Rechtslinere Sprchen Minimlutomt Es git lso sehr verschiedene endliche Beschreiungen einer regulären Sprche (DFA, NFA, rechtslinere Grmmtiken, reguläre Ausdrücke). Diese können ineinnder üersetzt werden. Aer eine einzelne Sprche knn uch durch verschiedene DFAs drgestellt werden. Wir stellen uns die Frge nch dem kleinsten DFA für eine reguläre Sprche L, d.h. nch einem DFA mit möglichst wenigen Zuständen. WS 11/1 140
Rechtslinere Sprchen Betrchte den folgenden DFA M: 1 4 6, Feststellung: für die Zustände 4, 5 gilt 5 mit einem Wort, ds ein enthält, lndet mn von dort us immer im Zustnd 6 (Endzustnd) mit einem Wort, ds kein enthält, lndet mn von dort us immer im Zustnd 5 zw. 4 (kein Endzustnd) Der DFA M mit Strtzustnd 4 und der mit Strtzustnd 5 kzeptieren lso diesele Sprche. Wir nennen die Zustände 4 und 5 dher erkennungsäquivlent. D es lso keinen Unterschied usmcht, o wir ein Wort vom Zustnd 4 oder vom Zustnd 5 us reiten, werden wir diese eiden Zustände verschmelzen. WS 11/1 141
Rechtslinere Sprchen Eenso sind die Zustände und erkennungsäquivlent und können verschmolzen werden. Entstehender Automt M (nch der Verschmelzung):, 1 / 4/5 6, Jetzt sind keine Zustände mehr erkennungsäquivlent und es können dher keine weiter verschmolzen werden. Es gilt M und M kzeptieren diesele Sprche: L(M) = L(M ). Jeder DFA M mit vier Zuständen, der L(M) kzeptiert, sieht so us wie M (is uf die Benennung der Zustände). Es git keinen DFA M mit < 4 Zuständen, der L(M) kzeptiert. WS 11/1 14
Rechtslinere Sprchen Definition Gegeen sei ein DFA M = (Z, Σ, z 0, δ, E). Zwei Zustände z 1, z Z heißen erkennungsäquivlent, wenn für jedes Wort w Σ gilt: δ(z 1, w) E δ(z, w) E. Bemerkung: Seien x, y Σ. Dnn gilt ˆδ(z 0, x) und ˆδ(z 0, y) sind erkennungsäquivlent w Σ : ˆδ(ˆδ(z 0, x), w) E ˆδ(ˆδ(z 0, y), w) E w Σ : ˆδ(z 0, xw) E ˆδ(z 0, yw) E w Σ : xw L(M) yw L(M) WS 11/1 14
Rechtslinere Sprchen Diese Beochtung motiviert die folgende Definition. Definition Für eine Sprche L Σ definieren wir eine inäre Reltion R L Σ Σ (die Myhill-Nerode-Äquivlenz) wie folgt: Für lle x, y Σ setze (x, y) R L genu dnn, wenn w Σ : (xw L yw L) gilt. Wir schreien hierfür uch x R L y. Nch oiger Beochtung gilt für jeden DFA M: x R L(M) y gdw. ˆδ(z 0, x) und ˆδ(z 0, y) sind erkennungsäquivlent. WS 11/1 144
Rechtslinere Sprchen Lemm Sei L Σ eine Sprche. 1 Die inäre Reltion R L ist eine Äquivlenzreltion. Aus x R L y und Σ folgt x R L y. Beweis: 1 z.z. sind Reflexivität, Symmetrie und Trnsitivität Reflexivität: Für x Σ gilt w Σ : (xw L xw L). Also ist R L reflexiv. Symmetrie: Seien x, y Σ mit x R L y. = w : (xw L yw L) = w : (yw L xw L) = y R L x. Also ist R L symmetrisch. Trnsitivität: Seien x, y, z Σ mit x R L y R L z. Sei w Σ elieig. Dnn gilt xw L x R L y yw L y R L z zw L. D w elieig, folgt x R L z. Also ist R L trnsitiv. WS 11/1 145
Rechtslinere Sprchen Sei w Σ elieig. Dnn gilt x w = x w L x R L y y w L y w L. D w elieig, folgt x R L y. Für eine Sprche L und ein Wort x Σ ist [x] L = {y Σ x R L y} die Äquivlenzklsse von x. Ist L klr, so schreien wir einfcher [x]. WS 11/1 146
Rechtslinere Sprchen Beispiel 1 für Myhill-Nerode-Äquivlenz: Gegeen sei die Sprche L = {w {, } # (w) gerde}. Es git folgende Äquivlenzklssen für R L : [ε] = {w {, } # (w) gerde} = L [] = {w {, } # (w) ungerde} = {, } \L Die Wörter ε und sind äquivlent, denn: Wird n eide ein Wort mit gerde vielen s ngehängt, so leien sie eide in der Sprche. Wird n eide ein Wort mit ungerde vielen s ngehängt, so fllen sie eide us der Sprche herus. WS 11/1 147
Rechtslinere Sprchen DFA für {w {, } # (w) gerde}: [ε] [] WS 11/1 148
Rechtslinere Sprchen Beispiel für Myhill-Nerode-Äquivlenz: Gegeen sei die Sprche L = {w {,, c} ds Teilwort c kommt in w nicht vor}. Es git folgende Äquivlenzklssen für R L : [ε] = {w {,, c} w endet nicht uf oder und enthält c nicht} [] = {w {,, c} w endet uf und enthält c nicht} [] = {w {,, c} w endet uf und enthält c nicht} [c] = {w {,, c} w enthält c} Z.B. sind die Wörter und nicht äquivlent, denn wird n eide ein c ngehängt, so ist c L, c / L. WS 11/1 149
Rechtslinere Sprchen DFA für {w {,, c} ds Teilwort c kommt in w nicht vor}: c [ε] [] [] [c] c, c,, c WS 11/1 150
Rechtslinere Sprchen Sei R A A eine Äquivlenzreltion. Der Index index(r) von R ist die Anzhl der Äquivlenzklssen von R: index(r) = {[x] x A} N { } Stz von Myhill-Nerode Sei L eine Sprche. L ist regulär index(r L ) <. Beweis: = : Sei L regulär. Sei M = (Z, Σ, z 0, δ, E) ein DFA mit L(M) = L. Definiere eine inäre Reltion R M uf Σ wie folgt: x R M y δ(z 0, x) = δ(z 0, y). WS 11/1 151
Rechtslinere Sprchen Bechte: R M ist eine Äquivlenzreltion. index(r M ) Z Behuptung: x, y Σ (x R M y = x R L y), d.h. R M R L. Beweis der Behuptung: x R M y δ(z 0, x) = δ(z 0, y) = w Σ : δ(z 0, xw) = δ(z 0, yw) = w Σ : xw L(M) = L yw L(M) = L x R L y Aus der Behuptung folgt index(r L ) index(r M ) Z <. WS 11/1 15
Rechtslinere Sprchen =: Sei index(r L ) <. Sei [x 1 ],..., [x n ] eine Auflistung ller Äquivlenzklssen von R L. Bechte: Σ = [x 1 ] [x n ]. Wir definieren nun den DFA M L = ({[x 1 ],..., [x n ]}, Σ, [ε], δ, {[w] w L}), woei δ([x i ], ) = [x i ] für lle 1 i n und Σ (dies ist wohldefiniert nch Aussge () des Lemms uf Folie 145). Dnn gilt für lle x Σ : δ([ε], x) = [x]. WS 11/1 15
Rechtslinere Sprchen Behuptung: L(M L ) = L (dies zeigt dnn, dß L regulär ist). Beweis der Behuptung: x L(M L ) δ([ε], x) {[w] w L} [x] {[w] w L} w L : x R L w x L WS 11/1 154
Rechtslinere Sprchen Mit dem Stz von Myhill-Nerode knn mn uch zeigen, dß eine Sprche L nicht regulär ist. Dzu muß mn nur unendlich viele Wörter us Σ finden, die in verschiedenen R L -Äquivlenzklssen liegen. Beispiel für Myhill-Nerode-Äquivlenz: Sei L = { k l c l k, l 1} Betrchte die Wörter,,,..., i,... Es gilt: ( i R L j ) für i j, denn i c i L und j c i L. Also ht R L unendlich viele Äquivlenzklssen und L ist somit nch dem Stz von Myhill-Nerode nicht regulär. WS 11/1 155
Rechtslinere Sprchen Betrchte nochmls den DFA M L, der im Beweis des Stzes von Myhill-Nerode (Richtung = ) konstruiert wurde. Stz Sei M = (Z, Σ, z 0, δ, E) ein DFA mit L(M) =: L. 1 M ht mindestens soviele Zustände wie M L, d.h. M L ist ein minimler DFA für L. Flls M und M L gleich viele Zustände hen, so sind M und M L is uf Umennenung der Zustände identisch (sie sind isomorph ). Beweis: 1 Die Anzhl der Zustände von M L ist gleich index(r L ). Im Beweis von = hen wir index(r L ) Z gezeigt. Dmit gilt die erste Aussge. WS 11/1 156
Rechtslinere Sprchen Sei nun Z = Anzhl der Zustände von M L = index(r L ). Wegen Z = index(r L ) index(r M ) Z gilt index(r L ) = index(r M ) <. Mit R M R L folgt R M = R L = R ML. Also sind M und M L is uf Umenennung der Zustände identisch. Folgerung Für jede reguläre Sprche L git es (is uf Umenennung der Zustände) genu einen minimlen DFA M. WS 11/1 157
Rechtslinere Sprchen Prolemstellung: Konstruiere den minimlen Automten M L us einem nicht unedingt minimlen DFA M = (Z, Σ, z 0, δ, E) mit L(M) = L. Zunächst können wir vorussetzen, dß jeder Zustnd z Z vom Anfngszustnd z 0 erreicht werden knn, d.h. x Σ : δ(z 0, x) = z. Dies impliziert Z = index(r M ). Nun gilt: M nicht miniml R M R L x, y Σ : (x, y) R L (x, y) / R M x, y Σ : w Σ : xw L yw L δ(z 0, x) δ(z 0, y) x, y Σ : w Σ : xw L(M) yw L(M) δ(z 0, x) δ(z 0, y) z 1, z Z : z 1, z sind erkennungsäquivlent, und z 1 z WS 11/1 158
Rechtslinere Sprchen Lösung: wir verschmelzen in M lle erkennungsäquivlenten Zustände. Um heruszufinden, welche Zustände erkennungsäquivlent sind, mrkieren wir lle Zustndspre {z, z }, die nicht erkennungsäquivlent sind. Zunächst sind sicherlich lle Pre {z, z } mit z E und z E nicht erkennungsäquivlent, diese Pre mrkieren wir zu Beginn. Angenommen für ein Pr {z, z } existiert ein Σ, so dß {δ(z, ), δ(z, )} nicht erkennungsäquivlent sind. Dnn sind uch {z, z } nicht erkennungsäquivlent. Diese Beochtung erlut uns, weitere Pre ls nicht erkennungsäquivlent zu mrkieren. WS 11/1 159
Rechtslinere Sprchen Algorithmus Minimlutomt Einge: DFA M (Zustände, die vom Strtzustnd us nicht erreichr sind, sind ereits entfernt.) Ausge: Mengen von erkennungsäquivlenten Zuständen 1 Stelle eine Telle ller Zustndspre {z, z } mit z z uf. Mrkiere lle Pre {z, z } mit z E und z E. Mrkiere ll die unmrkierten Pre {z, z }, für die es ein Σ git, so dß {δ(z, ), δ(z, )} ereits mrkiert ist. 4 Wiederhole den vorherigen Schritt, is sich keine Änderung in der Telle mehr ergit. 5 Für lle jetzt noch unmrkierten Pre {z, z } gilt: z und z sind erkennungsäquivlent. WS 11/1 160
Rechtslinere Sprchen 1 Beispiel für Durchführung des Minimierungslgorithmus: 1 4 5 6, 4 5 6 1 4 5 Erstelle eine Telle ller Zustndspre. WS 11/1 161(1)
Rechtslinere Sprchen Beispiel für Durchführung des Minimierungslgorithmus: 1 4 5 6, 4 5 6 1 1 1 1 1 1 4 5 (1) Mrkiere Pre von Endzuständen und Nicht-Endzuständen. WS 11/1 161()
Rechtslinere Sprchen Beispiel für Durchführung des Minimierungslgorithmus: 1 4 5 6, 4 5 6 1 1 1 1 1 1 4 5 () Mrkiere {, 4} d δ(, ) = 1, δ(4, ) = 6 und {1, 6} mrkiert ist. WS 11/1 161()
Rechtslinere Sprchen 4 Beispiel für Durchführung des Minimierungslgorithmus: 1 4 5 6, 4 5 6 1 1 1 1 1 1 4 5 () Mrkiere {, 5} d δ(, ) = 1, δ(5, ) = 6 und {1, 6} mrkiert ist. WS 11/1 161(4)
Rechtslinere Sprchen 5 Beispiel für Durchführung des Minimierungslgorithmus: 1 4 5 6, 4 5 4 6 1 1 1 1 1 1 4 5 (4) Mrkiere {, 5} d δ(, ) = 1, δ(5, ) = 6 und {1, 6} mrkiert ist. WS 11/1 161(5)
Rechtslinere Sprchen 6 Beispiel für Durchführung des Minimierungslgorithmus: 1 4 5 6, 4 5 5 4 6 1 1 1 1 1 1 4 5 (5) Mrkiere {, 4} d δ(, ) = 1, δ(4, ) = 6 und {1, 6} mrkiert ist. WS 11/1 161(6)
Rechtslinere Sprchen 7 Beispiel für Durchführung des Minimierungslgorithmus: 1 4 5 6, 4 5 5 6 4 6 1 1 1 1 1 1 4 5 (6) Mrkiere {1, 5} d δ(1, ) =, δ(5, ) = 6 und {, 6} mrkiert ist. WS 11/1 161(7)
Rechtslinere Sprchen 8 Beispiel für Durchführung des Minimierungslgorithmus: 1 4 5 6, 4 7 5 5 6 4 6 1 1 1 1 1 1 4 5 (7) Mrkiere {1, 4} d δ(1, ) =, δ(4, ) = 6 und {, 6} mrkiert ist. WS 11/1 161(8)
Rechtslinere Sprchen 9 Beispiel für Durchführung des Minimierungslgorithmus: 1 4 5 6, 8 4 7 5 5 6 4 6 1 1 1 1 1 1 4 5 (8) Mrkiere {1, } d δ(1, ) =, δ(, ) = 5 und {, 5} mrkiert ist. WS 11/1 161(9)
Rechtslinere Sprchen 10 Beispiel für Durchführung des Minimierungslgorithmus: 1 4 5 6, 9 8 4 7 5 5 6 4 6 1 1 1 1 1 1 4 5 (9) Mrkiere {1, } d δ(1, ) =, δ(, ) = 4 und {, 4} mrkiert ist. WS 11/1 161(10)
Rechtslinere Sprchen 11 Beispiel für Durchführung des Minimierungslgorithmus: 1 4 5 6, 9 8 4 7 5 5 6 4 6 1 1 1 1 1 1 4 5 Die verleienden Zustndspre {, } und {4, 5} können nicht mehr mrkiert werden. Sie sind erkennungsäquivlent. WS 11/1 161(11)
Rechtslinere Sprchen Stz Für einen gegeenen DFA M = (Z, Σ, z 0, δ, E) mrkiert der Minimierungslgorithmus ein Pr {z, z } (z, z Z, z z ) genu dnn, wenn z und z nicht erkennungsäquivlent sind. Beweis: = z.z.: Flls {z, z } mrkiert wird, so sind z und z nicht erkennungsäquivlent. Beweis durch Induktion üer den Zeitpunkt, zu dem {z, z } mrkiert wird. IA: {z, z } wird zu Beginn mrkiert, weil z E und z E. z und z sind nicht erkennungsäquivlent. IS: {z, z } wird irgendwnn mrkiert, weil ein Σ existiert, so dß {δ(z, ), δ(z, )} zu einem früheren Zeitpunkt mrkiert wurde. IV δ(z, ) und δ(z, ) sind nicht erkennungsäquivlent. WS 11/1 16
Rechtslinere Sprchen z und z sind nicht erkennungsäquivlent. Dmit ist die Impliktion = gezeigt. = z.z.: Wenn z und z nicht erkennungsäquivlent sind, dnn wird {z, z } irgendwnn mrkiert. Seien z und z nicht erkennungsäquivlent. Sei λ(z, z ) die Länge eines kürzesten Wortes w mit δ(z, w) E, δ(z, w) E (oder umgekehrt). Wir zeigen durch Induktion üer λ(z, z ), dß {z, z } mrkiert wird. IA: λ(z, z ) = 0 z E und z E {z, z } wird zu Beginn mrkiert. WS 11/1 16
Rechtslinere Sprchen IS: Sei λ(z, z ) > 0. Es git ein Wort u ( Σ und u Σ ) mit u = λ(z, z ), so dß δ(z, u) = δ(δ(z, ), u) E, δ(z, u) = δ(δ(z, ), u) E (oder umgekehrt). Dnn sind uch δ(z, ) und δ(z, ) nicht erkennungsäquivlent und λ(δ(z, ), δ(z, )) = u < λ(z, z ) IV {δ(z, ), δ(z, )} wird irgendwnn mrkiert. {z, z } wird mrkiert. Dmit ist uch die Impliktion = gezeigt. WS 11/1 164
Rechtslinere Sprchen Hinweise für die Durchführung des Minimierungslgorithmus: Die Telle möglichst so ufstellen, dß jedes Pr nur genu einml vorkommt! Also ei Zustndsmenge {1,..., n}:,..., n vertikl und 1,..., n 1 horizontl notieren. Bitte ngeen, welche Zustände in welcher Reihenfolge und wrum mrkiert wurden! Im Buch von Schöning werden immer nur Sternchen ( ) verwendet, er drus werden ei der Korrektur die Reihenfolge und die Gründe für die Mrkierung nicht ersichtlich. WS 11/1 165
Rechtslinere Sprchen Für nicht-deterministische Automten knn mn folgende Aussgen treffen: Es git nicht den minimlen NFA, sondern es knn mehrere geen. Folgende zwei minimle NFAs erkennen L = L((0 + 1) 1) und hen zwei Zustände (mit nur einem Zustnd knn L nicht erknnt werden). 0, 1 1 1 0 1 1 Gegeen ein DFA M. Dnn ht ein minimler NFA, der L(M) erkennt, immer höchstens so viel Zustände wie M, denn M selst ist schon ein NFA. Außerdem: der minimle NFA knn exponentiell kleiner sein ls der minimle DFA. Siehe L k = {x {0, 1} x k, ds k-letzte Zeichen von x ist 0}. 1 0 WS 11/1 166