Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 223 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 25/6 http://www.pt.tu-clausthal.de/qd/teaching.html 25. Janua6 Übungsblatt Lösungsvorschlag 3 Aufgaben, 9 Punkte Aufgabe Das Keplerproblem nach Newton 4 P In der NEWTON schen Formulierung der Mechanik werden zwei isotrop wechselwirkende Massenpunkte durch die gekoppelten Differntialgleichungen m 2 f 2 2 2 2 f 2 2 dargestellt. Ist die Gravitation für die Wechsewirkung verantwortlich, so ist die Kraft zwischen den Körpern f 2 γm 2 3.a Transformiere die gekoppelten Bewegungsgleichungen auf Schwerpunkts- und Relativkoordinaten. Schwerpunktsvektor: Relativvektor: Inverse Transformation: 2 R m + 2 2 R m + R R + 2 R + 2 R m.
Die Bewegungsgleichungen sind dann d R dt + 2 Addition: m + d 2 R dt m 2 m R + µ R µ m + γm 3 f 2 f 2 +γm 3 mitµ 2m R R m Subtraktion: m R + 2µ 2γm 3 γ 3.b Löse die Bewegungsgleichung für den Schwerpunkt Der Schwerpunkt bewegt sich inertial. R R const P R R + Rt.c Bei der Relativbewegung gilt Drehimpulserhaltung L const.. Das bedeutet, das sich die Bewegung der beiden Körper auf einer Ebene stattfindet. Wähle also geeignete ebene Polarkoordinaten, zur Formuliernung der Gleichung der Relativbewegung. Es werden Polarkoordinaten so gewählt, dass sie die Ebene beschreiben, in er sich die Massenpunkte bewegen. Die dritte Koordinate z oder ϑ steht parallel auf dem Drehimpuls und ist deshalb konstant bzw. ignorabel: r e r ṙ e r + r e r ṙ e r + r ϕ e ϕ r e r + ṙ ϕ e ϕ + ṙ ϕ e ϕ + r ϕ e ϕ r ϕ 2 e r r r ϕ 2 e r + 2ṙ ϕ + r ϕ e ϕ Die Bewegungsgleichung des Relativvektors in Polarkoordinaten ist damit: Radialgleichung: r r ϕ 2 e r + 2ṙ ϕ + r ϕ e ϕ γ r e r r e r 3 r r ϕ 2 γ r r ϕ 2 γ.2
Winkelgleichung: 2ṙ ϕ + r ϕ 2 ϕ 2ṙ r ϕ.d Löse die Bewegungsgleichung für die Winkelkoordinate und setze sie in die Radialgleichung ein. r 2ṙ ϕ + r ϕ 2rṙ ϕ + r2 ϕ Das bedeutet der Drehimpuls von ϕ ist konstant: r d r2 ϕ dt In die Radialgleichung einsetzen: ϕ ϕ const L ϕ L ϕ r r Lϕ 2 γ r L2 ϕ r 3 γ Zur Diskussion und Lösung der Radialgleichung siehe Skript und DREIZLER & LÜDDE, Mechanik, Kap. 4..2.e Zeige, dass NEWTONs Bewegungsgleichungen der Gravitation beim Übergang von kartesischen nach Polarkoordinaten nicht forminvariant sind. Die NEWTON schen Bewegungsgleichungen währen forminvariant wenn mẍ i F i x j in kartesischen Koordinaten i, j [x, y] nach m x i F i x j in Polarkoordinaten x r, x 2 ϕ transformieren würden. Die KOS wurden so gewählt, dass z ϑ t Gravitationsgeetz in kartesischen Koordinaten: αx i ma i 3/2 V x i j x2 j mit der Beschleunigung a ẍ e x + ÿ e y und dem Potential α V /2 α r j x2 j.3
in Polarkoordinaten sind damit die Bewegungsgleichungen Mit der Beschleunigung mă r mă ϕ ă d 2 F r V r α F ϕ V r ϕ dt 2 r e r d dt ṙ e r + r ϕ e ϕ r r ϕ 2 e r + r ϕ + 2ṙ ϕ e ϕ ă r e r + ă ϕ e ϕ Können die Bewegungsgleichungen als m r r ϕ 2 α r ϕ + 2ṙ ϕ geschriben werden. Die Winkelbeschleunigung ă ϕ verschwindet wegen Rotationssysmmetrie des Potentials. Sie haben also eine andere Form als die Gleichungen in kartesischer Darstellung. Mehr dazu in JELITO. Aufgabe 2 Inverses Keplerproblem 3 P Beim inversen KEPLERproblem geht es darum aus einem gegebenem Orbit rϕ die wirkenden Kräfte bzw. das Potential zu finden. Eigentlich könnte man zur gegebenen Bahn rϕ beliebig viele Kraftfelder F finden, die ein Körper auf dieser Bahn halten könnte. Erst wenn man weiß, das es sich um ein Zentralkraftproblem handelt, kann man die Größe fr dv dr und damit das Kraftgesetz eindeutig aus der Bahnbewegung herleiten. 2.a Beweise dv dr fr p2 ϕ mr 4 2 2 r 2 dr r Die Bewegungsgleichung für r lautet siehe Afg.c, : m r mr ϕ 2 fr 3 Es gilt: r d2 r dt 2 d dr dt dt d dr ϕ d dr dt dt dt + dr dt 2 ϕ d2 r dr 2 + ϕ dt ϕ 2 d2 r dr + ϕ 2 4.4
Bewgungsgleichung für den Winkel ϕ: Außerdem gilt 2ṙ ϕ + r ϕ d r2 ϕ r dt ϕ const p ϕ m 2ṙ ϕ + r ϕ ϕ 2 ϕ dr r dt ϕ 2 ϕ dr r dt ϕ 2 ϕ2 dr r 5 6 4 in die Radialgleichung 3 einsetzen: fr m 5 und 6 einsetzen: fr m m m ϕ 2 p2 ϕ mr 4 ϕ 2 d2 r dr + ϕ 2 r ϕ2 ϕ 2 d2 r dr + ϕ 2 r ϕ2 ϕ 2 d2 r 2 ϕ2 + 2 r dr 2 2 r 2 2 r dr dr r ϕ2 2 r 2 r dr p 2.b Ein Körper bewegt sich auf einem elliptischen Orbit rϕ +ε cos ϕ in einem Zentralkraftfeld, wobei das Zentrum in einem Brennpunkt liegt. Zeige dass fr r 2 gilt. rϕ dr p + ε cosϕ pε sin ϕ + ε cosϕ 2 r2 p ε sin ϕ mitp p2 ϕ mα a ε2 2 + ε cosϕ2 pε cosϕ pε sinϕ 2 + ε cosϕ ε sinϕ + ε cosϕ 4 p ε cosϕ + ε2 cos 2 ϕ + 2ε 2 sin 2 ϕ + ε cosϕ 3 r3 p 2 ε cosϕ + ε 2 cos 2 ϕ + 2ε 2 sin 2 ϕ.5
fr p2 ϕ r 3 ε cosϕ + ε 2 mr 4 p 2 cos 2 ϕ + 2ε 2 sin 2 ϕ 2 r 4 r p 2 ε2 sin 2 ϕ r3 + ε cosϕ2 p2 p 2 ϕ ε cosϕ + ε 2 mrp 2 cos 2 ϕ 2ε cosϕ ε 2 cos 2 ϕ p2 ϕ mp fr r 2 p 2 ϕ ε cosϕ mrp2 2.c In einem anderen Zentrafkraftfeld bewegt sich ein Körper auf der Bahn rϕ r e ϕ. Zeige dass das Kraftfeld mit r 3 abnimmt. rϕ dr 2 r e ϕ r e ϕ r r e ϕ r fr p2 ϕ mr 4 r 2 r r2 r p2 ϕ mr 4 2r 2p2 ϕ m fr r 3 r 3 Aufgabe 3 Drittes Kepler sches Gesetz 2 P Beweise, dass bei Planetenbewegungen näherungsweise das 3. Keplergesetz T 2 a 3 Qudrate der Umlaufzeiten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse gilt. Untersuche den Proporitonalitätsfaktor für unser Sonnensystem. Fläche einer Ellipse: A πab πa 2 ε 2 ε πa 2 πa 2 2Ep2 ϕ µα 2 2Ep2 ϕ µα 2 E α 2a p2 ϕ µaα πp ϕ µα a 3/2.6
überstrichene Fläche: A p ϕ 2µ T Adt 2 dt 2 r2 ϕdt 2 r2 p ϕ µ dt p ϕ 2µ dt Die Beiden Flächen sind gleich: πp ϕ a 3/2 p ϕ µα 2µ T µ T 2π T 2 T 2 a 3 α a3/2 4π 2 γ a3 Für unser Sonnensystem m ist der Proportionalitätsfaktor für alle Planeten näherungsweise gleich: 4π 2 γ 4π2 2.9 8m3 γm s 2.7