Wirtschatsmathematik ür die Betriebswirtschatslehre (B.Sc.) Sommersemester 017 Dr. rer. nat. habil. E-mail: adam-georg.balogh@h-da.de 1
Kurvendiskussion / Analyse von Funktionen Anwendung der Dierentialrechnung bei Untersuchung von Funktionen Monotonie Krümmungsverhalten Extremwerte Wendepunkte
Monotonie: Eine Funktion, die überall eine positive (bzw. negative) Steigung besitzt, auch überall streng monoton wächst (bzw. ällt). Satz: Ist die Ableitung einer stetig dierenzierbare Funktion im Intervall I positiv (bzw. negativ), so ist in I streng monoton wachsend (bzw. allend). ' (x) 0 ist streng monoton wachsend ' (x) 0 ist streng monoton allend 3
Krümmungsverhalten: Hochschule Darmstadt - ist konvex gekrümmt: jede Tangente von liegt unterhalb der Funktionskurve, jede Sekante liegt oberhalb der Funktionskurve - ist konkav gekrümmt: jede Tangente von liegt oberhalb der Funktionskurve, jede Sekante liegt unterhalb der Funktionskurve 4
Satz: Ist die zweite Ableitung von im Intervall I positiv (negativ), so ist die erste Ableitung ` im I monoton zunehmend (abnehmend) und daher im Intervall I konvex (konkav). '' '' (x) 0 (x) 0 ' ' ist monoton wachsend ist konvex ist monoton allend ist konkav 5
Extremwerte: Bei der Analyse ökonomischer Funktionen (Kostenminimum, Ertragsmaximum, Nutzenmaximum, usw.) sind die Extremwerten (Maxima und Minima) sehr wichtig. Die Funktion hat an der Stelle x 0 ein lokales (relatives) Maximum (Minimum), wenn der Funktionswert F(x 0 ) in einer beidseitigen Umgebung von x 0 maximal (minimal) ist. Handelt es sich bei (x 0 ;(x 0 )) um den höchsten (tiesten) Punkt im gesamten Deinitionsbereich, so spricht man von einem globalen (absoluten) Maximum (Minimum) an der Stelle x 0. 6
MIN/MAX = globale Extrema; min/max = lokale Extrema Für jede stetig dierenzierbare Funktion gilt, dass die Funtion in jedem lokalen Extremeum eine waagerechte Tangente, also die Steigung Null besitzt. : Satz: wenn ür die zweimal (stetig) dierenzierbare Funktion an der Stelle x 0 gilt, dass (x 0 ) = 0, dann besitzt in x 0 : - ein lokales Minimum, wenn außerdem gilt: (x 0 ) = pozitiv - ein lokales Maximum, wenn außerdem gilt: (x 0 ) = negativ 7
Vorgehungsweise: I. Ermittelt man die Lösungen x i der Gleichung (x) = 0. Die so ermittelten Stellen sind die einzige Kandidaten ür lokale Extremstellen. II. Berechnet man die zweite Ableitung und überprüt durch Einsetzen von x i das Vorzeichen von. Beispiel: 1 3 5 (x) = x x + x + 3 6 4 ' 1 (x) = x,5x + = 0 x x x x 1, 1 '' '' '' = p ± =,5 + 1,5= 4 =,5 1,5= 1 = x,5 p q =,5 ± (4) = 1,5 0 Minimum (1) = 1,5 0 Maximum 5x + 4= 0 6,5 4 8
Allgemeine Deinition: Die Funktion sei im Intervall I n-mal dierenzierbar und die erste an der Stelle x 0 nicht verschwindene Ableitung habe die Ordnung n: Dann gilt: ( n 1) ( n ) ' '' (x 0) = (x 0) =... = (x 0) = 0 aber (x 0 ) 0 1.) ist n gerade, so hat in x0 einen lokalen Extremwert, und zwar ein Minimum, alls ( n ) ( n ) gilt: (x ) 0 und ein Maximum, alls gilt: (x ) 0 0 0.) ist n ungerade, so hat in x0 keinen lokalen Extremwert, sondern ist monoton steigend, alls ( n ) und monoton allend, alls ( n ) (x0) 0 (x0) 0 ( besitzt in dieser Stelle einen Wendepunkt mit horizontaler Tangente, sog. Sattelpunkt) 9
Wendepunkt: in einem Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion. Unter einem Wendepunkt einer dierenzierbarer Funktion versteht man einen Punkt W, der an der Nahtstelle eines konvexen und eines konkaven Bereich liegt. Sattelpunkt 10
Satz: die Wendepunkte einer zweimal dierenzierbaren Funtion sind genau die lokalen Externa der ersten Ableitung: 1.) in einem konvex/konkav-wendepunkt ist maximal.) in einem konkav/konvex-wendepunkt ist minimal Satz: sei in einer Umgebung der Stelle x 0 dreimal dierenzierbar, so: 1.) besitzt in x 0 einen Wendepunkt, so gilt notwendigerweise: (x 0 ) = 0.) gilt an der Stelle x 0 : (x 0 ) = 0, aber (x 0 ) = 0, so besitzt an der Stelle einen Wendeüunkt, und zwar: ''' a.) konkav/konvex, wenn (x 0) 0 b.) konvex/konkav, wenn ''' (x 0) 0 11
Beispiel: gegeben sei die Funtion: Hochschule Darmstadt 1 4 1 3 4 3 ( x) = x x + x + 1 Die gesuchte Wendepunkte ergeben sich als Lösungen von (x) = 0 in Verbindung mit einer Vorzeichenprüung von. ' 1 3 3 (x) = x x + x 6 '' 1 3 (x) = x x + ''' (x) = x x '' ''' ''' (x) = 0 0,5x 1 Folgerung : besitzt in x in x = 1 und x = 3 (1) = 1 0 (3) = 3 0 1 x + 1,5= 0 x = 1 einen konvex/konkav Wendepunkt und = 3 einen konkav/konvex Wendepunkt, ' der wegen (3) = 0 ein Sattelpunkt ist. 4x + 3= 0 3 4 1
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