Folge ud Grezwerte verstädlich eiführe Reihe 4 S Verlauf Material LEK Glossar Lösuge Köe Sie och folge? Folge ud Grezwerte verstädlich eiführe Michael Piechatzek, Dortmud Was passiert mit dem Ma? Klasse: 0/ Dauer: Ihalt: 6 Stude Zahlefolge; explizite ud rekursive Beschreibug eier Folge; Eigeschafte vo Folge (Mootoie; Beschräktheit; Kovergez); Nullfolge; die Euler sche Zahl e; Grezwert; Grezwertsätze für Zahlefolge; Grezwerte vo Fuktioe; alltagsahe Beispiele Ihr Plus: Ei Spielpla für das Limes-Bigo Pixelio, J. Nieße Er wird immer kleier!, atworte Ihre Schüler wahrscheilich auf die Frage, was mit dem Ma passiert, we er immer weiter geradeaus läuft. Ka ma dieses immer kleier werde auch mathematisch ausdrücke? Ja! Ma schreibt die Größe des Maes ach jedem Schritt auf ud erhält eie Zahlefolge. Offebar ähert sich diese Folge der Zahl 0 wie geau, das wisse wir och icht. Führe Sie de Begriff der Zahlefolge hadlugsorietiert ei. Lasse Sie Ihre Schüler z. B. ei Blatt Papier falte ud de Grezwert dieses Prozesses bereche. Tippkarte helfe Ihre Schüler auf die Sprüge. 74 RAAbits Mathematik März 0
Folge ud Grezwerte verstädlich eiführe Reihe 4 S Verlauf Material LEK Glossar Lösuge Didaktisch-methodische Hiweise De Begriff der Folge eiführe Viele alltägliche Problemstelluge lasse sich mithilfe der Mathematik beschreibe. So ka ma Folge utze, um etwa de Gag des juge Maes auf dem Titelfoto mathematisch zu modelliere. Lasse Sie die Schüler zuächst überlege, welche Rolle Zahlefolge i ihrem Alltag spiele. We ma sich beispielsweise das Jahr über aufgeschriebe hat, welche Note ma i de Tests ud Klassearbeite hatte, ka ma am Jahresede aus der Zahlefolge eie (hoffetlich positive!) Etwicklug ablese. Bei physikalische Experimete otiert ma meist Messreihe das sid Folge, die agebe, welche Wert eie Messgröße zu eiem bestimmte Zeitpukt hatte. Folge köe Wachstums- ud Dezimierugsprozesse beschreibe ud zwar i gaz uterschiedliche Bereiche. Eie mathematische Fassug des Wortes Folge hilft de Schüler, zu erkee, dass all diese Beispiele das gleiche Phäome zugrude liegt. Defiitio : Eie Folge ist eie Abbildug mit der Deiitiosmege N 0. Wir verwede für eie Folge die Bezeichug: à a für 0 oder kurz (a ). Die eizele a heiße Folgeglieder. Bei de Grezwertbetrachtuge führe Sie eie weitere abstrakte Begriff ei: uedlich (geschriebe: ). Die Schüler lere, dass uedliche Zahlefolge eie Grezwert habe köe. Notwedige Vorketisse Elemetare Termumformuge führe Ihre Schüler souverä durch. Dazu gehöre die biomische Formel, die Potez- ud Wurzelgesetze sowie das korrekte Ausklammer. Außerdem beötigt ma i M, Aufgabe die geometrische Reihe: k 0 k s + q+ q +... + q q ; q r, Þ s Beispiel: q 4: Ablauf k 4 4 4 4 q q Der Eistieg i die Thematik erfolgt über alltagsahe Beispiele. Die Schüler modelliere Folge zu Sachverhalte ud umgekehrt. Hadlugsorietiert äher sich Ihre Schüler dem mathematische Folgebegriff. Dazu falte sie eie Boge Papier, färbe Fläche ei ud betrachte die Folge der eigefärbte Flächeihalte (M ). Tippkarte (M ) erleichter ihe die Arbeit ud förder eie selbststädige Auseiadersetzug mit der Problemstellug. Die Lerede erfahre, wie eizele Folgeglieder otiert werde. Sie stelle fest, dass ei Glied eie Nachfolger hat. Die Schüler müsse weiterhi agebe, ob die betrachtete Folge (streg) mooto wachsed oder falled ist. Gibt es eie Zahl, der sich die Flächeihalte äher? Auch diese Frage scheide Sie a. Mit Material M 4 führe Sie die Begriffe Kovergez ud Divergez ei. Nebe der leicht zu verstehede Nullfolge ist auch die Uedlichkeit Thema dieses Materials. Der Grezwert eier kovergete Zahlefolge für à wird deiiert. Lasse Sie Ihre Schüler eifache Grezwerte bestimme. Material M 5 ist ei Tademboge. Selbststädig erschließe sich Ihre Schüler mithilfe zweier Lücketexte die Bedeutug der Begriffe Folgeglied, Platzummer, Rekursivität ud explizite Notatio. Zusatzaufgabe sicher das Verstädis der eu gelerte Wörter. 74 RAAbits Mathematik März 0
Folge ud Grezwerte verstädlich eiführe Reihe 4 S 4 Verlauf Material LEK Glossar Lösuge Auf eie Blick Eistieg: de Begriff der Zahlefolge keelere Material Thema Stude M (SW-Fo) M M Folge modelliere Zahlefolge im Alltag Eie Modellierugsaufgabe als Uterrichtseistieg Papier falte ei eifaches Experimet zur Kovergez Hadlugsorietierter Eistieg mithilfe eies Faltexperimetes Ziel eies lage Wegs Tipps zur Grezwertbestimmug Tippkarte zum Faltbeispiel aus M Material Thema Stude M 4 Nullfolge, sprigede Folge; der Begriff Grezwert Eiführug des Grezwertes ud der Nullfolge; Modellierug vo Alltagssituatioe mithilfe vo Folge Begriffsdeiitioe, Grezwertbestimmuge, Recheregel Material Thema Stude M 5 M 6 M 7 Exakt deiiert Tademböge Tademböge zu wichtige Begriffe, Übugsaufgabe Ausklammer ud kürze Grezwerte bereche Nullfolge erkee; Termumformuge; Grezwerte bereche Die Grezwertsätze Regelkarte Recheregel zu Folge keelere ud awede... 4. 5. Wiederhole ud festige Material Thema Stude M 8 Limes-Bigo übe Sie Grezwertbestimmuge! Füf Spielplavorlage für ei Bigo i kleie Gruppe Übuge zur Bestimmug vo Grezwerte 6. Miimalpla Je achdem, welche Vorketisse Ihre Schüler habe, köe Sie de hadlugsorietierte Eistieg auslasse ud die Uterrichtsreihe mit M 4 begie. 74 RAAbits Mathematik März 0
Folge ud Grezwerte verstädlich eiführe Reihe 4 Verlauf Material S LEK Glossar Lösuge M Zahlefolge im Alltag Was passiert mit dem Ma? Pixelio, J. Nieße Aufgabe Der Ma auf dem Foto ist schätzugsweise m groß. Er macht ugefähr m große Schritte. Pro Schritt wird er scheibar immer kleier, je weiter er sich vo Ihe etfert. Modelliere Sie seie scheibare Größe durch eie Zahlefolge. 74 RAAbits Mathematik März 0
Folge ud Grezwerte verstädlich eiführe Reihe 4 Verlauf Material S LEK Glossar Lösuge M Papier falte ei eifaches Experimet zur Kovergez Das Wort Folge hat uterschiedliche Bedeutuge: Zum Beispiel ist eie Folge eie Kosequez aus eier bestimmte Hadlug. Hält ma sich icht a die Regel, ka eie Strafe folge. Eie adere Bedeutug des Wortes Folge ist eie Reihe vo zeitlich aufeiaderfolgede Dige oder Geschehisse. Was aber ist eie mathematische Folge? Aufgabe Nehme Sie ei weißes DIN-A4-Blatt Papier, lege Sie es quer vor sich auf de Tisch ud halbiere Sie es mit eiem Bleistiftstrich. Die like Seite färbe Sie mit eiem farbige Stift ei. Die rechte Seite halbiere Sie waagerecht mit eiem weitere Bleistiftstrich. Die obere Hälfte der rechte Seite teile Sie sekrecht i zwei Teile ud färbe wieder de like Teil mit dem farbige Stift ei. Wiederhole Sie diese Vorgag i der rechte obere Ecke, bis Sie 5 Fläche eigefärbt habe (siehe Abbildug).. Welcher Ateil der Ausgagsläche ist ach,,, 4 ud 5 solche Vorgäge gefärbt? Vergleiche Sie Ihre Ergebisse. Welche Aussage über die Folge der Ergebisse köe Sie mache?. Ma idet die Folgeglieder durch sukzessives Eisetze der atürliche Zahle i die Formel a 4. 6 4 Begrüde Sie, wie ma auf die Formel kommt. Gibt es ei letztes Folgeglied? So fage Sie a: Folgt mir! Ich weiß, wogege wir kovergiere. Pixelio Flächefärbug ach dem. Falte Flächefärbug ach dem. Falte Flächefärbug ach dem. Falte Flächefärbug ach dem 4. Falte 74 RAAbits Mathematik März 0
Folge ud Grezwerte verstädlich eiführe Reihe 4 Verlauf Material S LEK Glossar Lösuge M Ziel eies lage Wegs Tipps zur Grezwertbestimmug Welche Zahlewert immt die Fläche der Färbug ach jedem Faltugsvorgag a? Faltug a a a a 4 a 5 Ateil als Bruch + 8 Ateil als Dezimalzahl 0,5 0,65 Fülle Sie die Tabelle aus. Bereche Sie de Ateil der gefärbte Fläche. Was fällt Ihe auf? Welche Beziehug besteht zwische de eizele aufeiaderfolgede Werte? Was ka ma über die Größe der gefärbte Fläche sage? Sortiere Sie vom kleiste bis zum größte Wert. < < < < Was fällt Ihe dabei auf? Welche Aussage köe Sie also treffe? a < a + a a + a > a+ a a + Der Nachfolger eies jede Folgegliedes ist echt größer als sei Vorgäger. streg mooto wachsed Der Nachfolger eies jede Folgegliedes ist größer oder gleich als sei Vorgäger. mooto wachsed Der Nachfolger eies jede Folgegliedes ist echt kleier als sei Vorgäger. streg mooto falled Der Nachfolger eies jede Folgegliedes ist kleier oder gleich als sei Vorgäger. mooto falled Gibt es ei Ziel? Gibt es Ihrer Meiug ach eie Wert, über de kei Flächeihalt hiausgeht? Wie lautet dieser Wert? Hat eie streg mooto wachsede Folge eie Grezwert, so sid die eizele Folgeglieder durch ih beschräkt. Wa gibt es eie Grezwert? Ist eie Folge beschräkt ud mooto wachsed oder mooto falled, so wird sie als koverget bezeichet. Da besitzt sie eie Grezwert. Ist die Folge icht koverget, so heißt sie diverget. Da hat sie keie Grezwert. I userem Fall ist die Folge der gefärbte Flächeateile gegebe durch. Diese Folge besitzt de Grezwert. 74 RAAbits Mathematik März 0
Folge ud Grezwerte verstädlich eiführe Reihe 4 Verlauf Material S 4 LEK Glossar Lösuge M 4 Nullfolge, sprigede Folge; der Begriff Grezwert I der Mathematik ka eie Folge die Eigeschaft habe, sich mit wachsedem Idex immer mehr eier bestimmte Zahl g r azuäher. Diese Zahl bezeichet ma als Grezwert (lat. Limes) der Folge. Hat eie Folge eie solche Grezwert, so wird sie als koverget bezeichet. Besitzt die Folge dagege keie Grezwert oder ähert sie sich mit wachsedem Idex (uedlich) bzw. (mius uedlich) a, so heißt die Folge diverget. Sie kovergiert da icht, soder divergiert. Nullfolge Das wohl bekateste Beispiel eier kovergete Folge ist a. Mit größer werdedem äher sich die Werte der Folge a die Zahl 0 a. Die Zahl 0 ist der Grezwert der Folge (a ). Folge mit dem Grezwert 0 et ma Nullfolge. Alterierede Folge Eie ebefalls wichtige Folge ist gegebe durch: a ( ). Für alle gerade erhält ma als Wert ud für alle ugerade de Wert. Somit sprigt die Folge zwische der Zahl ud der Zahl. Solche sprigede Folge et ma alterierede Folge. Aufgabe. Welche Alltagssituatioe falle Ihe ei, die ma mithilfe vo Folge beschreibe ka? Versuche Sie auch eie Formel azugebe, mit der Sie die Folgeglieder bereche köe.. Überlege Sie, welche Grezwerte die folgede Folge für habe. 5 a) a + b) b 4 ( + ) c) c Merke De Grezwert (lat. Limes) eier Folge (a ) kürzt ma ab mit lim a g. Die a bezeiche dabei die Folgeglieder. ist der Idex. Wir ehme a, dass über alle Greze hiweg wächst:. Ergebis ist g, der Grezwert. 74 RAAbits Mathematik März 0
Folge ud Grezwerte verstädlich eiführe Reihe 4 Verlauf Material S 6 LEK Glossar Lösuge Pixelio M 6 Ausklammer ud kürze Grezwerte bereche Eie Allee, dere Ede icht zu erkee ist Beispiel: a + 4 + 4 + 7 So geht s (trotzdem!). Sie wisse, dass die Folge Eie Folge, die sich immer weiter a die Zahl 0 aähert, bezeichet ma als Nullfolge. Die bekateste Nullfolge habe Sie bereits keegelert. Merke: gege 0 kovergiert. Die Folge a kovergiert für wachsede gege 0. Ma schreibt lim 0. Nu gibt es aber auch Ausdrücke, dee ma icht so eifach asehe ka, wogege sie kovergiere.. Forme Sie de Term für die Folgeglieder a geeiget um, um sich diese Tatsache zuutze zu mache. a + 4 + 4 + 7 4 ( + + ) 7 (4 + ) 4 + + 7 4 + (Ma ka das mit dem größte Expoete herauskürze.). We für große gege 0 kovergiert, da kovergiert gege 0. We Wir köe schreibe: lim a Aufgabe lim für große erst recht koverget ist mit Grezwert 0, da auch ud 7. + 4 + 4 + 7 lim 4 4 + + lim + lim + lim + 0 + 0 7 7 4+ 0 4 + lim 4 + lim Bereche Sie die Grezwerte folgeder Folge für à. Bilde Sie zuächst Nullfolge. a 7 + 4 b ( + ) + 4 + ( ) c ( 4 + ) d 4 + 7 5 74 RAAbits Mathematik März 0
Folge ud Grezwerte verstädlich eiführe Reihe 4 Verlauf Material S 8 LEK Glossar Lösuge M 8 Limes-Bigo übe Sie Grezwertbestimmuge! Merke Um de Grezwert eier Fuktio zu bestimme, setze Sie die Greze für die Variable x ei. Beispiel: lim (x 0) x 4 x 4 Materialie verschiedefarbige Würfel (blauer Würfel à Zeile, roter Würfel à Spalte) Müze, Mesch-ärgere-dich-icht-Figure, Halmahütche oder Ähliches Spielregel Bilde Sie er- oder 4er-Gruppe. Sie werfe zwei verschiedefarbige Würfel, aus dee Spalte ud Zeile abzulese sid. Die gewürfelte Aufgabe ist zu löse. Ist die Lösug richtig, so dürfe Sie dieses Feld belege (Pfeige etc.). Gewier ist, wer als Erster eie Zeile, Spalte oder Diagoale richtig gelöst hat. Die Felder, auf dee Joker steht, falle automatisch (ohe Rechug) i Ihre Besitz. u. 6 u. 5 lim + lim + 5 + lim lim JOKER lim + + 6 4 4 u. 4 lim + lim 0 + + ( + ) lim( + ) 0 u. 4 u. 5 u. 6 74 RAAbits Mathematik März 0
Folge ud Grezwerte verstädlich eiführe Reihe 4 Verlauf Material LEK Glossar Lösuge S Lösuge ud W Tipps zum Eisatz M Zahlefolge im Alltag Diese Aufgabe ka icht mit richtig oder falsch beatwortet werde. Vielmehr regt sie die Schüler zum Nachdeke a. Lasse Sie Ihre Klasse weitere Alltagssituatioe aufzähle, die ma mithilfe vo Folge mathematisch modelliere ka. M Papier falte ei eifaches Experimet zur Kovergez. Nach dem erste Falte ist der Fläche gefärbt. Nach dem zweite Falte kommt 8 hizu ud ma erhält: + 8 5 8 0,65. Nach dem dritte Falte erhält ma demetspreched: + 8 + 0,6565. Ei weiteres Mal Falte brigt da: + 8 + + 8 85 8 0,664065. Nach dem füfte Mal Falte erhält ma dem Schema etspreched also: + 8 + + 8 + 5 4 5 0,6660565. Beobachtug: Je weiter ma faltet, umso äher kommt der Wert des Flächeihalts der gefärbte Fläche a die Zahl 0,66666 hera.. Begrüdug der Formel: Ma schreibt sich zuächst die Folge der Brüche auf: Faltug: a a a a 4 a 5 Ateil als Bruch + 8 5 8 + 8 + + 8 + + 8 85 8 + 8 + + 8 + 5 4 5 Es fällt auf, dass vo Schritt zu Schritt ei Bruch addiert wird, desse Neer sich vervierfacht hat. Der Zähler wird vo Schritt zu Schritt auch vervierfacht, es kommt aber jeweils och eie hizu. Der Startwert ist /. Um eie explizite Darstellug zu bekomme, betrachtet ma die Folge der Zähler: 5 85 4..., also + 4 + 4 + 6 à Folge der Neer: 8 8 5 à 4 k 4 k 4 Ergebis: a 4 4 bzw. a 4 6 4 Gibt es ei letztes Folgeglied? Nei, es gibt kei letztes Folgeglied, der Teilugs- ud Färbugsprozess ka uedlich fortgesetzt werde. Deoch ähert sich die Folge der gefärbte Flächeihalte mit wachsedem a de Bruch / a. 74 RAAbits Mathematik März 0