Übungen zu Oberflächenintegralen Lösungen zu Übung 17 17.1 Sei die Oberfläche der Einheitskugel : {(x, y, z) IR 3 : x + y + z 1.} Berechnen Sie für f(x, y, z) : a, a IR, a const. das Oberflächenintegral f(x, y, z) d. Diese Aufgabe benutzen wir dazu, den Umgang mit Kugelkoordinaten bei Oberflächenintegralen zu üben. Auf Sdeite 144 haben wir sie eingeführt: x ϕ(r, α, β) r cos α sin β, y ψ(r, α, β) r sin α sin β, z χ(r, α, β) r cos β. Wir erhalten also hier für die Einheitskugel r 1: Daraus berechnen wir x (x, y, z) (cos α sin β, sin α sin β, cos β). α β ( sin α sin β, cos α sin β, ) (cos α cos β, sin α cos β, sin β) Damit folgt für das Kreuzprodukt in ormel (9.) von Satz 9.: α β det e 1 e e 3 sin α sin β cos α sin β cos α cos β sin α cos β sin β cos α sin β e 1 sin α sin β cos β e 3 cos α sin β cos β e 3 sin α sin β e cos α sin β e 1 sin α sin β e (sin α + cos α) sin β cos β e }{{} 3 1 1
In ormel (9.) von Satz 9. brauchen wir aber in Wirklichkeit den Betrag, also α β cos α sin 4 β + sin α sin 4 β + sin β cos β sin β Hier müssen Sie nur immer wieder die ormel sin α + cos α 1 ausnutzen. Da wir nur β π zulassen, müssen wir auch am Ende keinen Betrag vewenden. Damit folgt jetzt insgesamt: S f(x, y, z) ds a a π a a sin β dβ dα π ( cos β) dα ( ( 1) ( 1)) dα dα 4π a. Setzen wir jetzt mal a 1, so berechnen wir ja mit dem Integral schlichtweg die Oberfläche der Kugel vom Radius 1. Es ergibt sich: S ds 4π, und das haben wir ja auch in der Schule so gelernt. 17. Sei ein lächenstück, gegeben als Graph einer unktion über der (x,y)-ebene: : {(x, y, z) IR 3 : (x, y) R, z g(x, y).} Berechnen Sie mit der sich auf natürliche Weise ergebenden Parametrisierung Wir parametrisieren durch x u x v also u x, v y, z g(x, y) g(u, v), x (u, v, g(u, v)).
Dann ist x u (1,, g u (u, v)), x v (, 1, g v (u, v)). Damit folgt x u x v ( g u ) + ( g v ) + 1 g u + g v + 1 Diese ormel finden Sie in vielen Büchern. 17.3 Berechnen Sie das Oberflächenintegral von f(x, y, z) : x f(x, y, z) d x d, wobei die läche z x + y mit x 1, 1 y 1 ist. Die läche ist hier gegeben als Graph der unktion g(x, y) x + y. Damit können wir die ormel aus Aufgabe 17. anwenden mit den estlegungen und wir erhalten wegen g u u, g v 1 x u, y v, z g(x, y) u + v, Damit folgt mit x u x v g u + g v + 1 4u + 1 + 1. B {(u, v) R : u 1, 1 v 1} f(x, y, z) d B 1 1 1 1 1 x 4u + du dv dv u 4u + du dv 1 1u(4u + 1 du 8 6 u 4u + du Setze t 4u + dt 8udu u t, u 1 t 6 [ ] 6 t 1 1 dt 4 3 t 1 1 6 (6 3 3 ) 1.97885 3
17.4 Sei die Halbkugelfläche : {(x, y, z) IR 3 : x + y + z 1, z >.} Sei f(x, y, z) : x y z. Berechnen Sie das Oberflächenintegral f(x, y, z) d. Wieder benutzen wir Kugelkordinaten, das bietet sich bei Kugelflächen geradezu an. Wegen r 1 ist x cos α sin β, y sin α sin β, z cos β, α π, β π. Damit ist Mit α β sin β. B {(u, v) IR : u π, v π } folgt dann f(x, y, z) d B π f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))db π π cos α sin β sin β sin α cos β sin β dβ dα sin 5 β cos α sin α cos β dβ dα wegen fester Grenzen können wir den Integranden trennen sin 5 β cos β dβ cos α sin α dα Jetzt ist der Rest reine Schulmathematik. ür das linke Integral setzen wir und es folgt t sin β dt cos β dβ, β t, β π t 1 π sin 5 β cos β dβ 1 t 5 dt t6 6 1 1 6. 4
Zur Berechnung des rechten Integrals müssen wir noch etwas tiefer in die Trickkiste packen. Wir verwenden das sog. Additionsteorem, das Sie aus der Schule kennen: sin(ε + δ) sin ε cos δ + cos ε sin δ. Wenn wir hier ε δ γ setzen, folgt die Gleichung Aus dem zweiten Additionstheorem sin γ sin γ cos γ. folgt zusammen mit der ormel cos(ε + δ) cos ε cos δ + cos ε sin δ die Gleichung sin γ + cos γ 1 So erhalten wir sin γ 1 cos γ. Damit folgt für das rechte Integral cos γ sin γ sin γ 4 1 cos 4γ. 8 cos α sin α dα ( ) 1 cos 4α dα 8 8 1 8 dα 1 8 π 8 sin α π 8 π 4 π 4 cos 4α dα Damit ergibt sich für das gesamte Integral f(x, y, z) d 1 6 π 4 π 4. 5
18.1 Sei die Oberfläche der Einheitskugel Lösungen zu Übung 18 Sei : {(x, y, z) IR 3 : x + y + z 1.} f(x, y, z) : x + y + z, n der Normaleneinheitsvektor an. Berechnen Sie das Integral grad f(x, y, z) n d. Zuerst müssen wir uns den Normaleneinheitsvektor n an die Kugelfläche beschaffen. Das ist aber recht einfach. Wir erinnern uns, dass bei jeder Kugel der Radiusvektor vom Mittelpunkt der Kugel senkrecht auf die Oberfläche auftritt. Bei der Einheitskugel, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, ist der Radiusvektor der Vektor r (x, y, z). Dieser zeigt also bereits in Richtung senkrecht zur läche. Da wir die Eineitskugel betrachten, ist die Länge dieses Vektors auch bereits 1, er ist also normiert. Jetzt braucen wir noch den Gradienten der unktion f: grad f(x, y, z) Damit können wir das Integral lösen. ( f x, f y, f ) (x, y, z) z grad f(x, y, z) n d (x, y, z) (x, y, z) d x + y + z d d 4π 8π Dabei haben wir im letzten Teil wieder die Einheitskugel, also x + y + z 1, und den aus der Schule bekannten lächeninalt der Kugel O 4π r einbezogen. 6
18. Sei die Oberfläche der Kugel vom Radius a > : Sei : {(x, y, z) IR 3 : x + y + z a, a >.} v(x, y, z) : (x, y, z). Berechnen Sie den luss von v durch die läche. In dieser Aufgabe haben wir eine Kugel vom Radius a > zu betrachten. Wir legen wieder ihren Mittelpunkt in den Koordinatenursprung. Dann ist der Normalenvektor und der Normaleneinheitsvektor n (x, y, z), Damit können wir das Integral berechnen: n 1 (x, y, z). a (x, y, z) f(x, y, z) n d (x, y, z) d a x + y + z d a a d a 4πa 4π a 3 a 7
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