Michael Buhlma Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre Eie Abbildug {a }: N -> R, die jeder atürliche Zahl eie reelle Zahl a zuordet, heißt (uedliche (Zahle- Folge: -> a oder {a } εn, a das -te Folgeglied. Mit a = h( defiiert h die Fuktiosvorschrift der Folge. {a } heißt koverget, d.h. besitzt eie Grezwert (Limes g, we (für jedes ε> i jeder och so kleie (ε- Umgebug um g (dem offee Itervall (g-ε, g+ε ab eiem gewisse (= (ε alle Folgeglieder liege; da gilt: g = lim a. Nicht kovergete Folge heiße diverget. > Mit a = h( liegt eie eplizite Folgevorschrift vor, mit a = h(a -k,, a -1 eie rekursive Folge mit vorgegebeem a 1, a, a k (rekursive Folge k-ter Ordug. Das Bereche der Folgeglieder a rekursiver Folge heißt Iteratio. Das aschließed dargestellte Newtoverfahre ist eie rekursive Folge 1. Ordug a = h(a -1 mit vorgegebeem a 1. Newtoverfahre: Zu eier differezierbare Fuktio f: D f -> R bestimmt ma umerisch eie N mit f( N =, idem ma das Newtoverfahre awedet, das für eie vorgegebee (Afags- Wert die Fuktio f( durch eie Tagete aähert, die der Tagete bestimmt ud dieses Verfahre wiederholt (Iteratio. Es etsteht dadurch eie Folge vo reelle -Werte (Afagswert, 1,, vermöge der Iteratiosgleichug (für =, 1,, : + 1 = f ( (f (. Die Folge 1,, kovergiert da bei geeigetem Afagswert im Allgemeie gege die gesuchte N der Fuktio f(, also -> N (- >. Der Afagswert ergibt sich dabei z.b. als Wert i eiem Itervall [a;b] mit Vorzeichewechsel der Fuktio, also mit f(a f(b < (d.h.: f(a>, f(b< oder f(a<, f(b>. Stelle mit f ( = (waagerechte Tagete bei der Fuktio f( beeiflusse die Iteratio des Newtoverfahres egativ, das Newtoverfahre ka diverget werde. f '( Begrüdet werde ka das Newtoverfahre wie folgt: Zu eiem Pukt ka die Tagete im Pukt P( f( eier differezierbare Fuktio f( als eie Näherug zur Fuktio betrachtet werde. Es gilt dabei die Tageteformel: t: y = f ( ( + f ( ' Michael Buhlma, Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre 1
Bei hireiched geeigetem ka die der Tagete als Näherug der der Fuktio f( gelte. Die der Tagete bestimmt sich aber mit: so dass das Auflöse der vorstehede Gleichug ach ergibt: = f '( ( + f ( = f '( f '( = f '( ( + f (, + f ( f '( f ( = f '( = f '( f '( f ( = f (. f '( Die Stelle 1 = liegt da im Allgemeie äher a der der Fuktio. Wiederholt ma mit 1 die Bestimmug der Tageteullstelle, erhält ma die Näherug usw. Es gilt damit die obe agegebee Iteratio des Newtoverfahres. Beispiel 1: Zu f( = 3 8 ergibt sich wie bekat die N = bzw. N(. Es wird u diese mit dem Newtoverfahre bestimmt, wobei hier ausführlich die etsprechede Tagetegleichuge ud die Glieder der rekursive Folge als Tageteullstelle tabellarisch dargestellt werde: Newtoverfahre: f( = 3-8, f'( = 3, = 1 Iteratio = -1 = f( -1 = f'( -1 = Tagete y = f'( -1(- -1 + f( - 1 = -f( -1/f'( -1 Abweichug - -1 = 1 1-7 3 y = 3-1 3.3333333333333335.3333333333333335 3.3333333333333335 9.3737373745 33.333333333333336 3.46 6.9731645541838 18.187614814814814 4.8134147671579 1.1633154961565 1.99594416777753 5.313749914187.37798398584538 1.376795139831 6.491167554.5894579733467 1.589417843 y = 33.333333333333336-8.7474 y = 18.187614814814814-37.854633 y = 1.99594416777753-6.3663 y = 1.376795139831-4.75418 y = 1.589417843-4.118.46.8711111111111114.8134147671579.388897455643.313749914187.783748539177.491167554.31358746578343.163.4911663441743 7.163 1.44748134153688e-1 1.144748 y = 1.144748-4 1.63511179474e-11 f( = Michael Buhlma, Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre
Beispiel : Zu der Fuktio f '( f (,5,5 = 3,5e, f ''( 6 +,5e 3,5 = + e ist äherugsweise der Wedepukt ahe zu bestimme. Es gilt für die Ableituge: =. Die. Ableitug ist da zur Bestimmug des Wedepuktes gleich zu setze, jedoch ist die Glei-,5 chug 6 +,5e = algebraisch icht lösbar. Es sei daher die Fuktio im Newtoverfahre:,5 Φ ( = f ''( = 6 +,5e defiiert ud abgeleitet: Φ '( = 6,15e,5, so dass als Iteratiosgleichug gilt: Newtoverfahre: f( = 6+.5e -.5, f'( = 6-.15e -.5, =,5 + 1 =, 5 Φ'( 6,15e Φ( 6 +,5e =. Damit ergibt sich die Iteratiostabelle: Iteratio = -1 = f( -1 = f'( -1 = Tagete y = f'( -1(- -1 + f( -1 = -f( -1/f'( -1 Abweichug - -1 = 1.5 5.875 y = 5.875 +.5 -.45531914893617.45531914893617 -.45531914893617.569915867716156 5.873119345576 y = 5.873119345576 +.49943 -.4568963831563.974899539387 3 -.4568963831563 3.6594979873864e-1 5.873113185155 y = 5.873113185155 +.49943 -.456896388763 5.1199355936988e-13 f(-.456896388763 = Beispiel 3: Zur Bestimmug vo Schittstelle vo zwei Fuktioe f( ud g( ist das Newtoverfahre über die Differezfuktio d( = f( g( zu ehme; Schittpukte der Fuktioe sid ämlich der Differezfuktio. Es seie gegebe: f ( = 4 si, g( = e. Die Differezfuktio lautet: d ( = f ( g( = 4 si e, dere Ableitug heißt: d' ( = 4 cos + e + = = bestimmt wer- 1 d' ( 4 cos + e Fuktioe, es solle daher die erste Schittstelle mit positivem -Wert gemäß der Iteratio de:. Es gibt uedlich viele Schittstelle der beide d( 4 si e Michael Buhlma, Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre 3
= Newtoverfahre: f( = 4si(-e -, f'( = 4cos(+ e - = 3 = 6 Iteratio = = -f( -1/f'( -1 1..575637579 3.5844535947 4.58445399163 f(.58445399163= Iteratio = = -f( -1/f'( -1 1 3.13168871473836 3.1367369446 3 3.13673178617 4 3.13673178617 3 f(3.13673178617= Iteratio = = -f( -1/f'( -1 1 6.91463476533594 6.8365176867617 3 6.8365195735 4 6.8365195735 6 f(6.8365195735= Beispiel 4: Besodere Werte wie z.b. l bestimmt ma, idem das Problem i eie etsprechede Gleichug eikleidet, hier: e =. Der Gleichug etspricht die der Fuktio f ( = e. Die Iteratio im Newtoverfahre lautet: Newtoverfahre: f( = e -, f'( = e, = Iteratio = = -f( -1/f'( -1 1 1.73575888348847 3.6944999189153 4.693147581597714 5.693147185654 6.693147185599453 f(.693147185599453 = Also ist: l =.693147185599453. Michael Buhlma, Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre 4
Beispiel 5: Es ist ei Näherugswert für die reelle Zahl zu bestimme. Um das Newtoverfahre azuwede, defiiert ma die Parabelfuktio f ( =, die offesichtlich bei N = eie hat. Wege f '( = ergibt sich die Iteratiosfolge: ud weiter die Iteratiostabelle: Newtoverfahre: f( = -, f'( =, = 1 f ( 1 1 + (* 1 = = = + = + f '( Iteratio = = -f( -1/f'( -1 1 1 1.5 1.4166666666666667 3 1.4141568674598 4 1.41413563746898 5 1.4141356373951 f(1.4141356373951 = Es ist damit: = 1.4141356373951. Allgemei gilt ählich (* für die Bestimmug vo Quadratwurzel a, a>, das scho aus der meschliche Atike bekate Hero-Verfahre: 1 = + a +, = a (** Ei verallgemeiertes Hero-Verfahre zur Bestimmug vo allgemeie Wurzel r a, a>, r atürliche Zahl, ergibt sich mit f ( = r a, f '( = r ud der Iteratiosfolge: f ( a a ( r 1 a ( r 1 a als: + 1 = +, = a (*** r r r + 1 = = = + = + f '( r r r r r So lässt sich vermöge (*** die Wurzel 7 54 = 3.3815159141963 bestimme mit: Michael Buhlma, Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre 5
Iteratio zur Bestimmug vo 7 54: +1 = 6 /7 + 54/7/ 6, = 1 = Näherug zu 7 54 = = Näherug zu 7 54 = = Näherug zu 7 54 = = Näherug zu 7 54 = 1 8 9.135715886737 16 8.495471568711 4 3.381799774579787 1 85.7148571557 9 4.973471936493848 17 7.7911756817 5 3.381797974193 73.46938775753473 1 1.4583656389493 18 6.4479743346 6 3.3815159148358 3 6.973769396796 11 18.34786696189 19 5.364164334514 7 3.381515914197 4 53.97759388351315 1 15.76761981476 4.6811981886154 8 3.381515914196 5 46.6643664769773 13 13.481986315934 1 4.465818499 9 3.3815159141963 6 39.65694577143346 14 11.5545165759845 3.68589334337566 3 3.3815159141963 7 33.991667989195 15 9.94173876481193 3 3.456513497611 Michael Buhlma, Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre 6