Vorlesung SS 9 Anlysis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff 1 Prmetrisierte Kurven In diesem Abschnitt wollen wir intensiver um die Geometrie von prmetrisierten Kurven (Wegen im R n befssen. Zur Erinnerung wiederholen wir die Definitionen. Definition 1.1 Sei I R ein Intervll. Eine stetige Abbildung α : I R n prmetrisierte Kurve (Weg im R n. Ds Bild α(i R n heißt die Spur von α. Beispiel 1. 1. α : [, π] R ; α(t = ( cos(t sin(t heißt Abbildung 18: Kreisring ( cos(t. β : [, π] R ; β(t = sin(t Wir sehen: Zwei unterschiedliche Wege önnen dieselbe Spur besitzten. Die spezielle Prmetrisierung beinhltet mehr Informtionen, ls nur ds Bild (etw Durchlufrichtung und Geschwindigeit. ( cos(t 3. γ : [, 4π] R ; γ(t =. Hier wird der Kreis zweiml durchlufen. sin(t cos(t 4. α : R R 4 ; α(t = sin(t, > fest. t Abbildung 19: Schrubenlinie mit Steigung π (nch einer Drehung ist die Z- Komponente um π gewchsen. getext: Juli Wolters 13
1 PARAMETRISIERTE KURVEN ( cos(t 5. α : [, π] R ; α(t =,, b > fest. Für x = cos(t, y = b sin(t gilt b sin(t x + y = cos (t + sin (t = 1. b Abbildung : Ellipse mit Huptchsen, b > 6. Zyloide: Die Kreisscheiberolle uf der x-achse. Ein Punt uf dem Rnd des Kreises beschreibt dbei eine Zyloide. Dmit erhlten wir die Prmetrisierung α : R R ; α(t = ( t sin(t 1 cos(t Abbildung 1: Zyloide Alle oben betrchteten Beispiele sind differenzierbr. Definition 1.3 Sei α : I R n differenzierbr. Dnn heißt α (t Tngentilvetor von α n der Stelle α(t und α (t heißt Geschwindigeit von α n der Stelle t (oder zur Zeit t. Motivtion: α 1 (t = lim t t t t (α(t α(t Dies ist der Richtungsvetor von α(t in Richtung α(t mit Länge = Abstnd = Geschwindigeit. Zeit Abbildung : t t α (t = Richtungsvetor der Tngente, α (t = Geschwindigeit im Punt t. Eine stetig differenzierbre Funtion α : I R n heißt gltt. Gilt zusätzlich α (t t I, so heißt α regulär. 14 getext: Juli Wolters
Vorlesung SS 9 Anlysis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff ( t Beispiel 1.4 Sei α : [ 1, 1] R ; α(t =. dnn ist α gltt, ber die Spur von α besitzt eine Spitze. t 3 } x = t y = t 3 x > und y = ±x 3 An der Stelle t = ist α nicht regulär. Reguläre Kurven besitzten eine Spitzen (Ist Abbildung 3: Beispiel für eine Kurve mit Spitze α (t =, so ommt die Bewegung dort zum Stillstnd. Mn nn dnn in eine ndere Richtung weiterlufen, ohne die Differenzierbreit zu verletzen. Dies geht nicht im vollen Luf. Definition 1.5 (Umprmetrisierung Sei α : I R n eine prmetrisierte Kurve und sei ϕ : J I stetig differenzierbr und bijetiv mit ϕ(t t J. Dnn heißt β : J R n, (t = α(ϕ(t eine Umprmetrisierung von α. ϕ heißt die Prmeterwechselfuntion. Bechte: D ϕ bijetiv gilt β(j = α(i, dh. α und β hben dieselbe Spur. Ferner gilt: Ist ϕ (t >, so ist ϕ streng monoton wchsend und α und β hben dieselbe Lufrichtung. Ist ϕ < t, so ist ϕ streng monoton fllend und die Lufrichtung ändert sich. Schließlich gilt: Lemm 1.6 Für prmetrisierte Kurven α : I R n, β : I R n sgen wir Dnn ist eine Äquivlenzreltion. α β β ist Umprmetrisierung von α. Beweis: Ist ϕ : J I Prmeterwechselfuntion mit β = α ϕ, so ist ϕ 1 : I J Prmeterwechselfuntion mit α = β ϕ 1. Ist γ : K R n weitere Funtion und ψ : K J Prmeterwechselfuntion mit γ = β ψ, so folgt γ = α (ϕ ψ, lso α β und β γ α γ. Mit etws Mühe nn mn den folgenden Stz beweisen: Stz 1.7 Seien α : I R n, β : J R n regulär und injetiv mit α(i = β(j. Dnn gilt α β. getext: Juli Wolters 15
1 PARAMETRISIERTE KURVEN Wir sehen lso, dss unter geeigneten Bedingungen eine prmetrisierte Kurve bis uf Äquivlenz nur von der Spurz bhägt. Wir ommen nun zum wichtigen Begriff der Bogenlänge einer prmetrisierten Kurve α : I R n. Definition 1.8 Sei α : [, b] R n stücweise stetig differenzierbr, dh. Unterteilung = t < t 1 <... < t l = b mit α stetig differenzierbr uf [t i 1, t i ] 1 i l. Dnn setzten wir n t i L(α := intbb α (t dt = α (t dt und L(α heißt die Länge von α. t i 1 Bemerung: Die Definition ist sicher physilisch plusibel, denn der zurücgelegte Weg ist gleich dem Integrl der Geschwindigeit. Aber wir wollen die Formel ntürlich uch mthemtisch plusibel mchen. Sei dzu α : [, b] R n stetig differenzierbr. Zerlegen wir [, b] in gleich lnge Teilintervlle, und verbinden wir für ufeinnderfolgende Teilungspunte t i 1, t i die Punte α(t i 1, α(t i durch eine Strece, so erhlten wir einen Polygonzug, den die Kurve α ppoximiert. Abbildung 4: Für die Länge L n des Polygonzugs gilt: L = α(t i α(t i 1 Für sollte die Länge des Polygonzuges gegen die Länge der durchlufenen Kurve α : [, b] R n onvergieren. Wir zeigen, dss dies ttsächlich so ist: Stz 1.9 Sei α : [, b] R n stetig differenzierbr. Dnn gilt L(α = mit t i, = + i (b. b ( α (t dt = lim α(t i, α(t i 1, 16 getext: Juli Wolters
Vorlesung SS 9 Anlysis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff Beweis: D α : [, b] R n stetig differenzierbr ist, ist t α (t stetig. Dbei gilt (Riemnnsche Summe b α (t dt = lim b α (t i, Wir vergleichen nun die beiden Summen: Sei nun n fest und schreibe t i := t i, = + i (b für lle i. D α stetig differenziebr, sind lle Komponentenfuntionen α j : [, b] R stetig differenzierbr. Nch dem Mittelwertstz existiert dnn τ i,j [t i 1, t i ] mit α j (t i α j (t i 1 = t i t i 1 α j(τ i,j = b α j(τ i,j α 1(τ i,1 Setzen wir dnn x(i :., so gilt α n(τ i,n α(t i α(t i 1 = b x(i 1 i, und dmit α(t i α(t i 1 = b x(i. ( D lle α j : [, b] R stetig, und dnn uch gleichmäßig stetig sind, existiert zu jedem δ > ein N N mit α j(t α j(s < δ, flls t d b N 1 j n ( Sei nun ε > gegen. D und uf R n äquivlent sind, existiert c > mit y c y y R n. Wähle dnn δ = ε und N wie oben. Dnn folgt für lle c(b N: t i τ i,j b b, und dnn folgt mit ( für lle 1 i n: N α (t i x(i c α (t i x(i ( cδ = ε b, getext: Juli Wolters 17
1 PARAMETRISIERTE KURVEN und dnn gilt: α(t i α(t i 1 b α (t i ( = Umgeehrte Ungl. b b b b x(i α (t i x(i α (t i x(i α (t i }{{} ε b ε b = ε. N Dmit folgt L(α = lim b α (t i, = lim Beispiel 1.1 1. Sei α : [, π] R ; α (t = α(t i, α(t i 1, ( cos(t. Dnn gilt sin(t L(α = ( sin(t dt = cos(t sin (t + cos (tdt = Die Länge der Kreislinie ist lso π (wissen ( wir schon!. t sin(t. Länge der Zyloide: α : [, π] R ; α(t =. Dnn gilt: 1 cos(t L(α = ( = 1 cos(t = sin(t 1dt = π (1 cos(t + sin (tdt Nun gilt (1 cos(t( + sin (t = 1 cos(t + cos (t + sin (t = cos(t = 4 sin ( ( t, denn cos(t = cos t + ( ( t = cos t sin t und dnn ( ( ( ( ( ( ( t t t t t 1 cos(t = cos + sin cos sin = sin. Es folgt L(α = 4 sin ( t dt = ( sin dt = 4 cos( t π π = 4 cos(π+4 cos( = 8. 18 getext: Juli Wolters
Vorlesung SS 9 Anlysis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff Wir wollen nun eine gegebene reguläre Kurve α : I R n nch seiner Bogenlänge umprmetrisieren. Stz 1.11 Sei α : I R n eine reguläre prmetrisierte Kurve und sei α I fest. Für t I sei l : I R definiert durch l(t = t α (s ds. Ist dnn J := l(i R, so ist l : I J streng monoton wchsend und bijetiv und l 1 : J I ist Prmeterwechselfuntion für α. Ist dnn β : J R n ; β(s = α(l 1 (s, so gelten: (1 β (s = 1 s J. ( Für lle s 1, s J mit s 1 s gilt s s 1 = Länge (β s1,s. Wir sgen dnn: Die Kurve β : J R n ist nch Bogenlänge prmetrisiert. Der Stz besgt lso, dss sich jede reguläre Kurve nch Bogenlänge umprmetrisieren lässt. Beweis: Sei l : I J wie im Stz. D t α (t stetig ist, gilt mit dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung, dss l stetig differenzierbr mit l (t = α (t t I. D α regulär, ist α (t t I und dmit l (t > I. Dmit ist l : I J streng monoton wchsend, und dmit uch bijetiv. Für l 1 : J I gilt dnn: (l 1 (l(t = 1 l (t 1 t I. α (t Insbesondere ist (l 1 (s s J und l 1 : J I ist Prmeterwechselfuntion. Sei nun β : J R n, β(s = α(l 1 (s. Dnn gilt für lle s(t J: β (s = α (l 1 (s(l 1 (s s.o. = α 1 (t α (t, lso β (s = 1- Sind dnn s 1 s J, so folgt s L(β [s1,s ] = β (s ds = 1ds = s s 1. s 1 s 1 s Bemerung 1.1 Ntürlihc ist die Länge L(α eines stetig differenzierbren Weges α : [, b] R n invrinter unter Prmeterwechsel, dnn ist ϕ : [c, d] [, b] Prmeterwechselfuntion und β : [c, d] R n, β = α ϕ, so gilt L(β = d c β (s ds = d c α (ϕ(sϕ (s ds = d c α (ϕ(s ϕ (sds = b (t dt. cos(t Beispiel 1.13 (Schrubenlinie Betrchte: α : R R 3 ; α(t = sin(t, >. t sin(t Sei t =. Wegen α (t = cos(t gilt α (t = sin (t + cos (t + = 1 +, getext: Juli Wolters 19
1 PARAMETRISIERTE KURVEN lso gilt t t l(t = α (t dt = 1 + dt = t 1 + und dmit ist l 1 : R R gegeben duch l 1 (s = s 1+. Dnn ist β : R R; β(s = ( s α die nch Bogenlänge umprmetrisierte Schrubenlinie. 1+ Bechte: Im llgemeneinen ist es sehr schwer, und oft sogr unmöglich, die prmetrisierte nch Bogenlänge in eine geschlossene Form nzugeben. Wir wollen uns im Rest des Abschnitts uf Kurven in der Ebene einschränen. Ein besonders schönes Resultt ist hier die Leipniz-Formel zur Berechnung der orientierten Setorfläche eine prmetrisierte Kurve α : [, b] R. Definition 1.14 (Setorfläche Sei α : [, b] R stetiger Weg. Dnn heißt die Strece [, α(t] = {λα(t λ [, 1]} der Fhrstrhl von α n der Stelle t. Die Setorfläche F α von α ist die vom Fehrstrhl überstrichene orientierte Fläche, wobei ein Flächenstüc positiv (bzw. negtiv gewertet wird, wenn ds Flächenstüc in positive (bzw. negtive Richtung vom Fhrstrhl überstrichen wird. Hierbei gilt (bzgl. der Stndrdbsiss {e 1, e } positive Richtung = entgegen Uhrzeigersinn negtive Richtung = im Uhrzeigersinn Abbildung 5: Setorfläche 11 getext: Juli Wolters
Vorlesung SS 9 Anlysis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff Wir sehen: Ist G ein von den geschlossenen Kurven α : [, b] R (dh. α( = α(b umrndetes Gebiet im R, so dss α genu einml in posivtiver Richtung dem Rnd von G durchläuft, so ist F α = F ( die positive Fläche von G! 1.15 (Setorformel ( von Leibniz Sei α : [, b] R stetig differenzierbrer Weg x(t mit α(t = für t [, b]. Dnn gilt y(t F α = 1 b (x(ty (t y(tx (tdt. Herleitung: Zerlege F α in n gleichlnge Teilintervlle [t i 1, t i ], t i = + i (b, 1 i n n. Wir pproximieren F α durch die Summe F n = n F (D i mit F (D i in die orientierte Fläche des orientierten Dreiecs D i = ((, α(t i 1, α(t i Wir erhlten dnn F α = lim F n (wir nehmen dies ls mthemtische Definition n von F α. Sind ( x1 y 1, R, so ht ds ori- ( ( x1 x,, die entierte Dreiec ( x y (( orientierte Fläche Abbildung 6: Fläche orientierter F ( = 1 ( Dreiece det x1 x = 1 y 1 y (x 1y x y ( ( x1 x Denn nch der lineren Algebr ht ds von, ufgespnnte Prllelogrmm die orientierte Fläche Dmit gilt: y 1 y ( x1 x det = x y 1 y 1 y x y 1 n F n = F (D i = 1 n (x(t i 1 y(t i y(t i 1 x(t i = 1 n (x(t i 1 (y(t i y(t i 1 y(t i 1 (x(t i x(t i 1. y 1 y getext: Juli Wolters 111
1 PARAMETRISIERTE KURVEN D x(t, y(t differenziebr, existiert nch dem Mittelwertstz τ i, τ i [t i 1, t i ] mit und wir erhlten y(t i y(t i 1 = (t i t i 1 y (τ i = b n y (τ i b x(t i x(t i 1 = n x ( τ i F n = b n n x(t i 1 y (τ i y(t i 1 x ( τ i Auf der nderen Seite gilt mit der Riemnnschen Summe {}}{ 1 b x(ty (t y(tx b n (tdt = lim x(t i 1 y (t i 1 y(t i 1 x (t i 1 n n Sei K mit x(t, y(t K t [, b] (existiert, d t x(t, y(t stetig. D x x (t, y (t stetig, lso uch gleichmäßig stetig, existiert zu ε > ein N N mit x (t x (s, y (t y (s < ε b t s. Dnn folgt für lle n N: K(b N F n F b n n = x(t i 1 (y (τ i y (τ i 1 y(t i 1 (x ( τ i x (t i 1 n b n x(t i 1 y (τ i y (t i 1 + y(t i 1 x ( τ i x (t i 1 n b ( n n ε K K(b + K ε = ε. K(b Dmit folgt (F n F n für n, lso b F (α = lim F n = lim Fn = 1 x(ty (t y(tx tdt n n ( cos(t Beispiel 1.16 (Ellipsenfläche Sei α : [, π] R mit α =, b >. b sin(t Sizze: Dnn durchläuft α einml in positiver Richtung den Rnd der Ellipsenscheibe mit Hlbchsen, b >. Für die Fläche folgt dher F = 1 := F n cos(t(b sin(t b sin(t( cos(t dt Abbildung 7: Ellipsenfläche = 1 b(cos (t + sin (tdt = b 1dt = bπ 11 getext: Juli Wolters