Höhere Mathematik IV. (Integration im R n )

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1 akultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Universität der undeswehr München Höhere Mathematik IV (Integration im R n ) Univ. Prof. Dr. sc. math. urt Marti L A TEX-Satz des Manuskripts: Lars Wilhelmy

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Integrale über ebene ereiche Wiederholung und Definitionen Integration über Intervalle oder bestimmte Integrale Erweiterung des Integralbegriffes auf den R Existenz und Eigenschaften des ereichsintegrals erechnung von asisintegralen mit Doppelintegralen Uneigentliche ereichsintegrale ereichsintegral über nichtbeschränkte ereiche ereichsintegrale mit beschränktem und nichtbeschränktem f Transformation ebener ereichsintegrale Räumliche ereichsintegrale Definition und elementare Eigenschaften erechnung des n-dimensionalen ereichsintegral Uneigentliche ereichsintegrale im R 3 und R n Transformation von ereichsintegralen im R n urvenintegrale im R 2 bzw. R Definition Der urvenbegriff Das urvenintegral 1. Art erechnung des urvenintegrals 1. Art Spezielle Darstellung des urvenintegrals 1. Art im R Das urvenintegral 2. Art erechnung des urvenintegrals 2. Art Wegunabhängiges Linienintegral 2. Art Das Linienintegral 2. Art als Linienintegral 1. Art Verallgemeinerung auf beliebige urven Nachträge Oberflächenintegrale lächen im R Das Oberflächenintegral 1. Art erechnung des Oberflächenintegrals 1. Art Untersuchung des lächenelements Das Oberflächenintegral 2. Art lächennormalen

4 Inhaltsverzeichnis Oberflächenintegral 2. Art Integralsätze Der Integralsatz von Gauß Darstellung der Divergenz eines Vektorfeldes als Volumenableitung eweis des Integralsatzes von Gauß Der Integralsatz von Stokes Darstellung der Rotation eines Vektorfeldes als Volumenableitung Index 76 4

5 1 Integrale über ebene ereiche 1.1 Wiederholung und Definitionen Integration über Intervalle oder bestimmte Integrale Abbildung 1.1: Das Riemann-Integral in R. b a f(x) dx : lächeninhalt der schraffierten igur, wobei die Teile oberhalb bzw. unterhalb der x-achse einen positiven bzw. negativen eitrag leisten. (a) Approximation der schraffierten läche in Abb. 1.1 durch Rechtecke: Abbildung 1.2: Rechteckapproximation in R. 5

6 1 Integrale über ebene ereiche b a f(x) dx S n Riemannsche Summe n lächeninhalte R i. i1 (b) Mit Hilfe der Stammfunktion von f: (x) f(x) für alle x, b f(x) dx (b) (a) HS der Diff.-und Integralrechnung. a Erweiterung des Integralbegriffes auf den R 2 n 1 n 2 ereich [a, b] Intervall R 2 unktion f f(x) f f(x, y) b ezeichnung f(x) dx f(x, y) db f(x) db f(x) db a Definition 1.1 (Zerlegung) Sei ein ebener ereich, also R 2. Ein System 1, 2,..., n endlich vieler Teilmengen i von heißt Zerlegung Z von, wenn (a) n j, j1 (b) zwei verschiedene Teilmengen i, j höchstens Randpunkte gemeinsam haben. ezeichnung: Z { 1, 2,..., n }. 6

7 1.1 Wiederholung und Definitionen eispiel: Abbildung 1.3: Zerlegungen eines ereichs. Definition 1.2 (einheitsmaß, Durchmesser) Sei ρ( i ) der größte Abstand zweier Punkte von i, i 1,..., n. Dann heißt δ(z) : max 1 i n ρ( i) das einheitsmaß der Zerlegung Z { 1, 2,..., n } von. ρ( i ) heißt auch Durchmesser von i. eispiel: Sei Z { 1, 2,..., n } eine Zerlegung von in n Rechtecke der antenlängen x und y. Dann gilt ρ( i ) x 2 + y 2 δ(z) ρ( i ) (vgl. Abb. 1.4). Definition 1.3 (Unbegrenzt feiner werdende Zerlegung) Eine olge von Zerlegungen Z 1, Z 2,... von heißt olge unbegrenzt feiner werdender Zerlegungen von, falls lim j δ(z j ). Nun sei z f(x, y) eine gegebene reellwertige unktion, die mindestens auf dem ganzen ereich definiert sei. 7

8 1 Integrale über ebene ereiche Abbildung 1.4: einheitsmaß und Durchmesser. Definition 1.4 (Riemannsche Summe) Sei Z { 1, 2,..., n } eine Zerlegung von und x i i, i 1, 2,..., n, ein beliebiger Punkt aus i, 1 i n. ezeichnet i den lächeninhalt von i, z.. i x i y i bei einer Zerlegung in Rechtecke, dann heißt die Summe n S(Z) S(Z, x i, 1 i n) : f(x i ) i die zur Zerlegung Z gehörende Riemannsche Summe oder Integralsumme. emerkung: Geometrische Interpretation. f(x i ) i (±1) Volumen V ( i ) des örpers i mit Grundbereichen i und Höhe f(x i ) (siehe Abb. 1.5). n S(Z) V ( i ) Volumen von n i,wobei örper i mit f(x i ) < einem negativen i1 eitrag zum Gesamtvolumen leisten. i1 i1 8

9 1.1 Wiederholung und Definitionen Abbildung 1.5: Zur Riemannschen Summe. Definition 1.5 (ereichsintegral) alls der Grenzwert lim S(Z j ) für jede olge (Z j ) unbegrenzt feiner werdender Zerlegungen Z j { j1, j2,..., jnj } und jede Wahl von Punkten j (x ji ) mit x ji ji, i 1,..., n j ; j 1, 2,... existiert, und zudem unabhängig ist von der speziellen Wahl von (Z j ) und (x ji ), dann heißt f(x) db : lim S(Z j ) lim f(x ji ) ji j j n j i1 das ereichsintegral (Gebietsintegral) über den ereich (Gebiet). Satz 1.1 (Geometrische Interpretation des ereichsintegrals) Das ereichsintegral ist das Volumen des örpers, der begrenzt wird durch die läche z f(x, y), den ereich in der {x, y}-ebene und die Parallelebenen zur z-achse durch die Randpunkte von. Unterhalb der {x, y}-ebene liegende Teile von leisten dabei einen negativen eitrag zum Gesamtvolumen. 9

10 1 Integrale über ebene ereiche eispiel: Spezialfall f(x) h konstant für alle x. S(Z) n n f(x i ) i1 }{{} i h i h () i1 }{{} h lacheninhalt von f(x) db h db h () h 1 1 db db 1 () (). Also () lächeninhalt von 1 db db. 1.2 Existenz und Eigenschaften des ereichsintegrals Satz 1.2 (Existenz) Das ereichsintegral f(x) db existiert, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind: (a) Der ereich ist abgeschlossen und beschränkt sowie messbar, d.h. der lächeninhalt db ist definiert, (b) f(x) ist stetig auf. Satz 1.3 (Eigenschaften des ereichsintegrals) (a) ür alle onstanten c R gilt: cf(x) db c f(x) db. (b) ür unktionen f(x), g(x) auf gilt: (f(x) + g(x)) db f(x) db + g(x) db. (c) Ist { 1, 2 } eine Zerlegung von, dann gilt: f(x) db f(x) db f(x) db. (d) Mittelwertsatz: Es existiert ein Punkt x, so dass f(x) db f(x ) (). eweis: Mit Hilfe von Definition

11 1.3 erechnung von asisintegralen mit Doppelintegralen 1.3 erechnung von asisintegralen mit Doppelintegralen Voraussetzung: Der Rand von lässt sich mittels unktionen beschreiben (vgl. Abb. 1.6).!"#%$ Abbildung 1.6: x-schnitte und y-schnitte. Satz 1.4 { (a) Ist x 1 x x 2 y 1 (x) y y 2 (x) f(x) db x 2 y 2 (x) x 1 y 1 (x) } die eschreibung von durch x-schnitte, dann gilt: f(x, y) dy dx x 2 Doppelintegral: zuerst über y, dann über x. x 1 dx y 2 (x) y 1 (x) f(x, y) dy x 2 x 1 y 2 (x) y 1 (x) f(x, y) dy dx. 11

12 1 Integrale über ebene ereiche { (b) Ist y 1 y y 2 x 1 (y) x x 2 (y) f(x) db y 2 x 2 (y) y 1 x 1 (y) } die eschreibung von durch y-schnitte, dann gilt: f(x, y) dx dy y 2 Doppelintegral: zuerst über x, dann über y. y 1 dy x 2 (y) x 1 (y) f(x, y) dx y 2 y 1 x 2 (y) x 1 (y) f(x, y) dx dy. eweis:! "$# % &'# ()*# (+'#, Abbildung 1.7: Schnittflächen. f(x, y) db Volumen V () V ( i ) y i Schnittfläche y i n V ( i ) i1 x 2 (y i ) f(x, y i ) dx x 1 (y i ) 12

13 1.3 erechnung von asisintegralen mit Doppelintegralen f(x, y) db n y i i1 max y i 1 i n x 2 (y i ) x 1 (y i ) f(x, y i )dx f(x, y) db y 2 δ dy x 2 (y) f(x, y) dx. y 1 r emerkung: Die inneren Integrale haben i.a. variable Grenzen y 1 (x), y 2 (x) bzw. x 1 (y), x 2 (y). eispiel: (a) reisscheibe mit Zentrum und Radius r. x 1 (y) Abbildung 1.8: reisscheibe um mit Radius r. y 1 (x) r 2 x 2, y 2 (x) r 2 x 2, x 1 r, x 2 +r. x 2 y 2 (x) +r + r 2 x 2 f(x) db f(x, y) dy dx f(x, y) dy dx (b) Rechteck x 1 y 1 (x) r r 2 x 2 b d d b f(x, y) db f(x, y) dy dx f(x, y) dx dy a c c a (c) Dreieck 13

14 & 1 Integrale über ebene ereiche "!$# % &')( *,+.- / Abbildung 1.9: Rechteck. "! ')(+*,!#$ % Abbildung 1.1: Dreieck. f(x, y) db 1 dx 1 x f(x, y) dy Sei f(x, y) xy, dann gilt xy db 1 dx 1 x xy dy 1 dx x 1 x y dy 1 [ 1 dx x 2 y2 ] 1 x x(1 x)2 dx

15 1.4 Uneigentliche ereichsintegrale isherige Voraussetzungen zur Definition von f(x) db: (a) ist ein beschränkter ereich, (b) f f(x) ist beschränkt auf ereichsintegral über nichtbeschränkte ereiche 1.4 Uneigentliche ereichsintegrale Sei ein nicht beschränkter ereich. (a) Approximation von durch eine olge beschränkter Mengen 1, 2, 3,..., so dass und k. eispiel: i) k1 Abbildung 1.11: Approximation durch eine olge beschränkter Mengen. (b) ii) R n, k ugel mit Radius k, iii) R n +, k R n + ugel mit Radius k. f(x) db k f(x) db für alle k 1, 2,.... Definition 1.6 (Uneigentliches ereichsintegral Typ I) Sei ein nichtbeschränkter ereich und f eine unktion, die auf ganz definiert und beschränkt ist. Dann setzt man f(x) db lim f(x) db, k k 15

16 1 Integrale über ebene ereiche falls dieser Grenzwert für alle olgen beschränkter Mengen ( k ) mit und k existiert und zudem unabhängig von der speziellen Wahl der approximierenden k1 olge ( k ) ist. f(x) db heißt dann das uneigentliche ebene ereichsintegral von f über den unbeschränkten ereich. Eigenschaften des uneigentlichen ereichsintegral vom Typ I Satz 1.5 Sei unbeschränkt und f f(x) beschränkt auf. Existiert das uneigentliche ereichsintegral f(x) db, dann existiert auch f(x) db. Satz 1.6 Sei unbeschränkt, und f f(x) eine auf nichtnegative beschränkte unktion. Existiert der Grenzwert lim f(x) db. k k für eine einzige olge ( k ) beschränkter Mengen k, so dass und dann existiert das uneigentliche ereichsintegral f(x) db und es gilt k1 k, f(x) db lim k k f(x) db. emerkung: ür jede andere olge (C k ) mit C 1 C 2... und lim k C k f(x) db lim k k f(x) db. k1 C k gilt somit eispiel: f(x, y) e (x+y), R 2 + {(x, y) : x, y }. 1 f(x) > für alle x. Es gilt (siehe Abb. 1.12): k ist beschränkt, k k+1... R 2 + und Satz 1.6 liefert: Zu untersuchen lim k k f(x) db. k1 k R

17 1.4 Uneigentliche ereichsintegrale Abbildung 1.12: Zerlegung von R 2 +. Aus Satz 1.4 folgt: k f(x) db k k k e (x+y) dx dy k dy e x e y dx k dy e y k e x dx k e y dy [ e x ] k ( k 1 e k) e y dy ( 1 e k) 2 lim k ( f(x) db lim 1 e k 2 1 k k Somit ist nach Satz 1.6: f(x) db lim k k f(x) db ereichsintegrale mit beschränktem und nichtbeschränktem f Sei beschränkt und x ein singulärer Punkt von f, d.h. für jede Umgebung U von x gilt: (a) f ist beschränkt auf \U (b) f ist unbeschränkt auf U emerkung: f hat hier nur eine Singularität auf. Verallgemeinerungen auf mehrere Singularitäten sind ohne weiteres möglich. Sei ρ(u k ) der Durchmesser von U k. Dann geht man folgendermaßen vor: 17

18 1 Integrale über ebene ereiche Abbildung 1.13: Singulärer Punkt x. (a) Ausschließung von x mittels einer olge (U k ) von Umgebungen U k, k 1,..., von x so dass ρ(u k ), k. b) Approximation f(x) db lim f(x) db k \U k }{{} ist def. für alle Umgeb. U k von x, k 1, 2,... Definition 1.7 (Uneigentliches ereichsintegral Typ II) Existiert für jede olge (U k ) von Umgebungen von x, so dass lim ρ(u k ), derselbe Grenzwert lim f(x) db, dann heißt k k f(x) db lim k \U k f(x) db das uneigentliche ebene ereichsintegral über der unktion f mit der Singularität x. \U k emerkung: Die olge (U k ) der Umgebungen U k wird auf den Punkt x zusammengezogen. Eigenschaften des uneigentlichen ereichsintegral vom Typ II Satz 1.7 Aus der Existenz des uneigentlichen Integrals f(x) db der unktion f mit der Singularität x im beschränkten ereich folgt die Existenz des uneigentlichen Integrals f(x) db. 18

19 1.4 Uneigentliche ereichsintegrale Satz 1.8 Sei ein beschränkter ereich und x eine Singularität von f, wobei f(x) für alle x, x x. Existiert eine spezielle olge (U k ) von Umgebungen U k, so dass lim ρ(u k) und der Grenzwert lim f(x) db existiert, dann existiert das uneigentliche k k \U k ereichsintegral f(x) db, und es gilt: f(x) db lim k \U k f(x) db. eispiel: f(x, y) 1 xy, {(x, y) : x 1, y 1} f singulär in x und y. Abbildung 1.14: Einheitsquadrat im R 2. \U k f(x) db 1 1 k k 1 1 x f(x, y) dy dx 1 dy dx y 1 dx 1 dy 1 k ( [ 2x 1 2 ] 1 1 k 1 k ) ( [ 2y 1 2 ] 1 1 k 1 k ) ( 4 1 x 1 k 1 k y ) 2 k 4 f(x) db 4. 19

20 1 Integrale über ebene ereiche 1.5 Transformation ebener ereichsintegrale In vielen ällen vereinfacht sich die erechnung eines ereichsintegrals f(x) db wesentlich durch die Einführung neuer geeigneter oordinaten an Stelle der bisherigen kartesischen oordinaten. eispiel: Vereinfachung der ereichsbeschreibung durch die oordinatentransformation: mit r, π < ϕ +π. x r cos ϕ, y r sin ϕ Abbildung 1.15: im {x, y}-raum Rechteck im {r, ϕ}-raum. { x x(u, v) etrachte die allgemeine oordinatentransformation {x, y} {u, v}, also y y(u, v). Definition 1.8 (unktionaldeterminante der oordinatentransformation) x x x (x, y) u x v (u, v) det u v det y u y v y y u v heißt die unktionaldeterminante der oordinatentransformation {x, y} {u, v}. (x, y) (u, v) bezeichnet dann den etrag der unktionaldeterminante. eispiel: u r, v ϕ mit x r cos ϕ und y r sin ϕ. (x, y) (r, ϕ) cos ϕ r( sin ϕ) sin ϕ r cos ϕ r(cos2 ϕ + sin 2 ϕ) r 2

21 1.5 Transformation ebener ereichsintegrale Transformation des ereichsintegrals: {x, y}-oord. {u, v}-oord. ereich (er. beschrieben mittels u, v) lächenelement db db Integral db f(x) db (lächenelement im {u, v}-raum) (x, y) (u, v) db f(x) (x, y) }{{} (u, v) db xx(u,v) Satz 1.9 (Transformationsformel) (x, y) (x, y) Ist (u, v) (u, v) (u, v) für alle (u, v), dann gilt die Transformationsformel f(x) db f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) (u, v) db. (1.1) Lässt sich der Rand von mittels unktionen beschreiben (analog zu apitel 1.3), dann kann die rechte Seite von (1.1) auch als Doppelintegral dargestellt werden: f(x) db u 2 u 1 v 2 v 1 v 2 (u) v 1 (u) u 2 (v) u 1 (v) f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) (u, v) dv du f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) (u, v) du dv. eweis: i Viereck mit den Eckpunkten: Zerlegung Z von mit Rechtecken (x(u i, v i ), y(u i, v i )), irechteck (x(u i+1, v i ), y(u i+1, v i )), u i+1 u i u i (x(u i, v i+1 ), y(u i, v i+1 )), v i+1 v i v i (x(u i+1, v i+1 ), y(u i+1, v i+1 )) i u i v i i läche i läche des von den Vektoren a P i Q i und b P i R i aufgespannten Parallelogramms det(a, b) (siehe Abb. 1.17). 21

22 1 Integrale über ebene ereiche {x, y}-raum {u, v}-raum! x x(u, v) y y(u, v) Abbildung 1.16: Die Zerlegung von impliziert eine Zerlegung von Abbildung 1.17: Die Zerlegung von impliziert eine Zerlegung von Es ist a (x(u i+1, v i ), y(u i+1, v i )) (x(u i, v i ), y(u i, v i )) (x(u i+1, v i ) x(u i, v i ), y(u i+1, v i ) y(u i, v i )) ( x u (u i, v i ) u i, y ) u (u i, v i ) u i b (x(u i, v i+1 ) x(u i, v i ), y(u i, v i+1 ) y(u i, v i )) ( x v (u i, v i ) v i, y ) v (u i, v i ) v i 22

23 1.5 Transformation ebener ereichsintegrale und i x u (u x i, v i ) u i v (u i, v i ) v i det y u (u y i, v i ) u i v (u i, v i ) v i x u (u x i, v i ) v (u i, v i ) det u i v i y u (u y i, v i ) v (u i, v i ) (x, y) (u, v) (u i, v i ) u i v i (x, y) (u, v) (u i, v i ) i. Daraus folgt: f(x) db lim δ(z j ) f(x i ) i n j i1 n j lim f(x(ũ i, ṽ i ), y(ũ i, ṽ i )) (x, y) δ(z j ) (u, v) (u i, v i ) i i1 f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) (u, v) db. emerkung: Es ist natürlich x i i, also x i (x(ũ i, ṽ i ), y(ũ i, ṽ i )) mit (ũ i, ṽ i ) i. eispiel: f(x) db mit {(x, y) : x 2 + y 2 ρ 2 }, f(x) (x 2 + y 2 ), (t) gegebene unktion einer Variablen. oordinatentransformation: Einführung von Polarkoordinaten r, ϕ (x, y) (r, ϕ) r, {(x, y) : r ρ} r x2 + y 2 {(r, ϕ) : r ρ, π < ϕ π} f(x) db (x 2 + y }{{} 2 ) db r 2 (1.1) (r 2 ) r db π π ρ (r 2 ) r dr dϕ. 23

24 1 Integrale über ebene ereiche 24

25 2 Räumliche ereichsintegrale und Integrale über ereiche im R n 2.1 Definition und elementare Eigenschaften Gegeben: ereich R 3 bzw. R n sowie eine unktion f f(x) auf. Die Definition des n-dimensionalen ereichsintegrals f(x) db bzw.... f(x) db ist ganz analog zu Definition 1.5 des ebenen ereichsintegrals: Definition 2.1 (ereichsintegral im R n )... f(x) db : lim S(Z j ), δ(z j ) wobei Z j die Zerlegung von in Teilmengen j1,..., jnj ist, die höchstens Randpunkte gemeinsam haben und S(Z j ) n j f(x ji ) ji, x ji ji i1 ji Volumen von ji δ(z j ) max ρ( ji ) einheitsmaß von Z j. 1 i n j Dabei muss der obige Grenzwert existieren und unabhängig sein von der speziellen Wahl der Zerlegung Z j und der Punkte x ji. Satz 2.1 (Volumen) 1 db db 1 Volumen des ereichs (örpers). Analog:... 1db... db 1 Volumen des n-dim. örpers. 25

26 2 Räumliche ereichsintegrale Satz 2.2 (Existenz)... f(x) db existiert, wenn abgeschlossen, beschränkt und messbar (d.h. das Volumen db existiert) und f stetig auf ist.... Satz 2.3 (Elementare Eigenschaften) (a)... cf(x) db c... f(x) db für alle konst. c. (b)... (f(x) + g(x)) db... f(x) db +... g(x) db. (c) { 1, 2 } Zerlegung von :... f(x) db... f(x) db f(x) db. (d) Es gibt in x, so dass... f(x) db f(x )... db. } {{ } V () 2.2 erechnung der n-dimensionalen ereichsintegrale mit Hilfe von Mehrfachintegralen (a) n 3 Vor.: Der Rand von lasse sich mittels unktionen beschreiben, d.h. es sei z.. {(x, y, z) R 3 : x 1 x x 2, y 1 (x) y y 2 (x), z 1 (x, y) z z 2 (x, y)} (2.1) Dabei sind x 1, x 2 feste Zahlen und y i (x), z i (x, y) mit i 1, 2 gewisse unktionen. emerkung: Es gibt (grundsätzlich) noch fünf weitere Darstellungsmöglichkeiten der Art (2.1) von. 26

27 U V E V U V U 2.2 erechnung des n-dimensionalen ereichsintegral Satz 2.4 Gilt (2.1), dann ist f(x) db x 2 y 2 (x) z 2 (x,y) f(x, y, z) dz dy dx x 1 y 1 (x) z 1 (x,y) x 2 dx y 2 (x) dy z 2 (x,y) f(x, y, z) dz Dreifachintegral. (2.2) x 1 y 1 (x) z 1 (x,y) emerkung: Es gibt 5 weitere ormeln für f(x) db der Art (2.2). eispiel: Integral über ein Tetraeder (im R 3 ) HGIJLI EDMONDM PRQTS 46587:9;<?>A@C87D/; 132 "! #%$'&)(*,+.-/& Abbildung 2.1: {(x, y, z) : x 1, y 1 x, z 1 x y} Also: x 1, x 2 1, y 1 (x), y 2 (x) 1 x, z 1 (x, y), z 2 (x, y) 1 x y. Satz 2.4 f(x) db 1 dx 1 x dy 1 x y f(x, y, z) dz. 27

28 2 Räumliche ereichsintegrale Sei f(x) 1: 1 Volumen von 1 dx 1 x dy 1 x y 1 dz x dx ( ( z 1 x y dy (1 x y)2 2 1 ) 1 x ) (1 x) dx 1 x dx 1 2 (1 x y) dy 1 (1 x) 2 dx (b) n4 Satz 2.5 f(x) db x 2 dx y 2 (x) dy z 2 (x,y) dz w 2 (x,y,z) f(x, y, z, w) dwvierfach Integral. x 1 y 1 (x) z 1 (x,y) w 1 (x,y,z) Es gibt hier grundsätzlich 4! 24 verschiedene Typen 4-facher Integrale! (c) n > 4 Analog: Es gibt jeweils n! verschiedene Typen n-facher Integrale. 2.3 Uneigentliche ereichsintegrale im R 3 und R n Definitionen: Analog zu 1.3 (a) nicht beschränkt Approximation von durch eine olge beschränkter Teilmengen k, k 1, 2,..., von, so dass und k. Definition 2.2 (Uneigentliches ereichsintegral Typ I)... f(x) db : lim... f(x) db k falls der Grenzwert existiert und unabhängig von der Wahl der olge ( k ) ist. k1 k 28

29 2.4 Transformation von ereichsintegralen im R n (b) f hat eine Singularität x in Ausschluss von x durch eine olge von Umgebungen U k von x mit ρ(u k ), k Definition 2.3 (Uneigentliches ereichsintegral Typ II)... f(x) db lim... f(x) db k \U k falls dieser Grenzwert existiert und unabhängig von der Wahl der olge (U k ) ist. 2.4 Transformation von ereichsintegralen im R n x x(u, v, w), (a) n 3 oordinatentransformation: {x, y, z} {u, v, w}, d.h. y y(u, v, w), z z(u, v, w). eispiel: i) Zylinderkoordinaten: u r, v ϕ, w z x x(r, ϕ, z) r cos ϕ, r y y(r, ϕ, z) r sin ϕ, π < ϕ +π z z(r, ϕ, z) z, z R. z z y P y r ϕ x x Abbildung 2.2: Zylinderkoordinaten 29

30 2 Räumliche ereichsintegrale ii) ugelkoordinaten: u r, v θ, w ϕ x x(r, θ, ϕ) r cos ϕ sin θ, r y y(r, θ, ϕ) r sin ϕ sin θ, θ π z z(r, θ, ϕ) r cos θ, ϕ 2π. z y z P θ y r ϕ x x Abbildung 2.3: ugelkoordinaten unktionaldeterminante: (x, y, z) (u, v, w) det x u y u z u x v y v z v x w y w z w det x u x v x w y u y v y w z u z v z w eispiel: i) Zylinderkoordinaten: ii) ugelkoordinaten: Analog zu Satz 1.9: (x, y, z) (r, ϕ, z) r (x, y, z) (r, θ, ϕ) r2 sin θ 3

31 2.4 Transformation von ereichsintegralen im R n Satz 2.6 (Transformationsformel im R 3 ) Sei der mittels der {u, v, w}-oordinaten (x, y, z) beschriebene ereich. Gilt dann (u, v, w) (u, v, w) für alle (u, v, w), dann gilt f(x) db f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) ) (x, y, z) }{{} (u, v, w) (u, v, w) db x(u, v, w) u 2 u 1... v 2 (u) v 1 (u) w 2 (u,v) w 1 (u,v) 6 Möglichkeiten, falls sich durch unktionen, z.. beschreiben lässt. (b) n 4 x i x i (u 1, u 2,..., u n ), i 1, 2,..., n: f(x(u, v, w)) (x, y, z) (u, v, w) (u, v, w) dw dv du v 1 (u), v 2 (u), w 1 (u, v), w 2 (u, v), u 1 u u 2, Satz 2.7 (Transformationsformel im R n )... f(x 1, x 2,..., x n ) db... f(x(u 1, u 2,..., u n )) (x 1, x 2,..., x n ) (u 1, u 2,..., u n ) (u 1, u 2,..., u n ) db emerkung: Es gibt n! Möglichkeiten dieses Integral als n-faches Integral zu schreiben. 31

32 2 Räumliche ereichsintegrale 32

33 3 urvenintegrale im R 2 bzw. R 3 Anwendungen: (a) erechnung von Potentialdifferenzen (b) Lösung gewöhnlicher DGLn 3.1 Definition Der urvenbegriff Voraussetzung: Sei a < b und I das Intervall I [a, b]. erner seien g 1 g 1 (t), g 2 g 2 (t)(, g 3 g 3 (t)), a < t < b, stückweise stetig differenzierbare unktionen auf I, so daß wobei ġ dg dt ġ 2 1(t) + ġ 2 2(t) > bzw. ġ 2 1(t) + ġ 2 2(t) + ġ 2 3(t) > für alle t I mit Ausnahme höchstens endlich vieler Punkte von I. Definition 3.1 (urve) Die Punktmenge {x(t) : x(t) (x 1 (t), x 2 (t)) T (x(t), y(t)) T, a t b} mit x 1 (t) x(t) g 1 (t), x 2 (t) y(t) g 2 (t) bzw. {x(t) : x(t) (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) T (x(t), y(t), z(t)) T, a t b} mit x 1 (t) x(t) g 1 (t), x 2 (t) y(t) g 2 (t), x 3 (t) z(t) g 3 (t), heißt (orientierte) urve im R 2 bzw. R 3. A x(a) heißt Anfangspunkt, x(b) heißt Endpunkt von. (g 1 (t), g 2 (t)) T, t I bzw. (g 1 (t), g 2 (t), g 3 (t)) T, t I heißt Parameterdarstellung von. emerkung: urven im R 2 lassen sich durch R 3 -urven mit g 3 (t) beschreiben. eispiel: (a) x(t) (1 }{{} + t, 1 } + {{ 2t }, }{{} 4 ) T, t 1, a, b 1 g 1 (t) g 2 (t) g 3 (t) (1, 1, 4) T + t(1, 2, ) T, t 1, ist ein Geradenstück mit A (1, 1, 4) T und (2, 3, 4) T. 33

34 3 urvenintegrale im R 2 bzw. R 3 Abbildung 3.1: g 1 (t) t, g 2 (t) r 2 t 2, g 3 (t), r t r. (b) Halbkreis Andere Darstellung derselben urve: Daraus folgt: die Parameterdarstellung x x(t) (r cos t, r sin t, ) T, t I [, π]. (g 1 (t), g 2 (t), g 3 (t)) T, t I, einer urve ist nicht eindeutig bestimmt. Definition 3.2 (geschlossene urve) Die urve heißt geschlossen wenn A. 3.2 Das urvenintegral 1. Art: urvenintegral einer skalaren unktion f(x) (a) Zerlegung von I : in Teilintervalle [t i 1, t i ], i 1, 2,..., n, a t < t 1 < t 2 < < t i < < t n b (b) Zerlegung von in Teilkurven i, i 1, 2,..., n (siehe Abb. 3.2). emerkung: Verfeinerung einer Zerlegung Z { 1, 2,..., n } von erfolgt durch Weiterteilung der Teilintervalle [t i 1, t i ] von I und somit durch Weiterteilung der Teilkurven i. (c) Wahl eines Zwischenpunktes in jeder Teilkurve i, i 1, 2,..., n. (d) Integralsumme S n x i x(τ i ) i, t i 1 τ i t i, Sei f f(x) eine reellwertige unktion, die zumindest in jedem x definiert ist. n S n : f(x i ) s i, i1 wobei s i die Länge der Teilkurve i bezeichne. 34

35 3.2 Das urvenintegral 1. Art Abbildung 3.2: Zerlegung in Teilkurven. (e) urvenintegral 1.Art: Definition 3.3 (urvenintegral 1. Art) Unter dem urvenintegral 1. Art f(x) ds der reellwertigen unktion f f(x) über die urve (längs ) versteht man den Grenzwert f(x, y, z) ds f(x) ds lim S max s n i 1 i n lim max 1 i n s i n f(x i ) s i, falls dieser Grenzwert existiert und unabhängig ist von der speziellen Wahl der Zerlegungspunkte x(t i ), i 1, 2,..., n 1, und der Zwischenpunkte x i, i 1, 2..., n. Liegt eine geschlossene urve vor, so schreibt man auch f(x) ds. i1 Satz 3.1 (Länge der urve) ür f(x) 1 gilt: 1 ds ds Länge der urve. eweis: f(x) 1 für alle x. S n n 1 s i Länge der urve für alle Zerlegungen von. i1 35

36 3 urvenintegrale im R 2 bzw. R 3 Abbildung 3.3: Approximation durch ein Geradenstück erechnung des urvenintegrals 1. Art f(x) ds S n n f(x i ) s i mit s i Länge der Teilkurve i. Liegen die Zerlegungspunkte x(t ), x(t 1 ),..., x(t n ) dicht genug, so kann i, i 1,..., n, durch ein Geradenstück approximiert werden. i1 Zerlegungspunkte x(t i ) liegen dicht auf s i Länge von i Länge des Vektors x(t i ) x(t i 1 ) 2 x i + 2 y i + 2 z i x(t) (g 1 (t), g 2 (t), g 3 (t)) T x(t i ) x(t i 1 ) (g 1 (t i ) g 1 (t i 1 ), g 2 (t i ) g 2 (t i 1 ), g 3 (t i ) g 3 (t i 1 )) T (ġ 1 (t i ) t i, ġ 2 (t i ) t i, ġ 3 (t i ) t i ) T t i (ġ 1 (t i ), ġ 2 (t i ), ġ 3 (t i )) T, t i t i t i 1 >. Daraus folgt s i Länge (x(t i ) x(t i 1 )) t i ġ 2 1(t i ) + ġ 2 2(t i ) + ġ 2 3(t i ) 36

37 3.2 Das urvenintegral 1. Art und daher f(x) ds S n n f(x i ) s i i1 n i1 f(x(t i )) ġ1(t 2 i ) + ġ2(t 2 i ) + ġ3(t 2 i ) t i. max t i 1 i n Somit gilt: b a f(x(t)) ġ1(t) 2 + ġ2(t) 2 + ġ3(t) 2 dt. Satz 3.2 (erechnung des urvenintegrals 1. Art) ür das urvenintegral 1. Art f(x) ds gilt die ormel f(x) ds b a f(x(t)) ġ1(t) 2 + ġ2(t) 2 + ġ3(t) 2 dt. emerkung: Liegt im R 2, so ist g 3 (t) und damit auch ġ 3 (t), also f(x) ds b a f(x(t)) ġ1(t) 2 + ġ2(t) 2 dt für urven im R 2 Aus Satz 3.1 und Satz 3.2 folgt: Satz 3.3 Es gilt: Länge von emerkung: ds b a b a ġ 2 1(t) + ġ 2 2(t) + ġ 2 3(t) dt für urven im R 3, ġ 2 1(t) + ġ 2 2(t i ) dt für urven im R 2. (a) Definiert man ẋ(t) : (ġ 1 (t), ġ 2 (t), ġ 3 (t)) T, so ist auch f(x) ds b f(x(t)) ẋ(t) dt. a 37

38 3 urvenintegrale im R 2 bzw. R 3 Daraus folgt: Länge von ẋ(t) dt. (b) Statt g 1 (t), g 2 (t), g 3 (t) schreibt man oft auch x(t), y(t), z(t). b a Spezielle Darstellung des urvenintegrals 1. Art im R 2 sei gegeben durch: y y(x), x 1 x x 2, (siehe Abb. 3.4). Abbildung 3.4: Darstellung des urvenintegrals im R 2. Daraus folgt für die Parameterdarstellung (g 1 (t), g 2 (t)) von : x g 1 (t) t, y g 2 (t) y(t), x 1 a t b x 2 ġ 1 (t) 1, ġ 2 (t) y (t) }{{} ( ) ẋ(t) ġ1 (t) 1 ġ 2 (t) 2 + (y (t)) 2 f(x) ds x 2 x 1 x 2 f(g 1 (t), g 2 (t)) 1 + (y (t)) 2 dt f(t, y(t)) 1 + y (t) 2 dt t x x 1 x 2 f(x, y(x)) 1 + y (x) 2 dx. x 1 eispiel: 38

39 3.3 Das urvenintegral 2. Art (a) Sei eine von A (1, 1, 1) T nach (2, 2, 2) T führende Strecke, z.. : x x(t) (1 + t, 1 + t, 1 + t) T, a t b 1, und f(x, y, z) x y. Daraus folgt: z ẋ(t) (ẋ(t), ẏ(t), ż(t)) T (1, 1, 1) T und ẋ(t) 3, xy z ds b a 1 x(t)y(t) ẋ(t) dt z(t) (1 + t)(1 + t) 1 + t 1 3 dt 3 (1 + t) dt (b) Geometrische Interpretation des urvenintegrals im R 2 : Sei eine urve im R 2. Abbildung 3.5: f(x) ds lächeninhalt der schraffierten zylindrischen läche. 3.3 Das urvenintegral 2. Art: urven- oder Linienintegral eines Vektorfeldes auf R 3 (R 2 ) emerkung: Die etrachtung des Integrals im R 3 genügt, da R 2 analog! (a) Zerlegung von I [a, b] in Teilintervalle: [t i 1, t i ], i 1, 2,..., n, wobei a t < t 1 <... < t i 1 < t i <... < t n b. 39

40 3 urvenintegrale im R 2 bzw. R 3 Abbildung 3.6: Zerlegung von. (b) Zerlegung von in Teilkurven 1, 2,..., n : emerkung: Verfeinerung der Zerlegung Z { 1,..., n } von, erfolgt durch Weiterteilung der Intervalle [t i 1, t i ] von I und somit durch Weiterteilung der Teilkurve i. Sei x i x(t i ) x(t i 1 ) T (g 1 (t i ) g 1 (t i 1 ), g }{{} 2 (t i ) g 2 (t i 1), g }{{} 3 (t i ) g 3 (t i 1) ) }{{} x i y i z i ( x i, y i, z i ) T s i Länge von i x i 2 x i + 2 y i + 2 z i (c) Wahl der Zwischenpunkte x i x(τ i ) i, t i 1 τ i t i, in jeder Teilkurve i, i 1, 2,..., n. (d) Integralsummen S n, n 1, 2,...: v 1 (x) Sei v v(x) v 2 (x) v 3 (x) v 1 (x 1, x 2, x 3 ) v 2 (x 1, x 2, x 3 ) v 3 (x 1, x 2, x 3 ) ein Vektorfeld im R 3 (bzw. R 2 ), d.h. eine vektorwertige unktion auf R 3 (R 2 ), die zu mindest auf ganz definiert ist. (e) urvenintegral 2. Art: S n n v(x i ) x }{{} i Skalarprodukt k1 n v(x i ) T x i. k1 Definition 3.4 (urvenintegral 2. Art) Unter dem urven- oder Linienintegral 2. Art v(x) dx des Vektorfeldes v v(x) über die urve (längs, längs des Weges ) versteht man den Grenzwert n v(x) dx v(x i ) x i, lim max 1 i n s i i1 4

41 3.3 Das urvenintegral 2. Art falls dieser existiert und unabhängig ist von der speziellen Wahl der Zerlegungspunkte x(t i ), i 1, 2,..., n 1, und der Zwischenpunkte x i, i 1, 2,..., n. ür eine geschlossene urve schreibt man auch v(x) dx. Eine weitere ezeichnung für das Linienintegral ist v(x) dx (v 1 (x) dx + v 2 (x) dy + v 3 (x) dz) erechnung des urvenintegrals 2. Art n v(x) dx S n v(x i ) x i, i1 x(t) (g 1 (t), g 2 (t), g 3 (t)) T, x i x(τ i ), t i 1 τ i t i, x i ( x i, y i, z i ) (g 1 (t i ) g 1 (t i 1 ), g 2 (t i ) g 2 (t i 1 ), g 3 (t i ) g 3 (t i 1 )) (ġ 1 (t i ) t i, ġ 2 (t i ) t i, ġ 3 (t i ) t i ). Somit ist v(x) dx S n n v(x i ) x i mit x i x(τ i ) i1 n (v 1 (x(τ i ))ġ 1 (t i ) t i + v 2 (x(τ i ))ġ 2 (t i ) t i + v 3 (x(τ i ))ġ 3 (t i ) t i ) i1 n (v 1 (x(τ i ))ġ 1 (t i ) + v 2 (x(τ i ))ġ 2 (t i ) + v 3 (x(τ i ))ġ 3 (t i )) t i i1 Durch den Grenzübergang n mit max 1 i n t i erhält man somit den Satz 3.4 (erechnung des urvenintegrals 2.Art) ür das urvenintegral 2.Art gilt die ormel v(x) dx b (v 1 (x(t))ġ 1 (t) + v 2 (x(t))ġ 2 (t) + v 3 (x(t))ġ 3 (t)) dt a b b v(x(t))ġ(t) dt v(x(t))ẋ(t) dt a a eispiel: 41

42 3 urvenintegrale im R 2 bzw. R 3 (a) v(x) konst. (raftfeld im R 3 ), : Geradenstück x(t) c + td, a t b. A v(x) dx Arbeit, die ein durchlaufender Massenpunkt m gegen das raftfeld zu leisten hat. Satz 3.4 liefert: dx b b v(x(t))ẋ(t) dt d dt d(b a) a (b a)d raft Weg. a (b) v(x) v(x, y, z) (2xy, y 2, v 3 (x)), v 3 (x) beliebig, : Wege in der {x, y}-ebene, also z, wie folgt: A, (1, 1, ) Abbildung 3.7: Parameterdarstellung von. i) 1 : x(t) t, y(t) t, z(t), a t 1 b, ẋ(t) 1, ẏ(t) 1, ż(t), t 1, ii) : x(t) t, y(t), z(t), a t 1, 22 : x(t) 1, y(t) t 1, z(t), 1 t 2 b 42

43 3.3 Das urvenintegral 2. Art urvenintegrale: v(x) dx 1 v(x) dx 2 v(x) dx 21 v(x) dx 22 v(x) dx 2 b1 a 1 1 (v 1 (x(t))ẋ(t) + v 2 (x(t))ẏ(t) + v 3 (x(t))ż(t)) dt (2xyẋ + y 2 ẏ + v 3 ż) dt 3t 2 dt 1 v(x) dx + v(x) dx b1 (2xyẋ + y 2 ẏ + v 3 ż) dt a b2 a1 2 1 (2xyẋ + y 2 ẏ + v 3 ż) dt (t 1) 2 dt v(x) dx (2t t 1 + t v 3 ) dt (2t v 3 ) dt (2 1(t 1) + (t 1) v 3 ) dt emerkung: Aus diesem eispiel folgt: Das Linienintegral v(x) dx hängt im allgemeinen nicht nur vom Anfangspunkt A und Endpunkt der urve ab, sondern auch vom Verlauf des Integrationsweges. Definition 3.5 Ist die von A g(a) nach g(b) durchlaufene urve, dann versteht man unter dieselbe urve wie, die aber in entgegengesetzter Richtung von A T g(b) nach T A g(a) durchlaufen wird. Satz 3.5 Es gilt: v(x) dx v(x) dx Wegunabhängiges Linienintegral 2. Art Das obige eispiel hat gezeigt: 43

44 3 urvenintegrale im R 2 bzw. R 3 v(x) dx hängt von den Anfangs- und Endpunkten A, und im allgemeinen auch noch vom Verlauf der urve von A nach ab. Problem: Wann gilt v(x) dx ϕ(a, ) für alle urven, die von A nach führen? Abbildung 3.8: Wann ist das urvenintegral unabhängig vom Weg? Definition 3.6 (Wegunabhängiges Linienintegral) Sei v v(x) ein in einem Gebiet G des R 3 (R 2 ) definiertes Vektorfeld. Das urvenintegral v(x) dx heißt wegunabhängig in G, wenn v(x) dx ϕ(a, ) (unabhängig vom Verlauf von ) für jedes Punktepaar A, G und jede ganz in G verlaufende urve von A nach. Satz 3.6 Sei v v(x) ein Vektorfeld auf G. v(x) dx ist genau dann wegunabhängig, wenn für jede ganz in G verlaufende geschlossene urve C gilt: v(x) dx. C eweis: (a) v(x) dx sei wegunabhängig in G und C eine geschlossene urve in G. Wähle zwei Punkte A auf C Wege C 1, C 2. Dann gilt nach Voraussetzung v(x) dx C 1 C 2 v(x) dx. 44

45 3.3 Das urvenintegral 2. Art Abbildung 3.9: Geschlossene urve C mit zwei Wegen C 1, C 2. v(x) dx + 3.6) Die Zusammensetzung C 1 ( C 2 ) ergibt die geschlossene urve C durchlaufen von A über nach A. Daraus folgt: v(x) dx v(x) dx C C 1 C } 2 {{ } v(x) dx (Satz C 2 (b) ür jede geschlossene urve C in G sei v(x) dx. C etrachte zwei Punkte A in G und zwei verschiedene Wege 1, 2 in G von A nach. Dann ist C 1 ( 2 ) eine geschlossene urve in G. Daraus folgt: v(x) dx v(x) dx + v(x) dx 1 ( 2 ) 1 2 v(x) dx v(x) dx, also eispiel: Potentialfelder 1 v(x) dx 1 2 v(x) dx. Definition 3.7 (Potentialfeld, Potentialfunktion) Das Vektorfeld v v(x) auf G heißt Potentialfeld, wenn eine unktion Φ Φ(x) auf G existiert, so dass ( Φ v(x) gradφ(x) Φ(x) x, Φ y, Φ ). z 2 45

46 3 urvenintegrale im R 2 bzw. R 3 Die unktion Φ(x) heißt auch Potential(funktion). Sei v(x) Φ(x). Daraus folgt: v(x) dx b a b a v(x(t)) ẋ(t) dt [ ] Φ Φ Φ (x(t)) ẋ(t) + (x(t)) ẏ(t) + (x(t)) ż(t) dt x y z }{{} d Φ(x(t)) verallg. ettenregel dt b a dφ dt (x(t)) }{{} totales Differential dt Φ(x(t)) b a Φ(x(b)) Φ(x(a)) (hängt nur von A und ab!) Satz 3.7 Ist v(x) Φ(x) ein Potentialfeld, dann ist v(x) dx wegunabhängig. Es gilt sogar: Satz 3.8 v(x) dx ist genau dann wegunabhängig in G, wenn v Φ ein Potentialfeld auf G ist. Problem: Einfaches riterium für die Wegunabhängigkeit des Linienintegrals 2. Art. Dazu benötigen wir einige egriffe: Definition 3.8 (Rotation eines Vektorfeldes) Sei v (v 1 (x, y, z), v 2 (x, y, z), v 3 (x, y, z)) T ein Vektorfeld im R 3. Unter der Rotation rot v von v v(x) versteht man das Vektorfeld eispiel: rot v(x) : ( v3 y v 2 z, v 1 z v 3 x, v 2 x v ) T 1. y (a) Ein 2-dim. Vektorfeld lässt sich als spezielles Vektorfeld im R 3 auffassen. Daraus folgt: v v(x, y) v(x, y, z) (v }{{} 1 (x, y), v 2 (x, y), ) T. }{{} Vektor im R 2 unabh. von z rot v(x, y) (,, v 2(x, y) v ) T 1(x, y). x y 46

47 3.3 Das urvenintegral 2. Art (b) v(x) x (x, y, z) T : rot v. emerkung: v(x) x ist ein Potentialfeld. v(x) Φ mit Φ(x, y, z) 1 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 1 2 x 2. Dies ist nicht zufällig, denn es gilt: Satz 3.9 (a) Ist v(x) ein Potentialfeld, dann gilt rot v. (b) Ist v(x) dx wegunabhängig, dann gilt rot v. eweis: (a) Sei v(x) Φ (Φ x, Φ y, Φ z ) T. Dann gilt: rot v rot Φ (Φ zy Φ yz, Φ xz Φ zx, Φ yx Φ xy ) T. (b) Sei v(x) dx wegunabhängig. Satz 3.8 v ist ein Potentialfeld v Φ(x). rot v rot Φ(x). Es gilt auch die Umkehrung; also zusammen mit Satz 3.7: Satz 3.1 (Integrabilitätsbedingung) v(x) dx ist genau dann wegunabhängig und damit v(x) ein Potentialfeld, wenn rot v, d.h. wenn v 3 y v 2 z, v 1 z v 3 x, v 2 x v 1 y. Im R 2, also wenn v(x) (v 1 (x, y), v 2 (x, y)) T, reduziert sich diese edingung auf v 2 x v 1 y Problem: estimmung des Potential Φ(x): Sei v(x) ein Vektorfeld mit rot v, d.h. v ist ein Potentialfeld. Es existiert also ein Potential Φ Φ(x). Φ(x) ist dann bestimmt durch das PDGL-System: v(x) Φ(x) Φ x v 1 (x) Φ y v 2 (x) Φ z v 3 (x) 47

48 3 urvenintegrale im R 2 bzw. R 3 eispiel: Sei v(x, y) (2x + y, x + y) T ein Vektorfeld im R 2. Dann gilt v 1 y 1 rot v. v 2 x 1 v besitzt ein Potential Φ. edingungen an Φ Φ(x, y): (a) Φ x v 1 2x + y, (b) Φ y v 2 x + y. Aus (b) folgt: und aus (a): Φ(x, y) Φ y dy + ϕ(x) x fest (x + y) dy + ϕ(x) xy + y2 x fest 2 + ϕ(x), 2x + y Φ x y2 (xy + x 2 + ϕ(x)) y + ϕ (x) ϕ (x) 2x ϕ(x) x 2 + C. Insgesamt also Φ(x, y) xy + y2 2 + x2 + C, C R. 3.4 Das Linienintegral 2. Art als Linienintegral 1. Art Abbildung 3.1: : x(t) x + tb, t 1, ẋ(t) b. 48

49 3.5 Verallgemeinerung auf beliebige urven Daraus folgt mit Satz 3.4: v(x) dx Satz v(x(t)) ẋ(t) dt 1 v(x(t)) b dt v(x(t)) cos (v(x(t)), b) }{{} b }{{} f(x(t)) ẋ(t) f(x(t)) ds (urvenintegral 1. Art von f(x) über ), dt wobei f(x) : v(x) cos (v(x), b). }{{} ϕ(x) Abbildung 3.11: Linienintegral 2. Art als Linienintegral 1. Art. Somit ist f(x) ± Länge der Projektion von v(x) auf g. 3.5 Verallgemeinerung auf beliebige urven Gemäß Definition 3.1 einer urve ist t x(t) g(t) t g 1 (x(t)), d.h. einem urvenpunkt x entspricht 1-1-deutig ein Parameterwert a t b. ẋ(t) b(x(t)) unktion von x(t). 49

50 3 urvenintegrale im R 2 bzw. R 3 Abbildung 3.12: b(x) Richtung der Tangente t x an im Punkt x. Somit ist allgemein: v(x) dx b a b a v(x(t)) ẋ(t) dt b a v(x(t)) cos (v(x(t)), ẋ(t)) ẋ(t) dt v(x(t)) cos (v(x(t)), b(x(t))) ẋ(t) dt }{{} f(x(t)) f(x) ds urvenintegral 1. Art von f über, wobei f(x) v(x) cos (v(x), b(x)) Projektion von v(x) auf die Tangente t x an die urve im Punkt x ist. 3.6 Nachträge eweis von Satz 3.8: eweis: Zu zeigen ist noch: v(x) dx ist wegunabhängig in G v ist ein Potentialfeld. Wähle einen festen Punkt P (x, y, z ) G. Dann, definieren wir für einen beliebigen Punkt P (x, y, z) in G: Φ(x, y, z) : v(x) dx, (x,y,z) wobei (x, y, z) ein beliebiger Weg von P (x, y, z ) nach P (x, y, z) ist (vgl. Abb. 3.6). 5

51 # $ % &('*)+,-+/ Nachträge Abbildung 3.13: Φ(x, y, z) : (x,y,z) "! v(x) dx. Zu berechnen ist nun Φ: Dabei ist: Φ (x, y, z) lim x x Φ(x + x, y, z) Φ(x + x, y, z) Φ(x, y, z). x v(x) dx, (x+ x,y,z) wobei (x + x, y, z) einen beliebigen Weg von (x, y, z ) nach (x + x, y, z) bezeichne. Wähle nun (x + x, y, z) (x, y, z) {x(t) (t, y, z) : x t x + x}. Dann gilt: Φ(x + x, y, z) v dx + v dx (x,y,z) Φ(x, y, z) + Φ(x, y, z) + x+ x x x+ x v(x(t)) ẋ(t) dt v 1 (t, y, z) dt x Φ(x, y, z) + v 1 (r, y, z) x, x < r < + x. Φ(x + x, y, z) Φ(x, y, z) x Φ x (x, y, z) v 1(x, y, z). Analog beweist man Φ y v 2, Insgesamt gilt also Φ v(x). v 1 (r, y, z) mit x < r < x + x. Φ z v 3. 51

52 3 urvenintegrale im R 2 bzw. R 3 eweis von Satz 3.1: eweis: Sei rot v ( v 3 y v 2 z, v 1 z v 3 x, v 2 x v 1 y ). Satz 3.8 Dann ist zu zeigen: v(x) dx ist wegunabhängig ( v ist ein Potentialfeld). Sei P (x, y, z ) ein fester Punkt und Dann gilt: x y z Φ(x, y, z) : v 1 (s, y, z ) ds + v 2 (x, t, z ) dt + x y z v 3 (x, y, u) du. Φ y x v 1(x, y, z ) + Φ y Φ z Also: Φ v. v 1 (x, y, z ) + y y y v z 2 x (x, t, z ) dt + v 1 y (x, t, z ) dt + z z z v 3 (x, y, u) du x v 1 (x, y, u) du z v 1 (x, y, z ) + v 1 (x, y, z ) v 1 (x, y, z ) + v 1 (x, y, z) v 1 (x, y, z ) v 1 (x, y, z) v 2 (x, y, z ) + v 2 (x, y, z ) + z z z z v 3 (x, y, u) du y v 2 (x, y, u) du z v 2 (x, y, z ) + v 2 (x, y, z) v 2 (x, y, z ) v 2 (x, y, z) v 3 (x, y, z). v ist ein Potentialfeld Satz 3.8 v(x) dx ist wegunabhängig. 52

53 4 Oberflächenintegrale Verallgemeinerung der urvenintegrale. 4.1 lächen im R 3 urve im R 3 : Nach Definition 3.1 ist eine 1-1-deutige Abbildung t x(t) eines Intervalls I [a, b] in den R 3. Sei nun R 2 ein messbarer ereich des R 2, d.h. der lächeninhalt () im R 3 wie folgt definiert: db sei definiert. In Verallgemeinerung des urvenbegriffs ist nun eine läche Definition 4.1 (läche, Parameterdarstellung einer läche) Unter einer läche im R 3 versteht man eine Punktmenge der Art {x g(u, v) : (u, v) }, wobei (u, v) g(u, v) (g 1 (u, v), g 2 (u, v), g 3 (u, v)) T eine 1-1-deutige Abbildung von in den R 3 ist und die unktionen g 1, g 2, g 3 auf stetig partiell differenzierbar sind. x (g 1 (u, v), g 2 (u, v), g 3 (u, v)) heißt dann Parameterdarstellung von. emerkung: Statt x g(u, v) schreibt man auch oft nur x x(u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Vergleich: urve läche Intervall I [a, b] ereich R 2 Parameter t Parameterpaar (u, v) unktion x x(t) unktion x x(u, v) eispiel: (a) Stück einer Ebene im R 3 : x(u, v) a + ub + vc, wobei (u, v) und a, b, c feste Vektoren aus R 3 bezeichne mit {(u, v) : u α, v β}. (b) ugeloberfläche im R 3 : x(u, v) x(ϑ, ϕ) (r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ) mit festem r > und (ϑ, ϕ) {(ϑ, ϕ) : ϑ π, ϕ < 2π}. 53

54 4 Oberflächenintegrale Abbildung 4.1: Stück einer Ebene im R 3. (c) Spezielle Darstellung einer läche: In einigen ällen existiert eine unktion z ϕ(x, y) auf einer Menge M des R 2, so dass {(x, y, ϕ(x, y)) : (x, y) M}, d.h. es ist M, u x, v y (kartesische oordinaten) und g g(u, v) g(x, y) (x, y, ϕ(x, y)), also g 1 (x, y) x, g 2 (x, y) y, g 3 (x, y) ϕ(x, y). M ist dann die Projektion von auf die {x, y}-ebene (vgl. Abb. 4.2). eispiel: Abbildung 4.2: Projektion von auf die {x, y}-ebene. 54

55 4.2 Das Oberflächenintegral 1. Art i) z ϕ(x, y) z + c 1 (x x ) + c 2 (y y ), (x, y) beschreibt ein Ebenenstück durch (x, y, z ). ii) z ϕ(x, y) r 2 x 2 y 2, (x, y) beschreibt ein Stück der ugeloberfläche mit dem Radius r und Mittelpunkt. (d) Implizite lächendarstellungen In einigen ällen hat man die Darstellung {(x, y, z) : Φ(x, y, z) C const} wobei Φ(x) eine gegebene unktion ist. Aus Φ(x, y, z) C, folgt dann die explizite Darstellung z ϕ(x, y), sofern Φ z. 4.2 Das Oberflächenintegral 1. Art: Oberflächenintegral einer skalaren unktion f(x) Analog zur Definition 3.3 des urvenintegrals 1. Art: (a) Zerlegung des Parameterbereiches ( R 2 ) in Teilbereiche 1, 2,..., n (vgl. Abb. 4.3). erner sei i der lächeninhalt von i. Abbildung 4.3: Zerlegung von durch ein Gitter (b) Zerlegung von in Teilflächen i : i : {x x(u, v) : (u, v) i }. emerkung: Eine Verfeinerung der Zerlegung Z { 1,..., n } von erfolgt durch Weiterteilung der ereiche i und damit der Teilflächen i. (c) Wahl eines Zwischenpunktes in jeder Teilfläche i, i 1,..., n. x i x(τ i, η i ) i, (τ i, η i ) i 55

56 4 Oberflächenintegrale (d) Integralsumme S n : Sei i der lächeninhalt von i. und f f(x) eine reellwertige unktion, die mindestens auf ganz definiert ist. Dann setzt man S n : n f(x i ) i i1 (e) Oberflächenintegral 1. Art Definition 4.2 (Oberflächenintegral 1. Art) Unter dem Oberflächenintegral 1. Art f(x) d oder f(x) d oder f(x) do oder f(x) do der unktion f f(x) über die läche versteht man den Grenzwert f(x) d : lim n max 1 i n i S n lim n max 1 i n i n f(x i ) i, i1 falls dieser existiert und unabhängig ist von i) der Wahl der Zerlegungsfolge Z 1, Z 2,... von und ii) von der Wahl der Zwischenpunkte x i i. Satz 4.1 (lächeninhalt von ) ür f(x) 1 gilt: 1 d d 1 lächeninhalt von. eweis: f(x) 1 auf S n 1 n i 1 lächeninhalt von. i erechnung des Oberflächenintegrals 1. Art Analoges Vorgehen wie beim urvenintegral 1. Art. Problem: erechnung von i bzw. des lächenelements d. {u, v}-raum xg(u,v) R 3 Zerlegung von mit Hilfe eines Gitters. i lässt sich bei kleinerem i beliebig genau approximieren durch den lächeninhalt des Parallelogramms P i im R 3 mit den Seiten a g(u i+1, v i ) g(u i, v i ), b g(u i, v i+1 ) g(u i, v i ). Also i lächeninhalt des Parallelogramms P i mit den Seiten a, b. Zur erechnung des Parallelogrammflächeninhalts benötigen wir folgende Definition: 56

57 # & % X Y " f $ g 4.2 Das Oberflächenintegral 1. Art! ')(+*-, UWV./ 1) Z [\ 6 7)89 c de : ;< CEDGIHJMLONQPSRT )>? ` A ] ^_ Abbildung 4.4: i ild von i. Abbildung 4.5: Vektorprodukt. Definition 4.3 (Vektorprodukt) Unter dem Vektorprodukt a b der beiden Vektoren a, b R 3 versteht man den Vektor c a b mit der Länge c a b sin (a, b), d.h. c ist der lächeninhalt des von a, b aufgespannten Parallelogramms, der auf den Vektoren a, b senkrecht und so gerichtet ist, dass die Vektoren a, b, c ein Rechtssystem bilden (vgl. Abb. 4.5). Es gilt der Satz: Satz 4.2 (erechnung des Vektorprodukts) Ist a (a 1, a 2, a 3 ) T und b (b 1, b 2, b 3 ) T, dann gilt a b c (c 1, c 2, c 3 ) T mit c 1 a 2 b 3 a 3 b 2, c 2 a 3 b 1 a 1 b 3, c 3 a 1 b 2 a 2 b 1. 57

58 4 Oberflächenintegrale Damit gilt für unser Problem Nun ist i P i a b (g(u i+1, v i ) g(u i, v i )) (g(u i, v i+1 ) g(u i, v i )) g(u i+1, v i ) g(u i, v i ) (g 1 (u i+1, v i ) g 1 (u i, v i ), g 2 (u i+1, v i ) g 2 (u i, v i ), g 3 (u i+1, v i ) g 3 (u i, v i )) ( g1 u (u g 2 i, v i ) u i, u (u i, v i ) u i, ) g 3 u (u i, v i ) u i und analog g(u i, v i+1 ) g(u i, v i ) ( g1 v (u i, v i ) v i, g 2 v (u i, v i ) v i, ) g 3 v (u i, v i ) v i. Definition 4.4 Wir setzen g u ( u g g1 u, g 2 u, g 3 u g v ( v g g1 v, g 2 v, g 3 v ), ). Damit ist a u i g u (u i, v i ) b v i g v (u i, v i ) und weiter also a b ( u i g u (u i, v i )) ( v i g v (u i, v i )) u i v i (g u (u i, v i ) g v (u i, v i )), i g u (u i, v i ) g v (u i, v i ) u i v }{{} i. i Durch Grenzübergang u i, v i erhält man das gesuchte lächenelement d lim u i v i i. Satz 4.3 (ormel für das lächenelement) Es gilt d g u g v db mit db du dv. Aus Definition 4.2 und Satz 4.3 ergibt sich somit die folgende ormel für das Oberflächenintegral 1. Art: 58

59 4.2 Das Oberflächenintegral 1. Art Satz 4.4 (erechnung des Oberflächenintegrals 1. Art) Es ist f(x) d f(g(u, v)) g u (u, v) g v (u, v) db. } {{ } ereichsintegral über den Parameterbereich Mit Satz 4.1 ergibt sich der Spezialfall: Satz 4.5 ür f(x) 1 ist 1 lächeninhalt von d g u g v db Untersuchung des lächenelements (a) Spezialfall: sei definiert durch z ϕ(x, y) mit (x, y), also u x, v y g g(x, y) (x, y, ϕ(x, y)) ( g1 g u g x x, g 2 x, g ) 3 (1,, ϕ x ) x ( g1 g v g y y, g 2 y, g ) 3 (, 1, ϕ y ) y Satz 4.2 g u g y g x g y ( ϕ x, ϕ y, 1) T g u g v 1 + ϕ 2 x + ϕ 2 y. Satz 4.6 ür die Darstellung z ϕ(x, y) von gilt g u g v g x g y 1 + ϕ 2 x + ϕ 2 y. emerkung: ür Linienintegrale 1. Art lautete die entsprechende ormel ds 1 + ϕ 2 x dx, wenn durch y ϕ(x), a x b, dargestellt werden kann. eispiel: z ϕ(x, y) z + α(x x ) + β(y y ) Ebenenstück, a x b, c y d. ϕ x α, ϕ y β, g x g y 1 + ϕ 2 x + ϕ 2 y 1 + α 2 + β 2 konst. 59

60 4 Oberflächenintegrale Und somit gilt: 1 lächeninhalt von 1 d g u g v db 1 + α2 + β 2 db 1 + α 2 + β 2 db 1 + α 2 + β }{{} 2 (b a)(d c). Dehnungskoeffizient resultierend aus der allgemeinen Lage des Ebenenstücks (b) Allgemeiner all: g u g v? Es gilt: a b (a 2 b 3 a 3 b 2 ) 2 + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) 2 + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) 2 a 2 b 2 (a b) 2 a 2 b 2 a 2 b 2 cos 2 (a, b) a b 1 cos 2 (a, b) a b sin (a, b) Parallelogrammfläche von P(a, b) Somit ist g u g v g u 2 g u 2 (g u g v ) 2. Definition 4.5 (Abkürzungen) E : E(u, v) g u 2, : (u, v) g u g v, G : G(u, v) g v 2. g u g v E G 2. Satz 4.4 hat dann die orm: f(x) d f(g(u, v)) E G 2 db u 2 v 2 (u) f(g(u, v)) EG 2 du dv. u 1 v 1 (u) 6

61 4.3 Das Oberflächenintegral 2. Art eispiel: Integral über ein Stück einer Ebene im R 3 : x(u, v) g(u, v) a + ub + vc, u 1 u u 2, v 1 v v 2, a, b, c fest. g u x u b g v x v c E b 2, b c, G c 2 f(x) d u 2 v 2 f(a + ub + vc) b 2 c 2 (b c) 2 dv du u 1 v 1 u 2 v 2 b 2 c 2 (b c) 2 f(a + ub + vc) dv du. u 1 v Das Oberflächenintegral 2. Art: Oberflächenintegral eines Vektorfeldes Anwendung: erechnung des lusses eines Strömungsfeldes durch ein lächenstück lächennormalen Sei x (g 1 (u, v), g 2 (u, v), g 3 (u, v)) T ; (u, v), R 2 eine läche im R 3. etrachte einen Punkt P (x, y, z ) T, also mit (u, v ). erner, betrachte die urven x g 1 (u, v ) y g 2 (u, v ) z g 3 (u, v ) 1 : u g(u, v ) 2 : v g(u, v). Dann gilt: 1, 2 liegen auf der läche und schneiden sich im Punkt P (x, y, z ). ür die Tangentenvektoren gilt somit: (a) (b) 1 u (g(u + u, v ) g(u, v )) g u (u, v ) (siehe Definition 4.4). Das ist ein Richtungsvektor der Tangente an die urve 1 im Punkt P. lim u 1 lim v v (g(u, v + v) g(u, v )) g v (u, v ) (siehe Definition 4.4). Das ist ein Richtungsvektor der Tangente an die urve 2 im Punkt P. Die beiden Vektoren g u, g v spannen nun die Tangentialebene T im Punkt P an auf. 61

62 4 Oberflächenintegrale Abbildung 4.6: 1 : u g(u, v ), 2 : v g(u, v) Abbildung 4.7: Richtungsvektoren der Tangenten. etrachte nun den Vektor n n(x, y, z ), der wie folgt definiert ist: Definition 4.6 n n(x(u, v)) : g (u, v) g (u, v) u v g u (u, v) g v (u, v). Nach onstruktion gilt dann: Lemma 4.1 n n(x(u, v)) steht senkrecht auf der Tangentialebene T an im Punkt x x(u, v). Damit steht n(x(u, v)) senkrecht auf im Punkt x(u, v). erner hat n die Länge 1, ist also ein Einheitsvektor. 62

63 4.3 Das Oberflächenintegral 2. Art emerkung: (a) n heißt auch die Normale von im Punkt P. (b) Mit den Normalen n von wird gleichzeitig auch eine Orientierung von festgelegt, daher: Definition 4.7 (positive und negative Seite) Diejenige Seite, die einem eobachter zugekehrt ist, der gegen die Richtung der Normalen n blickt, heißt positive Seite, die andere heißt negative Seite von. (c) onvention: ei geschlossenen lächen (z.. ugeloberflächen) wird die Parameterdarstellung x g(u, v) so gewählt, dass die positive Seite mit der Außen- und die negative mit der Innenseite von übereinstimmt. (d) Hat die implizite Darstellung {x R 3 : Φ(x) C konst } mit einer unktion Φ Φ(x, y, z), so ist nach HM II die Normale n n(x) auch definiert durch n Φ(x) Φ(x). eispiel: ugeloberfläche Φ(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 : Oberflächenintegral 2. Art n x x. Sei v v(x) ein Vektorfeld, das zumindest auf ganz definiert ist. Dabei ist eine läche im R 3 mit der Parameterdarstellung x g(u, v). erner bezeichne n g (u, v) g (u, v) u v g u (u, v) g v (u, v) den Normaleneinheitsvektor im Punkt x(u, v). Definition 4.8 (Oberflächenintegral 2. Art, gerichtetes lächenelement) Unter dem Oberflächenintegral 2. Art des Vektorfeldes v v(x) über die läche versteht man den mit Hilfe des Oberflächenintegrals 1. Art definierten Wert v(x) d : v(x) n(x) d. }{{} Oberflächenintegral 1. Art d : n(x) d heißt auch gerichtetes lächenelement im Unterschied zum skalaren lächenelement d. Liegt eine geschlossene läche vor, so schreibt auch v(x) d. Anstelle von d schreibt man auch do, dw,

64 4 Oberflächenintegrale Aus Satz 4.4 (ormel für das Oberflächenintegral 1. Art) folgt somit: Satz 4.7 Es gilt: v(x) d g v(g(u, v)) u (u, v) g v (u, v) g u (u, v) g v (u, v) g (u, v) g (u, v) db u v v(g(u, v)) v(x(u, v)) ( ) g u (u, v) g v (u, v) db ( ) x u (u, v) x v (u, v) db mit x g(u, v). eispiel: (a) Physikalische Interpretation Sei v v(x) ein Strömungsfeld, d.h. v(x) entspricht dem etrag und der Richtung der Stoffmenge, die pro Sekunde im Punkt x durch eine lächeneinheit fließt. Abbildung 4.8: Strömungsfeld. Dann gilt v(x) n(x) v n cos ϕ v cos ϕ luss durch d. v d ist der totale luss von v(x) durch. (b) luss eines Coulomb-eldes einer Punktladung durch eine ugeloberfläche mit Radius R und Zentrum. 64

65 4.3 Das Oberflächenintegral 2. Art Abbildung 4.9: Coulomb-eld einer Punktladung. v(x) x C x 3 v n x C x x 3 x C x 2 v d v n d C R d C d 2 R 2 C lächeninhalt von R2 C R 2 4πR2 4πC (unabhängig von R). 65

66 4 Oberflächenintegrale 66

67 5 Integralsätze Problem: (a) Umwandlung von Oberflächenintegralen in ereichsintegrale und umgekehrt. (b) Umwandlung von Linienintegralen in Oberflächenintegrale und umgekehrt. 5.1 Der Integralsatz von Gauß Gegeben: (a) Ein räumlicher örper R 3 mit der Oberfläche. erner sei n (A) n(x) der in jedem Punkt x nach außen gerichtete Normaleneinheitsvektor. (b) Ein Vektorfeld v v(x), das zumindest auf definiert ist. Abbildung 5.1: örper R 3. Definition 5.1 (Divergenz) Unter der Divergenz div v des Vektorfeldes v v(x) versteht man das Skalarenfeld Satz 5.1 (Integralsatz von Gauß) Es gilt: div v(x) db }{{} ereichsintegral von div v(x)über div v(x) v 1 x + v 2 y + v 3 z v(x) n (A) (x) d }{{} d (A) }{{} Oberflächenintegral 2.Art von v(x) über 67