Das HJM-Modell und das LIBOR Markt Modell zur Beschreibung von Zinsstrukturkurven

Das HJM-Modell und das LIBOR Mark Modell zur Beschreibung von Zinssrukurkurven Diplomarbei von Alexander Oswald Bereuer: Privadozen Dr. Volker Paulsen Mahemaisches Insiu für Saisik Fachbereich 1 - Mahemaik und Informaik Wesfälische Wilhelms-Universiä Münser

Einleiung Für Banken und Versicherungen sellen Zinsänderungen ein groÿes Risiko dar. Um sich gegen dieses Risiko abzusichern, können am Mark geeignee Zinsderivae erworben werden. So ha das Handelsvolumen von Zinsderivaen in den lezen Jahren enorm zugenommen. Beispielsweise beweg sich das Handelsvolumen von Zinsopionen in der Gröÿenordnung des Jahreshaushals der Bundesrepublik Deuschland. Dies verdeulich die Nowendigkei der korreken Bewerung dieser Zinsderivae. Die Enwicklung aussagekräfiger Zinssrukurmodelle is also unbeding erforderlich. In dieser Arbei werden zunächs im ersen Kapiel nowendige Begrie und Deniionen eingeführ. Im zweien Kapiel wird das von Heah, Jarrow und Moron [HJM92]1992 enwickele Zinssrukurmodell eingeführ, in welchem die Dynamik der Forward Raes mi Hilfe eines Iô-Prozesses für alle Fälligkeien innerhalb eines endlichen Zeihorizons simulan modellier wird. Nach der Deniion dieses Iô-Prozesses wird zunächs als ein wichiges Hilfsmiel der Saz von Fubini für sochasische Inegrale eingeführ. Anschlieÿend wird die Dynamik der Bondpreise, welche sich aus der Dynamik der Forward Raes herleien läss, berechne. Die simulane Modellierung unendlich vieler Bonds allerdings erforder es, eine Drifresrikion in das Modell einzuführen. Nur wenn diese Drifresrikion erfüll is, is das Modell arbiragefrei. Die Drifresrikion besag, dass die Drif der Forward Raes nur von der Volailiä abhäng. Näher berache werden Gauÿmodelle als Spezialfälle des HJM-Modells und es wird gezeig, wie ausgewähle Shor Rae Modelle aus dem HJM-Modell abgeleie werden können. Ein besonderer Fokus wird hier auf die Beanworung der Frage geleg, wann die aus dem HJM-Modell hergeleiee Shor Rae die Markoveigenschaf erfüll. Es wird kurz beschrieben, wie HJM-Modelle kalibrier werden können. Das drie Kapiel beschäfig sich mi dem LIBOR Mark Modell, welches 1997 von Brace, Gaarek und Musiela [BGM97] hergeleie wurde. Die zugrunde liegende Idee is es, sa der kurzfrisigen Zinsen den LIBOR als diskreen Zinssaz zu berachen. Der LIBOR kann dann jeweils uner einem eigenen Wahrscheinlichkeismaÿ lognormalvereil modellier werden. Auf diese Weise erhäl man die Formel von Black und Scholes für Caples. Nach der Deniion wichiger Zinsderivae wird der Zusammenhang des LIBOR Modells zum HJM-Modell aufgezeig werden. Anschlieÿend wird zunächs ein nich auf dem HJMi

Modell basierendes diskrees Tenormodell konsruier. Aus diesem diskreen Modell lassen sich die Bondpreise für die Fälligkeien, die der Tenorsrukur ensprechen, herleien. So erhäl man ein konsisenes sowie arbiragefreies Zinssrukurmodell. Es wird kurz aufgezeig, wie ein solches Modell kalibrier werden kann. Im lezen Schri wird ein seiges Tenormodell konsruier. Hierbei wird das diskree Tenormodell als Grundlage genuz und die bisher nich denieren Zwischenräume der Fälligkeien werden geeigne geschlossen. Abschlieÿend werden im seigen Tenormodell die Bondpreise für alle Fälligkeien hergeleie. Gemäÿ Ÿ21 Absaz 6 der Diplomprüfungsordnung für den Sudiengang Mahemaik der Wesfälischen Wilhelms-Universiä Münser vom 15. Juli 1998 versichere ich, dass ich die vorliegende Diplomarbei selbsändig verfass und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmiel benuz habe. An dieser Selle möche ich Dr. Volker Paulsen für die Überlassung des ineressanen Themas und für die gue Bereuung bei der Ersellung meiner Diplomarbei danken. Weier danke ich meinen Elern, die mich während meines Sudiums ses unersüz haben. Münser, den 13.4.21 ii

Inhalsverzeichnis 1 Grundlagen 1 2 Das HJM-Modell 6 2.1 Der Saz von Fubini für sochasische Inegrale................ 9 2.2 Die Dynamik der Bondpreise.......................... 14 2.3 Arbiragefreihei................................ 16 2.4 Implemenierung eines HJM-Modells..................... 22 2.5 Die Dynamik der Shor Rae.......................... 23 2.6 Das T -Forward-Maÿ.............................. 25 2.6.1 Der T -Bond als Numéraire und eine Bewerungsformel....... 26 2.6.2 Bewerung von Opionen miels T -Forward-Maÿ.......... 28 2.6.3 Zusammenhang zwischen Forward Rae und Shor Rae....... 29 2.7 Gauÿmodelle.................................. 31 2.7.1 Opionsbewerung im Gauÿmodell................... 32 2.7.2 Markoveigenschaf........................... 35 2.7.3 Beispiele................................. 4 2.8 Kalibrierung................................... 45 2.9 Forward Raes lognormalvereil?....................... 49 2.1 Fazi....................................... 51 3 Das LIBOR Mark Modell 53 3.1 Cap, Floor, Swap und Swapion........................ 54 3.2 Zusammenhang zwischen dem HJM-Modell und dem LIBOR Mark Modell 59 3.3 Das diskree Tenormodell........................... 62 3.3.1 Das Terminal Measure......................... 65 3.3.2 Der Bondmark............................. 66 3.3.3 Das Geldmarkkono.......................... 7 iii

3.3.4 Black-Scholes Formel für Caples................... 74 3.4 Kalibrierung................................... 77 3.5 Das seige Tenormodell............................ 79 3.5.1 Der Bondmark............................. 83 3.6 Fazi....................................... 86 A Anhang 87 Lieraurverzeichnis 89 iv

1 Grundlagen In diesem Kapiel werden für die Arbei benöige grundlegende Deniionen und Begrie eingeführ. Beispielsweise wird gezeig, wie ein Forward Rae Agreemen zusandekomm, wie verschiedene Zinssäze, insbesondere die augenblickliche Forward Rae und der LIBOR, denier werden oder wie das Geldmarkkono eingeführ wird. Für Lieraur siehe hierzu uner anderem in [Shr4], [Sch5] oder [BS4]. Im ersen Schri wird ein endlicher Handelshorizon T > xier, derar dass im Handelsinervall [, T ] ein seiger Handel angenommen werden kann. Weierhin sei angenommen, dass für jedes T [, T ] ein ausfallrisikoloser Zero-Coupon-Bond exisier, welcher eine sichere Zahlung von einer Geldeinhei bei Fälligkei T garanier. Mi B, T sei der Preis eines solchen Zero-Coupon-Bonds mi Fälligkei T zum Zeipunk für alle T [, T ] und [, T ] bezeichne. Es wird nowendigerweise angenommen, dass B, = 1 für alle [, T ], B, T > für alle T [, T ] und [, T ], sowie log B,T exisier für alle T [, T ] und [, T ]. T Die erse Bedingung sell sicher, dass der Zero-Coupon-Bond für jede Fälligkei nich ausfallgefährde is. Durch die zweie Bedingung wird die einfache Arbiragemöglichkei ausgeschlossen, eine sichere Zahlung einer Geldeinhei in T zu einem Zeipunk T kosenlos zu erhalen und die leze Bedingung sell sicher, dass die Forward Raes wohldenier sind. Die Funkion B, T, T, wird auch als Diskonierungsfunkion in sowie B, T als Diskonierungsfakor bezeichne. In der Regel is die Diskonierungsfunkion monoon fallend. 1

Kapiel 1. Grundlagen Im nächsen Schri wird berache, wie sich Zinsen auf zukünfigen Inervallen verhalen, denn aus den Bondpreisen zum Zeipunk lassen sich schon die Zinsen zum Zeipunk für die Anlage aller späeren Zeiräume [T, S] [, T ] besimmen. Berache wird das Zusandekommen eines Forward Rae AgreemenFRA. Sei T S T und berache für T folgende Sraegie: i In : Verkaufe einen T -Bond und kaufe B,T B,S Dann ergib sich zum Zeipunk : B, T Zum Zeipunk fallen also keine Kosen an! -Aneile an einem S-Bond. B, T B, S B, S =. ii In T : Zahle eine Geldeinhei für den in verkaufen T -Bond. iii In S: Erhale B,T B,S aus den in gekaufen Aneilen an dem S-Bond. Diese Sraegie ermöglich also die Anlage einer Geldeinhei über das Inervall [T, S] mi Zahlung von B,T > 1 in S. Wichig dabei is feszusellen, dass der Zinssaz bereis zum B,S Zeipunk xier wurde. Der Zinssaz ergib sich aus folgender Deniion: Deniion 1.1: Sei T S T. i Die diskree Forward Rae für den Zeiraum [T, S] zum Zeipunk ergib sich durch L, T, S = 1 B, T S T B, S 1. Die Forward Rae 1 L, T, S heiÿ LIBOR-Forward-Rae. ii Der diskree Zins für den Zeiraum [, T ] is demnach denier durch L,, T = 1 1 T B, T 1. Die einfache Spo Rae L,, T heiÿ LIBOR-Spo-Rae. 1 auch Terminzins genann 2

Man unerscheide zwischen den diskreen Zinsen, welche sich auf einen endlichen Zeiraum beziehen und linear verzins werden, und den seigen Zinsen, welche sich hypoheisch auf einen inniesimalen Zeiraum beziehen und seig verzins werden. Des Weieren is zwischen Spo Raes und Forward Raes zu unerscheiden. Bei Spo Raes beginn der Anlagezeiraum sofor, während sich Forward Raes auf Anlagezeiräume beziehen, welche ers in der Zukunf liegen. Berache wird nun die Umrechnung von einer diskreen bzw. linearen Verzinsung L, T, S zu einer seigen Verzinsung R, T, S, welche sich über folgende Gleichung ergib: e R,T,SS T = 1 + L, T, SS T = 1 + 1 S T = B, T B, S. Somi ergeben sich folgende Deniionen: B, T B, S 1 S T iii Die seig verzinse Forward Rae für das Inervall [T, S] zum Zeipunk is denier durch R, T, S = lnb, S lnb, T. S T iv Die seig verzinse Spo Rae für das Inervall [, T ] is denier durch R, T := R,, T = lnb, T. T v Läss man S T gehen, so erhäl man die augenblickliche Forward Rae 2. Die augenblickliche Forward Rae mi Fälligkei T zum Zeipunk is denier durch f, T := limr, T, S = lim S T S T = T lnb, S lnb, T S T lnb, T. 1.1 Die augenblickliche Forward Rae f, T ensprich dem vom Mark erwareen zukünfigen Zins für den inniesimalen Zeiraum [T, T + d] zum Zeipunk. 2 Die augenblickliche Forward Rae wird auch insananous oder soforige Forward Rae genann. 3

Kapiel 1. Grundlagen vi Die augenblickliche Shor Rae zum Zeipunk is denier als r = f, = lim T R, T. Die Shor Rae gib den Zinssaz zum soforigen Leihen und Verleihen von Geld zum Zeipunk an. Im Folgenden bezeichne, falls keine Verwechslungsmöglichkei beseh, Forward Rae die augenblickliche Forward Rae f, T. Mi Bonds sind ypischerweise Zero-Coupon-Bonds gemein und T -Bond bezeichne einen Zero-Coupon-Bond mi Fälligkei T. Bemerkung 1.2: Der LIBOR is der prominenese Zinssaz im Inerbankenhandel. Der LIBORLondon Inerbank Oered Rae wird bankäglich als arihmeisches Miel aus den Brief-Zinssäzen errechne, zu denen Londoner Banken mi ersklassiger Boniä berei sind, Geld mi gleicher Boniä an andere Banken auszuleihen. LIBOR-Säze werden für ypische Laufzeien von ein, drei, sechs und zwölf Monaen und verschiedenen Währungen veröenlich. 3 Aus 1.1 ergib sich der Zusammenhang zwischen der Forward Rae und den Bonds. Aufgrund von B, = 1 ergib sich Also: 3 Siehe [RSM4]. 1.1 exp f, udu = exp = exp = B, T. lnb, u u du lnb, T lnb, }{{} = B, T = exp f, udu. 1.2 4

Bemerkung 1.3: Sind also sämliche Forward Raes bekann, so lassen sich die Bondpreise berechnen. Sind die Bondpreise bekann, so lassen sich die Forward Raes über besimmen. f, T = T lnb, T Abschlieÿend wird noch das Geldmarkkono eingeführ. Deniion 1.4: Das Geldmarkkono is denier durch β := exp rudu. 1.3 Der Prozess β gib den Wer einer zum Zeipunk invesieren Geldeinhei zum Zeipunk an. Ein Invesmen in das Geldmarkkono unerlieg keinen Frisen. Eine Anlage is also in beliebiger Höhe zu jedem beliebigen Zeipunk und über jede beliebige Laufzei möglich. 5

2 Das HJM-Modell Einen enscheidenden Schri in der Enwicklung von seigen Zinssrukurmodellen sell das Modell von Heah, Jarrow und Moron dar, welches im Folgenden mi HJM-Modell bezeichne wird. Im Unerschied zu Shor Rae Modellen, in welchen die Dynamik des kurzfrisigen Zinses, also der Shor Rae, am Anfang des Modells seh und sich die Bondpreise dann modellendogen ergeben, modellier man in HJM-Modellen die Dynamik der Forward Raes mi Hilfe von Iô-Prozessen für alle Fälligkeien simulan. Die Bondpreise ergeben sich dann über B, T = exp f, udu. Die auf diese Weise simulane Modellierung unendlicher vieler Bondpreise bei nur endlich vielen Risikoquellen erforder es, die Dynamik der Forward Raes durch eine Drifresrikion einzuschränken. Nur wenn diese erfüll is, is das HJM-Modell arbiragefrei. Diese Drifresrikion forder einen direken Zusammenhang zwischen Drif und Volailiä der Forward Raes. Weier wird die Einführung eines Forwardmaringalmaÿes eine enscheidende Vereinfachung für die Bewerung von Claims mi sich bringen. Es sei fesgehalen, dass das hergeleiee Modell vielmehr einen Modellrahmen darsell. Spezizier man jedoch Drif und Volailiä der Forward Raes, so erhäl man aus dem Modellrahmen ein konkrees Modell. Aufgrund der Drifresrikion is die zenrale Gröÿe in arbiragefreien HJM-Modellen die Volailiä der Forward Raes. Im einfachsen Fall geh man von deerminisischen Volailiäen aus. Die Forward Raes sind dann normalvereil, weshalb man auch von Gauÿmodellen sprich. In diesen lassen sich zumindes für einfache Zinsderivae geschlossene Bewerungsformeln ableien. Die beiden geläugsen Spezikaionen unersellen eine konsane, von der Zei unabhängige Volailiä oder eine Volailiä, die exponeniell mi der Reslaufzei fäll. Für diese Spezikaionen wird hergeleie, welche Shor Rae Modelle sich so aus dem HJM-Modell ableien lassen. Weier soll kurz aufgezeig werden, wie HJM-Modelle implemenier bzw. kalibrier werden können. Ein besonderer Fokus wird auf die Beanworung der Frage geleg, wann die 6

in einem HJM-Modell abgeleiee Shor Rae die Markoveigenschaf erfüll. Zur Vereinfachung der Noaion wird angenommen, dass die Forward Raes lediglich von einer Brownschen Bewegung W angerieben werden. Die wichigsen Lieraurquellen dieses Kapiels sind [HJM92], [Shr4], [Shr97], [BS4], [Fil4], [Sch5] und [Bjö4]. Die Unsicherhei in dem Modell wird durch den Wahrscheinlichkeisraum Ω, F, P charakerisier, wobei Ω ein Ergebnisraum, F eine σ-algebra, welche messbare Ereignisse repräsenier, und P ein Wahrscheinlichkeismaÿ is. In dem gegebenem Handelsinervall enwickeln sich die Informaionen gemäÿ der rechsseiig seigen, vollsändigen Filraion F [,T ], welche von einer Brownschen Bewegung W [,T ] erzeug wird. 1 Es wird zunächs die Eigenschaf progressiv messbar denier. 2 Deniion 2.1: Ein sochasischer Prozess X = Xω, heiÿ progressiv messbar oder progressiv, falls Ω [, ] ω, s Xω, s F B[, ]-messbar is für alle. Deniion 2.2: Mi P rog wird die σ-algebra bezeichne, welche von allen progressiven Prozessen auf Ω R + erzeug wird. P rog T bezeichne die Einschränkung von P rog auf Ω [, T ]. Seien α = αω,, T und σ = σω,, T R-werige sochasische Prozesse mi folgenden Eigenschafen: α und σ sind P rog B-messbar. αs, u ds du < für alle T [, T ]. sup s, T σs, < für alle T [, T ]. Die beiden lezen Eigenschafen sind punkweise für jedes ω Ω zu versehen. 1 Vergleiche [HJM92]. 2 Siehe [Fil9],S.59. 7

Kapiel 2. Das HJM-Modell Is dann eine inegrierbare anfängliche Zinskurve f, T T [,T ] mi f, u du < P f.s. gegeben, so kann der Prozess der Forward Raes denier werden. Sei T [, T ] fes gewähl und der Prozess der Forward Raes f, T erfülle die Iô- Gleichung f, T = f, T + αu, T du + σu, T dw u, T, 2.1 bzw. in Dierenialschreibweise 3 df, T = α, T d + σ, T dw, T. 2.2 Durch die Annahmen für α und σ is 2.1 wohldenier und, da α und σ in die Dynamik 2.1 nur für T eingehen, sez man ohne Einschränkung α, T = σ, T = für > T. In dem sochasischen Prozess, denier durch 2.1, wird die sochasische Flukuaion der gesamen Zinssrukur der Forward Raes ausgehend von einer fes gewählen anfänglichen Zinskurve f, T T [,T ] fesgeleg. Wie empndlich die Forward Raes auf eine besimme Fälligkei T zum Zeipunk reagieren, wird durch die Drif α, T T T und die Volailiä σ, T T T ausgedrück. Bis auf obige Messbarkeis- und Inegrabiliäsbedingungen werden keine weieren Bedingungen an die Drif und die Volailiä gesell und es is durchaus möglich, dass sie von der gesamen Vergangenhei der Brownschen Bewegung abhängen. Allerdings haben unerschiedliche Wahlen der Volailiä signikane Auswirkungen auf den Prozess der Forward Raes. Die Dynamik der Shor Rae is ebenfalls bereis durch 2.1 fesgeleg und ergib sich durch r = f, + αu, du + σu, dw u. 2.3 3 In der allgemeinen Formulierung exisier mehr als ein risikoreibender Fakor, das heiÿ, dass die Dierenialgleichung die Form df, T = α, T + d σ i, T dw i ha und σω,, T = σ 1 ω,, T,..., σ d ω,, T ein R d -weriger sochasischer Prozess is. i=1 8

2.1. Der Saz von Fubini für sochasische Inegrale Dieser Prozess is dem Prozess der Forward Raes ähnlich, allerdings variieren die Argumene für die Zei und die Fälligkei simulan. 2.1 Der Saz von Fubini für sochasische Inegrale Der Saz von Fubini für sochasische Inegrale wird im Folgenden ein wichiges Hilfsmiel sein. Dieser Saz erlaub es Lesbegue-Sieljes Inegraion und sochasische Inegraion zu verauschen. Zum Beweis des Sazes wird der Saz über monoone Klassen Monoone Class Theorem 4 benöig. Saz 2.3: H sei eine Menge reellweriger beschränker Funkionen, welche auf einer Menge Ω denier sind, die folgende Eigenschafen erfüll: i H is ein Vekorraum. ii H enhäl die konsane Funkion 1 Ω. iii Falls f n H mi f n f monoon gegen eine beschränke Funkion f auf Ω, dann folg f H. Enhäl H eine Menge M reellweriger Funkionen, welche uner Muliplikaion abgeschlossen is, dann enhäl H alle reellwerigen beschränken Funkionen, welche σm- messbar sind. Es is nun möglich, den Saz von Fubini für sochasische Inegrale 5 zu beweisen. Saz 2.4: Sei φ = φω,, s mi, s T ein R d -weriger sochasischer Prozess, welcher folgende Eigenschafen erfüll: a φ is P rog T B[, T ]-messbar b sup,s φ, s <. 6 4 Siehe z.b. [Pro4] S.7, [Fil9] S.11 oder mi Beweis [Se]. 5 Siehe [Fil9], S.99, Theorem 6.2. 6 Diese Bedingung gil für jedes ω Ω. 9

Kapiel 2. Das HJM-Modell Dann is λ = φ, sds L 7 und es exisier eine P rog T B[, T ]-messbare Version ψs von φ, sdw mi ψ2 sds < f.s.. Weierhin gil ψsds = λdw, was bedeue, dass φ, sdw ds = φ, sds dw. 2.4 Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinhei sei d = 1 angenommen. Ansonsen beweis man 2.4 komponenenweise. Zunächs wird die Annahme b verschärf und durch Annahme b' ersez. b' φ C für eine endliche Konsane C. Dann gil λ L. Sei mi H die Menge aller φ bezeichne, welche a und b' erfüllen und für die zusäzlich der Saz gil. Das Ziel is es, mi Hilfe des Sazes über monoone Klassen zu zeigen, dass H bereis alle φ enhäl, welche die Voraussezungen a und b' erfüllen. Zu zeigen sind die Voraussezungen des Sazes über monoone Klassen. Zunächs sell man fes, dass H aufgrund der Lineariä des Inegrals ein R-Vekorraum is und oensichlich die konsane Funkion 1 Ω enhäl. Im nächsen Schri wird gezeig, dass H eine muliplikaiv abgeschlossene Menge M reellweriger Funkionen enhäl. Sei hierzu K ein beschränker progressiver Prozess und f eine beschränke B[, T ]-messbare Funkion. Die Funkion φ sei denier durch φω,, s = Kω, fs. Somi erfüll φ Bedingung a und, da sowohl K als auch f beschränk sind, auch Bedingung b'. Der so deniere Prozess φ erfüll 2.4, denn es gil: i φ, sds = K fsds sowie ii φ, sdw = fs KdW. 7 L bezeichne die R d -werigen progressiven Prozesse h mi hu 2 du < für alle >. 1

2.1. Der Saz von Fubini für sochasische Inegrale Somi erhäl man φ, sdw ds ii = = = i = Es folg, dass φ H. Des Weieren is die Menge fs KdW ds KdW K fsds fsds dw φ, sds dw. M := {Kf K beschränker progressiver Prozess,f beschränke B[, T ]-messbare Funkion} muliplikaiv abgeschlossen, denn mi G 1, G 2 M folg G 1 G 2 = K 1 f 1 K 2 f 2 = K 1 K }{{} 2 f 1 f 2 M mi einem beschränken progressiven Prozess K und einer beschränken B[, T ]-messbare Funkion f, da }{{} :=K :=f Produke messbarer Funkionen messbar sind. Für die Aussage von Saz 2.3 wird fesgesell, dass M die σ-algebra P rog T B[, T ] erzeug. Es bleib noch Bedingung iii von Saz 2.3 zu überprüfen. Sei also φ n H mi φ n φ für einen beschränken P rog T B[, T ]-messbaren Prozess φ. Da φ n H und somi insbesondere b' erfüllen und gegen einen beschränken Prozess konvergieren, kann man eine Konsane N nden, so dass sup,s φ n, s < N für alle n. Seze ψ n s = φ n, sdw. 2.5 Aufgrund der Iô-Isomerie und der Abschäzung φ n, s φ, s 2 d N + C 2 T sowie dem Saz von der majorisieren Konvergenz folg, dass [ 2 ] 2.5 [ E ψ n s φ, sdw = E 2 ] φ n, s φ, sdw [ Iô = E φ n, s φ, s 2 d ] n 2.6 für alle s T. Deniere A := {ω, s lim n ψ n ω, s exisier}. Dann is A F B[, T ]- 11

Kapiel 2. Das HJM-Modell messbar, da ψ n und dami auch lim sup ψ n messbar sind. Somi is der Prozess lim ψω, s := ψ nω, s, falls ω, s A, n, sons F B[, T ]-messbar. Wegen 2.6 gil ψs = is also eine messbare Version von folg, dass ψ2 sds < f.s. φ, sdw f.s. für alle s T. ψs φ, sdw und wegen der Beschränkhei von φ Wegen der seigen Jensenschen Ungleichung, der Iô-Isomerie und dem Saz von der majorisieren Konvergenz gil [ 2 ] [ E ψ n sds ψsds = E Weierhin gil: [ 1 = T 2 E T 2 ] ψ n sds ψsds Jensen T 2 [ T E = T Iô = T [ E [ E 2 ] ψ n sds ψsds ] ψ n s ψs 2 ds 2 ] φ n, s φ, sdw ds ] φ n, s φ, s 2 d ds für n. 2.7 [ E [ = E [ Iô = E [ 1 = T 2 E T Jensen [ T 2 E [ = T E φ n, sds dw 2 ] λdw 2 ] φ n, s φ, sds dw 2d ] φ n, s φ, sds 1 T 2d ] φ n, s φ, sds ] φ n, s φ, s 2 ds d ] φ n, s φ, s 2 ds d für n. } {{ } T 2 N+C 2 2.8 12

2.1. Der Saz von Fubini für sochasische Inegrale Somi folg dann zusammen φ, sdw ds = ψsds 2.7 = lim ψ n sds n = lim φ n, sdw ds n φ n H = lim 2.8 = = n λd φ n, sds dw φ, sds dw. Der Saz gil also auch für φ und somi is φ H. Daher sind alle Voraussezungen von Saz 2.3 erfüll und es kann gefolger werden, dass H alle beschränken, σm-messbaren Funkionen enhäl. Uner der Annahme b' is der Saz also bewiesen. Für den allgemeinen Fall wird eine nich fallende Folge von Soppzeien denier durch { τ n := inf sup s } φ, s > n T. Wegen Voraussezung b gil oensichlich τ n T für n. Seze φ n, s = φ, s1 { τn}. Der so gekappe Prozess erfüll Bedingung b'. Auf diese Weise erhäl man durch den ersen Schri λ n L und eine P rog T B[, T ]-messbare Funkion ψ n s mi ψ n s = φ, s1 { τn}dw = τn φ, sdw f.s. für alle s T und den gewünschen Eigenschafen. Mi λ n = φ, sds = λ1 { τ n} folg wegen λ n L, dass auch λ L. 13

Kapiel 2. Das HJM-Modell Auf der Menge {τ n = T } gil: φ, sdw ds = φ n H = = φ, s1 { T } dw ds }{{} φ n φ, s1 { T } ds dw φ, sds dw. Der Saz gil also auf der Menge {τ n = T } für alle n 1. Wegen sup,s φ, s < gil für {τ n < T }, dass Pτ n < T = P{ω Ω inf{ sup φω,, s > n} T < T } n. s Auf diese Weise erhäl man und der Saz is bewiesen. Pτ n = T = 1 Pτ n < T n 1 2.2 Die Dynamik der Bondpreise Aus der Dynamik für die Forward Raes 2.1 und der Beziehung 1.2 kann man bereis die Dynamik der Bondpreise herleien. Hierzu benöig man den Saz von Fubini für sochasische Inegrale 2.4. Saz 2.5: Für jedes T [, T ] erfüll der Prozess B, T die sochasische Dierenialgleichung db, T = B, T [r α, T + 1 2 σ, T 2 d σ, T dw ], T, 2.9 wobei α, T := α, udu 14

2.2. Die Dynamik der Bondpreise σ, T := σ, udu. Beweis: Mi Z := ln B, T gil Z := ln B, T 1.2 = 2.1 = Fubini = f, sds f, s + f, sds = f, sds }{{} Z αu, sdu + αu, sds du αu, sds u }{{} α u,t σu, sdw u ds du σu, sds dw u σu, sds u } {{ } σ u,t + f, sds + αu, sds du + σu, sds dw u u u }{{} = Z α u, T du Hieraus folgen die Darsellungen Fubini = R rsds σ u, T dw u + rudu. dw u dz = rd α, T d σ, T dw und d[z] = σ, T 2 d. 2.1 Mi der Iô-Formel läss sich nun die Dynamik der Bonds berechnen durch db, T = d expz Iô = expz dz + 1 2 expz d[z] = B, T rd α, T d σ, T dw + 1 2 σ, T 2 d = B, T r α, T + 1 2 σ, T 2 d σ, T dw. 2.1 15

Kapiel 2. Das HJM-Modell Bemerkung 2.6: σ, T := σ, udu kann als die Volailiä der Bondpreise inerpreier werden. Zu beobachen is, dass die Volailiä der Bondpreise negaiv is, denn die Bondpreise sinken, wenn die Zinsen seigen. 8 2.3 Arbiragefreihei Der folgende Abschni orienier sich an [Shr4], [Sch5] und [Bjö4]. In einem HJM-Modell exisier für jede Fälligkei T [, T ] ein Zero-Coupon-Bond. Daher sollen Arbiragemöglichkeien, welche durch Handeln in diesen Bonds ensehen können, ausgeschlossen werden. Um dieses sicherzusellen, müssen die Prozesse α und σ in einer besimmen Beziehung zueinander sehen. Das hergeleiee Ergebnis wird die berühme HJM-Drifbedingung sein, welche eine nowendige und noch wesenlich wichiger hinreichende Bedingung der Arbiragefreihei für HJM-Modelle liefer. Zunächs ri man folgende Deniion. Deniion 2.7: Ein HJM-Modell is arbiragefrei, wenn ein risikoneurales Wahrscheinlichkeismaÿ exisier. Theorem 2.8: Vergleiche [Shr4], Theorem 1.3.1. Ein HJM-Modell is arbiragefrei, wenn es einen Prozess θ gib, so dass α, T = σ, T [σ, T + θ] für alle T T gil. Hierbei sind α, T und σ, T Drif bzw. Volailiä der Forward Raes aus 2.2. Den Prozess θ nenn man den Markpreis des Risikos. Beweis: Um die Arbiragefreihei herleien zu können, muss ein risikoneurales Wahr- 8 Vergleiche [Cai4]. 16

2.3. Arbiragefreihei scheinlichkeismaÿ Q konsruier werden, uner welchem alle abdiskonieren Bondpreise B, T β = exp rudu B, T, T, Maringale bilden. 1 Wegen d = d exp rudu β = r 1 β gil mi parieller Inegraion B, T d β = r 1 β B, T + 1 β db, T 2.9 = B, T β [ α, T + 1 ] 2 σ, T 2 d σ, T dw. }{{} 2.11 Das Ziel is es nun den Term in der Form σ, T [θd + dw ] mi geeigneem θ zu schreiben Dann läÿ sich der Saz von Girsanov anwenden, um zu einem Wahrscheinlichkeismaÿ Q zu wechseln, uner welchem W = θudu + W 2.12 eine Brownsche Bewegung is. Mi Hilfe dieser Brownschen Bewegung ergib sich dann 2.11 zu B, T d β = B, T σ, T d β W. Somi wäre B,T wegen des fehlenden d-terms uner Q ein Maringal und dami Q risikoneural und das Modell arbiragefrei. Um wie bis zu diesem Punk beschrieben β vorgehen zu können, muss die Gleichung α, T + 1 2 σ, T 2 d σ, T dw = σ, T [θ + dw ] gelös werden. Also is ein Prozess zu nden, welcher α, T + 1 2 σ, T 2 = θσ, T 2.13 erfüll. Es is zu beachen, dass 2.13 unendlich viele Gleichungen repräsenier. Nämlich 17

Kapiel 2. Das HJM-Modell eine für jede Fälligkei T [, T ]. Diese Gleichungen nenn man die Gleichungen des Markpreis des Risikos und es exisier eine für jeden Bond, also eine für jede Fälligkei. Dennoch gib es nur einen Prozess θ, der diese Gleichungen erfüllen muss, das heiÿ, alle Bonds müssen denselben Markpreis des Risikos implizieren. Sind d Brownsche Bewegungen gegeben, welche das Modell anreiben, so gib es zu jeder Brownschen Bewegung jeweils einen Markpreis des Risikos. In diesem Fall reib lediglich eine Brownsche Bewegung das Modell an, es gib folglich nur einen Markpreis des Risikos. Um die Gleichung des Markpreis des Risikos lösen zu können, berache man T α, T = T α, udu = α, T und T σ, T = T σ, udu = σ, T, wobei T die parielle Ableiung nach T bezeichne. Somi gil T α, T + 1 2 σ, T 2 = T σ, T θ α, T + σ, T σ, T = σ, T θ α, T = σ, T [σ, T + θ]. 2.14 Es muss noch überprüf werden, ob Gleichung 2.13 gil, falls θ Gleichung 2.14 erfüll. Dann kann wie oben beschrieben Girsanov angewende werden, um ein risikoneurales Wahrscheinlichkeismaÿ zu konsruieren, dessen Exisenz die Arbiragefreihei garanier. Also erfülle θ Gleichung 2.14. Durch Ersezen von T durch v erhäl man α, v = σ, v[σ, v + θ] Inegrier man dieses bezüglich v von v = nach v = T, dann ergib sich α, v v=t v= = 1 2 σ, v 2 v=t v= + σ, vθ v=t v=. Und wegen α, = σ, = ergib sich 18

2.3. Arbiragefreihei α, T = 1 2 σ, T 2 + σ, T θ, also die Gleichung des Markpreis des Risikos 2.13. Solange σ, T is, kann man den Markpreis des Risikos durch θ = α, T σ, T σ, T, T, denieren. Somi is θ eindeuig besimm. Daraus folg, dass auch das risikoneurale Wahrscheinlichkeismaÿ Q eindeuig besimm is und mi dem Zweien Fundamenalsaz der Preisheorie folg, dass das Modell vollsändig is und dami alle Zinsderivae hedgebar sind, indem man in Bonds handel. Bisher wurde die Enwicklung der Forward Raes uner dem ursprünglichen Wahrscheinlichkeismaÿ P denier, das heiÿ, dass der reibende Prozess W aus 2.1 eine Brownsche Bewegung uner P is. Berache wird nun die Enwicklung des HJM-Modells uner dem risikoneuralen Wahrscheinlichkeismaÿ Q, uner welchem üblicherweise HJM-Modelle formulier werden. Über das Verhalen der Drif gib folgendes Theorem Klarhei. Theorem 2.9: Das Wahrscheinlichkeismaÿ Q is genau dann risikoneural, wenn die HJM-Drifbedingung α, T = σ, T σ, T 2.15 gil. Beweis: Is Q ein risikoneurales Wahrscheinlichkeismaÿ, dann is B,T β T Maringal. Somi verschwinde der d-term in Gleichung 2.11 und es folg aus B, T d β = B, T [ α, T + 1 β 2 σ, T 2 d σ, T d W ], ein Q- 19

Kapiel 2. Das HJM-Modell wobei W eine Brownsche Bewegung uner Q is, dass α, T = 1 2 σ, T 2. Dierenzieren nach T liefer die HJM-Drifbedingung α, T = σ, T σ, T. Gil andersherum α, T = σ, T σ, T, so sez man in Theorem 2.8 für den Markpreis des Risikos θ = für alle T T. Es folg, dass das HJM-Modell arbiragefrei und Q ein risikoneurales Wahrscheinlichkeismaÿ is. Korollar 2.1: Die Forward Raes enwickeln sich uner dem risikoneuralen Wahrscheinlichkeismaÿ Q gemäÿ df, T = σ, T σ, T d + σ, T d W, 2.16 wobei W eine Brownsche Bewegung uner Q is. Beweis: Es gil df, T = α, T d + σ, T dw = σ, T σ, T d + σ, T [θd + dw ] 2.12 = σ, T σ, T d + σ, T d W. Für die Dynamik der Bondpreise erhäl man folgendes Ergebnis. 2

2.3. Arbiragefreihei Korollar 2.11: Uner dem risikoneuralen Wahrscheinlichkeismaÿ Q enwickeln sich die Bondpreise gemäÿ db, T = rb, T d σ, T B, T d W. 2.17 Hierbei is W eine Brownsche Bewegung uner dem risikoneuralen Warscheinlichkeismaÿ Q. Beweis: Für die Dynamik des Geldmarkkonos gil dβ = rβd. 2.18 Da Q risikoneural is, erfüllen die diskonieren Bondpreise B, T d β = B, T σ, T d β W. 2.19 Die Dynamik der Bondpreise ergib sich dann durch db, T = d β B, T β 2.18,2.19 = rβ B, T d βσ, T B, T d β β W = rb, T d σ, T B, T d W. Die Volailiä der Forward Raes veränder sich also uner dem risikoneuralen Wahrscheinlichkeismaÿ Q nich. Der Maÿwechsel ha jedoch Auswirkungen auf die Drif der Forward Raes, welche sich nun in Abhängigkei der Volailiässrukur der Forward Raes ausdrücken läss. Auch die Volailiä der Bondpreise is uner P und Q gleich. Die Drif der Bonds uner Q ensprich der Shor Rae r. Aus Gleichung 2.16 sieh man, durch welche Angaben das Modell uner dem risikoneuralen Maÿ Q eindeuig beschrieben is. Benöig wird demnach die anfängliche Zinskurve f, T T [,T ] sowie die Volailiässrukur der Forward Raes σ, T T T. Weder der Markpreis des Risikos noch die Drif uner dem ursprünglichen Wahrscheinlichkeismaÿ P werden benöig. Schlieÿlich wird noch fesgesell, dass die sochasische Dierenialgleichung 2.17 die 21

Kapiel 2. Das HJM-Modell eindeuige Lösung B, T = B, T exp r 1 2 σ, T 2 d σ, T d W = B, T exp rudu 1 σ u, T 2 du σ u, T d 2 W u = B, T β exp 1 σ u, T 2 du σ u, T d 2 W u 2.2 besiz. 2.4 Implemenierung eines HJM-Modells Das Ergebnis des vorherigen Abschnis zeig also, dass die Volailiässrukur uner dem Wahrscheinlichkeismaÿ Q frei gewähl werden kann, um die Dynamik der Forward Raes zu besimmen. Die Drif is dann über die Drifbedingung ebenfalls eindeuig besimm. Ein Algorihmus für die Anwendung eines HJM-Modells laue schemaisch folgendermaÿen: 9 1 Deniere eine beliebige Volailiässrukur σ, T. 2 Die Drif der Forward Raes is gegeben durch die HJM-Drifbedingung α, T = σ, T σ, T. 3 Die heuige Srukur der Forward Raes f, T T >. wird am Mark beobache. 4 Die Forward Raes erhäl man durch Inegraion von f, T = f, T + 9 Siehe [Bjö4], S.343. αu, T du + σu, T d W u. 22

2.5. Die Dynamik der Shor Rae 5 Berechne die Bondpreise mi Hilfe der Formel B, T = exp f, udu. 6 Nuze die obigen Ergebnisse, um Preise für Derivae zu berechnen. In einem späer behandelen Abschni über die Beispiele für Gauÿmodelle werden einige explizie Wahlen der Volailiässrukur σ, T genauer unersuch werden. 2.5 Die Dynamik der Shor Rae Uner einigen zusäzlichen Voraussezungen läss sich die Dynamik des Shor Rae Prozesses, welcher durch die Forward Raes in einem HJM-Modell fesgeleg wird, besimmen. Hierzu siehe auch [MR98] und [Fil9]. Saz 2.12: Vergleiche [MR98] S. 312 Proposiion 13.1.1. Seien α, T, σ, T und f, T dierenzierbar nach T mi uf, udu < und beschränken pariellen Ableiungen T α, T, T σ, T und T f, T. Dann is der Prozess der Shor Rae uner P ein Iô-Prozess der Form r = r + wobei ξudu + σu, udw u, 2.21 ξu = αu, u + u f, u + u u αs, uds + u u σs, udw u. Beweis: Aus Gleichung 2.3 is bekann, dass r = f, = f, + αs, ds + σs, dw s. Mi Hilfe des Sazes von Fubini für sochasische Inegrale 2.4 folg dann, dass 23

Kapiel 2. Das HJM-Modell σs, dw s = = Fubini = σs, sdw s + σs, sdw s + σs, sdw s + s u Analog folg mi Hilfe des klassischen Sazes von Fubini σs, σs, sdw s u σs, udu dw s u σs, udw s du. Des Weieren gil αs, ds = αs, sds + u u αs, uds du. f, = r + f, r = r + f, f, = r + Durch Zusammenfügen dieser Ergebnisse ergib sich dann u f, udu. r = r + + = r + u f, udu + αs, sds + u σs, sdw s + u u αs, uds du u u σs, udw s du u αu, u + u f, u + u αs, uds + u σs, udw u + } {{ } :=ξu σu, udu. Abschlieÿend wird noch geklär, wie sich der Prozess der Shor Rae uner dem risikoneuralen Wahrscheinlichkeismaÿ Q verhäl. Bemerkung 2.13: Berache man den Shor Rae Prozess uner dem risikoneuralen Wahrscheinlichkeismaÿ Q, so gil zunächs für die Drif α, T = σ, T σ, T und somi für die parielle Ableiung nach T 24

2.6. Das T -Forward-Maÿ T α, T = T σ, T σ, T + σ, T T σ, T = T σ, T σ, T + σ, T 2. Mi α, = σ, σ, = und einer analogen Rechnung wie im Beweis von Saz 2.12 }{{} = erhäl man r = r+ [ u f, u + u bzw. in Dierenialschreibweise u σs, ud W s + u u σs, uσs, u + σs, u 2 ] ds du dr = [ f, + σs, d W s + σs, σ s, + σs, 2 ] ds d+σ, d W. 2.22 2.6 Das T -Forward-Maÿ Von nun an wird das Modell ses uner dem risikoneuralen Wahrscheinlichkeismaÿ Q berache, das heiÿ, dass alle abdiskonieren Bondpreise B, T, [, T ], 2.23 β posiive Maringale uner Q bilden. Die Einführung eines sogenannen T -Forward-Maÿes, die sich an [Fil4]Kapiel 9 orienier, ermöglich es eine sarke Vereinfachung der Bewerungsformeln für T -Claims herzuleien. Zunächs wird die Problemaik, welche bei der Verwendung der risikoneuralen Bewerungsformel aufri, näher berache. X Sei X ein T -Claim mi βt L1 Q, F T, so is der faire Preis π aufgrund der Vollsändigkei des Markes zum Zeipunk gegeben durch die Bewerungsformel 1 π = E Q exp rudux F. 2.24 Um π berechnen zu können, wird die gemeinsame Vereilung von exp 1 Siehe z.b [Reb98] S.167. rudu 25

Kapiel 2. Das HJM-Modell und X benöig und es muss bezüglich dieser Vereilung inegrier werden. So erhäl man ein Doppelinegral, welches häug schwierig zu berechnen sein wird. Berache wird sadessen ein alernaiver Weg, welcher den T -Bond als Numéraire einführ. 2.6.1 Der T -Bond als Numéraire und eine Bewerungsformel Zunächs wird es das Ziel sein, einen T -Bond mi beliebiger Fälligkei als Numéraire einzuführen, das heiÿ, dass alle bezüglich des T -Bonds diskonieren Preise ein Maringal uner dem T -Forward-Maÿ bilden. Späer erkenn man, dass das T -Forward-Maÿ die enscheidende Verbindung zum LIBOR Mark Modell darsell. Zu diesem Zweck wird folgender Dichequoienenprozess denier. Sei T > und somi gil L T := 1 B, T βt >, E Q [L T ] = E Q [ =1 {}}{ BT, T B, T βt Auf diese Weise denier man über ] Q-Maringal = 1 B, T E Q [ B, T ] = 1. β }{{} =1 dq T dq = 1 B, T βt ein äquivalenes Wahrscheinlichkeismaÿ Q T Q auf F T und für T gil dq T [ dq T ] dq F = E Q dq F Q-Maringal = Dieses Wahrscheinlichkeismaÿ heiÿ T -Forward-Maÿ. 11 B, T B, T β. Im nächsen Schri wird sichergesell, dass zu jedem T -Bond ein T -Forward-Maÿ Q T exisier, welches den T -Bond als Numéraire besiz. 11 Q T heiÿ auch erminrisikoangepasses Maÿ. 26

2.6. Das T -Forward-Maÿ Lemma 2.14: Sei T T. Für ein beliebiges < S T is der Forwardpreis des S-Bonds B,S B,T [,S T ] ein Q T -Maringal. Q T T und besiz den T -Bond als Numéraire. is das Forwardmaringalmaÿ bezüglich Beweis: Sei s S T. Dann gil nach der Formel von Bayes 12 E Q T [ B, S ] B, T F Bayes s = B,S F B,T β B,T s E Q [ B,T Bs,T B,T βs ] = Bs,S βs Bs,T βs = Bs, S Bs, T. Also is B,S ein Q T -Maringal. B,T [,S T ] Nun is es möglich ein weieres wichiges Resula dieses Abschnis, die Bewerungsformel für T -Claims uner dem T -Forward-Maÿ, zu formulieren. Saz 2.15: Sei X ein T -Claim mi X βt L1 Q, F T. Dann gil: E Q T [ X ] < und π = B, T E Q T [X F ], 2.25 wobei π den fairen Wer von X zum Zeipunk bezeichne. Beweis: [ X ] E Q T [ X ] = E Q < nach Voraussezung. B, T βt Wegen β = exp T rudu, der F βt -Messbarkei von β sowie der Formel von Bayes gil mi der Bewerungsformel 2.24: 12 Der Saz von Bayes bende sich im Anhang. 27

Kapiel 2. Das HJM-Modell π 2.24 [ X ] = B, T βe Q B, T βt F B, T = B, T βe Q T [X F ] B, T β Bayes = B, T E Q T [X F ]. Sell man die Gleichung um, so erkenn man, dass E Q T [X F ] = bezüglich T inerpreier werden kann. π B,T als Forwardpreis Des Weieren liegen die Voreile der erhalenen Bewerungsformel auf der Hand. Zum einen muss mi dem Forwardpreis E Q T [X F ] nur noch ein einfaches Inegral berechne werden, zum anderen kann der Bondpreis B, T am Mark beobache werden und muss nich berechne werden. 2.6.2 Bewerung von Opionen miels T -Forward-Maÿ Berache sei eine europäische Callopion auf einen S-Bond mi Ausübungszeipunk T < S und Srike K. Die Zahlung des Calls in Fälligkei T is dann C T = max{bt, S K, } = BT, S K + = BT, S1 {BT,S K} K1 {BT,S K}. Da BT, S den Wer einer Geldeinhei in S zum Zeipunk T bezeichne, ergib sich der faire Preis über die risikoneurale Bewerungsformel durch S ] BT, S = E Q [exp rudu 1 F T. 2.26 T Der faire Preis der Callopion zum Zeipunk is dann gegeben durch 28

2.6. Das T -Forward-Maÿ C K, T, S Saz 2.15 = E Q [exp = E Q [exp KE Q [exp 2.26 = E Q [exp KE Q [exp S = E Q [exp KE Q [exp + F ] rudu BT, S K ] rudu BT, S1 {BT,S K} F ] rudu 1 {BT,S K} F [ rudu E exp S ] rudu 1 {BT,S K} F ] rudu 1 {BT,S K} F ] rudu 1 {BT,S K} F T ] rudu F T ]1 {BT,S K} F [ 1 ] = βb, SE Q βsb, S 1 {BT,S K} F [ 1 ] βb, T KE Q βb, T 1 {BT,S K} F Bayes B, S [ ] = βb, S βb, S E Q S 1 {BT,S K} F B, T [ ] KβB, T βb, T E Q T 1 {BT,S K} F ] ] = B, SE Q S [1 {BT,S K} F B, T KE Q T [1 {BT,S K } F = B, SQ S BT, S K F B, T KQ T BT, S K F. 2.27 2.6.3 Zusammenhang zwischen Forward Rae und Shor Rae Die Forward Rae f, T is der risikolose Zinssaz über das inniesimale Inervall [T, T + dt ], fesgeleg zum Zeipunk. Andererseis is die Shor Rae rt der risikolose Zinssaz ebenfalls über das inniesimale Inervall [T, T + dt ], fesgeleg zum Zeipunk T. Die Forward Rae f, T is also der Terminpreis der zukünfigen Shor Rae rt bezüglich des Termins T zum Zeipunk. 13 13 Vergleiche [Bjö4] S.357. 29

Kapiel 2. Das HJM-Modell Wegen der eindeuigen Lösung für den Bondpreisprozess erhäl man für die Diche dq T dq F = B, T βb, T 2.2 = exp 1 2 Mi dem Saz von Girsanov erhäl man, dass W T = W + σ u, T 2 du σ u, T d W u. σ u, T du 2.28 eine Brownsche Bewegung uner dem T -Forward-Maÿ is. Zusammen mi der Dynamik der Forward Raes uner dem risikoneuralen Wahrscheinlichkeismaÿ Q ergib sich dann df, T 2.16 = σ, T σ, T d + σ, T d W 2.28 = σ, T σ, T d σ, T σ, T d + σ, T dw T 2.29 = σ, T dw T. Aufgrund des fehlenden d-terms is f, T [,T ] ein Q T -Maringal und man erhäl: Korollar 2.16: Uner dem T -Forward-Maÿ läss sich die Forward Rae f, T als bedinge Erwarung der zukünfigen Shor Rae ausdrücken. Es gil f, T = E Q T [rt F ]. Beweis: [ E Q T [rt F ] = E Q T f, T + Q T -Mar. = f, T + 2.29 = f, T σu, T dw T u F ] σu, T dw T u Die Forward Rae is der Forwardpreis auf die Shor Rae. 3

2.7. Gauÿmodelle 2.7 Gauÿmodelle Einer der wichigsen Spezialfälle des HJM-Modells sind die Gauÿschen HJM-Modelle. Man sprich von einem Gauÿmodell, falls die Volailiä der Forward Raes eine deerminisische Funkion is, das heiÿ, dass die Volailiä nur von der zeilichen Enwicklung in und dem Fälligkeiszeipunk T abhäng, nich aber von dem Zusand ω. Berache man das Modell uner dem risikoneuralen Maÿ Q, so gil die HJM-Drifbedingung und die Funkion α, T is ebenfalls eine deerminisische Funkion. Es folg, dass die Forward Raes in einem Gauÿmodell normalvereil sind, denn uner Q gil f, T = f, T + σu, T σ u, T du + σu, T d W u. }{{}}{{} deerminisisch normalvereil Weierhin folg unmielbar, dass die Bonds lognormalvereil sind, denn die Bonds folgen der Dynamik, die gegeben is durch Gleichung 2.17, mi eindeuiger Lösung 2.2, also B, T = B, T β exp 1 2 1.3 = B, T exp f, + σ u, T 2 du σ u, σu, du 1 2 σ u, T d W u σ u, T 2 du }{{} deerminisisch + σu, d W u σ u, T d W u. } {{ } normalvereil Es is bereis gezeig worden, dass das HJM-Modell uner Q vollsändig durch die anfängliche Zinskurve f, T T [,T ] und die Volailiässrukur der Forward Raes σ, T beschrieben is. Zum Ende des Abschnis sollen die Auswirkungen einiger ausgewähler deerminisischer Volailiäsfunkionen auf das HJM-Modell unersuch werden. Auÿerdem wird der Zusammenhang einiger Shor Rae Modelle zum HJM-Modell bzw. jener ausgewähler Volailiäsfunkion verdeulich werden. Um in den folgenden Beispielen die Opionspreise einfacher berechnen zu können, wird zunächs eine Formel zur Opionsbewerung in Gauÿmodellen hergeleie. Anschlieÿend wird die Markoveigenschaf von Gauÿmodellen berache, welche eine Besonderhei von Gauÿmodellen darsell, da HJM- Modelle sons ypischerweise pfadabhängig sind. 31

Kapiel 2. Das HJM-Modell 2.7.1 Opionsbewerung im Gauÿmodell In diesem Abschni, welcher sich an [BS4] orienier, wird eine Formel zur Bewerung von Opionen in Gauÿmodellen hergeleie. Lemma 2.17: Sei T. Der Preis eines S-Bonds zum Zeipunk T S is gegeben durch BT, S = B, S B, T exp 1 σ u, S 2 σ u, T 2 du σ u, S σ u, T d 2 W u. 2.3 Beweis: S BT, S 1.2 = exp 2.16 = exp = exp T S T S T ft, sds f, s + f, sds exp σu, sσ u, sdu + S T σu, sσ u, sdu ds σu, sd W u ds S T σu, sd W uds. Wegen B,S = exp R S f,udu B,T exp R T = exp S f, uds und dem Saz von Fubini für sochasische Inegrale 2.4 f,udu T gil Fubini = = B, S S B, T exp T σu, s σ u, sds du }{{} s σ u,s B, S B, T exp 1 σ u, S 2 σ u, T 2 du 2 S T σu, s }{{} s σ u,s ds d W u σ u, S σ u, T d W u. 32

2.7. Gauÿmodelle Saz 2.18: In einem Gauÿmodell gil für den Preis eines europäischen Calls auf einen S-Bond mi Ausübungszeipunk T und Srike K zum Zeipunk C K, T, S = B, SΦd 1 KB, T Φd 2 2.31 mi d 1,2 = ln B,S KB,T ± 1 σ u, S σ u, T 2 du 2, σ u, S σ u, T 2 du wobei Φ die Vereilungsfunkion der Sandardnormalvereilung bezeichne. Beweis: Aus 2.27 is bekann, dass C K, T, S = B, SQ S BT, S K F B, T KQ T BT, S K F. Zu besimmen is also die Wahrscheinlichkei des Ereignisses {BT, S K F } uner dem T - bzw. S-Forward-Maÿ. Zunächs gil nach Lemma 2.17 für T S und wegen d W u = dw T u σ u, T du BT, S = B, S B, T exp 1 2 σ u, S 2 σ u, T 2 du σ u, S σ u, T d W u B, S = B, T exp 1 σ u, S 2 σ u, T 2 2σ u, Sσ u, T + 2σ u, T 2 du 2 σ u, S σ u, T dw T u = B, S B, T exp 1 2 σ u, S σ u, T 2 du Analog gil beim Wechsel zum S-Forward-Maÿ σ u, S σ u, T dw T u. BT, S = B, S 1 T B, T exp σ u, S σ u, T 2 du σ u, S σ u, T dw S u. 2 33

Kapiel 2. Das HJM-Modell Somi gil zum Zeipunk : B, S ln BT, S = ln B, T 1 2 σ u, S σ u, T 2 du }{{} deerminisisch σ u, S σ u, T dw T/S u. } {{ } normalvereil BT, S -gegeben F - is sowohl uner Q T erhäl als auch uner Q S lognormalvereil und man Q T BT, S K F = Q T σ u, S σ u, T dw T u ln B, S B, T ln K 1 2 ln BT,S KB,T = Φ 1 T σ u, S σ u, T 2 du 2, T σ u, S σ u, T 2 du σ u, S σ u, T 2 du wobei sich die Varianz mi Hilfe der Iô-Isomerie berechnen läss. Analog gil uner Q S Q S BT, S K F = Q S σ u, S σ u, T dw T u ln B, S B, T ln K + 1 2 ln BT,S KB,T = Φ + 1 T σ u, S σ u, T 2 du 2. T σ u, S σ u, T 2 du σ u, S σ u, T 2 du Die Formel is völlig analog zur Black-Scholes Formel. 14 Die Rolle des risikolosen Geldmarkkonos nimm jez das Invesmen in den Bond mi Fälligkei T ein und die Akie wird durch den Bond mi Fälligkei S ersez. 14 Siehe z.b. [Irl98]. 34

2.7. Gauÿmodelle 2.7.2 Markoveigenschaf Für beliebige Volailiässrukuren der Forward Raes is die Enwicklung der Shor Rae nich Markovsch. Der gesame Pfad is also nowendig, um die Dynamik der Prozesse zu beschreiben. Numerische Verfahren müssen die gesame Zinssrukur anhand jedes Pfades besimmen, um einen Claim berechnen zu können, was einen hohen Rechenaufwand erforder. Dieser Aufwand reduzier sich enorm, falls die Shor Rae die Markoveigenschaf besiz. In der Arbei von Carverhill 1994 [Car94] wird uner der Annahme, dass die Volailiäsfunkion σ, T deerminisisch is, ein nowendiger und hinreichender Zusammenhang zwischen der Volailiäsfunkion und der Markoveigenschaf der Shor Rae hergeleie. Weiere Lieraurquellen sind [MR98] und [Sch5]. Deniion 2.19: Ein sochasischer Prozess X heiÿ Markovsch, falls für alle s < und für beschränke Borel-messbare Funkionen h : R R gil, dass E[hX F s ] = E[hX X s ] Ein Markovprozess is also nich pfadabhängig. Saz 2.2: Sei σ, T deerminisisch und seig dierenzierbar nach T sowie σ, T für alle T T. Dann is äquivalen: i r is Markovsch. ii Es exisieren zwei Funkionen x und yt, so dass sich die Volailiä als Produk dieser Funkionen schreiben läss. Es gil also σ, T = xyt für alle T T. iii Es exisier eine Funkion y, so dass sich die Shor Rae gemäÿ folgender Gleichung 35

Kapiel 2. Das HJM-Modell enwickel: dr = f, + y y σ u, σu, + σu, 2 du d σ u, σu, du + f, r d + σ, d W. 2.32 Beweis: i:ii: Der Shor Rae Prozess is im HJM-Modell fesgeleg durch r = f, + σu, σ u, du + }{{} deerminisisch σu, d W u. Da nach Voraussezung die Volailiä deerminisisch is, is auch die Drif der Shor Rae deerminisisch. Da r ebenfalls nach Voraussezung Markovsch is, muss das Inegral D := Markovsch sein. Man ha die Zerlegung D T = = D + = D + σu, T d W u σu, T d W u σu, T d W u + σu, d W u σu, d W u σu, T σu, d W u. Berache man die Zerlegung von D T, so sell man fes, dass das Inegral über [, T ] unabhängig von D is. Die Markoveigenschaf kann also nur noch von dem lezen Inegral gesör werden. Es gil σu, T σu, d W u = Da nach Voraussezung die Markoveigenschaf erfüll is, gil [ E σu, T d W ] u D }{{} σd -messbar Markoveigenschaf = E σu, T d W u D. [ σu, T d W ] u F = }{{} F -messbar σu, T d W u. 36

2.7. Gauÿmodelle Also is das Inegral σu, T d W u σd -messbar. Da beide Ausdrücke normalvereil sind, haben sie die Korrelaion 1. 15 Es gil D N, σu, 2 du sowie D T N, σu, T 2 du und man erhäl aus CovD CorrD, D T =,D T = 1 die Gleichung V ard V ard T E Q [ ] σu, T d W u σu, d W u [ = E Q σu, T d W u 2 ] 1 2 E Q [ 2 ] 1 σu, d W 2 u. Mi Hilfe der Iô-Isomerie und der Voraussezung, dass σ, T deerminisisch is, folg σu, T σu, du = 1 σu, T 2 du 2 σu, 2 du 1 2. Auf diese Weise erhäl man eine Gleichung in Cauchy-Schwarz-Beziehung. Dieses implizier, dass σu, T und σu, kollinear über u [, ] sind, was unmielbar aus dem Beweis der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folg. Es gib also für ein beliebiges T [, T ] eine Konsane K T,T, so dass σ, T = K T,T σ, T, [, T ]. Sez man nun yt := K T,T σ, T = xyt gefunden. und x := σ, T, so is die gewünsche Zerlegung ii:iii: Aus Gleichung 2.22 is bereis bekann, dass dr = [ f, + σs, d W s + σs, σ s, + σs, 2 ] ds d+σ, d W. Wegen ii exisier wiederum eine Zerlegung von σ, T = xyt für alle T T und man erhäl 15 Ein Beweis hierfür bende sich im Anhang. 37

Kapiel 2. Das HJM-Modell σs, d W s = = y = y y xsyd W s xsd W s σs, d W s. = y y xsyd W s 2.33 Aufgrund der Deniion der Shor Rae is und es gil dr 2.33 = = [ σs, d W s = f, + [ f, + y y ] σs, σ s, ds r σs, σ s, + σs, 2 ] ds d + y σs, d y s + σ, d W [ f, + σs, σ s, + σs, 2 ] ds d f, + σs, σ s, ds r + σ, d W. iii :i: Da die Shor Rae r Bedingung iii erfüll, is r als Lösung einer sochasischen Dierenialgleichung Markovsch. 16 Deniion 2.21: Die Volailiässrukur σ, T heiÿ saionär oder zeilich homogen, falls für alle τ > gil, dass σ 1, 1 + τ = σ 2, 2 + τ für alle 1 2 T τ. Korollar 2.22: Is σ, T deerminisisch und seig dierenzierbar nach T sowie σ, T für alle T T und erfüll die Shor Rae die Markoveigenschaf, dann gil: 16 Siehe [Oks3]. 38

2.7. Gauÿmodelle i Für s T gil σ s, T = σs, s σ, T σ, s. σ, s ii Is die Volailiä zusäzlich saionär is, so is die Volailiä von der Vasi ek-form. Es gil also wobei γ, α > konsan sind. σ, T = γ α 1 expαt, Beweis: i Nach Saz 2.2i exisieren zwei Funkionen, so dass und es gil Somi ergib sich σ, T = σ, udu = σs, s σ, T σ, s σ, s σ, T = xyt = xsys xys = xs s = σ s, T. xyudu = x yudu. x yudu x yudu s yudu ii Zunächs gil durch Dierenzieren nach T T σ, T = σ, T = γ exp αt. Insbesondere is σ, T und es exisier, da σ, T saionär is, eine Funkion z : R R mi σ, T = zt. Nach Saz 2.2i exisier eine Zerlegung zt = xyt. 39

Kapiel 2. Das HJM-Modell Durch Logarihmieren erhäl man Leie man dies pariell ab, so erhäl man logzt = logx + logyt. z T zt = x x ; z T zt = y T yt. Also x x = y T yt für alle T T. Dies is aber nur möglich, wenn beide Seien konsan sind, denn es gil x = y für alle x y T. Für die reche Seie folg dies analog. Dieser konsane Wer sei α. Folglich is auch z T konsan und man folger, dass logzt linear is. Daher ha z die zt Gesal zt = expαt + b. Mi b := lnγ folg die gewünsche Gesal und durch Inegrieren nach T folg die Behaupung. 2.7.3 Beispiele In diesem Abschni wird gezeig, wie einige ausgewähle Modelle aus dem HJM-Modell abgeleie werden können. Hierzu wird die Volailiäsfunkion der Forward Raes für jedes Modell geeigne gewähl. 17 Ho-Lee Modell Der einfachse Fall einer deerminisischen Funkion für die Volailiä der Forward Raes is eine konsane Funkion. Sei also σ, T := σ >. Die Volailiä häng also weder vom akuellen Zeipunk noch von der Reslaufzei ab und is für alle Forward Raes gleich hoch. Es gil 17 Vergleiche [BS4]. 4

2.7. Gauÿmodelle σ, T = σ, udu = σ du = σt. Die Volailiä der Bondpreise häng also proporional von der Reslaufzei des Bonds ab. Für die Forward Raes gil bzw. in Inegralschreibweise df, T = σ, T σ, T d + σ, T d W = σ 2 T d + σd W f, T = f, T + σ 2 T udu + = f, T + σ 2 T 1 2 + σ W. σd W u Man sieh, dass mi posiiver Wahrscheinlichkei die Forward Raes negaive Were annehmen können. Zum Zeipunk sind die Forward Rae-Kurven in den verschiedenen Zusänden parallel verschoben, da sie sich nur hinsichlich der addiiven Gröÿe σ W unerscheiden. Für den Shor Rae Prozess uner dem risikoneuralen Maÿ Q gil r = f, + σ 2 2 2 + σ W. Auch die Shor Rae kann mi posiiver Wahrscheinlichkei negaive Were annehmen. 18 Mi x = σ und yt = 1, also σ, T = xyt, erkenn man, dass die Volailiä in zwei Funkionen separier. Mi Saz 2.2 folger man, dass die Shor Rae markovsch is und aus Gleichung 2.32 erhäl man für die Dynamik der Shor Rae dr = f, + σ 2 d + σd W. } {{ } :=θ Man bende sich somi im Ho-Lee Model. Der Wer einer Callopion zum Zeipunk mi Ausübungszeipunk T auf einen S-Bond 18 Vergleiche [HJM92]. 41

Kapiel 2. Das HJM-Modell mi Srike K kann mi Gleichung 2.31 besimm werden. Man erhäl C K, T, S = B, SΦd 1 KB, T Φd 2 mi d 1,2 = ln B,S KB,T ± 1 σ u, S σ u, T 2 du 2, σ u, S σ u, T 2 du wobei σ u, S σ u, T 2 du = σ 2 S T 2 du = σ 2 S T 2 T. Das Ho-Lee Model wird in der Praxis häug genuz. Es is gu seuerbar, aber leider unrealisisch, 19 da gegensäzlich zu den Markbeobachungen längere Laufzeien mi höheren Fakoren bedach werden als kürzere. Des Weieren beseh ein klarer Nacheil in der Tasache, dass mi posiiver Wahrscheinlichkei die Forward Raes negaive Were annehmen können. Vasi ek-modell Berache wird nun die Wahl der Volailiäsfunkion σ, T = σe αt mi σ, α >. Somi haben Forward Raes mi einer langen Laufzei eine geringere Volailiä als Forward Raes mi einer kurzen Laufzei. Es gil σ, T = σe αu du = σ α e αt 1. Daraus folg für die Forward Raes 19 Siehe [JW],S.23. 42