$Id: vektor.tex,v 1.39 2018/05/03 14:55:15 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel Nachdem wir uns am Ende der letzten Sitzung an den Orthogonalitätsbegriff der linearen Algebra u v u v = 0 und A B (a A) (b B) : a b für Vektoren u, v R d beziehungsweise für Teilmengen A, B R d erinnert haben, wollen wir nun zum entsprechenden affinen Begriff des Senkrechtstehens kommen. Wir wollen zunächst definieren was es heißt das eine Gerade senkrecht auf einem affinen Teilraum steht. Hierfür können wir nicht einfach den eben eingeführten Orthogonalitätsbegriff der linearen Algebra verwenden und benötigen daher eine weitere Definition. Definition 1.15 (Orthogonalität von Geraden und affinen Teilräumen) Seien d N, A R d ein affiner Teilraum und l R d eine Gerade. Dann nennen wir die Gerade l senkrecht auf dem Teilraum A wenn A l und R(A) R(l) gelten. In diesem Fall schreiben wir auch l A. Beachte das die Schreibweise l A dieser Definition nicht mit der obigen Definition der Orthogonalität zweier Teilmengen des R d zusammen passt, es wird aber immer klar welche der beiden Möglichkeiten gemeint ist. Steht weiter eine Gerade l senkrecht auf einem affinen Teilraum A so haben l und A einen eindeutigen Schnittpunkt. Denn zunächst gibt es wegen A l überhaupt einen Schnittpunkt und gäbe es sogar mehrere so hätten wir l A also auch {0} = R(l) R(A) im Widerspruch zur positiven Definitheit des Skalarprodukts. Dies können wir nun verwenden um Lote einzuführen. Angenommem wir haben einen affinen Teilraum A R d und einen Punkt p R d außerhalb von A, also p / A. Unter einem Lot von p auf A verstehen wir dann eine Gerade l R d die zum einen durch p läuft und zum anderen senkrecht auf A ist, also p l und l A. Den Schnittpunkt von l und A nennt man dann den Lotfußpunkt von p auf A. Um gelegentlich Ausnahmefälle zu vermeiden, stellt es sich als geschickter heraus auch den Fall p A zu erlauben und unsere Lotdefinition nimmt dann die folgende Form an. Definition 1.16 (Lote auf affine Teilräume) Seien d N, A R d ein affiner Teilraum und p R d. Ein Punkt q A heißt Lotfußpunkt von p auf A wenn p q R(A) gilt. Ist zuätzlich p / A so heißt die Gerade l durch p und q das Lot von p auf A. 7-1
Im Fall p / A deckt sich dies mit der eingangs beschriebenen Definition. Ist nämlich q ein Lotfußpunkt von p auf A und l die Verbindungsgerade von p und q so ist l A und R(l) = R (p q) also haben wir R(A) R(l) und somit auch l A. Ist umgekehrt l eine auf A senkrechte Gerade durch p und bezeichnet q den Schnittpunkt von l und A so ist p q R(l) R(A), d.h. q ist ein Lotfußpunkt von p auf A. Wir zeigen nun das es immer einen eindeutigen Lotfußpunkt von p auf A gibt und im Fall p / A gibt es damit auch ein eindeutiges Lot von p auf A. Lemma 1.21 (Grundeigenschaften des Lotfußpunktes) Seien d N, p R d und = A R d ein affiner Teilraum. Dann existiert genau ein Lotfußpunkt q von p auf A. Ist p A so gilt q = p und ist p / A und bezeichnet l die Verbindungsgerade von p und q so ist l A. Beweis: Wähle einen Aufpunkt a A, und dann gilt A = a + R(A). Aus der linearen Algebra wissen wir das es eindeutig bestimmte Vektoren u, v R d mit u R(A), v R(A) und p a = u + v gibt. Wir erhalten den Punkt q := a + u a + R(A) = A mit p q = p a u = v R(A), d.h. q ist ein Lotfußpunkt von p auf A. Sei umgekehrt q A ein Lotfußpunkt von p auf A. Dann gibt es ein u R(A) mit q = a + u und wir erhalten v := p q R(A) mit v = p q = p a u also p a = u + v und somit sind u = u und q = a + u = a + u = q. Damit sind Existenz und Eindeutigkeit des Lotfußpunkts bewiesen. Ist p A so ist auch A = p + R(A) also folgt p q R(A) und insbesondere p q p q = 0 also ist q = p. Ist dagegen p / A so ist l = q +R (p q) die Verbindungsgerade von p und q und wegen R(l) = R (p q) folgt R(l) R(A), d.h. l A. Der Orthogonalitätsbegriff erlaubt es uns nun auch eine Form des Satzes von Pythagoras für affine Teilräume zu beweisen. Satz 1.22 (Satz des Pythagoras für affine Teilräume) Seien d N, p R d, = A R d ein affiner Teilraum des R d und q der Lotfußpunkt von p auf A. Für jeden Punkt x A gilt dann px 2 = pq 2 + qx 2. Beweis: Sei x A = q + R(A). Dann existiert ein u R(A) mit x = q + u und wegen p q R(A) ist auch p q u. Wegen p x = p q u und x q = u folgt hieraus px 2 = p x 2 = p x p x = p q p q + u u 2 p q u = pq 2 + qx 2. Als einen Spezialfall erhalten wir den gewöhnlichen Satz des Pythagoas für Dreiecke. 7-2
Korollar 1.23 (Satz des Pythagoras) Seien d N, a, b, c drei nicht kollineare Punkte und die Verbindungsgerade von a und c sei senkrecht auf der Verbindungsgeraden von b und c. Dann gilt ab 2 = ac 2 + bc 2. Beweis: Klar nach Satz 22 da c der Lotfußpunkt von a auf b, c ist. Als ein weiteres Korollar können wir den Abstand eines Punktes zu einem affinen Teilraum berechnen. Korollar 1.24 (Abstand eines Punktes zu einem affinen Teilraum) Seien d N, p R d und A R d ein affiner Teilraum. Bezeichne q den Lotfußpunkt von p auf A. Dann gilt d(p, A) := inf{ px : x A} = pq und für jedes x A ist genau dann px = d(p, A) wenn x = q ist. Beweis: Dies ist klar nach Satz 22. Wir wollen uns nun einmal den Spezialfall einer Hyperebene im R d anschauen. Ist H R d eine solche so hatten wir in Aufgabe (10.a) gezeigt das es einen Vektor a R d \{0} und ein c R mit H = {x R d : a x = c} gibt. Die Richtung von H ist die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems, also R(H) = {x R d : a x = 0} =: a und da wir aus der linearen Algebra wissen das für b R d \{0} genau dann a = b gilt wenn es ein t R mit b = ta gibt, folgt das a bis auf Vielfache eindeutig durch H festgelegt ist. Normieren wir die Länge zu Eins, setzen also u := a/ a so ist mit d := c/ a H = {x R d : u x = d}. Dann ist u ein Vektor mit u = 1 und u R(H) und einen solchen Vektor nennt man einen Normalenvektor von H. Da a bis auf Vielfache eindeutig festgelegt ist, folgt das es genau zwei Normalenvektoren auf H gibt, nämlich u und u. Indem wir eventuell von u zu u und von d zu d übergehen können wir in der obigen Darstellung von H auch noch d 0 annehmen und erhalten die sogenannte Hessesche Normalform von H. 7-3
Satz 1.25 (Hessesche Normalform von Hyperebenen) Seien d N und H R d eine Hyperebene im R d. Dann läßt sich H in sogenannter Hessescher Normalform als H = H(u, c) := {x R d : u x = c} für geeignete u R d, c R mit u = 1 und c 0 schreiben. Dabei sind u ein Normalenvektor von H und c = d(0, H). Sind auch v R d mit v = 1 und e R mit e 0 so ist H(u, c) = H(v, e) (c = e > 0 u = v) (c = e = 0 v {u, u}). Beweis: Die Existenz von u und c und das u in diesem Fall stets ein Normalenvektor auf H ist haben wir bereits eingesehen. Sei p der Lotfußpunkt von 0 auf p. Dann gilt p R(H) also ist p = 0 oder p 0 und p/ p ist ein Normalenvektor auf H. In beiden Fällen gibt es ein t R mit t 0 und p = tu und wegen p H folgt c = u p = t u 2 = t also ist p = cu und Korollar 24 liefert d(0, H) = 0p = p = c u = c. Wir kommen zur Eindeutigkeitsaussage. Im Fall c = 0 haben wir dabei H( u, 0) = H(u, 0), es ist also nur die Implikation von links nach rechts zu zeigen. Seien also v R d mit v = 1 und e R mit e 0 so, dass auch H = H(v, e) gilt. Dann sind e = d(0, H) = c und v ist ein Normalenvektor auf H, also v {u, u}. Im Fall c > 0 ist dann sogar v = u und alles ist bewiesen. Wir kommen nun zur metrischen Form des Strahlensatzes und zum affinen Teilungsverhältnis. Seien also a, b, c drei paarweise verschiedene, kollineare Punkte im R 2 und schreibe b = λa + µc mit λ, µ R, λ + µ = 1. Dann sind b a = (λ 1)a + µc = µ(c a) und c b = c a (b a) = (1 µ)(c a) = λ(c a) und es folgen also auch ab = b a = µ c a = µ ac und ebenso bc = λ ac, (abc) = µ λ = µ ac λ ac = ab bc. Zusammenfassend erhalten wir eine Interpretation affiner Teilungsverhältnisse als mit Vorzeichen versehene Längenverhältnisse. 7-4
Lemma 1.26 (Affine Teilungsverhältnisse sind signierte Längenverhältnisse) Seien a, b, c R 2 drei paarweise verschiedene, kollineare Punkte. Dann gilt ab, b liegt zwischen a und c, bc (abc) = sonst. ab, bc Beweis: Es ist nur noch zu zeigen, dass das Vorzeichen von (abc) wie behauptet gegeben ist. Schreibe also b = λa + µc mit λ, µ R, λ + µ = 1. Dann ist auch b = λa + µb = (1 µ)a + µb, es ist also genau dann b [a, c] wenn 0 µ 1 gilt, beziehungsweise wenn µ > 0 und λ = 1 µ > 0 gelten. Andererseits ist genau dann sign(abc) = sign(µ/λ) = 1 wenn sign(λ) = sign(µ) gilt und wegen λ + µ = 1 ist dies genau dann der Fall wenn sign(λ) = sign(µ) = 1 ist. Mit diesem Lemma wird es nun möglich den Strahlensatz als einen Satz über Streckenverhältnisse zu formulieren. Die genaue Formulierung des Satzes ist dabei etwas kompliziert da es nicht nur auf Streckenverhältnisse sondern auch auf die korrekte Anordnung der betrachteten Punkte ankommt. Satz 1.27 (Metrische Form des Strahlensatzes) Seien h, h R 2 zwei verschiedene Geraden die sich in einem Punkt a schneiden. Weiter seien b, c h\{a} und b, c h \{a} und bezeichne l := b, b und g := c, c die Verbindungsgeraden von b und b beziehungsweise c und c. Die Punktetripel a, b, c und a, b, c seien gleich angeordnet, d.h. es gelte (a [b, c] a [b, c ]) (b [a, c] b [a, c ]) (c [a, b] c [a, b ]). Dann sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent: (a) Es ist l g. (b) Es ist ab ac = ab ac. In diesem Fall haben gelten weiter auch ab ac = bb cc und cc ac = bb ab. Beweis: Wir beginnen mit dem Beweis der Äquivalenzaussage. Wir betrachten zunächst den Fall b = c. Ist auch b = c so ist l = g und die Aussagen (a) und (b) sind beide wahr. Nun nehmen wir b c an. Dann schneidet l die Gerade h in b und g schneidet 7-5
sie in c b, also ist g l und wegen b l g ist l g, die Aussage (a) ist also nicht erfüllt. Wegen a / [b, c] ist b [a, c ] oder c [a, b ] und somit liegen b, c auf derselben Seite von a in h. Es gibt also einen Strahl S mit Startpunkt a und b, c S und die Eindeutigkeit des Streckenabtragens liefert wegen b c auch ab = ac. Damit gilt ab / ac 1 = ab / ac, d.h. auch (b) ist falsch. Damit ist die Äquivalenz von (a) und (b) bewiesen wenn b = c ist und im Fall b = c folgt dies analog. Wir können also b c und b c annehmen. Nach unserer Annahme ist genau dann b [a, c] wenn b [a, c ] gilt, nach Lemma 26 haben wir damit sign(abc) = sign(ab c ). Nach Lemma 26 ist (b) damit äquivalent zu (abc) = (ab c ) und die Behauptung folgt mit der affinen Form des Strahlensatzes Satz 16. Damit ist die erste Aussage bewiesen und wir nehmen nun an das l g gilt. Setze u := c a und u = c a. Dann sind h = a + Ru und h = a + Ru, also gibt es t, t R mit b = a + tu und b = a + t u. Nach unserer Annahme ist genau dann a [b, c] wenn a [b, c ] gilt, also ist sign(t) = sign(t ). Es gilt ab ac = tu u = t und ebenso ab ac = t also ist t = t und damit sogar t = t. Weiter gilt bb = b b = t u tu = tu tu = t u u und dies bedeutet = t (a + u ) (a + u) = t c c = t cc bb cc Hieraus folgt dann auch die letzte Aussage. = t = ab ac. 7-6