Kovergez vo Fuktioefolge. Die Fuktioefolge (f ) N kovergiert puktweise auf [0, ] gege die Grezfuktio f : [0, ] R, welche durch f(x) = 0 für alle x [0, ] defiiert ist. Um zu zeige, dass (f ) N gleichmäßig gege f kovergiert, wählt ma eie beliebige Stelle x [0, ]. Es gilt da isbesodere 0 x ud x. Außerdem gilt f (x) f(x) x = x + = x x + 0 + = für alle N. Es ist also möglich, für beliebige Stelle x [0, ] de Abstad der Fuktioswerte f (x) ud f(x) durch eie vo x uabhägige Term ach obe abzuschätze, der für gege Null kovergiert. Damit ist die gleichmäßige Kovergez vo (f ) N gege f gezeigt. Offebar kovergiert die Fuktioefolge (g ) N auf dem Itervall [0, ] puktweise gege die Grezfuktio g : [0, ] R, welche durch g(x) := x für alle x [0, ] defiiert ist. Außerdem gilt g (x) g(x) = x + x = (x + /) x = x + / + x = 0 + / + 0 = x + / + x für alle x [0, ] ud alle N. Wiederum ka für jede Stelle x [0, ] der Abstad der Fuktioswerte g (x) ud g(x) durch eie vo x uabhägige Term ach obe abgeschätzt werde, der für gege Null kovergiert. Damit ist die gleichmäßige Kovergez vo (g ) N gege g gezeigt. Defiiert ma die Fuktio h : [0, ] R durch h(x) := si(πx) für alle x [0, ], so gilt h (x) h(x) si(πx) + cos(πx) = si(πx) = si(πx) + cos(πx) si(πx) = cos(πx) für alle x [0, ] ud alle N. Also kovergiert die Fuktioefolge (h ) N gleichmäßig gege die Grezfuktio h. Schließlich betrachte wir die Fuktio p : [0, ] R, welche durch p(x) := x für alle x [0, ] defiiert ist. Es gilt p (x) p(x) x = x + x = x x(x + ) x + = x x + x x = für alle x > 0 ud alle N, sowie für alle N. Also gilt p (0) p(0) = 0 < p (x) p(x) < für alle x [0, ] ud alle N. Damit ist gezeigt, dass die Fuktioefolge (p ) N gleichmäßig gege p kovergiert.. Zuächst stelle wir fest, dass die Nullfuktio auf der Mege D eie beschräkte Fuktio ist, ud daher ei Elemet vo B(D, W ). Das Bild der Nullfuktio ist ämlich die eipuktige Mege {0 W }, welche beschräkt ist. Hierbei bezeichet 0 W das Nullelemet im Vektorraum W. Sid u f B(D, W ) ud f B(D, W ), so existiere ach Voraussetzug zwei ichtegative Zahle R 0 ud R 0, so dass f (x) R ud f (x) R 5
für alle x D gilt. Setzt ma u R := R + R, so gilt R 0, ud ma erhält die Abschätzug f (x) + f (x) f (x) + f (x) R + R = R für alle x R. Also ist die Fuktio (f + f ) beschräkt, d.h. es gilt (f + f ) B(D, W ). Sei u f B(D, W ) eie beschräkte Fuktio ud α K ei beliebiger Skalar. Da existiert eie ichtegative Zahl R 0 0, so dass f(x) R 0 für alle x D gilt. Setzt ma R := α R 0, so gilt R 0, ud ma erhält die Abschätzug αf(x) = α f(x) α R 0 = R für alle x D. Es gilt also (αf) B(D, W ). Wir habe damit gezeigt, dass die Mege B(D, W ) abgeschlosse bezüglich Additio ud skalarer Multiplikatio ist. Da B(D, W ) außerdem die Nullfuktio ethält, ist B(D, W ) ei Vektorraum über K. 3. Wir wisse bereits, dass B(D, W ) ei Vektorraum über K ist. Wir weise u die Normeigeschafte der Abbildug,D : B(D, W ) R ach. Nichtegativität: Sei f B(D, W ) eie beliebig gewählte, beschräkte Fuktio, ud sei x 0 D ei beliebiger Pukt. Da gilt f(x 0 ) 0, da eie Norm ist. Daraus folgt jedoch auch f,d = sup f(x) f(x 0 ) 0. x D Also gilt f,d 0 für alle f B(D, W ). Defiitheit: Für die Nullfuktio 0 B(D, W ) gilt offebar 0,D = 0. Sei u f B(D, W ) eie beschräkte Fuktio, für die f,d = 0 gilt. Wir wolle zeige, dass f die Nullfuktio ist, dass also f(d) = {0 W } gilt, wobei 0 W das Nullelemet i W bezeichet. Wir beweise dies durch Widerspruch, idem wir aehme, dass f icht die Nullfuktio auf D ist. Da existiert midestes eie Stelle x 0 D mit f(x 0 ) 0 W. Da gilt aber auch f(x 0 ) > 0 ud somit f,d = sup f(x) f(x 0 ) > 0, x D was im Widerspruch zur Voraussetzug steht. Die Fuktio f muss also die Nullfuktio auf D sei. Homogeität: Sei f B(D, W ) eie beschräkte Fuktio ud α K ei Skalar. Da gilt αf,d = sup αf(x) = sup α f(x) = α sup f(x) = α f,d. x D x D x D Dreiecksugleichug: Es seie f B(D, W ) ud g B(D, W ) zwei beschräkte Fuktioe. Es gilt da ( f + g,d = sup f(x) + g(x) sup f(x) + g(x) sup f(x) + sup g(x) x D x D x D x D = f,d + g,d. 4.6 Kovergez vo Potezreihe. Bezeichet ma de -te Koeffiziete der erste Potezreihe mit a, so erhält ma für die erste Potezreihe lim a = lim =. Also besitzt die erste Potezreihe de Kovergezradius R := /. Die Potezreihe kovergiert also auf dem Itervall ( /, /) ud divergiert auf der Mege R \ [ /, /]. Utersucht ma das Kovergezverhalte der Potezreihe a de Radpukte vo ( /, /), so stellt ma fest, dass sie a diese ebefalls divergiert. Der Kovergezbereich der Potezreihe ist somit das Itervall ( /, /). 6
Bezeichet ma de -te Koeffiziete der zweite Potezreihe mit a, so erhält ma ( lim a = lim + ) =. Die zweite Potezreihe besitzt somit de Kovergezradius R := / =. Für die dritte Potezreihe erhält ma lim a = lim ( )! = 0. Die dritte Potezreihe besitzt somit de Potezradius, d.h. sie kovergiert auf gaz R puktweise. Utersucht ma die vierte Potezreihe, so erhält ma ( lim a = lim = e ). Somit ist R := /e = e der Kovergezradius der vierte Potezreihe. Bei der füfte Potezreihe ist der -te Koeffiziet durch a := + + 3 +... + für alle N gegebe. Für alle N gilt daher die Abschätzug a, ud somit auch a. Das Sadwichtheorem liefert daher lim a =. Somit ist R := / = der Kovergezradius der füfte Reihe.. Ziel i dieser Aufgabe ist es, eie möglichst kleie positive Kostate s > 0 zu fide, so dass a < s für alle N gilt, wobei a de -te Koeffiziete der jeweilige Potezreihe bezeichet. Es gilt da r = /s. Falls die Folge ( a ) N gege eie Grezwert S kovergiert, ka ma für r de Kovergezradius /S wähle. Betrachtet ma de -te Koeffiziete a der erste Reihe, so gilt a = cos() =. Somit kovergiert die erste Potezreihe midestes auf dem Itervall ( r, r) puktweise gege eie Grezfuktio mit r = /. Für die Koeffiziete der zweite Potezreihe gilt die Abschätzug 4 4 = 4 a 4 + 4 = 4 für alle N. Wege lim folgt ach dem Sadwichtheorem auch 4 = lim 4 = 4 lim a = 4. Ma ka also r = /4 wähle, was dem Kovergezradius der Potezreihe etspricht. Für die dritte Potezreihe gilt die Idetität x = a k x k, =0 7 k=0
wobei die Koeffiziete durch a k := { 0 falls k ugerade, falls k gerade für alle N gegebe sid. Etspreched erhält ma die Abschätzug k ak k = für alle k N. Somit kovergiert die Potezreihe midestes auf dem Itervall ( r, r) puktweise gege eie Grezfuktio, mit r = / =. Betrachtet ma die Koeffiziete der vierte Potezreihe, so erhält ma a = si() cos() =. Ma ka also r = / = wähle. 3. Da die Potezreihe der Expoetialfuktio, des Sius Hyperbolicus ud des Cosius Hyperbolicus auf gaz R kovergiere, gilt für alle x R die Idetität e x = =0 x! = ( x k k=0 (k)! + ) xk+ = (k + )! k=0 x k (k)! + x l+ = cosh(x) + sih(x). (l + )! l= 8