Merkwürdige Punkte, Josef Lehner Seite 1 Merkwürdige Punkte Themenereih nltishe Geometrie Inhlte Merkwürdige Punkte Umkreis- und Inkreisrdius Eulershe Gerde Umfng und Fläheninhlt des Dreieks Ziele erehnung der merkwürdigen Punkte, des Um- und Inkreisrdius, der Eulershen Gerde und von Umfng und Fläheninhlt des Dreieks utomtisierung zw. lgorithmisierung der erehnung durh ein Sript dressten: usgehend von einem konkreten Dreiek werden einfhe nltishen ufgen zuerst shrittwiese gelöst und nshließend wird dieser Lösungsgng zu einem Sript zusmmengefßt und dmit utomtisiert zw. lgorithmisiert. Es soll dei ein Idee dessen vermittelt werden, ws modulrtiges reiten ist. Die Zusmmenstellung rihtet sih in erster Linie n ShülerInnen zw. LehrerInnen der 9.Shulstufe
Merkwürdige Punkte, Josef Lehner Seite 2 Gegeen ist ein Dreiek [(-4/0), (8/12), (2/-12)]. ) Konstruiere die Eulershe Gerde! ) erehne den Umkreismittelpunkt und den Umkreisrdius! ) erehne den Höhenshnittpunkt! d) erehne den Shwerpunkt! e) erehne die Eulershe Gerde! f) erehne den Inkreismittelpunkt und den Inkreisrdius! g) erehne den Umfng des Dreieks! h) erehne den Fläheninhlt des Dreieks! ) Umkreismittelpunkt und den Umkreisrdius s s U s u Punkte definieren erehnung des Seitenmittelpunktes Normlvektor der Seitensmmetrle Normlvektorform Normlform Lösen des Gleihungssstems Umkreismittelpunkt Umkreisrdius
Merkwürdige Punkte, Josef Lehner Seite 3 ) Höhenshnittpunkt h H h h Normlvektor uf die Seite Normlvektorform für h Normlform für h Normlvektorform für h Normlform für h Höhenshnittpunkt
Merkwürdige Punkte, Josef Lehner Seite 4 d) Shwerpunkt mit Shwerpunktsformel sw sw S sw e) Eulershe Gerde H I S U eulerg Eulershe Gerde in Prmeterform Umwndlung in die Normlform
Merkwürdige Punkte, Josef Lehner Seite 5 f) Inkreismittelpunkt und Inkreis w Zum equemeren Umgng mit Normlvektoren soll zuerst eine kleine Funktion erstellt werden, die us einem Vektor einen Normlvektor ermittelt. Dzu wählt mn PPS/Progrm Editor/New und wählt dnn ls Tpe: Funtion und ls Funktionsnmen (Vrile) nv für Normlvektor. i I S w Folgende Funktion (sie vertusht die Koordinten und setzt eine der Koordinten negtiv) leistet ds Gewünshte: Nun knn mn die Ermittlung von Inkreismittelpunkt und Inkreisrdius in ngriff nehmen: Rihtungsvektor der Winkelsmmetrlen durh Prmeterform der Winkelsmmetrlen durh Normlvektorform der Winkelsmmetrlen durh Normlform der Winkelsmmetrlen durh Rihtungsvektor der Winkelsmmetrlen durh Prmeterform der Winkelsmmetrlen durh Normlvektorform der Winkelsmmetrlen durh Normlform der Winkelsmmetrlen durh Die eiden Winkelsmmetrlen werden ennnt. Shnitt der eiden Winkelsmmetrlen (numerish) (uh lgerish(ekt) möglih, duert er...)
Merkwürdige Punkte, Josef Lehner Seite 6 Ermittlung des Inkreisrdius: Normlvektorform der Normlen uf die Seite durh I Normlform der Normlen uf die Seite durh I Prmeterform der Trägergerden der Seite Sklre Multipliktion mit dem Normlvektor Shnitt von der Norml uf durh I mit der Trägergerden von, liefert den Punkt F n. etrg des Vektors IF n = Inkreisrdius.
6 Ds 6 Es 6 Für Einige emerkungen zum folgenden Sript: folgende Sript ist ereits für den TI92+ zw. den TI89 entwikelt. Für den TI92 sind eim efehl zeros() einige änderungen notwendig (sttt ds Gleihungssstem in einem Shritt zu lösen, ist die Sustitutionsmethode erforderlih). empfiehlt sih - je nh Whl der Ekpunkte - den TR uf ppro-mode umzustellen. der luf wird empfohlen: Im Teteditor F3/Sript View einzustellen und nshließend ds Sript mit F4(Eeute) zureiten. 0LW GLHVHP 6NULSW VR GHU 8PNUHLVPLWWHSXQNW XQG ŠUDGLXV GHU +³KHQVFKQLWWSXQNW GHU 6FKZHUSXQNW GHU,QNUHLVPLWWHSXQNW XQG ŠUDGLX GLH (XHUVFKH *HUDGH GHU 8PIDQJ XQG GHU ) FKHQLQKDW HUPLWWHW ZHUGHQ &&U+RPH&U,2 (LQJDEH GHV $XVJDQJVGUHLHFNV &LQSXW D %LWWH GHQ (FNSXQNW $ HLQJHEHQ &LQSXW E %LWWH GHQ (FNSXQNW % HLQJHEHQ &LQSXW F %LWWH GHQ (FNSXQNW & HLQJHEHQ 8PNUHLVPLWWHSXQNW &EFšPD &FEšQD &GRWS>[\@QD GRWSPDQDšVVD &DFšPE &FDšQE &GRWS>[\@QE GRWSPEQEšVVE 8PNUHLVPLWWHSXQNW &]HURV^HIWVVDULJKWVVDHIWVVEULJKWVVE`^[\`zšX 8PNUHLVUDGLXV &QRUPXDšXU +³KHQVFKQLWWSXQNW &GRWS>[\@QD GRWSDQDšKD &GRWS>[\@QE GRWSEQEšKE +³KHQVFKQLWWSXQNW &]HURV^HIWKDULJKWKDHIWKEULJKWKE`^[\`zšK 6FKZHUSXQNW &DEFšV,QNUHLV &XQLWYEDXQLWYFDšZD &GRWS>[\@ DWZDQYZDšZVD &XQLWYDEXQLWYFEšZE &GRWS>[\@ EWZEQYZEšZVE,QNUHLVPLWWHSXQNW &]HURV^HIWZVDULJKWZVDHIWZVEULJKWZVE`^[\`zšL,QNUHLVUDGLXV &GRWS>[\@ED GRWSLEDšQFL &>[\@ DWEDšJF &GRWSJF>ED>@ŠED>@@šJF &]HURV^HIWJFULJKWJFHIWQFLULJKWQFL`^[\`zšIQ,QNUHLVUDGLXV &QRUPLIQšLU (XHUVFKH *HUDGH &>[\@ XWXLšHJ &GRWSHJ>XL>@ŠXL>@@šHJ 8PIDQJ &QRUPDEQRUPEFQRUPFDšXPI ) FKHQLQKDW &>[\@ FWEFšJD &GRWSJD>EF>@ŠEF>@@šJD &]HURV^HIWJDULJKWJDHIWKDULJKWKD`^[\`zšIKD &QRUPIKDFšKRHKH ) FKHQLQKDW &KRHKHQRUPFEšI