Felder und Wellen WS 17/18 Musterlösung zum 1. Tutorium 1. Aufgabe (*) Zur Einleitung etwas Grundsätzliches über Flächen-, Volumen-, und Linienintegrale. Die Integration ist am einfachsten, wenn das gewählte Koordinatensystem der Symmetrie der geometrischen Anordnung, also der Fläche, Linie oder des Volumens entspricht. Die Transformation des Feldes in ein anderes Koordinatensystem ist meistens einfacher als die Transformation der Fläche, des Volumens oder der Linie. Differentialoperationen div, grad, rot und können in beliebigen Koordinatensystemen berechnet werden, das Ergebnis ist immer gleich. A = 5z = A x A y A z = 5z e z a) Die Integrationsoberfläche ist kugelsymmetrisch. Die Transformation von Vektorfeldern in ein anderes Koordinatensystem wird in Schritten durchgeführt: 1) Transformation der Komponenten des Vektorfeldes (Skript S. 3) ) Transformation der Variablen (Ortsvektoren) (Skript S. ) A = A r A ϑ A ϕ 1) A r = A z cosϑ = 5z cosϑ A ϑ = A z sinϑ = 5z sinϑ A ϕ = ) z = rcosϑ = A r e r +A ϑ e ϑ +A ϕ e ϕ in Kugelkoordinaten A = 5rcos ϑ e r 5cosϑ e ϑ Die Oberfläche einer Kugel um den Ursprung zeigt in r-richtung. Das infinitesimale Flächenelement ist gleich. d f = e r r sinϑdϑdϕ
Ad f = π π 5r ( cos ϑ e r sinϑcosϑ e ϑ ) er r sinϑdϑdϕ e r e r = 1 e ϑ e r = Über r wir nicht integriert. Terme mit r können vor das Integral gezogen werden. = 5r 3 π π cos ϑsinϑdϑdϕ Der Integrant hängt nicht von ϕ ab, [ϕ] π = π. π = 1πr 3 cos ϑsinϑdϑ Ein schwieriges Integral: Entweder hilft ein Trick aus HM g f(g) = F(g) oder eine Integraltabelle (Bronstein). -sinϑ ist die innere Ableitung von cos ϑ. [ ] 1 π = 1πr 3 3 cos3 ϑ = 1 3 πr3 [ 1 1] = πa3 3 b) div A in kartesischen Koordinaten: In Kugelkoordinaten: diva = A x x + A y y + A z z =++5 = 5 div A = 1 r r (r A r )+ 1 = 5 r r (r3 cos ϑ) 5 ϑ (A ϑsinϑ)+ 1 ϑ (rsin ϑcosϑ) =15cos ϑ 5 sinϑ (sinϑcos ϑ sin 3 ϑ) =15cos ϑ 1cos ϑ+5sin ϑ =5(cos ϑ+sin ϑ) =5 A ϕ ϕ
c) Zunächst wird das Volumenelement in Kugelkoordinaten benötigt: dv = r sinϑ dr dϑ dϕ Integrationsgrenzen: r =...a,ϑ =...π,ϕ =...π π π a π 5r sinϑdrdϑdϕ = π a = π[ cosϑ] π [ ] 5 a = 4π 3 r3 = πa3 3 5r sinϑdrdϑ a 5r dr Dies bestätigt den Gaußschen Satz: diva dv = Ad f Natürlich kann man sich hier die ganze Integriererei auch komplett sparen: diva = 5 = const. diva dv = diva Volumen der Kugel = 5 4π 3 a3. Aufgabe (*) a) Transformation der Vektorkomponenten von A in Zylinderkoordinaten (Skript S. 3) y A = y e x = A R = A x cosϕ+a y sinϕ = ycosϕ A ϕ = A x sinϕ+a y cosϕ = ysinϕ A = ycosϕ e R ysinϕ e ϕ = Transformation der Variablen (Skript S. ) y = Rsinϕ ycosϕ ysinϕ A = Rsinϕcosϕ e R Rsin ϕ e ϕ
Integration des Feldes entlang eines Kreises um den Ursprung: Der Integrationsweg verläuft immer in ϕ-richtung. Benötigt wird das Linienelement d s in ϕ-richtung (Skript S. 4). d s = e ϕ Rdϕ A d s = R ( sinϕcosϕ e R sin ϕ e ϕ ) eϕ Rdϕ π e ϕ e ϕ = 1 e R e ϕ = ϕ =...π π A d s = R sin ϕdϕ sin ϕdϕ ist ein schwieriges Integral, das Ergebnis sollte aber aus der Wechselstromtechnik bekannt sein. Ansonsten kann in einer Integraltabelle (Bronstein) nachgeschlagen werden. A d s = R [ 1 ϕ 1 4 sinϕ ] π = R π = a π b) Rotation: ( rota Az = e x y A ) ( y Ax + e y z z A ) ( z Ay + e z x x A ) x y = e z c) Wie in Aufgabe 1 gelernt, sollte rota nicht unbedingt in Zylinderkoordinaten berechnet werden. rotad f Das Flächenelement des Kreises zeigt in z-richtung. d f = e z RdRdϕ π a e z e z RdRdϕ = π a = [ϕ] π RdRdϕ a ] a [ 1 = 4π R = πa RdR
Es geht auch noch einfacher: rot A = e z = const und senkrecht zur Kreisfläche in der xy-ebene. rot A d f = Flächeninhalt des Kreises = πa Dies bestätigt den den Stokesschen Satz: rotad f = A d s 3. Aufgabe (*) a) A = gradφ = = φ x φ y φ z xy x y = φ x e x + φ y e y + φ z e z = xy e x +x y e y b) rot A = ( Az y A ) ( y Ax e x + z z A ) ( z Ay e y + x x A ) x e z y A z ist gleich und A x,y hängt nicht von z ab, also ist A x z =, A y z = rot A = e x + e y +(4xy 4xy) e z = Die Rotation verschwindet bei beliebigen Gradientenfeldern. rot gradψ Beweis Skript Kapitel 1.3 c) A in Zylinderkoordinaten: A R = A x cosϕ+a y sinϕ = xy cosϕ+x y sinϕ = R 3 cos ϕsin ϕ+r 3 cos ϕsin ϕ = 4R 3 cos ϕsin ϕ
A ϕ = A x sinϕ+a y cosϕ = xy sinϕ+x y cosϕ = R 3 cosϕsin 3 ϕ+r 3 cos 3 ϕsinϕ = R 3 cosϕsinϕ( sin ϕ+cos ϕ) A = A R e R +A ϕ e ϕ A hat keine z-komponente. Somit tragen die Stirnflächen des Zylinders nichts zum Integral bei ( A e z = ). Zur Integration über den Zylindermantel wird das Flächenelement des Zylinders in R-Richtung benötigt. Ad f = π l l d f = e R Rdϕdz (A R e R +A ϕ e ϕ ) e R Rdzdϕ Für die Punktprodukte zwischen den Einheitsvektoren gilt: e R e R = 1, e ϕ e R = Ad f = π l = l l π = 4R 4 l A R R dzdϕ }{{} unabhängig von z 4R 3 Rcos ϕsin ϕdϕ π cos ϕ sin ϕdϕ Mit Integraltabelle [ Ad f ϕ = 4R 4 l 8 1 ] π 3 sin(4ϕ) = πlr 4 = πla 4 Alternativ kann das Oberflächenintegral auch mit dem Gaußchen Satz berechnet werden. divadv = Ad f
div A = y +x = R sin ϕ+r cos ϕ = R (sin ϕ+cos ϕ) }{{} 1 = R (in Zylinderkoordinaten umwandeln) div Adv = l l π a a = 4πl = 4πl = πla 4 R 3 drdϕdz R 3 dr [ 1 4 R4 ] a 4. Aufgabe (**) a) Rotation in Kugelkoordinaten (Skript Kapitel 1.5.4) [ rota 1 = e r ϑ (A ϕsinϑ) A ] ϑ ϕ [ 1 1 A r + e ϑ r sinϑ ϕ ] r (ra ϕ) [ 1 + e ϕ r r (ra ϑ) A ] r ϑ Es gilt: A r ϕ =, A r ϑ =, A ϑ =. [ ] B := rota 1 = e r ϑ (sinϑ) 1 + e ϑ [ r ] r (r) 1 = e r [cosϑ] e ϑ r = e r rtanϑ e ϑ r b) div(rota) = 1 ( r r r = 1 r tanϑ tanϑ 1 = ) 1 ϑ r cosϑ ( ) r sinϑ
Die Divergenz einer Rotation ist immer null (Beweis: Skript Kapitel 1.3). div rot A Das Volumenintegral über die Kugel ist. Das Oberflächenintegral ist. c) Integrationsweg verläuft in ϕ-richtung (in Kugelkoordinaten). Linienelement in ϕ-richtung: d s = e ϕ r sinϑdϕ Ad s = (r e r + e ϕ ) e ϕ r sinϑdϕ e r e ϕ =, e ϕ e ϕ = 1 π = dϕ = 4π Für die xy-ebene gilt ϑ = π ; außerdem ist r = a Ad s = 4πa Alternative Berechnung mit dem Stokesschen Satz: rotad f = Ad s Nach dem Satz von Stoke kann man über jede Fläche integrieren, die von dem ursprünglichen Integrationsweg begrenzt wird. Also hier die obere oder untere Hemisphäre oder die Kreisfläche (Scheibe) in der xy-ebene mit Radius a. Dabei ist die Orientierung des Flächenelements durch Umlaufsinn des ursprünglichen Integrationswegs bestimmt. Berechnung mit Scheibe (ϑ = π = const): d f = ( 1) }{{} Orientierung e ϑ r }{{} sinϑ drdϕ =1
rot Ad f = = π a π a a ( rtanϑ e r r e ϑ) e ϑ rdrdϕ r e }{{} ϑ e ϑ rdrdϕ 1 = 4π 1dR = 4πa Zusatz: Es wird nun noch die Berechnung der Oberflächenintegrals nach Stokes mit Zylinderkoordinaten gezeigt. Dies bietet hier keinen rechnerischen Vorteil; soll jedoch zeigen, dass es unerheblich ist, welches Koordinatensystem man benutzt. Transformation von B in Zylinderkoordinaten: Komponenten: Variablen: r = R +z A R = A r sinϑ+a ϑ cosϑ = rtanϑ sinϑ r cosϑ = A ϕ = A ϕ = A z = A r cosϑ A ϑ sinϑ = rtanϑ cosϑ+ r sinϑ = cos ϑ + r sinϑ = ( cos ϑ+sin ϑ ) = ϑ = arctan R z ( ( A z = / sin arctan R ) R ) z +z = Es gilt: sin arctanx = 1+ R z R = R z +z R Integriert wird über eine Kreisfläche in der xy-ebene z =. x 1+x A z = R
Flächenelement in z-richtung in Zylinderkoordinaten: d f = e z RdRdϕ Ad f = π a a = 4π 1dR = 4πa R e z e }{{} z RdRdϕ 1 Schwierigkeit der Aufgaben von einfach lösbar(*) bis hin zu anspruchsvoll (***).